資源簡介

人教A版高中數學選擇性必修三-8.1.2樣本相關系數-導學案
學習目標　1.結合實例，了解樣本相關系數的統計含義.2.結合實例，會通過樣本相關系數判斷多組成對樣本數據的相關性.3.掌握樣本相關系數的綜合運用．
一、樣本相關系數
問題1　設x1, x2，…， xn和y1，y2，…，yn的均值分別為和.將數據以(，)為零點進行平移，得到平移后的成對數據為(x1－，y1－)，(x2－，y2－)，…，(xn－，yn－)，并繪制散點圖，則繪制的散點圖有什么特征？你能利用正負相關變量的成對樣本數據平移后呈現的規律，構造一個度量成對樣本數據是正相關還是負相關的數字特征嗎？
問題2　你認為Lxy的大小一定能度量出成對樣本數據的相關程度嗎？
知識梳理
樣本相關系數：r＝__________________＝_______________________.
例1　某企業堅持以市場需求為導向，合理配置生產資源，不斷探索、改革銷售模式．下表是該企業每月生產的一種核心產品的產量x(件)與相應的生產總成本y(萬元)的五組對照數據：
產量x(件) 1 2 3 4 5
生產總成本y(萬元) 3 7 8 10 12
試求y與x的樣本相關系數r.(結果保留兩位小數)
參考公式：r＝.
參考數據：≈10.7.
反思感悟　利用樣本相關系數r判斷線性相關關系，需要應用公式計算出r的值，由于數據較大，有時需要借助計算器．
跟蹤訓練1　現隨機抽取了某中學高一10名在校學生，他們入學時的數學成績x(分)與入學后第一次考試的數學成績y(分)如表所示：
學生號 1 2 3 4 5
x 120 108 117 104 103
y 84 64 84 68 69
學生號 6 7 8 9 10
x 110 104 105 99 108
y 68 69 46 57 71
計算y與x之間的樣本相關系數(精確到0.001，已知＝116 584，＝47 384，iyi＝
73 796)．
二、相關關系的強弱
知識梳理
樣本相關系數r的取值范圍為________．
當|r|越接近1時，成對樣本數據的線性相關程度越________；
當|r|越接近0時，成對樣本數據的線性相關程度越________．
例2　(1)對四組成對樣本數據進行統計，獲得以下散點圖，關于其樣本相關系數的比較，正確的是(　　)
A．r2C．r4(2)某廠的生產原料耗費x(單位：百萬元)與銷售額y(單位：百萬元)之間有如下的對應關系：
x 2 4 6 8
y 30 40 50 70
①畫出(x，y)的散點圖；
②計算x與y之間的樣本相關系數，并刻畫它們的相關程度．
反思感悟　線性相關強弱的判斷方法
(1)散點圖：散點圖只是粗略作出判斷，其圖象越接近直線，相關性越強．
(2)樣本相關系數：樣本相關系數能夠較準確的判斷相關的程度，其絕對值越大，相關性越強．
跟蹤訓練2　甲、乙、丙、丁四位同學各自對a，b兩變量的線性相關性做試驗，并分別求得樣本相關系數r如下表：
甲 乙 丙 丁
r －0.82 －0.78 －0.69 －0.85
則________同學的試驗結果體現a，b兩變量有更強的線性相關性．
三、樣本相關系數的實際應用
例3　以下是收集到的新房屋的銷售價格y(萬元)和房屋的大小x(m2)的數據．
房屋大小x/m2 115 110 80 135 105
銷售價格y/萬元 24.8 21.6 18.4 29.2 22
(1)畫出數據的散點圖；
(2)求樣本相關系數r，并作出評價．(精確到0.01，已知＝60 975，＝2 756.8，
iyi＝12 952)
反思感悟　當樣本相關系數|r|越接近1時，兩個變量的相關關系越強，當樣本相關系數|r|越接近0時，兩個變量的相關關系越弱．
跟蹤訓練3　為了監控某種零件的一條生產線的生產過程，檢驗員每隔30 min從該生產線上隨機抽取一個零件，并測量其尺寸(單位：cm)．下面是檢驗員在一天內依次抽取的16個零件的尺寸：
抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8
零件尺寸 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
抽取次序 9 10 11 12 13 14 15 16
零件尺寸 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
經計算得＝xi＝9.97，≈0.848，≈18.439，(xi－)(i－8.5)＝－2.78，其中xi為抽取的第i個零件的尺寸，i＝1,2，…，16.
求的樣本相關系數r，并回答是否可以認為這一天生產的零件尺寸不隨生產過程的進行而系統地變大或變小(若<0.25，則可以認為零件的尺寸不隨生產過程的進行而系統地變大或變小)．(結果精確到0.01)
附：樣本的樣本相關系數
r＝，≈0.09.
1．知識清單：
(1)樣本相關系數．
(2)相關關系的強弱．
(3)樣本相關系數的實際應用．
2．方法歸納：數形結合．
3．常見誤區：樣本相關系數絕對值的大小與相關程度的關系．
1．給定y與x的一組成對樣本數據，求得樣本相關系數r＝－0.690，則(　　)
A．y與x線性不相關
B．y與x正線性相關
C．y與x負線性相關
D．以上都不對
2．已知r1表示變量X與Y之間的樣本相關系數，r2表示變量U與V之間的樣本相關系數，且r1＝0.837，r2＝－0.957，則(　　)
A．變量X與Y之間呈正相關關系，且X與Y之間的相關性強于U與V之間的相關性
B．變量X與Y之間呈負相關關系，且X與Y之間的相關性強于U與V之間的相關性
C．變量U與V之間呈負相關關系，且X與Y之間的相關性弱于U與V之間的相關性
D．變量U與V之間呈正相關關系，且X與Y之間的相關性弱于U與V之間的相關性
3．(多選)下面的各圖中，散點圖與樣本相關系數r符合的是(　　)
在成對樣本數據中，已知(xi－)2是(yi－)2的2倍，(xi－)(yi－)是(yi－)2的1.2倍，則這組數據的樣本相關系數r約為________．(精確到0.001)
參考答案與詳細解析
問題1　散點圖(略)，發現正相關時散點大多數分布在第一象限、第三象限，負相關時散點大多數分布在第二象限、第四象限．構造一個量：
Lxy＝[(x1－)(y1－)＋(x2－)(y2－)＋…＋(xn－)(yn－)]．
一般情形下，Lxy>0表明成對樣本數據正相關；Lxy<0表明成對樣本數據負相關．
問題2　不一定．因為Lxy的大小與數據的度量單位有關，所以不宜直接用它度量成對樣本數據相關程度的大小．
知識梳理
　
例1　解　＝＝3，
＝＝8，
＝，
＝，
(xi－)(yi－)＝21.
故樣本相關系數r＝≈0.98.
跟蹤訓練1　解　＝×(120＋108＋…＋99＋108)＝107.8，
＝×(84＋64＋…＋57＋71)＝68，
所以樣本相關系數為r＝≈0.751.
知識梳理
[－1,1]　強　弱
例2　(1)A　[由給出的四組成對樣本數據的散點圖可以看出，題圖1和題圖3是正相關，樣本相關系數大于0，題圖2和題圖4是負相關，樣本相關系數小于0，題圖1和題圖2的樣本點集中在一條直線附近，所以相關性更強，所以r1接近于1，r2接近于－1，由此可得r2(2)解　①畫出(x，y)的散點圖如圖所示．
②＝5，＝47.5，
＝120，＝9 900，iyi＝1 080，
故樣本相關系數r＝
＝≈0.982 7.
由樣本相關系數r≈0.982 7，可以推斷出生產原料耗費與銷售額這兩個變量正線性相關，且相關程度很強．
跟蹤訓練2　丁
解析　因為0.85>0.82>0.78>0.69，已知相關系數的絕對值越接近1，則兩個變量的線性相關性越強，所以能體現出a，b兩變量有更強的線性相關性的是丁同學的試驗結果．
例3　解　(1)畫出散點圖如圖所示．
(2)＝＝109，＝＝23.2，
r＝
＝
＝≈0.96，
由此可知，新房屋的銷售價格和房屋的大小這兩個變量正線性相關，且相關程度很強．
跟蹤訓練3　解　＝×(1＋2＋3＋…＋16)＝8.5，由樣本數據得的樣本相關系數為
r＝
≈≈－0.18.
由于<0.25，因此可以認為這一天生產的零件尺寸不隨生產過程的進行而系統地變大或變小．
隨堂演練
1．C　[因為r＝－0.690<0，所以y與x負線性相關．]
2．C　[因為r1＝0.837>0，r2＝－0.957<0，所以變量X與Y之間呈正相關關系，變量U與V之間呈負相關關系，因為|r1|<|r2|，所以X與Y之間的相關性弱于U與V之間的相關性．]
3．ACD　[因為樣本相關系數r的絕對值越接近1，線性相關程度越強，且r＞0時正相關，r＜0時負相關，故觀察各選項，易知B不符合，A，C，D均符合．]
4．0.849
解析　r＝，
設(yi－)2＝a，
則(xi－)(yi－)＝1.2a，
(xi－)2＝2a，
故r＝＝≈0.849.

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