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人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修三-8.1.1變量的相關(guān)關(guān)系-導(dǎo)學(xué)案
學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.了解變量間的相關(guān)關(guān)系，會(huì)畫散點(diǎn)圖.2.會(huì)用散點(diǎn)圖判斷兩個(gè)變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系和線性相關(guān)關(guān)系．
一、相關(guān)關(guān)系
問題1　下列兩個(gè)變量是否具有函數(shù)關(guān)系？
(1)球的面積與半徑的關(guān)系；
(2)人的身高和體重的關(guān)系；
(3)角度和它的余弦值的關(guān)系；
(4)父母的身高和子女的身高的關(guān)系．
知識(shí)梳理
兩個(gè)變量有關(guān)系，但又沒有確切到可由其中的一個(gè)去精確地決定另一個(gè)的程度，這種關(guān)系稱為________關(guān)系．
例1　(多選)下列兩個(gè)變量存在相關(guān)關(guān)系的為(　　)
A．扇形的半徑與面積之間的關(guān)系
B．降雪量與交通事故的發(fā)生率之間的關(guān)系
C．人的身高與體重之間的關(guān)系
D．家庭的支出與收入之間的關(guān)系
反思感悟　函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是非隨機(jī)變量與隨機(jī)變量的關(guān)系．函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系， 而相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系．
跟蹤訓(xùn)練1　(1)(多選)下列說法正確的是(　　)
A．闖紅燈與交通事故發(fā)生率的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系
B．同一物體的加速度與作用力的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系
C．產(chǎn)品的成本與產(chǎn)量的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系
D．廣告費(fèi)用與銷售量的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系
(2)(多選)下列關(guān)系是相關(guān)關(guān)系的是(　　)
A．角度和它的正弦值之間的關(guān)系
B．某商場(chǎng)搞促銷活動(dòng)與銷售量之間的關(guān)系
C．作文水平與課外閱讀量之間的關(guān)系
D．底面積一定的三棱錐的體積與高之間的關(guān)系
二、散點(diǎn)圖
問題2　在一次對(duì)人體的脂肪含量和年齡之間關(guān)系的研究中，研究人員獲得了成對(duì)樣本數(shù)據(jù)如下表．
年齡/歲 23 27 39 41 45 49 50
脂肪含量/% 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2
年齡/歲 53 54 56 57 58 60 61
脂肪含量/% 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6
其中各年齡對(duì)應(yīng)的脂肪數(shù)據(jù)是這個(gè)年齡人群脂肪含量的樣本平均數(shù)．根據(jù)上述數(shù)據(jù)，你能推斷出人體的脂肪含量與年齡之間存在怎樣的關(guān)系嗎？
知識(shí)梳理
1．散點(diǎn)圖：為直觀地描述成對(duì)樣本數(shù)據(jù)中兩個(gè)變量間的關(guān)系，用橫軸表示其中的一個(gè)變量，縱軸表示另一個(gè)變量，則成對(duì)樣本數(shù)據(jù)都可以用直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)表示出來，由這些點(diǎn)組成的統(tǒng)計(jì)圖叫做散點(diǎn)圖．
2．如果從整體上看，當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)________的趨勢(shì)，我們就稱這兩個(gè)變量__________相關(guān)；如果一個(gè)變量值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值呈現(xiàn)________的趨勢(shì)，則稱這兩個(gè)變量________相關(guān)．
3．一般地，如果兩個(gè)變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，而且散點(diǎn)落在____________附近，我們就稱這兩個(gè)變量________相關(guān)．
4．一般地，如果兩個(gè)變量具有相關(guān)性，但不是線性相關(guān)，那么我們就稱這兩個(gè)變量非線性相關(guān)或曲線相關(guān)．
例2　某種樹木體積與樹木的樹齡之間有如下的對(duì)應(yīng)關(guān)系：
樹齡 2 3 4 5 6 7 8
體積 30 34 40 60 55 62 70
(1)請(qǐng)作出這些數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；
(2)你能由散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)樹木體積與樹木的樹齡近似呈什么關(guān)系嗎？
反思感悟　判斷兩個(gè)變量x和y是否具有線性相關(guān)關(guān)系，常用的簡(jiǎn)便方法就是繪制散點(diǎn)圖，如果發(fā)現(xiàn)點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近，那么這兩個(gè)變量就是線性相關(guān)的，注意不要受個(gè)別點(diǎn)的位置的影響．
跟蹤訓(xùn)練2　(多選)在下列各圖中，每個(gè)圖中的兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān)系的是(　　)
三、散點(diǎn)圖的應(yīng)用
例3　下面是水稻產(chǎn)量與施化肥量的一組觀測(cè)數(shù)據(jù)：
施化肥量 15 20 25 30 35 40 45
水稻產(chǎn)量 320 330 360 410 460 470 480
(1)將上述數(shù)據(jù)制成散點(diǎn)圖；
(2)你能從散點(diǎn)圖中發(fā)現(xiàn)施化肥量與水稻產(chǎn)量近似呈什么關(guān)系嗎？水稻產(chǎn)量會(huì)一直隨施化肥量的增加而增加嗎？
反思感悟　(1)畫散點(diǎn)圖時(shí)應(yīng)注意合理選擇單位長(zhǎng)度，避免圖形過大或偏小，或者是點(diǎn)的坐標(biāo)在坐標(biāo)系中畫不準(zhǔn)，使圖形失真，導(dǎo)致得出錯(cuò)誤結(jié)論．
(2)在這里利用散點(diǎn)圖直觀感知事物的形態(tài)與變化，理解事物間的關(guān)聯(lián)及變化規(guī)律，是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)直觀想象的具體體現(xiàn)．
跟蹤訓(xùn)練3　(1)對(duì)變量x，y有成對(duì)樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1，2，…，10)，得散點(diǎn)圖圖1；對(duì)變量u，v有成對(duì)樣本數(shù)據(jù)(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散點(diǎn)圖圖2.由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷(　　)
A．變量x與y正相關(guān)，u與v正相關(guān)
B．變量x與y正相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)
C．變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān)
D．變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)
(2)(多選)某校地理學(xué)興趣小組在某座山測(cè)得海拔高度、氣壓和沸點(diǎn)的六組數(shù)據(jù)繪制成散點(diǎn)圖如圖所示，則下列說法正確的是(　　)
A．沸點(diǎn)與海拔高度呈正相關(guān)
B．沸點(diǎn)與氣壓呈正相關(guān)
C．沸點(diǎn)與海拔高度呈負(fù)相關(guān)
D．沸點(diǎn)與海拔高度、沸點(diǎn)與氣壓的相關(guān)性都很強(qiáng)
1．知識(shí)清單：
(1)相關(guān)關(guān)系．
(2)散點(diǎn)圖．
(3)散點(diǎn)圖的應(yīng)用．
2．方法歸納：數(shù)形結(jié)合．
3．常見誤區(qū)：相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系不分．
1．下列兩個(gè)變量存在相關(guān)關(guān)系的是(　　)
A．利息與利率
B．居民收入與儲(chǔ)蓄存款
C．電視機(jī)產(chǎn)量與蘋果產(chǎn)量
D．某種商品的銷售額與銷售價(jià)格
2．下列語句所表示的事件中的因素不具有相關(guān)關(guān)系的是(　　)
A．瑞雪兆豐年 B．名師出高徒
C．吸煙有害健康 D．喜鵲叫喜
3．如圖，有6組數(shù)據(jù)，去掉哪組數(shù)據(jù)后(填字母代號(hào))，剩下的5組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性最大(　　)
A．A B．B C．C D．D
4．以下是收集到的某物品的銷售價(jià)格y和物品的大小x的數(shù)據(jù)：
物品大小/m2 11.5 110 80 135 105
銷售價(jià)格/萬元 4.8 21.6 18.4 29.2 22
則根據(jù)數(shù)據(jù)可以判斷x，y________相關(guān)關(guān)系．(填“有”或“無”)
參考答案與詳細(xì)解析
問題1　(1)(3)是函數(shù)關(guān)系；(2)(4)不是函數(shù)關(guān)系．
知識(shí)梳理
相關(guān)
例1　BCD　[扇形的半徑與面積之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系，其余均為相關(guān)關(guān)系．]
跟蹤訓(xùn)練1　(1)ABD　[闖紅燈與發(fā)生交通事故之間不是因果關(guān)系，但具有相關(guān)性，是相關(guān)關(guān)系，所以A正確；物體的加速度與作用力的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系，所以B正確；產(chǎn)品的成本與產(chǎn)量之間是相關(guān)關(guān)系，所以C錯(cuò)誤；廣告費(fèi)用與銷售量之間是相關(guān)關(guān)系，所以D正確．]
(2)BC　[A，D中兩個(gè)變量之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系，而B，C中的兩個(gè)變量之間的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系．]
問題2　用橫軸表示年齡，縱軸表示脂肪含量，可將成對(duì)樣本數(shù)據(jù)用直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)表示出來，得到相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，圖中的點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域，大致在一條直線附近，推斷脂肪含量變量和年齡變量之間存在著相關(guān)關(guān)系．
知識(shí)梳理
2．增加　正　減小　負(fù)
3．一條直線　線性
例2　解　(1)以x軸表示樹木的樹齡，y軸表示樹木的體積，可得相應(yīng)的散點(diǎn)圖如圖所示．
(2)由散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)樹木體積隨著樹齡的增加呈現(xiàn)增加的趨勢(shì)，且散點(diǎn)大致落在一條直線附近，所以樹木的體積與樹齡近似呈線性相關(guān)關(guān)系．
跟蹤訓(xùn)練2　BC　[對(duì)A，所有的點(diǎn)都在曲線上，故具有函數(shù)關(guān)系；對(duì)B，所有的散點(diǎn)分布在一條直線附近，具有相關(guān)關(guān)系；對(duì)C，所有的散點(diǎn)分布在一條曲線附近，具有相關(guān)關(guān)系；對(duì)D，所有的散點(diǎn)雜亂無章，不具有相關(guān)關(guān)系．]
例3　解　(1)散點(diǎn)圖如圖．
(2)從圖中可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)施化肥量由小到大變化時(shí)，水稻產(chǎn)量也由小變大，圖中的散點(diǎn)大致分布在一條直線的附近，因此施化肥量和水稻產(chǎn)量近似呈線性相關(guān)關(guān)系，但水稻產(chǎn)量只是在一定范圍內(nèi)隨著化肥施用量的增加而增加，不會(huì)一直隨施化肥量的增加而增加．
跟蹤訓(xùn)練3　(1)C　[由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷，變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān)．]
(2)BCD　[由左圖知?dú)鈮弘S海拔高度的增加而減小，由右圖知沸點(diǎn)隨氣壓的升高而升高，所以沸點(diǎn)與氣壓呈正相關(guān)，沸點(diǎn)與海拔高度呈負(fù)相關(guān)，由于兩個(gè)散點(diǎn)圖中的點(diǎn)都成線性分布，所以沸點(diǎn)與海拔高度、沸點(diǎn)與氣壓的相關(guān)性都很強(qiáng)，故B，C，D正確，A錯(cuò)誤．]
隨堂演練
1．B　[選項(xiàng)A中的兩個(gè)變量具有函數(shù)關(guān)系；選項(xiàng)B中居民收入與儲(chǔ)蓄存款具有相關(guān)關(guān)系，一般來說，居民收入越高對(duì)應(yīng)的儲(chǔ)蓄存款越多；選項(xiàng)C中的電視機(jī)產(chǎn)量與蘋果產(chǎn)量無任何關(guān)系；選項(xiàng)D中某種商品的銷售額與銷售價(jià)格具有函數(shù)關(guān)系．]
2．D　[瑞雪對(duì)農(nóng)作物有好處，可能使得農(nóng)作物豐收，所以瑞雪兆豐年具有相關(guān)關(guān)系，名師出高徒也具有相關(guān)關(guān)系，吸煙有害健康也具有相關(guān)關(guān)系，而喜鵲叫喜，不具有相關(guān)關(guān)系．]
3．C　[根據(jù)散點(diǎn)圖知去掉C后，剩下的五組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性最大．]
4．有
解析　物品大小的值由小變大時(shí)，銷售價(jià)格也由小變大，因此兩個(gè)變量有相關(guān)關(guān)系．

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