資源簡介

人教A版高中數學選擇性必修三-8.3.2獨立性檢驗-導學案
學習目標　1.了解隨機變量χ2的意義.2.通過對典型案例分析，了解獨立性檢驗的基本思想和方法．
一、獨立性檢驗的理解
問題1　由2×2列聯表，如何判斷事件{X＝1}和{Y＝1}之間是否有關聯？
X Y 合計
Y＝0 Y＝1
X＝0 a b a＋b
X＝1 c d c＋d
合計 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d
問題2　假若分類變量X與Y沒有關聯，則X＝1與Y＝1、 X＝0與Y＝1、 X＝0與Y＝0、 X＝1與Y＝0有什么關系？
知識梳理
1．獨立性檢驗：利用χ2的取值推斷分類變量X和Y是否獨立的方法稱為χ2獨立性檢驗，讀作“________________”，簡稱________________．
2．χ2＝_________________，其中n＝________________.
例1　(1)第24屆冬季奧林匹克運動會于2022年在北京舉辦，為了解某城市居民對冰雪運動的關注情況，隨機抽取了該市100人進行調查統計，得到如下2×2列聯表：
關注冰雪運動 不關注冰雪運動 合計
男 45 10 55
女 25 20 45
合計 70 30 100
下列說法正確的是(　　)
參考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
附表：
α 0.100 0.050 0.010 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 10.828
A.依據小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，認為“關注冰雪運動與性別有關”
B．依據小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，認為“關注冰雪運動與性別無關”
C．在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認為“關注冰雪運動與性別無關”
D．在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為“關注冰雪運動與性別有關”
(2)調查中學生假期里玩手機的情況，可知某校200名男生中有120名假期里每天玩手機時間超過1 h,150名女生中有70名假期里每天玩手機時間超過1 h，在檢驗這些中學生假期里每天玩手機超過1 h是否與性別有關時，最有說服力的方法是(　　)
A．平均數 B．方差
C．回歸分析 D．獨立性檢驗
反思感悟　根據所給的觀測值，與所給的臨界值表中的數據進行比較，即可得出結論．
跟蹤訓練1　(1)(多選)某機構通過抽樣調查，利用2×2列聯表和χ2統計量研究患肺病是否與吸煙有關，計算得χ2＝3.305，經查對臨界值表知P(χ2≥2.706)≈0.10，P(χ2≥3.841)≈0.05，現給出四個結論，其中正確的是(　　)
A．因為χ2>2.706，故依據小概率值α＝0.1的獨立性檢驗，我們認為“患肺病與吸煙有關”
B．因為χ2<3.841，故依據小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，認為“患肺病與吸煙有關”
C．因為χ2>2.706，故依據小概率值α＝0.1的獨立性檢驗，我們認為“患肺病與吸煙無關”
D．因為χ2<3.841，故依據小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，認為“患肺病與吸煙無關”
(2)(多選)某研究所為了檢驗新開發的疫苗的預防作用，對1 000名注射了疫苗的人與另外
1 000名未注射疫苗的人的一年的健康記錄進行比較，并提出假設：這種疫苗不能起到預防該疾病的作用，并計算出P(χ2≥6.635)≈0.01，則下列說法不正確的是(　　)
A．這種疫苗能起到預防該疾病的作用的有效率為1%
B．若某人未使用該疫苗，則他在半年內有99%的可能性得該疾病
C．依據小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，認為這種疫苗能起到預防該疾病的作用
D．在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認為這種疫苗能起到預防該疾病的作用
二、有關“相關的檢驗”
例2　在某醫院，因為患心臟病而住院的600名男性病人中，有200人禿頂，而另外750名不是因為患心臟病而住院的男性病人中有150人禿頂．
(1)填寫下列禿頂與患心臟病列聯表：
患心臟病 患其他病 合計
禿頂
不禿頂
合計
據表中數據估計禿頂病患中患心臟病的概率P1和不禿頂病患中患心臟病的概率P2，并用兩個估計概率判斷禿頂與患心臟病是否有關；
(2)依據α＝0.001的獨立性檢驗，分析禿頂與患心臟病有關嗎？請說明理由．
注∶χ2＝.
α 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
反思感悟　用χ2進行“相關的檢驗”步驟
(1)零假設：即先假設兩變量間沒關系．
(2)計算χ2：套用χ2的公式求得χ2值．
(3)查臨界值：結合所給小概率值α查得相應的臨界值xα.
(4)下結論：比較χ2與xα的大小，并作出結論．
跟蹤訓練2　某校在兩個班進行教學方式的對比試驗，兩個月后進行了一次檢測，試驗班與對照班成績統計如下表所示(單位：人)：
80及80分以上 80分以下 合計
實驗班 35 15 50
對照班 20 m 50
合計 55 45 n
(1)求m，n的值；
(2)能否在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為“教學方式”與“成績”有關系？
參考公式：χ2＝.
附表：
α 0.010 0.005 0.001
xα 6.635 7.879 10.828
三、有關“無關的檢驗”
例3　某省進行高中新課程改革，為了解教師對新課程教學模式的使用情況，某教育機構對某學校的教師關于新課程教學模式的使用情況進行了問卷調查，共調查了50人，其中有老教師20人，青年教師30人．老教師對新課程教學模式贊同的有10人，不贊同的有10人；青年教師對新課程教學模式贊同的有24人，不贊同的有6人．
(1)根據以上數據建立一個2×2列聯表；
(2)試根據小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，分析對新課程教學模式的贊同情況與教師年齡是否有關系．
附表：
α 0.025 0.01 0.005
xα 5.024 6.635 7.879
反思感悟　運用獨立性檢驗的方法
(1)列出2×2列聯表，根據公式計算χ2.
(2)比較χ2與xα的大小作出結論．
跟蹤訓練3　學校舉行運動會，為了搞好接待工作，組委會招募了16名男志愿者和14名女志愿者，調查發現，男、女志愿者中分別有10人和6人喜愛運動，其余人不喜愛運動．
(1)根據以上數據完成以下2×2列聯表：
喜愛運動 不喜愛運動 合計
男 10 16
女 6 14
合計 30
(2)根據列聯表的獨立性檢驗，能否在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認為性別與喜愛運動有關？
附表：
α 0.10 0.05 0.010
xα 2.706 3.841 6.635
1．知識清單：
(1)2×2列聯表．
(2)獨立性檢驗、χ2公式．
2．方法歸納：數形結合．
3．常見誤區：對獨立性檢驗的原理不理解，導致不會用χ2分析問題．
1．在獨立性檢驗中，兩個分類變量“X與Y有關系”的可信度為99%，則隨機變量χ2的取值范圍是(　　)
A．[2.706,3.841) B．[3.841,6.635)
C．[6.635,7.879) D．[7.879,10.828)
2．對兩個分類變量A，B的下列說法中正確的個數為(　　)
①A與B無關，即A與B互不影響；
②A與B關系越密切，則χ2的值就越大；
③χ2的大小是判定A與B是否相關的唯一依據．
A．0 B．1 C．2 D．3
3．高二第二學期期中考試，按照甲、乙兩個班學生的數學成績優秀和及格統計人數后，得到如下列聯表：
優秀 及格 合計
甲班 11 34 45
乙班 8 37 45
合計 19 71 90
則χ2約為(　　)
A．0.600 B．0.828
C．2.712 D．6.004
4．下表是某屆某校本科志愿報名時，對其中304名學生進入高校時是否了解所學專業的調查表：
了解所學專業 不了解所學專業 合計
男生 63 117 180
女生 42 82 124
合計 105 199 304
根據表中數據，則下列說法正確的是________．(填序號)
①性別與了解所學專業有關；
②性別與了解所學專業無關；
③女生比男生更了解所學專業．
參考答案與詳細解析
問題1　假設H0表示{X＝1}和{Y＝1}沒有關系(通常稱H0為零假設)．
問題2　相互獨立．
知識梳理
1．卡方獨立性檢驗　獨立性檢驗
2.　a＋b＋c＋d
例1　(1)A　[依題意，χ2＝≈8.129>6.635＝x0.01，
所以依據小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，認為“關注冰雪運動與性別有關”，A正確，B不正確；
而8.129<10.828＝x0.001，在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為“關注冰雪運動與性別無關”，C，D不正確．]
(2)D　[分析已知條件，易得如下2×2列聯表：
男生 女生 合計
玩手機超過1 h 120 70 190
玩手機不超過1 h 80 80 160
合計 200 150 350
根據列聯表可得χ2，再與臨界值比較，檢驗可得這些中學生假期里每天玩手機超過1 h是否與性別有關的結論，故利用獨立性檢驗的方法最有說服力，故選D.]
跟蹤訓練1　(1)AD　[因為χ2＝3.305，且3.305>2.706，由臨界值表知，P≈0.10，
所以依據小概率值α＝0.1的獨立性檢驗，認為“患肺病與吸煙有關”，則A正確，C不正確；.
因為臨界值3.841>3.305，則依據小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，認為“患肺病與吸煙無關”，即B不正確，D正確．]
(2)AB　[由P(χ2≥6.635)≈0.01可知，C，D正確，A，B都不正確．]
例2　解　(1)
患心臟病 患其他病 合計
禿頂 200 150 350
不禿頂 400 600 1 000
合計 600 750 1 350
P1＝＝，P2＝＝.
由于P1遠大于P2，所以判斷禿頂與患心臟病有關．
(2)零假設為H0：禿頂與患心臟病無關．
由題可知
χ2＝＝≈30.86>10.828＝x0.001，
所以依據小概率值α＝0.001的獨立性檢驗，我們推斷H0不成立，即認為禿頂與患心臟病有關．
跟蹤訓練2　解　(1)由表得，m＝50－20＝30，n＝55＋45＝100，即m＝30，n＝100.
(2)零假設為H0：“教學方式”與“成績”無關．
由表得χ2＝≈9.091>7.879＝x0.005，我們推斷H0不成立，所以能在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為“教學方式”與“成績”有關系．
例3　解　(1)2×2列聯表如表所示：
教師年齡 對新課程教學模式 合計
贊同 不贊同
老教師 10 10 20
青年教師 24 6 30
合計 34 16 50
(2)零假設為H0：對新課程教學模式的贊同情況與教師年齡無關．由公式得
χ2＝≈4.963<6.635＝x0.01，
根據小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，沒有充分證據推斷H0不成立，因此可以以為H0成立，即認為對新課程教學模式的贊同情況與教師年齡無關．
跟蹤訓練3　解　(1)
喜愛運動 不喜愛運動 合計
男 10 6 16
女 6 8 14
合計 16 14 30
(2)零假設為H0：喜愛運動與性別無關，由已知數據可得
χ2＝≈1.157 5，因為1.157 5<2.706＝x0.1，根據小概率值α＝0.1的獨立性檢驗，沒有充分證據推斷H0不成立，因此可以以為H0成立，即認為性別與喜愛運動無關．
隨堂演練
1．C　[對照臨界值表可知選C.]
2．B　[①正確，A與B無關即A與B相互獨立；②不正確，χ2的值的大小只是用來檢驗A與B是否相互獨立；③不正確，例如借助三維柱形圖、二維條形圖等．故選B.]
3．A　[根據列聯表中的數據，可得
χ2＝≈0.600.]
4．②
解析　χ2＝≈0.041<2.706＝x0.1，所以性別與了解所學專業無關．

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