資源簡介

12.1　三角形
第3課時
課時學習目標 素養目標達成
1.理解三角形的三邊關系:三角形的任意兩邊之和大于第三邊 應用意識、推理能力
2.通過作圖,小組合作,說出三角形角平分線和中線的定義,總結出它們的性質,并闡述 抽象能力、模型觀念
3.通過作圖,小組合作,說出三角形高的定義,總結出它們的性質,并闡述 應用意識、運算能力
基礎主干落實　　博觀約取 厚積薄發
新知要點 對點小練
1.三角形三邊關系 三角形的任意兩邊之和　大于　第三邊 1.下列各組長度的線段為邊,能構成三角形的是(D) A.8 cm、5 cm、13 cm B.6 cm、8 cm、15 cm C.8 cm、4 cm、3 cm D.4 cm、6 cm、5 cm
2. 三 角 形 中 的 重 要 線 段名稱定義圖形角 平 分 線三角形一個角的平分線與這個角的對邊相交,角的頂點和交點之間的線段中 線連接三角形一個頂點與對邊中點的線段高三角形的一個頂點到它的對邊所在直線的垂線段
2.(1)三角形的角平分線、中線和高都是(B) A.直線 B.線段 C.射線 D.以上答案都不對 (2)作已知△ABC的高AD,中線AE,角平分線AF,三者中有可能落在△ABC外部的是(A) A.AD B.AE C.AF D.都有可能
重點典例研析　　精鉆細研 學深悟透
【重點1】三角形的三邊關系(抽象能力、應用意識)
【典例1】(教材再開發·P145例3拓展)在△ABC中,AB=7,BC=2.
(1)求AC的取值范圍;
(2)若△ABC的周長為偶數,求△ABC的周長為多少
【自主解答】(1)因為AB=7,BC=2,
所以7-2即5(2)因為5所以5+2+7因為△ABC的周長為偶數,
所以其周長為16.
【舉一反三】
1.(2024·青島市南模擬)下列各組數中,能夠組成三角形的是(D)
A.1,2,3 B.1,2,4
C.2,2,4 D.4,4,2
2.已知三角形的三條邊長均為整數,其中有一條邊長是3,但它不是最短邊,這樣的三角形共有　4　個.
3.(2024·濰坊奎文模擬)若a,b,c為△ABC的三邊長,且a,b滿足|a-3|+(b-2)2=0.
(1)求c的取值范圍;
(2)若第三邊長c是整數,求c的值.
【解析】(1)因為|a-3|+(b-2)2=0,
所以a-3=0,b-2=0,
解得a=3,b=2,
因為3-2=1,3+2=5,所以1(2)因為c是整數,
所以c的值為2或3或4.
【技法點撥】
三角形三邊關系模型
圖形
模型 |AC-BC|≤AB≤AC+BC
解讀 1.三角形任意兩邊之和大于第三邊 2.三角形任意兩邊之差的絕對值小于第三邊
【重點2】三角形的角平分線和中線(抽象能力、模型觀念)
【典例2】(教材再開發·P148練習T1拓展)如圖所示,已知AD,AE分別是△ABC的高和中線,AB=6 cm,AC=8 cm,BC=10 cm,∠BAC=90°.試求:
(1)AD的長;
(2)△ABE的面積;
(3)△ACE和△ABE的周長的差.
【自主解答】(1)因為∠BAC=90°,AD是邊BC上的高,所以AB·AC=BC·AD,
所以AD===4.8(cm),
即AD的長度為4.8 cm.
(2)因為△ABC是直角三角形,∠BAC=90°,AB=6 cm,AC=8 cm,
所以S△ABC=AB·AC=×6×8=24(cm2).
又因為AE是邊BC的中線,
所以S△ABE=S△ABC=12 cm2.
所以△ABE的面積是12 cm2.
(3)因為AE為BC邊上的中線,
所以BE=CE,
所以△ACE的周長-△ABE的周長=AC+AE+CE-(AB+BE+AE)=
AC-AB=8-6=2(cm),
即△ACE和△ABE的周長的差是2 cm.
【舉一反三】
1.(2024·泰安泰山模擬)如圖,將三角形紙片折疊,使點B,C重合,折痕DE與AB,BC分別交于點D,點E,連接AE,下列是△ABC的中線的是(A)
A.線段AE B.線段BE
C.線段CE D.線段DE
2.如圖,AF是△ABC的角平分線,AE是BC邊上的中線(填“>”“<”或“=”).
(1)BE　=　EC;
(2)∠CAF　= ∠BAC.
【技法點撥】
角平分線和中線的性質:
1.三角形的三條角平分交于一點,一定在三角形內部;
2.三角形的三邊中線交于一點,交點為三角形的重心,一定在三角形內部;
3.三角形中線將三角形分成面積相等的兩部分.
【重點3】三角形的高(抽象能力、應用意識)
【典例3】如圖,在△ABC中,BD是AC邊上的高,∠A=70°.
(1)求∠ABD的度數;
(2)CE平分∠ACB交BD于點E,∠BEC=118°,求∠ABC的度數.
【自主解答】(1)在△ABC中,
因為BD⊥AC,
所以∠ADB=∠BDC=90°,
因為∠A=70°,
所以∠ABD=180°-∠BDA-∠A=20°.
(2)因為∠BEC是△CDE的外角,∠BEC=118°,∠BDC=90°,所以∠DCE=28°.
因為CE平分∠ACB,
所以∠ACB=2∠DCE=56°.
所以∠DBC=180°-∠BDC-∠DCB=34°,
所以∠ABC=∠ABD+∠DBC=54°.
【舉一反三】
1.(2024·棗莊市中模擬)下列說法中正確的是(B)
A.直角三角形的高只有一條
B.銳角三角形的三條高交于三角形內部
C.直角三角形的高沒有交點
D.鈍角三角形的三條高所在的直線沒有交點
2.如圖,在△ABC中,AD,AE分別是邊BC上的中線和高,AE=2 cm,S△ABD=8 cm2.則BC=　16　cm.
【技法點撥】
三角形高的性質:
1.三角形三條高交于一點,該點為三角形的垂心,不一定在三角形內部;
2.三角形的高與三角形的位置關系有三種:高在三角形內部、高在三角形外部、高與三角形一邊重合.
素養當堂測評　　(10分鐘·16分)
1.(3分·幾何直觀、推理能力)如圖,△ABC的角平分線AD,中線BE交于點O,則:
結論Ⅰ:AO是△ABE的角平分線;
結論Ⅱ:BO是△ABD的中線.
對于結論Ⅰ和Ⅱ,下列判斷正確的是(C)
A.Ⅰ和Ⅱ都對 B.Ⅰ和Ⅱ都不對
C.Ⅰ對Ⅱ不對 D.Ⅰ不對Ⅱ對
2.(3分·抽象能力、空間觀念)若從如圖所示的四條線段中任意選取三條線段,則能組成三角形的是　②③④　(填序號).
3.(5分·幾何直觀、推理能力)如圖,AD,CE分別是△ABC的中線和角平分線,則:BD=　CD　=　BC　;∠ACE=　∠BCE　=　∠ACB　.
4.(5分·幾何直觀、空間觀念)分別在圖(1)、(2)、(3)中,畫出△ABC的一條中線,一條角平分線和一條高,并用文字指出你所畫的中線、角平分線和高.
【解析】如圖(1)(2)(3)所示,AD為中線,AE為角平分線,AF為高.12.1　三角形
第1課時
課時學習目標 素養目標達成
1.理解三角形及其相關概念 抽象能力、幾何直觀
2.理解三角形的分類,會識別不同的三角形 幾何直觀
基礎主干落實　　夯基筑本 積厚成勢
新知要點 對點小練
1.三角形的相關概念 名稱概念三角形不在同一條直線上的三條線段首尾順次連接組成的圖形邊組成三角形的線段頂點相鄰兩邊的公共端點內角相鄰兩條邊組成的角
1.下面是一位同學用三根木棒拼成的圖形,其中是三角形的是( )
2.三角形的分類 分類名稱特征按角分銳角三角形三個角都是 直角三角形有一個角是 鈍角三角形有一個角是 按邊分三邊都不相等的三角形三邊均不相等等腰三角形有兩條邊相等(三邊相等的叫等邊三角形)
2.如圖,表示三角形分類,則Q表示的是( ) 　　　　　 　　　　　　　　　　 A.等邊三角形 B.直角三角形 C.銳角三角形 D.鈍角三角形
重點典例研析　　縱橫捭闔 揮斥方遒
【重點1】三角形相關概念(抽象能力、模型觀念)
【典例1】(教材再開發·P139練習T1拓展)如圖所示:
(1)圖中有幾個三角形 把它們一一列舉出來.
(2)寫出△ABD的三個內角.
(3)含AB邊的三角形有哪些
【舉一反三】
1.(2024·棗莊市中模擬)在△ABC中,BC邊所對的角是( )
A.∠A B.∠B C.∠C D.∠D
2.如圖,在△ACE中,∠CAE所對的邊是 ;在△ADE中,邊AE所對的角是
.
【重點2】識別特殊的三角形(模型觀念、抽象能力)
【典例2】有一道數學題:觀察下列三角形,按照三個內角的大小說出每個三角形的類別.可是題目有一部分被墨水污染了,你還能根據圖中提供的信息說出每個三角形的類別嗎 請說明理由.
【舉一反三】
1.等邊三角形是( )
A.直角三角形 B.銳角三角形
C.鈍角三角形 D.等腰直角三角形
2.如圖均表示三角形的分類,下列判斷正確的是( )
A.①對,②不對 B.①不對,②對
C.①,②都不對 D.①,②都對
3.圖中一共有多少個三角形 銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形各有多少個 用符號表示這些三角形.
素養當堂測評　　(10分鐘·15分)
1.(5分·幾何直觀、推理能力)一位同學用若干根木棒拼成圖形如下,則符合三角形概念的是( )
2. (5分·抽象能力、空間觀念)如圖,D是△ABC的邊BC上的一點,則在△ABC中,∠C所對的邊是 ;在△ACD中,∠C所對的邊是 .
3.(5分·幾何直觀)觀察下面的三角形,并把它們的標號填入相應的圈內.12.1　三角形
第2課時
課時學習目標 素養目標達成
1.推理三角形內角和是180°和直角三角形的性質、判定,并能解決問題 模型觀念、推理能力
2.觀察圖形,總結出三角形外角的定義,能夠闡述,并能夠找出三角形的外角 抽象能力、模型觀念
3.動手畫圖,用所學知識推導出三角形外角的性質,能夠闡述,并能夠解決相應問題 應用意識、運算能力
基礎主干落實　　九層之臺 起于累土
新知要點 對點小練
1.三角形的內角和等于　180°　. 1.三角形三個內角度數的比是2∶4∶3,最大的角是(B) A.70度　 B.80度　 C.90度　 D.100度
2.直角三角形的兩個銳角　互余　; 有兩個角互余的三角形是　直角三角形　. 三角形的外角定義三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角性質1.三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和2.三角形的一個外角大于與它不相鄰的任意一個內角
2.(1)在一個直角三角形中,一個銳角是40°,另一個銳角是(B) A.70° B.50° C.30° D.10° (2)在△ABC中,若∠A=28°,∠B=62°,則△ABC是(B) A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.等腰三角形 (3)如圖,∠1的度數是(D) A.37° B.55° C.57° D.65°
重點典例研析　　循道而行 方能致遠
【重點1】三角形內角和
【典例1】在△ABC中,∠A-∠B=36°,∠C=2∠B.求∠A,∠B,∠C的度數.
【自主解答】因為∠A-∠B=36°,
所以∠A=36°+∠B,
因為∠C=2∠B,∠A+∠B+∠C=180°,
所以2∠B+∠B+∠B+36°=180°,
所以∠B=36°,
所以∠A=∠B+36°=72°,∠C=2∠B=72°.
【舉一反三】
如圖,CE⊥AF,垂足為E,CE與BF相交于點D,∠F=40°,∠C=30°,求∠EDF,∠DBC的度數.
【解析】因為CE⊥AF,所以∠DEF=90°,
所以∠EDF=90°-∠F=90°-40°=50°;
由三角形的內角和定理得,∠C+∠DBC=∠F+∠DEF,
所以30°+∠DBC=40°+90°,
所以∠DBC=100°.
【重點2】三角形外角的性質(抽象能力、應用意識)
【典例2】(教材再開發·P143例2拓展)如圖,CE是△ABC的外角∠ACD的平分線,且CE交BA的延長線于點E.
(1)若∠B=35°,∠E=25°,求∠BAC的度數;
(2)請你寫出∠BAC、∠B、∠E三個角之間存在的等量關系,并寫出證明過程.
【自主解答】(1)因為∠ECD=∠B+∠E,∠B=35°,∠E=25°,所以∠ECD=60°,
因為CE平分∠ACD,
所以∠ACE=∠ECD=60°,
所以∠BAC=∠ACE+∠E=60°+25°=85°.
(2)結論:∠BAC=∠B+2∠E.理由如下:
因為∠BAC=∠ACE+∠E,
∠ACE=∠ECD=∠B+∠E,
所以∠BAC=∠B+∠E+∠E=∠B+2∠E.
【舉一反三】
1.(2024·濰坊寒亭模擬)如圖,在△ABC中,外角∠ACD=120°,∠B=40°,則∠A的度數為(D)
A.85° B.75° C.40° D.80°
2.如圖,在△ABC中,點D在BC邊上,且∠DAC=2∠BAD,則∠1、∠2、∠3的數量關系為　∠3=3∠2-2∠1　.
3.如圖,在△ABC中,BD平分∠ABC,AE⊥BC于點E,AE交BD于點F.若∠ABC=50°,求∠AFB的度數.
【解析】因為BD平分∠ABC,∠ABC=50°,
所以∠CBD=∠ABC=25°.
因為AE⊥BC,所以∠AEB=90°.
所以∠AFB=∠CBD+∠AEB=25°+90°=115°.
【技法點撥】
三角形外角的性質:
1.三角形外角和360°;
2.三角形外角可以大于與它相鄰的內角,也可以等于與它相鄰的內角,也可以小于與它相鄰的內角;
3.三角形的一個內角度數等于180°減去它相鄰外角的度數.
素養當堂測評　　(10分鐘·16分)
1.(4分·推理能力)在Rt△ABC中,∠A=90°,∠B=4∠C,則∠B的度數為(C)
A.45° B.60° C.72° D.84°
2.(4分·幾何直觀、運算能力)將一副三角尺按如圖所示的方式疊放,則∠1的度數為(C)
A.45° B.60° C.75° D.85°
3.(4分·抽象能力、空間觀念)有一張直角三角形紙片,記作△ABC,其中∠B=90°.按如圖方式剪去它的一個角(虛線部分),在剩下的四邊形ADEC中,若∠1=170°,則∠2的度數為　100°　.
4. (4分·幾何直觀、推理能力)如圖,含45°角的三角尺的直角頂點A在直線a上,頂點C在直線b上.若a∥b,∠1=60°,則∠2的度數為　105　°. 12.1　三角形
第1課時
課時學習目標 素養目標達成
1.理解三角形及其相關概念 抽象能力、幾何直觀
2.理解三角形的分類,會識別不同的三角形 幾何直觀
基礎主干落實　　夯基筑本 積厚成勢
新知要點 對點小練
1.三角形的相關概念 名稱概念三角形不在同一條直線上的三條線段首尾順次連接組成的圖形邊組成三角形的線段頂點相鄰兩邊的公共端點內角相鄰兩條邊組成的角
1.下面是一位同學用三根木棒拼成的圖形,其中是三角形的是(D)
2.三角形的分類 分類名稱特征按角分銳角三角形三個角都是　銳角　 直角三角形有一個角是　直角　 鈍角三角形有一個角是　鈍角　 按邊分三邊都不相等的三角形三邊均不相等等腰三角形有兩條邊相等(三邊相等的叫等邊三角形)
2.如圖,表示三角形分類,則Q表示的是(A) 　　　　　 　　　　　　　　　　 A.等邊三角形 B.直角三角形 C.銳角三角形 D.鈍角三角形
重點典例研析　　縱橫捭闔 揮斥方遒
【重點1】三角形相關概念(抽象能力、模型觀念)
【典例1】(教材再開發·P139練習T1拓展)如圖所示:
(1)圖中有幾個三角形 把它們一一列舉出來.
(2)寫出△ABD的三個內角.
(3)含AB邊的三角形有哪些
【自主解答】(1)題圖中有7個三角形,即△ABD,△ABE,△ABC,△ADE,△ADC,
△AEC,△AFG.
(2)△ABD的三個內角是∠ABD,∠BDA,∠BAD.
(3)含AB邊的三角形有△ABD,△ABE,△ABC.
【舉一反三】
1.(2024·棗莊市中模擬)在△ABC中,BC邊所對的角是(A)
A.∠A B.∠B C.∠C D.∠D
2.如圖,在△ACE中,∠CAE所對的邊是　EC　;在△ADE中,邊AE所對的角是
　∠ADE　.
【重點2】識別特殊的三角形(模型觀念、抽象能力)
【典例2】有一道數學題:觀察下列三角形,按照三個內角的大小說出每個三角形的類別.可是題目有一部分被墨水污染了,你還能根據圖中提供的信息說出每個三角形的類別嗎 請說明理由.
【自主解答】由題圖可知,①是直角三角形,③是鈍角三角形,而②的三角形不能確定是哪一種三角形.
【舉一反三】
1.等邊三角形是(B)
A.直角三角形 B.銳角三角形
C.鈍角三角形 D.等腰直角三角形
2.如圖均表示三角形的分類,下列判斷正確的是(B)
A.①對,②不對 B.①不對,②對
C.①,②都不對 D.①,②都對
3.圖中一共有多少個三角形 銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形各有多少個 用符號表示這些三角形.
【解析】共有6個三角形.
其中銳角三角形有2個:△ABE,△ABC;
直角三角形有3個:△ABD,△ADE,△ADC;
鈍角三角形有1個:△AEC.
素養當堂測評　　(10分鐘·15分)
1.(5分·幾何直觀、推理能力)一位同學用若干根木棒拼成圖形如下,則符合三角形概念的是(C)
2. (5分·抽象能力、空間觀念)如圖,D是△ABC的邊BC上的一點,則在△ABC中,∠C所對的邊是　AB　;在△ACD中,∠C所對的邊是　AD　.
3.(5分·幾何直觀)觀察下面的三角形,并把它們的標號填入相應的圈內.
【解析】12.1　三角形
第2課時
課時學習目標 素養目標達成
1.推理三角形內角和是180°和直角三角形的性質、判定,并能解決問題 模型觀念、推理能力
2.觀察圖形,總結出三角形外角的定義,能夠闡述,并能夠找出三角形的外角 抽象能力、模型觀念
3.動手畫圖,用所學知識推導出三角形外角的性質,能夠闡述,并能夠解決相應問題 應用意識、運算能力
基礎主干落實　　九層之臺 起于累土
新知要點 對點小練
1.三角形的內角和等于 . 1.三角形三個內角度數的比是2∶4∶3,最大的角是( ) A.70度　 B.80度　 C.90度　 D.100度
2.直角三角形的兩個銳角 ; 有兩個角互余的三角形是 . 三角形的外角定義三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角性質1.三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和2.三角形的一個外角大于與它不相鄰的任意一個內角
2.(1)在一個直角三角形中,一個銳角是40°,另一個銳角是( ) A.70° B.50° C.30° D.10° (2)在△ABC中,若∠A=28°,∠B=62°,則△ABC是( ) A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.等腰三角形 (3)如圖,∠1的度數是( ) A.37° B.55° C.57° D.65°
重點典例研析　　循道而行 方能致遠
【重點1】三角形內角和
【典例1】在△ABC中,∠A-∠B=36°,∠C=2∠B.求∠A,∠B,∠C的度數.
【舉一反三】
如圖,CE⊥AF,垂足為E,CE與BF相交于點D,∠F=40°,∠C=30°,求∠EDF,∠DBC的度數.
【重點2】三角形外角的性質(抽象能力、應用意識)
【典例2】(教材再開發·P143例2拓展)如圖,CE是△ABC的外角∠ACD的平分線,且CE交BA的延長線于點E.
(1)若∠B=35°,∠E=25°,求∠BAC的度數;
(2)請你寫出∠BAC、∠B、∠E三個角之間存在的等量關系,并寫出證明過程.
【舉一反三】
1.(2024·濰坊寒亭模擬)如圖,在△ABC中,外角∠ACD=120°,∠B=40°,則∠A的度數為( )
A.85° B.75° C.40° D.80°
2.如圖,在△ABC中,點D在BC邊上,且∠DAC=2∠BAD,則∠1、∠2、∠3的數量關系為 .
3.如圖,在△ABC中,BD平分∠ABC,AE⊥BC于點E,AE交BD于點F.若∠ABC=50°,求∠AFB的度數.
【技法點撥】
三角形外角的性質:
1.三角形外角和360°;
2.三角形外角可以大于與它相鄰的內角,也可以等于與它相鄰的內角,也可以小于與它相鄰的內角;
3.三角形的一個內角度數等于180°減去它相鄰外角的度數.
素養當堂測評　　(10分鐘·16分)
1.(4分·推理能力)在Rt△ABC中,∠A=90°,∠B=4∠C,則∠B的度數為( )
A.45° B.60° C.72° D.84°
2.(4分·幾何直觀、運算能力)將一副三角尺按如圖所示的方式疊放,則∠1的度數為( )
A.45° B.60° C.75° D.85°
3.(4分·抽象能力、空間觀念)有一張直角三角形紙片,記作△ABC,其中∠B=90°.按如圖方式剪去它的一個角(虛線部分),在剩下的四邊形ADEC中,若∠1=170°,則∠2的度數為 .
4. (4分·幾何直觀、推理能力)如圖,含45°角的三角尺的直角頂點A在直線a上,頂點C在直線b上.若a∥b,∠1=60°,則∠2的度數為 °. 12.1　三角形
第3課時
課時學習目標 素養目標達成
1.理解三角形的三邊關系:三角形的任意兩邊之和大于第三邊 應用意識、推理能力
2.通過作圖,小組合作,說出三角形角平分線和中線的定義,總結出它們的性質,并闡述 抽象能力、模型觀念
3.通過作圖,小組合作,說出三角形高的定義,總結出它們的性質,并闡述 應用意識、運算能力
基礎主干落實　　博觀約取 厚積薄發
新知要點 對點小練
1.三角形三邊關系 三角形的任意兩邊之和 第三邊 1.下列各組長度的線段為邊,能構成三角形的是( ) A.8 cm、5 cm、13 cm B.6 cm、8 cm、15 cm C.8 cm、4 cm、3 cm D.4 cm、6 cm、5 cm
2. 三 角 形 中 的 重 要 線 段名稱定義圖形角 平 分 線三角形一個角的平分線與這個角的對邊相交,角的頂點和交點之間的線段中 線連接三角形一個頂點與對邊中點的線段高三角形的一個頂點到它的對邊所在直線的垂線段
2.(1)三角形的角平分線、中線和高都是( ) A.直線 B.線段 C.射線 D.以上答案都不對 (2)作已知△ABC的高AD,中線AE,角平分線AF,三者中有可能落在△ABC外部的是( ) A.AD B.AE C.AF D.都有可能
重點典例研析　　精鉆細研 學深悟透
【重點1】三角形的三邊關系(抽象能力、應用意識)
【典例1】(教材再開發·P145例3拓展)在△ABC中,AB=7,BC=2.
(1)求AC的取值范圍;
(2)若△ABC的周長為偶數,求△ABC的周長為多少
【舉一反三】
1.(2024·青島市南模擬)下列各組數中,能夠組成三角形的是( )
A.1,2,3 B.1,2,4
C.2,2,4 D.4,4,2
2.已知三角形的三條邊長均為整數,其中有一條邊長是3,但它不是最短邊,這樣的三角形共有 個.
3.(2024·濰坊奎文模擬)若a,b,c為△ABC的三邊長,且a,b滿足|a-3|+(b-2)2=0.
(1)求c的取值范圍;
(2)若第三邊長c是整數,求c的值.
【技法點撥】
三角形三邊關系模型
圖形
模型 |AC-BC|≤AB≤AC+BC
解讀 1.三角形任意兩邊之和大于第三邊 2.三角形任意兩邊之差的絕對值小于第三邊
【重點2】三角形的角平分線和中線(抽象能力、模型觀念)
【典例2】(教材再開發·P148練習T1拓展)如圖所示,已知AD,AE分別是△ABC的高和中線,AB=6 cm,AC=8 cm,BC=10 cm,∠BAC=90°.試求:
(1)AD的長;
(2)△ABE的面積;
(3)△ACE和△ABE的周長的差.
【舉一反三】
1.(2024·泰安泰山模擬)如圖,將三角形紙片折疊,使點B,C重合,折痕DE與AB,BC分別交于點D,點E,連接AE,下列是△ABC的中線的是( )
A.線段AE B.線段BE
C.線段CE D.線段DE
2.如圖,AF是△ABC的角平分線,AE是BC邊上的中線(填“>”“<”或“=”).
(1)BE EC;
(2)∠CAF ∠BAC.
【技法點撥】
角平分線和中線的性質:
1.三角形的三條角平分交于一點,一定在三角形內部;
2.三角形的三邊中線交于一點,交點為三角形的重心,一定在三角形內部;
3.三角形中線將三角形分成面積相等的兩部分.
【重點3】三角形的高(抽象能力、應用意識)
【典例3】如圖,在△ABC中,BD是AC邊上的高,∠A=70°.
(1)求∠ABD的度數;
(2)CE平分∠ACB交BD于點E,∠BEC=118°,求∠ABC的度數.
【舉一反三】
1.(2024·棗莊市中模擬)下列說法中正確的是( )
A.直角三角形的高只有一條
B.銳角三角形的三條高交于三角形內部
C.直角三角形的高沒有交點
D.鈍角三角形的三條高所在的直線沒有交點
2.如圖,在△ABC中,AD,AE分別是邊BC上的中線和高,AE=2 cm,S△ABD=8 cm2.則BC= cm.
【技法點撥】
三角形高的性質:
1.三角形三條高交于一點,該點為三角形的垂心,不一定在三角形內部;
2.三角形的高與三角形的位置關系有三種:高在三角形內部、高在三角形外部、高與三角形一邊重合.
素養當堂測評　　(10分鐘·16分)
1.(3分·幾何直觀、推理能力)如圖,△ABC的角平分線AD,中線BE交于點O,則:
結論Ⅰ:AO是△ABE的角平分線;
結論Ⅱ:BO是△ABD的中線.
對于結論Ⅰ和Ⅱ,下列判斷正確的是( )
A.Ⅰ和Ⅱ都對 B.Ⅰ和Ⅱ都不對
C.Ⅰ對Ⅱ不對 D.Ⅰ不對Ⅱ對
2.(3分·抽象能力、空間觀念)若從如圖所示的四條線段中任意選取三條線段,則能組成三角形的是 (填序號).
3.(5分·幾何直觀、推理能力)如圖,AD,CE分別是△ABC的中線和角平分線,則:BD= ;∠ACE= .
4.(5分·幾何直觀、空間觀念)分別在圖(1)、(2)、(3)中,畫出△ABC的一條中線,一條角平分線和一條高,并用文字指出你所畫的中線、角平分線和高.

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