資源簡介

人教A版高中數學選擇性必修三-6.2.2第1課時-排列數公式-導學案
學習目標　1.能用計數原理推導排列數公式.2.能用排列數公式解決簡單的實際問題．
一、排列數公式
問題　怎樣推導從n個不同的元素中取出m(m，n∈N*，m≤n)個元素的排列數A？
知識梳理
1．排列數：把從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的________________________，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數，用符號________表示．
2．排列數公式：A＝________________＝(n，m∈N*，m≤n)．
3．全排列：把n個不同的元素全部取出的一個排列，叫做n個元素的一個全排列．
正整數1到n的連乘積，叫做n的階乘，用________表示，于是，n個元素的全排列數公式可以寫成________________________．
規定：0！＝1.
例1　(1)計算A.
(2)用排列數表示(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N*且n<55)．
反思感悟　排列數的計算方法
排列數的計算主要是利用排列數的乘積公式進行．應用時注意：連續正整數的積可以寫成某個排列數，其中最大的是排列元素的總個數，而正整數(因式)的個數是選取元素的個數，這是排列數公式的逆用．
跟蹤訓練1　(1)化簡：n(n＋1)(n＋2)(n＋3)·…·(n＋m)．
(2)若M＝A＋A＋A＋…＋A，則M的個位數字是(　　)
A．3 B．8 C．0 D．5
二、利用排列數公式求值、化簡與證明
例2　計算：
(1)；
(2)解方程：A＝140 A.
例3　求證：A－A＝mA.
反思感悟　排列數公式的階乘形式主要用于與排列數有關的證明、解方程和不等式等問題，具體應用時注意階乘的性質，提取公因式，可以簡化計算．
跟蹤訓練2　(1)不等式A<6A的解集為(　　)
A．[2,8] B．[2,6]
C．(7,12) D．{8}
(2)(多選)下列等式正確的是(　　)
A．(n＋1)A＝A
B.＝(n－2)!
C．A＝
D.A＝A
三、排列數公式的簡單應用
例4　某信號兵用紅、黃、藍3面旗從上到下掛在豎直的旗桿上表示信號，每次可以任意掛1面、2面或3面，并且不同的順序表示不同的信號，一共可以表示多少種不同的信號？
反思感悟　對于簡單的排列問題可直接代入排列數公式，也可以用樹狀圖法．情況較多的情形，可以進行分類后進行．
跟蹤訓練3　若一個三位數的十位數字比個位數字和百位數字都大，則稱這個數為“傘數”．現從2,3,4,5,6,9這六個數字中任取3個數，組成無重復數字的三位數，其中“傘數”有(　　)
A．120個 B．80個
C．40個 D．20個
1．知識清單：
(1)排列數、排列數公式．
(2)利用排列數公式化簡與證明．
(3)排列數公式的簡單應用．
2．方法歸納：直接法、優先法、間接法．
3．常見誤區：忽視A中“n，m∈N*”這個條件．
1．A等于(　　)
A．9×3
B．93
C．9×8×7
D．9×8×7×6×5×4×3
2．4×5×6×…×(n－1)×n等于(　　)
A．A B．A
C．n！－4! D．A
3．某高三畢業班有40人，同學之間兩兩彼此給對方僅寫一條畢業留言，那么全班共寫了________條畢業留言．(用數字作答)
4．從班委會的5名成員中選出3名分別擔任班級學習委員、文娛委員與體育委員，其中甲、乙二人不能擔任文娛委員，則不同的選法共有________種．(用數字作答)
參考答案與詳細解析
問題　我們把從n個不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N*)個元素的排列，看成從n個不同的球中取出m個球，放入排好的m個盒子中，每個盒子里放一個球，我們根據分步乘法計數原理排列這些球：
第1步，從全體n個球中任選一個放入第1個盒子，有n種方法；
第2步，從剩下的(n－1)個球中任選一個放入第2個盒子，有(n－1)種方法；
第3步，從剩下的(n－2)個球中任選一個放入第3個盒子，有(n－2)種方法；
…
第m步，從剩下的[n－(m－1)]個球中任選一個放入第m個盒子，有[n－(m－1)]種方法，如圖所示．
盒子 1 2 3 … m
方法數 n n－1 n－2 … n－(m－1)
因此，根據分步乘法計數原理，從n個不同的球中取出m個球的排列，共有n(n－1)(n－2)…[n－(m－1)]種方法．
知識梳理
1．所有不同排列的個數　A
2．n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)
3．n！　A＝n(n－1)(n－2)×…×2×1＝n!
例1　(1)解　A＝10×9×8＝720.
(2)解　∵55－n,56－n，…，69－n中的最大數為69－n，且共有(69－n)－(55－n)＋1＝15(個)數，
∴(55－n)(56－n)…(69－n)＝A.
跟蹤訓練1　(1)解　由排列數公式可知n(n＋1)(n＋2)(n＋3)·…·(n＋m)＝A.
(2)A　[∵當n≥5時，
A＝1×2×3×4×5×…×n＝120×…×n，
∴當n≥5時，A的個位數字為0，
又∵A＋A＋A＋A＝1＋2＋6＋24＝33，
∴M的個位數字為3.]
例2　解　(1)
＝
＝＝＝.
(2)因為所以x≥3，x∈N*.
由A＝140 A得
(2x＋1)2x(2x－1)(2x－2)＝140x(x－1)(x－2)．
化簡得4x2－35x＋69＝0，
解得x1＝3，x2＝(舍去)．所以原方程的解為x＝3.
例3　證明　∵A－A＝－
＝·
＝·
＝m·＝mA，
∴A－A＝mA.
跟蹤訓練2　(1)D　[由A<6A，得<6×，
化簡得x2－19x＋84<0，解得7又所以2由①②及x∈N*，得x＝8.]
(2)ABD　[對于A，(n＋1)A＝(n＋1)·＝＝＝A，正確；
對于B，＝
＝(n－2)！，正確；
對于C，A≠，錯誤；
對于D，A＝·＝＝A，正確．]
例4　解　分3類：第1類，用1面旗表示的信號有A種；
第2類，用2面旗表示的信號有A種；
第3類，用3面旗表示的信號有A種，
由分類加法計數原理，所求的信號種數是
A＋A＋A＝3＋3×2＋3×2×1＝15，
即一共可以表示15種不同的信號．
跟蹤訓練3　C　[由題意知，可按十位數字的取值進行分類：
第一類，十位數字取9，有A個；
第二類，十位數字取6，有A個；
第三類，十位數字取5，有A個；
第四類，十位數字取4，有A個．
所以“傘數”的個數為A＋A＋A＋A＝40.]
隨堂演練
1．C
2．D　[由題意知4×5×6×…×(n－1)×n＝n×(n－1)×…×6×5×4＝A.]
3．1 560
解析　根據題意，得A＝1 560，故全班共寫了1 560條畢業留言．
4．36
解析　文娛委員有3種選法，則安排學習委員、體育委員有A＝12(種)方法，由分步乘法計數原理知，共有3×12＝36(種)選法．人教A版高中數學選擇性必修三
6.2.2第2課時-排列的綜合問題-導學案
學習目標　1.掌握幾種有限制條件的排列.2.能應用排列數公式解決簡單的實際問題．
一、數字排列問題
例1　用0,1,2,3,4,5這六個數字：(最后運算結果請以數字作答)
(1)能組成多少個無重復數字的四位偶數？
(2)能組成多少個無重復數字且為5的倍數的四位數？
(3)能組成多少個無重復數字且比1 230大的四位數？
跟蹤訓練1　用1,2,3,4,5,6,7這7個數字排列組成一個無重復數字的七位數，要求在其偶數位上必須是偶數，奇數位上必須是奇數，則這樣的七位數有______個．
二、排隊問題
例2　從包括甲、乙兩名同學在內的7名同學中選出5名同學排成一列，求解下列問題．
(1)甲不在首位的排法有多少種？
(2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少種？
(3)甲與乙既不在首位也不在末位的排法有多少種？
(4)甲不在首位，同時乙不在末位的排法有多少種？
反思感悟
解決排列問題，常用的思考方法有直接法和間接法．
把特殊元素或特殊位置作為研究對象．
跟蹤訓練2　5名學生和1位老師站成一排照相，問老師不排在兩端的排法有多少種？
例3　3名男生，4名女生，這7個人站成一排，下列情況下，各有多少種不同的站法？
(1)男、女各站在一起；
(2)男生必須排在一起；
(3)男生不能排在一起；
(4)男生互不相鄰，且女生也互不相鄰．
反思感悟　處理元素“相鄰”“不相鄰”問題應遵循“先整體，后局部”的原則．元素相鄰問題，一般用“捆綁法”，先把相鄰的若干個元素“捆綁”為一個大元素與其余元素全排列，然后再松綁，將這若干個元素內部全排列．元素不相鄰問題，一般用“插空法”，先將不相鄰元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之間及兩端插入不相鄰元素．
跟蹤訓練3　(1)(多選)若3男3女排成一排，則下列說法錯誤的是(　　)
A．共計有720種不同的排法
B．男生甲排在兩端的共有120種排法
C．男生甲、乙相鄰的排法總數為120種
D．男女生相間排法總數為72種
(2)永定土樓，位于中國東南沿海的福建省龍巖市，是世界上獨一無二的神奇的山區民居建筑，是中國古建筑的一朵奇葩，并成功列入世界遺產名錄．它歷史悠久、風格獨特，規模宏大、結構精巧．土樓具體有圓形、方形、五角形、八角形、日字形、回字形、吊腳樓等類型．現有某大學建筑系學生要重點對這七種主要類型的土樓依次進行調查研究．要求調查順序中，圓形要排在第一個或最后一個，方形、五角形相鄰，則不同的排法共有(　　)
A．480種 B．240種
C．384種 D．1 440種
例4　將A，B，C，D，E這5個字母排成一列，要求A，B，C在排列中的順序為“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相鄰)，則有多少種不同的排列方法？
反思感悟　在有些排列問題中，某些元素的前后順序是確定的(不一定相鄰)．解決這類問題的基本方法有兩個：
(1)整體法，即若有(m＋n)個元素排成一列，其中m個元素之間的先后順序確定不變，將這(m＋n)個元素排成一列，有A種不同的排法；然后任取一個排列，固定其他n個元素的位置不動，把這m個元素交換順序，有A種排法，其中只有一個排列是我們需要的，因此共有種滿足條件的不同排法；
(2)插空法，即m個元素之間的先后順序確定不變，因此先排這m個元素，只有一種排法，然后把剩下的n個元素分類或分步插入由以上m個元素形成的空中．
跟蹤訓練4　某電視節目的主持人邀請年齡互不相同的5位嘉賓逐個出場亮相．
(1)其中有3位老者要按年齡從大到小的順序出場，出場順序有多少種？
(2)3位老者與2位年輕人都要分別按從小到大的順序出場，順序有多少種？
1．知識清單：
(1)有限制條件的排列問題．
(2)“相鄰”與“不相鄰”、“在”與“不在”、定序問題．
2．方法歸納：捆綁法、插空法、定序問題除法處理、間接法．
3．常見誤區：分類討論時，出現重復或遺漏，各種方法使用不當．
1．某天上午要排語文、數學、體育、計算機四節課，其中體育不排在第一節，那么這天上午課程表的不同排法共有(　　)
A．6種 B．9種
C．18種 D．24種
2．6名同學排成一排，其中甲、乙必須排在一起的不同排法共有(　　)
A．720種 B．360種
C．240種 D．120種
3．3位老師和3名學生站成一排，要求任何學生都不相鄰，則不同的排法種數為(　　)
A．144 B．72 C．36 D．12
用1,2,3,4,5,6,7組成沒有重復數字的七位數，若1,3,5,7的順序一定，則有________個七位數符合條件．
參考答案與詳細解析
例1　解　(1)符合要求的四位偶數可分為三類：
第一類：0在個位時有A個，
第二類：2在個位時，首位從1,3,4,5中選定1個，有A種，十位和百位從余下的數字中選，有A種，于是有AA個，
第三類：4在個位時，與第二類同理，也有AA個，
由分類加法計數原理知，共有四位偶數：A＋AA·2＝156(個)．
(2)符合要求的數可分為兩類：
第一類：個位上的數字是0的四位數有A個，
第二類：個位上的數字是5的四位數有AA個，
故滿足條件的四位數的個數共有
A＋AA＝108(個)．
(3)符合要求的比1 230大的四位數可分為四類：
第一類：形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共AA個；
第二類：形如13□□，14□□，15□□，共有AA個；
第三類：形如124□，125□，共有AA個；
第四類：形如123□，共有A個，
由分類加法計數原理知，無重復數字且比1 230大的四位數共有：
AA＋AA＋AA＋A＝284(個)．
跟蹤訓練1　144
解析　先排奇數位有A種，再排偶數位有A種，故共有AA＝144(個)．
例2　解　(1)方法一　把元素作為研究對象．
第一類，不含甲，此時只需從甲以外的其他6名同學中選出5名放在5個位置上，有A種排法；
第二類，含有甲，甲不在首位，先從除首位以外的其他4個位置中選出1個放甲，再從甲以外的6名同學中選出4名排在另外4個位置上，有A種排法．根據分步乘法計數原理，有4×A種排法．
由分類加法計數原理知，共有A＋4×A＝2 160(種)排法．
方法二　把位置作為研究對象．
第一步，從甲以外的6名同學中選1名排在首位，有A種方法；
第二步，從占據首位以外的6名同學中選4名排在除首位以外的其他4個位置上，有A種方法．
由分步乘法計數原理知，共有AA＝2 160(種)排法．
方法三　(間接法)先不考慮限制條件，從7人中選出5人進行排列，然后把不滿足條件的排列去掉．
不考慮甲不在首位的要求，總的可能情況有A種，甲在首位的情況有A種，
所以符合要求的排法有A－A＝2 160(種)．
(2)把位置作為研究對象．
第一步，從甲以外的6名同學中選2名排在首末2個位置上，有A種方法；
第二步，從剩下的5名同學中選3名排在中間3個位置上，有A種方法．
根據分步乘法計數原理，共有AA＝1 800(種)方法．
(3)把位置作為研究對象．
第一步，從甲、乙以外的5名同學中選2名排在首末2個位置，有A種方法；
第二步，從剩下的5名同學中選出3名排在中間3個位置上，有A種方法．
根據分步乘法計數原理，共有AA＝1 200(種)方法．
(4)間接法．
總的可能情況有A種，減去甲在首位的A種排法，再減去乙在末位的A種排法，注意到甲在首位，同時乙在末位的排法數被減去了兩次，所以還需補回一次A種排法，所以共有A－2A＋A＝1 860(種)排法．
跟蹤訓練2　解　方法一　(先滿足特殊位置)由于排頭和排尾兩個位置有限制要求，因此先從5名學生中選出2名站在排頭和排尾，有A種方法，余下的四人可任意站，有A種方法，
所以符合要求的排法有AA＝480(種)．
方法二　(先滿足特殊元素)老師既然不能排在兩端，于是可以從中間四個位置中任選一個，有A種方法.5名學生在余下的五個位置中任意排列，有A種排法．因此符合題意的排法有AA＝480(種)．
方法三　(間接法)由于六個人任意排有A種排法，但實際必須減去老師排在排頭的A種方法和排在排尾的A種方法，因而有A－2A＝480(種)．
例3　解　(1)(相鄰問題捆綁法)男生必須站在一起，即把3名男生進行全排列，有A種排法，女生必須站一起，即把4名女生進行全排列，有A種排法，全體男生和全體女生各看作一個元素全排列有A種排法，由分步乘法計數原理知，共有A·A·A＝288(種)排法．
(2)(捆綁法)把所有男生看作一個元素，與4名女生組成5個元素全排列，
故有A·A＝720(種)不同的排法．
(3)(不相鄰問題插空法)先排女生有A種排法，把3名男生安排在4名女生隔成的五個空中，有A種排法，故有A·A＝1 440(種)不同的排法．
(4)先排男生有A種排法，讓女生插空，有A·A＝144(種)不同的排法．
跟蹤訓練3　(1)BC　[3男3女排成一排共計有A＝720(種)；男生甲排在兩端的共有2A＝240(種)；男生甲、乙相鄰的排法總數為AA＝240(種)；男女生相間排法總數2AA＝72(種)．]
(2)A　[當圓形排在第一個時，因為方形、五角形相鄰，
所以捆在一起與其他圖形全排列，且方形、五角形內部排列，有AA＝240(種)不同的排法，
同理當圓形排在最后一個時，有AA＝240(種)不同的排法．
綜上，圓形要排在第一個或最后一個，方形、五角形相鄰，則共有480種不同的排法．]
例4　解　5個不同元素中部分元素A，B，C的排列順序已定，這種問題有以下兩種常用的解法．
方法一　(整體法)5個元素無約束條件的全排列有A種，由于字母A，B，C的排列順序為“A，B，C”或“C，B，A”，因此在上述的全排列中恰好符合“A，B，C”或“C，B，A”排列方式的排列有×2＝40(種)．
方法二　(插空法)若字母A，B，C的排列順序為“A，B，C”，將字母D，E插入，這時形成的4個空中，分兩類：
第一類，若字母D，E相鄰，則有A·A種排法；
第二類，若字母D，E不相鄰，則有A種排法．
所以有A·A＋A＝20(種)不同的排列方法．
同理，若字母A，B，C的排列順序為“C，B，A”，也有20種不同的排列方法．
因此滿足條件的排列有20＋20＝40(種)．
跟蹤訓練4　解　(1)5位嘉賓無約束條件的全排列有A種，由于3位老者的排列順序已定，因此滿足3位老者按年齡從大到小的順序出場，出場順序有＝20(種)．
(2)設符合條件的排法共有x種，
用(1)的方法可得x·A·A＝A，
解得x＝＝10.
隨堂演練
1．C　[先排體育有A種，再排其他的三科有A種，共有AA＝18(種)．]
2．C　[將甲、乙兩人視為1人與其余4人排列，有A種排列方法，甲、乙兩人可互換位置，所以總的排法有A·A＝240(種)．]
3．A　[先將老師排好，有A種排法，形成4個空，將3名學生插入4個空中，有A種排法，故共有AA＝144(種)排法．]
4．210
解析　若1,3,5,7的順序不定，
則4個數字有A＝24(種)排法，
故1,3,5,7的順序一定的排法只占全排列種數的.故有×A＝210(個)七位數符合條件．

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