資源簡介

11.3　公式法
第1課時
課時學習目標 素養(yǎng)目標達成
　根據平方差公式,推導出平方差公式因式分解的方法,并能夠用公式分解因式 抽象能力、模型觀念
基礎主干落實　　起步起勢 向上向陽
新知要點 對點小練
利用平方差公式因式分解: 　符號語言:a2-b2=(a+b)(a-b). 文字語言:兩個數的平方差,等于這兩個數的　和　與這兩個數的　差　的乘積. 1.下列多項式中,能運用平方差公式分解因式的是(D) A.a2+b2 B.2a-b2 C.-4a2-b2 D.-a2+9b2 2.分解因式:x2-9=　(x+3)(x-3)　.
重點典例研析　　學貴有方 進而有道
【重點】用平方差公式因式分解(抽象能力、運算能力)
【典例】(教材再開發(fā)·P128例1改編)因式分解:
(1)a2-81;
(2)25-16x2;
(3)x2-16.
【自主解答】(1)a2-81=(a+9)(a-9);
(2)25-16x2=52-(4x)2=(5-4x)(5+4x);
(3)x2-16=(x+4)(x-4).
【舉一反三】
1.下列多項式中,能用平方差公式進行因式分解的是(C)
A.a2-b B.a2+2b2
C.9a2-b2 D.-a2-b2
2.若多項式mx2-4在有理數范圍內能利用平方差公式進行因式分解,則m的值不可能是(B)
A.1 B.5
C.9 D.16
3.(2024·東營河口模擬)下列多項式中,屬于4x2-1的一個因式的是(C)
A.4x-1 B.4x+1
C.2x-1 D.4x2
4.4x2-81因式分解為:　(2x+9)(2x-9)　.
5.若x+y+z=2,則當x2-(y+z)2=8時,x-y-z=　4　.
6.(2024·濰坊奎文質檢)因式分解:
(1)25c2-49a2b2;
(2)(x-5)2-9(y+3)2.
【解析】(1)25c2-49a2b2
=(5c)2-(7ab)2
=(5c+7ab)(5c-7ab);
(2)(x-5)2-9(y+3)2
=(x-5)2-[3(y+3)]2
=(x-5+3y+9)(x-5-3y-9)
=(x+3y+4)(x-3y-14).
7.將下列各式分解因式:
(1)x2(x-1)-16(x-1);
(2)x4-1.
【解析】(1)x2(x-1)-16(x-1)
=(x-1)(x2-16)
=(x-1)(x+4)(x-4).
(2)原式=(x2+1)(x2-1)
=(x2+1)(x+1)(x-1).
【技法點撥】
用平方差公式因式分解的步驟:
1.識別形式:多項式可以寫成兩個單項式平方差的形式;
2.確定a和b:對照公式,找到a和b;
3.根據公式進行分解.
素養(yǎng)當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(3分·推理能力、運算能力)下列多項式中能用平方差公式分解因式的是(D)
A.a2+b2 B.-a2-b2
C.a3-b3 D.-a2+b2
2.(3分·推理能力、運算能力)若k為自然數,則(3k+2)2-9k2的值總能(B)
A.被3整除 B.被4整除
C.被5整除 D.被7整除
3.(4分·推理能力、運算能力)因式分解:4(a-b)2-(a+b)2=　(3a-b)(a-3b)　.
4.(4分·推理能力、運算能力)如果多項式ax2+by2只能因式分解為(3x+2y)(3x-2y),則ab=　-36　.
5.(6分·推理能力、運算能力)因式分解:
(1)9x2-4y2;
(2)18a2-8b2.
【解析】(1)9x2-4y2
=(3x+2y)(3x-2y);
(2)18a2-8b2=2(9a2-4b2)=2(3a+2b)(3a-2b).11.3　公式法
第1課時
課時學習目標 素養(yǎng)目標達成
　根據平方差公式,推導出平方差公式因式分解的方法,并能夠用公式分解因式 抽象能力、模型觀念
基礎主干落實　　起步起勢 向上向陽
新知要點 對點小練
利用平方差公式因式分解: 　符號語言:a2-b2=(a+b)(a-b). 文字語言:兩個數的平方差,等于這兩個數的 與這兩個數的 的乘積. 1.下列多項式中,能運用平方差公式分解因式的是( ) A.a2+b2 B.2a-b2 C.-4a2-b2 D.-a2+9b2 2.分解因式:x2-9= .
重點典例研析　　學貴有方 進而有道
【重點】用平方差公式因式分解(抽象能力、運算能力)
【典例】(教材再開發(fā)·P128例1改編)因式分解:
(1)a2-81;
(2)25-16x2;
(3)x2-16.
【舉一反三】
1.下列多項式中,能用平方差公式進行因式分解的是( )
A.a2-b B.a2+2b2
C.9a2-b2 D.-a2-b2
2.若多項式mx2-4在有理數范圍內能利用平方差公式進行因式分解,則m的值不可能是( )
A.1 B.5
C.9 D.16
3.(2024·東營河口模擬)下列多項式中,屬于4x2-1的一個因式的是( )
A.4x-1 B.4x+1
C.2x-1 D.4x2
4.4x2-81因式分解為: .
5.若x+y+z=2,則當x2-(y+z)2=8時,x-y-z= .
6.(2024·濰坊奎文質檢)因式分解:
(1)25c2-49a2b2;
(2)(x-5)2-9(y+3)2.
7.將下列各式分解因式:
(1)x2(x-1)-16(x-1);
(2)x4-1.
【技法點撥】
用平方差公式因式分解的步驟:
1.識別形式:多項式可以寫成兩個單項式平方差的形式;
2.確定a和b:對照公式,找到a和b;
3.根據公式進行分解.
素養(yǎng)當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(3分·推理能力、運算能力)下列多項式中能用平方差公式分解因式的是( )
A.a2+b2 B.-a2-b2
C.a3-b3 D.-a2+b2
2.(3分·推理能力、運算能力)若k為自然數,則(3k+2)2-9k2的值總能( )
A.被3整除 B.被4整除
C.被5整除 D.被7整除
3.(4分·推理能力、運算能力)因式分解:4(a-b)2-(a+b)2= .
4.(4分·推理能力、運算能力)如果多項式ax2+by2只能因式分解為(3x+2y)(3x-2y),則ab= .
5.(6分·推理能力、運算能力)因式分解:
(1)9x2-4y2;
(2)18a2-8b2.11.3　公式法
第2課時
課時學習目標 素養(yǎng)目標達成
1.根據完全平方公式,推導出完全平方公式因式分解的方法,并能夠用公式分解因式 應用意識、運算能力
2.能靈活選擇公式法進行因式分解 應用意識、運算能力
基礎主干落實　　筑牢根基 行穩(wěn)致遠
新知要點 對點小練
1.利用完全平方公式因式分解: a2±2ab+b2=　(a±b)2　. 文字語言:兩數的平方和,加上(減去)這兩數乘積的2倍,等于這兩數和(差)的　平方　. 2.完全平方式:式子　a2+2ab+b2　和　a2-2ab+b2　. 下列各式中不是多項式a3b+4a2b+4ab的因式的是(C) A.b B.a+2 C.a-2 D.a
重點典例研析　　啟思凝智 教學相長
【重點1】用完全平方公式因式分解(抽象能力、運算能力)
【典例1】(教材再開發(fā)·P130例3拓展)因式分解:
(1)x2-4xy+4y2;
(2)9x2-6xy+y2.
【自主解答】(1)x2-4xy+4y2
=(x-2y)2;
(2)9x2-6xy+y2
=(3x)2-2×3xy+y2
=(3x-y)2.
【舉一反三】
1.因式分解x2-x+= (x-)2　.
2.因式分解:(1)4x(x-3y)+9y2.
(2)(m2-5)2+2(m2-5)+1.
【解析】(1)4x(x-3y)+9y2
=4x2-12xy+9y2
=(2x-3y)2
(2)原式=(m2-5+1)2
=(m2-4)2
=(m+2)2(m-2)2.
【技法點撥】
應用完全平方公式因式分解的題型:
1.直接應用公式:符合完全平方公式的多項式可以直接用完全平方公式進行因式分解;
2.先變形后用公式進行因式分解:如x2+6x+8,不符合完全平方公式,變形后x2+6x+9-1,可得(x+3)2-1,然后用平方差公式進行因式分解即可.
【重點2】因式分解法的綜合應用(抽象能力、模型觀念)
【典例2】(教材再開發(fā)·P130例4拓展)把下列各式分解因式:
(1)16x2-1;
(2)4a2+12ab+9b2;
(3)-ab+2a2b-a3b;
(4)(x2+4)2-16x2.
【自主解答】(1)16x2-1=(4x+1)(4x-1).
(2)4a2+12ab+9b2=(2a+3b)2.
(3)-ab+2a2b-a3b=-ab(1-2a+a2)=-ab(1-a)2.
(4)(x2+4)2-16x2
=(x2+4x+4)(x2-4x+4)
=(x+2)2(x-2)2.
【舉一反三】
1.(2024·東營河口模擬)因式分解x4-18x2+81的結果為(D)
A.(x2+9)2 B.(x2-9)2
C.(x+9)2(x-9)2 D.(x+3)2(x-3)2
2.因式分解x2-y2+2y-1=　(x+y-1)(x-y+1)　.
3.(2024·濰坊奎文質檢)分解因式:
(1)9(m+n)2-(m-n)2;
(2)81a4-72a2b2+16b4.
【解析】(1)9(m+n)2-(m-n)2
=[3(m+n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)]
=(4m+2n)(2m+4n)
=4(2m+n)(m+2n).
(2)81a4-72a2b2+16b4
=(9a2-4b2)2
=(3a+2b)2(3a-2b)2.
【技法點撥】
因式分解的步驟
　一提:先提公因式;
二套:提公因式后,觀察括號內剩余多項式是否符合公式,符合公式,要用公式進行進一步分解;
三檢查:檢查因式分解是否徹底.
素養(yǎng)當堂測評　　(10分鐘·24分)
1.(4分·運算能力、推理能力)將a4-2a2+1分解因式,所得結果正確的是(D)
A.a2(a2-2)+1
B.(a2-2)(a2+1)
C.(a2-1)2
D.(a-1)2(a+1)2
2.(4分·運算能力、推理能力)多項式2a2-18與3a2-18a+27的公因式是(A)
A.a-3 B.a+3
C.a-9 D.a+9
3.(4分·推理能力、運算能力)因式分解9a2-6a+1=　(3a-1)2　.
4.(4分·推理能力、運算能力)若要使代數式x2+4y2+A能進行因式分解,則單項式A應為　4xy或-4xy　.
5.(8分·運算能力、推理能力)有一種因式分解的方法叫分組分解法.具體做法如下:把a2-2ab+b2-c2分解因式得
原式=(a2-2ab+b2)-c2
=(a-b)2-c2
=(a-b+c)(a-b-c).
請閱讀理解上面解法后,把下列多項式因式分解1-m2-n2+2mn.
【解析】1-m2-n2+2mn
=1-(m2+n2-2mn)
=1-(m-n)2
=(1+m-n)(1-m+n).11.3　公式法
第2課時
課時學習目標 素養(yǎng)目標達成
1.根據完全平方公式,推導出完全平方公式因式分解的方法,并能夠用公式分解因式 應用意識、運算能力
2.能靈活選擇公式法進行因式分解 應用意識、運算能力
基礎主干落實　　筑牢根基 行穩(wěn)致遠
新知要點 對點小練
1.利用完全平方公式因式分解: a2±2ab+b2= . 文字語言:兩數的平方和,加上(減去)這兩數乘積的2倍,等于這兩數和(差)的 . 2.完全平方式:式子 和 . 下列各式中不是多項式a3b+4a2b+4ab的因式的是( ) A.b B.a+2 C.a-2 D.a
重點典例研析　　啟思凝智 教學相長
【重點1】用完全平方公式因式分解(抽象能力、運算能力)
【典例1】(教材再開發(fā)·P130例3拓展)因式分解:
(1)x2-4xy+4y2;
(2)9x2-6xy+y2.
【舉一反三】
1.因式分解x2-x+= .
2.因式分解:(1)4x(x-3y)+9y2.
(2)(m2-5)2+2(m2-5)+1.
【技法點撥】
應用完全平方公式因式分解的題型:
1.直接應用公式:符合完全平方公式的多項式可以直接用完全平方公式進行因式分解;
2.先變形后用公式進行因式分解:如x2+6x+8,不符合完全平方公式,變形后x2+6x+9-1,可得(x+3)2-1,然后用平方差公式進行因式分解即可.
【重點2】因式分解法的綜合應用(抽象能力、模型觀念)
【典例2】(教材再開發(fā)·P130例4拓展)把下列各式分解因式:
(1)16x2-1;
(2)4a2+12ab+9b2;
(3)-ab+2a2b-a3b;
(4)(x2+4)2-16x2.
【舉一反三】
1.(2024·東營河口模擬)因式分解x4-18x2+81的結果為( )
A.(x2+9)2 B.(x2-9)2
C.(x+9)2(x-9)2 D.(x+3)2(x-3)2
2.因式分解x2-y2+2y-1= .
3.(2024·濰坊奎文質檢)分解因式:
(1)9(m+n)2-(m-n)2;
(2)81a4-72a2b2+16b4.
【技法點撥】
因式分解的步驟
　一提:先提公因式;
二套:提公因式后,觀察括號內剩余多項式是否符合公式,符合公式,要用公式進行進一步分解;
三檢查:檢查因式分解是否徹底.
素養(yǎng)當堂測評　　(10分鐘·24分)
1.(4分·運算能力、推理能力)將a4-2a2+1分解因式,所得結果正確的是( )
A.a2(a2-2)+1
B.(a2-2)(a2+1)
C.(a2-1)2
D.(a-1)2(a+1)2
2.(4分·運算能力、推理能力)多項式2a2-18與3a2-18a+27的公因式是( )
A.a-3 B.a+3
C.a-9 D.a+9
3.(4分·推理能力、運算能力)因式分解9a2-6a+1= .
4.(4分·推理能力、運算能力)若要使代數式x2+4y2+A能進行因式分解,則單項式A應為 .
5.(8分·運算能力、推理能力)有一種因式分解的方法叫分組分解法.具體做法如下:把a2-2ab+b2-c2分解因式得
原式=(a2-2ab+b2)-c2
=(a-b)2-c2
=(a-b+c)(a-b-c).
請閱讀理解上面解法后,把下列多項式因式分解1-m2-n2+2mn.

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