資源簡介

人教A版高中數學選擇性必修三-6.2.3第2課時-組合數的性質-導學案
學習目標　1.掌握組合數公式和組合數的性質.2.能運用組合數的性質進行計算.3.會用組合數公式解決一些簡單的組合問題．
一、組合數的性質1
問題1　假如我們年級將在月底進行一場籃球比賽．包括體育委員在內，班上籃球運動員有8人，按照籃球比賽規則，比賽時一個球隊的上場隊員是5人．我們可以形成多少種隊員上場方案？我們又可以形成多少種隊員不上場方案？這兩種方案有什么關系？
知識梳理
組合數的性質1：C＝__________.
例1　(1)計算：C＝________，C·C＝__________.
(2)(多選)若C＝C(n∈N*)，則n等于(　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
反思感悟　性質“C＝C”的意義及作用
跟蹤訓練1　(1)若C＝C，則C等于(　　)
A．1 B．10 C．11 D．55
(2)若C＝C，則C＝____________.
二、組合數的性質2
問題2　從問題1中的這8名籃球運動員中選擇5人的時候，可以按照體育委員是否入選進行分類：當體育委員入選時，有C種選法；當體育委員未入選時，有C種選法．這與直接選5人參加的選法一樣嗎？你能得出什么結論？
知識梳理
組合數的性質2：C＝C＋C.
例2　(1)已知m≥4，C－C＋C等于(　　)
A．1 B．m C．m＋1 D．0
(2)C＋C＋C＋C＋…＋C等于(　　)
A．C B．C
C．C D．C
反思感悟　性質2常用于有關組合數式子的化簡或組合數恒等式的證明．應用時要注意公式的正用、逆用和變形用．正用是將一個組合數拆成兩個，逆用則是“合二為一”，使用變形C＝C－C，為某些項前后抵消提供了方便，在解題中要注意靈活應用．
跟蹤訓練2　(1)若C－C＝C，則n等于(　　)
A．12 B．13 C．14 D．15
(2)計算C＋C＋C＋C＋C＝________.
三、組合數的綜合應用
例3　在抗擊新冠肺炎疫情的戰役中，某省積極組織選派精干醫療工作者支援救援工作．某醫院有內科醫生10名，外科醫生4名，現選派4名參加援助醫療隊，其中：
(1)某內科醫生甲與某外科醫生乙必須參加，共有多少種不同選法？
(2)隊中至少有一名內科醫生和一名外科醫生，有幾種選法？
反思感悟　求與兩個基本原理的應用有關的問題，在分類與分步時，一定要注意有無重復和遺漏．
跟蹤訓練3　某市工商局對35種商品進行抽樣檢查，鑒定結果有15種假貨，現從35種商品中選取3種．
(1)恰有2種假貨在內的不同取法有多少種？
(2)至少有2種假貨在內的不同取法有多少種？
(3)至多有2種假貨在內的不同取法有多少種？
例4　已知平面α∥平面β，在平面α內有4個點，在平面β內有6個點，且平面α、平面β內的任意三點不共線．
(1)過這10個點中的3點作一平面，最多可作多少個不同的平面？
(2)以這些點為頂點，最多可作多少個三棱錐？
(3)上述三棱錐中最多可以有多少個不同的體積？
反思感悟　解與幾何有關的組合應用題的策略
(1)解決幾何圖形中的組合問題，首先應注意運用處理組合問題的常規方法分析解決問題，其次要注意從不同類型的幾何問題中抽象出組合問題，尋找一個組合的模型加以處理．
(2)在處理幾何問題中的組合應用問題時，應先明確幾何中的點、線、面及構造模型，明確平面圖形和立體圖形中的點、線、面之間的關系，再將幾何問題抽象成組合問題來解決．
跟蹤訓練4　在平面直角坐標系Oxy上，平行直線x＝n(n＝0,1,2，…，5)與平行直線y＝n(n＝0,1,2，…，5)組成的圖形中，矩形共有(　　)
A．25個 B．36個
C．100個 D．225個
1．知識清單：
(1)組合數的兩個性質及性質的理解．
(2)組合數在實際問題中的應用．
2．方法歸納：分類討論、間接法．
3．常見誤區：不注意組合數中m與n的限制條件；計算中不能構造組合數性質．
1．若C－C＝C(n∈N*)，則n等于(　　)
A．11 B．12
C．13 D．14
2．把5名同學分到甲、乙、丙3個小組，若甲組至少兩人，乙、丙組至少各一人，則不同的分配方案有(　　)
A．80種 B．120種
C．140種 D．50種
3．C＋C＋C＋…＋C＝________________.
4.如圖，∠MON的邊OM上有四個點A1，A2，A3，A4，ON上有三個點B1，B2，B3，則以O，A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3中三點為頂點的三角形的個數為(　　)
A．30 B．42
C．54 D．56
參考答案與詳細解析
問題1　上場的方案有C，不上場的方案有C；C＝C＝56.
知識梳理
C
例1　(1)2 023　
解析　C＝C＝2 023，C·C＝C·C＝.
(2)BD　[由題意得，2n－3＝n＋2或2n－3＋n＋2＝20，即n＝5或7.]
跟蹤訓練1　(1)C　[由C＝C，得n＝6＋5＝11，
C＝C＝C＝11.]
(2)28
解析　由C＝C，
得3n＋6＝4n－2或3n＋6＋4n－2＝18，
解得n＝2或n＝8(舍去)，
故C＝28.
問題2　一樣，C＝C＋C.
例2　(1)D　[C－C＋C＝C＋C－C＝C－C＝0.]
(2)D　[原式＝C＋C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝…＝C＋C＝C＝C.]
跟蹤訓練2　(1)C　[C＝C＋C＝C，∴n＋1＝7＋8，
n＝14.]
(2)35
解析　C＋C＋C＋C＋C＝C＋C＋C＋C＋C
＝C＋C＋C＋C＝C＋C＋C＝C＋C
＝C＝＝35.
例3　解　(1)只需從其他12人中選2人即可，共有C＝66(種)．
(2)方法一(直接法)　至少有一名內科醫生和一名外科醫生的選法可分三類：
一內三外；二內二外；三內一外，
所以共有CC＋CC＋CC＝790(種)．
方法二(間接法)　由總數中減去四名都是內科醫生和四名都是外科醫生的選法種數，得C－(C＋C)＝790(種)．
跟蹤訓練3　解　(1)從20種真貨中選取1件，從15種假貨中選取2件，有CC＝2 100(種)，
所以恰有2種假貨在內的不同取法有2 100種．
(2)選取2件假貨有CC種，選取3件假貨有C種，共有選取方法CC＋C＝2 555(種)．
(3)選取3件的種數有C，因此有選取方法
C－C＝6 090(種)．所以至多有2種假貨在內的不同的取法有6 090種．
例4　解　(1)所作出的平面有三類：
①α內1點，β內2點確定的平面，有C·C個．
②α內2點，β內1點確定的平面，有C·C個．
③α，β本身，有2個．
故最多可作C·C＋C·C＋2＝98(個)不同的平面．
(2)所作的三棱錐有三類：
①α內1點，β內3點確定的三棱錐，有C·C個．
②α內2點，β內2點確定的三棱錐，有C·C個．
③α內3點，β內1點確定的三棱錐，有C·C個．
∴最多可作C·C＋C·C＋C·C＝194(個)三棱錐．
(3)∵在等底面積、等高的情況下，三棱錐的體積才能相等．
∴最多可以有C＋C＋C·C＝114(個)不同的體積．
跟蹤訓練4　D　[從垂直于x軸的6條直線中任取2條，從垂直于y軸的6條直線中任取2條，四條直線相交成一個矩形，所以矩形總數為C×C＝15×15＝225.]
隨堂演練
1．B　[根據題意，C－C＝C變形可得，C＝C＋C，由組合性質可得，C＋C＝C，即C＝C，則可得到n＋1＝6＋7，解得n＝12.]
2．A　[當甲組中有3人，乙、丙組中各有1人時，有CC＝20(種)不同的分配方案；
當甲組中有2人，乙組中也有2人，丙組中只有1人時，有CC＝30(種)不同的分配方案；
當甲組中有2人，乙組中有1人，丙組中有2人時，有CC＝30(種)不同的分配方案．
故共有20＋30＋30＝80(種)不同的分配方案．]
3．7 315
解析　因為C＝C，
所以C＋C＋C＋…＋C＝(C＋C)＋C＋…＋C＝(C＋C)＋C＋…＋C＝…＝C＝C＝7 315.
4．B　[利用間接法，先在8個點中任取3個點，再減去三點共線的情況，所以符合條件的三角形的個數為C－C－C＝42.]人教A版高中數學選擇性必修三
6.2.3第1課時-組合與組合數-導學案
學習目標　1.理解組合的定義，正確認識組合與排列的區別與聯系.2.會用組合知識解決一些簡單的組合問題．
一、組合概念的理解
知識梳理
組合：一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素____________，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合．
例1　(1)下列四個問題中，屬于組合問題的是(　　)
A．從3個不同小球中，取出2個排成一列
B．老師在排座次時將甲、乙兩位同學安排為同桌
C．在電視節目中，主持人從100位幸運觀眾中選出2名幸運之星
D．將3張不同的電影票分給10人中的3人，每人1張
(2)判斷下列問題是組合問題還是排列問題：
①a，b，c，d四支足球隊之間進行單循環比賽，共需比賽多少場？
②a，b，c，d四支足球隊爭奪冠、亞軍，有多少種不同的結果？
③從全班40人中選出3人分別擔任班長、副班長、學習委員三個職務，有多少種不同的選法？
④從全班40人中選出3人參加某項活動，有多少種不同的選法？
反思感悟　排列、組合辨析切入點
(1)組合的特點是只選不排，即組合只是從n個不同的元素中取出m(m≤n)個不同的元素即可．
(2)只要兩個組合中的元素完全相同，不管順序如何，這兩個組合就是相同的組合．
(3)判斷組合與排列的依據是看是否與順序有關，與順序有關的是排列問題，與順序無關的是組合問題．
跟蹤訓練1　判斷下列問題是組合問題還是排列問題：
(1)某鐵路線上有4個車站，則這條鐵路線上共需準備多少種車票？
(2)把5本不同的書分給5個學生，每人一本；
(3)從7本不同的書中取出5本給某個學生．
二、利用組合數公式化簡、求值與證明
知識梳理
(1)組合數：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的__________________________，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數，用符號________表示．
(2)組合數公式：C＝＝______________或C＝______________(n，m∈N*，且m≤n)．
(3)規定：C＝1.
例2　求值：
(1)3C－2C；
(2)已知－＝，求C.
例3　證明：C＝C.
反思感悟　(1)兩個組合數公式在使用中的用途有所區別．
(2)在解有關組合數的方程或不等式時，必須注意隱含條件，即C中的n為正整數，m為自然數，且n≥m.因此求出方程或不等式的解后，要進行檢驗，將不符合的解舍去．
跟蹤訓練2　(1)計算：C－C·A；
(2)證明：mC＝nC.
三、簡單的組合問題
例4　一位教練的足球隊共有17名初級學員，他們中以前沒有一人參加過比賽．按照足球比賽規則，比賽時一個足球隊的上場隊員是11人．問：
(1)這位教練從這17名學員中可以形成多少種學員上場方案？
(2)如果在選出11名上場隊員時，還要確定其中的守門員，那么教練員有多少種方式做這件事情？
反思感悟　解簡單的組合應用題時，首先要判斷它是不是組合問題，組合問題與排列問題的根本區別在于排列問題與取出元素的順序有關，而組合問題與取出元素的順序無關．其次要注意兩個基本原理的運用，即分類與分步的靈活運用，在分類與分步時，一定要注意有無重復和遺漏．
跟蹤訓練3　一個口袋內裝有7個白球和1個黑球．
(1)從口袋內取出3個球，共有多少種取法？
(2)從口袋內取出3個球，使其中含有1個黑球，有多少種取法？
(3)從口袋內取出3個球，使其中不含黑球，有多少種取法？
1．知識清單：
(1)組合與組合數的定義．
(2)排列與組合的區別與聯系．
(3)組合數的計算與證明．
2．方法歸納：公式法．
3．常見誤區：分不清“排列”還是“組合”．
1．把三張游園票分給10個人中的3人，分法有(　　)
A．A種 B．C種
C．CA種 D．30種
2．從5名同學中推選4人去參加一個會議，則不同的推選方法種數是(　　)
A．10 B．5 C．4 D．1
3．(多選)使不等式C≥C(n∈N*)成立的n的取值可以是(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
已知a，b，c，d這四個元素，則每次取出2個元素的所有組合為________________________．
參考答案與詳細解析
知識梳理
作為一組
例1　(1)C　[A，B，D與順序有關，是排列問題，而C與順序無關，是組合問題，故選C.]
(2)解　①單循環比賽要求兩支球隊之間只打一場比賽，沒有順序，是組合問題．
②冠、亞軍是有順序的，是排列問題．
③3人分別擔任三個不同職務，有順序，是排列問題．
④3人參加某項活動，沒有順序，是組合問題．
跟蹤訓練1　解　(1)因為一種火車票與起點、終點順序有關，如甲→乙和乙→甲的車票是不同的，所以它是排列問題．
(2)由于書不同，每人每次拿到的書也不同，有順序之分，因此它是排列問題．
(3)從7本不同的書中，取出5本給某個學生，在每種取法中取出的5本并不考慮書的順序，故它是組合問題．
知識梳理
(1)所有不同組合的個數　C
(2)　
例2　解　(1)3C－2C＝3×－2×＝148.
(2)由－＝得，
－＝，
∴1－＝，即n2－23n＋42＝0，
解得n＝2或n＝21，又0≤n≤5，
∴n＝2，∴C＝C＝28.
例3　證明　右邊＝C
＝·＝＝C＝左邊．所以原式成立．
跟蹤訓練2　(1)解　原式＝C－A＝－7×6×5＝210－210＝0.
(2)證明　mC＝m·＝
＝n·＝nC.
例4　解　(1)由于上場學員沒有角色差異，所以可以形成的學員上場方案種數為C＝12 376.
(2)教練員可以分兩步完成這件事情：
第1步，從17名學員中選出11人組成上場小組，共有C種選法；
第2步，從選出的11人中選出1名守門員，共有C種選法．
所以教練員做這件事情的方式種數為C×C＝136 136.
跟蹤訓練3　解　(1)從口袋內的8個球中取出3個球，
取法種數是C＝＝＝56.
(2)從口袋內取出3個球有1個是黑球，于是還要從7個白球中再取出2個，取法種數是C＝＝＝21.
(3)由于所取出的3個球中不含黑球，也就是要從7個白球中取出3個球，取法種數是C＝＝＝35.
隨堂演練
1．B　[三張票沒區別，從10人中選3人即可，即C.]
2．B　[方法一　組合問題，可從對立面考慮，選出一人不參加會議即可，故有5種方法．
方法二　由題意可知，推選方法種數為C＝5.]
3．ABC　[在C中，n∈N*，且n≥2，在C中，n∈N*，n≥3，即有n∈N*，n≥3，
因為C≥C，則有≥，即n－2≤3，解得n≤5，因此有3≤n≤5，n∈N*，
所以n的取值可以是3或4或5.]
4．ab，ac，ad，bc，bd，cd
解析　可按a→b→c→d順序寫出，即
所以所有組合為ab，ac，ad，bc，bd，cd.人教A版高中數學選擇性必修三
6.2.3第3課時-排列、組合的綜合應用-導學案
學習目標　1.掌握具有限制條件的排列、組合問題的解決方法.2.理解排列、組合中的多面手問題、分組分配等問題．
一、有限制條件的排列、組合問題
例1　課外活動小組共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名隊長，現從中選5人主持某項活動，依下列條件各有多少種選法？
(1)至少有一名隊長當選；
(2)至多有兩名女生當選；
(3)既要有隊長，又要有女生當選．
反思感悟　有限制條件的抽(選)取問題，主要有兩類
(1)“含”與“不含”問題，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步計數．
(2)“至多”“至少”問題，其解法常有兩種解決思路：一是直接分類法，但要注意分類要不重不漏；二是間接法，注意找準對立面，確保不重不漏．
跟蹤訓練1　(1)某食堂每天中午準備4種不同的葷菜，7種不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：①任選兩種葷菜、兩種蔬菜和白米飯；②任選一種葷菜、兩種蔬菜和蛋炒飯．則每天午餐不同的搭配方法共有(　　)
A．210種 B．420種
C．56種 D．22種
(2)設集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|xi∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5}，那么集合A中滿足條件“1≤x1＋x2＋x3＋x4＋x5≤3”的元素個數為______．
二、多面手問題
例2　某外語組有9人，每人至少會英語和日語中的一門，其中7人會英語，3人會日語，從中選出會英語和日語的各一人到邊遠地區支教，有多少種不同的選法？
反思感悟　解決多面手問題時，依據多面手參加的人數和從事的工作進行分類，將問題細化為較小的問題后再處理．
跟蹤訓練2　某車間有11名工人，其中5名鉗工，4名車工，另外2名既能當車工又能當鉗工，現在要從這11名工人中選4名鉗工，4名車工修理一臺機床，則共有多少種不同的選法？
三、分組、分配問題
問題　將甲、乙兩名同學分成兩組，有多少種分法？將甲、乙兩名同學分成兩組，分別去參加上午、下午的活動，有多少種分法？
例3　6本不同的書，分為3組，在下列條件下各有多少種不同的分配方法？
(1)每組2本(平均分組)；
(2)一組1本，一組2本，一組3本(不平均分組)；
(3)一組4本，另外兩組各1本(局部平均分組)．
反思感悟　“分組”與“分配”問題的解法
(1)分組問題屬于“組合”問題，常見的分組問題有三種：
①完全均勻分組，每組的元素個數均相等，均勻分成n組，最后必須除以n！；
②部分均勻分組，應注意不要重復，有n組均勻，最后必須除以n！；
③完全非均勻分組，這種分組不考慮重復現象．
(2)分配問題屬于“排列”問題，分配問題可以按要求逐個分配，也可以分組后再分配．
例4　將6個相同的小球放入4個編號為1,2,3,4的盒子，求下列方法的種數．
(1)每個盒子都不空；
(2)恰有一個空盒子．
反思感悟　相同元素分配問題的處理策略
(1)隔板法：如果將放有小球的盒子緊挨著成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相鄰兩塊隔板形成一個“盒”．每一種插入隔板的方法對應著小球放入盒子的一種方法，此方法稱之為隔板法．隔板法專門解決相同元素的分配問題．
(2)將n個相同的元素分給m個不同的對象(n≥m)，有C種方法．可描述為(n－1)個空中插入(m－1)塊隔板．
跟蹤訓練3　(1)某社區服務站將5位志愿者分成3組，其中兩組各2人，另一組1人，分別去三個不同的社區宣傳腎臟日的主題：“盡快行動，盡快預防”，則不同的分配方案有________種(用數字作答)．
(2)將12枝相同顏色的鮮花放入編號為1,2,3,4的花瓶中，要求每個花瓶中的鮮花的數量不小于其編號數，則不同的放法種數為________．
1．知識清單：
(1)有限制條件的排列、組合問題．
(2)多面手問題．
(3)分組、分配問題．
2．方法歸納：分類討論、插空法、隔板法、均分法．
3．常見誤區：分類不當；平均分組理解不到位．
1．登山運動員10人，平均分為兩組，其中熟悉道路的有4人，每組都需要2人，那么不同的分配方法種數是(　　)
A．30 B．60 C．120 D．240
2．空間中有10個點，其中有5個點在同一個平面內，其余點無三點共線，無四點共面，則以這些點為頂點，共可構成四面體的個數為(　　)
A．205 B．110 C．204 D．200
3．某大廈一層有A，B，C，D四部電梯，現有3人在一層乘坐電梯上樓，其中恰有2人乘坐同一部電梯，則不同的乘坐方式有______種．(用數字作答)
4．某校從8名教師中選派4名去某個偏遠地區支教，其中甲和乙不能都去，則不同的選派方案共有________種(用數字作答)．
參考答案與詳細解析
例1　解　(1)C－C＝825(種)．
(2)至多有2名女生當選含有三類：
有2名女生當選；只有1名女生當選；沒有女生當選，
所以共有CC＋CC＋C＝966(種)選法．
(3)分兩類：
第一類：女隊長當選，有C＝495(種)選法；
第二類：女隊長沒當選，有CC＋CC＋CC＋C＝295(種)選法，
所以共有495＋295＝790(種)選法．
跟蹤訓練1　(1)A　[由分類加法計數原理知，兩類午餐的搭配方法之和即為所求，所以每天午餐的不同搭配方法共有CC＋CC＝210(種)．]
(2)90
解析　集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|xi∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5}，
∵1≤x1＋x2＋x3＋x4＋x5≤3，
∴1＋0＋0＋0＋0＝1，
1＋1－1＋0＋0＝1，
1＋1＋1－1－1＝1，
1＋1＋0＋0＋0＝2，
1＋1＋1－1＋0＝2，
1＋1＋1＋0＋0＝3，
1＋1＋1＋1－1＝3，
當和為1時，有C＋CC＋C＝45(個)，
當和為2時，有C＋CC＝30(個)，
當和為3時，有C＋C＝15(個)，
根據分類加法計數原理可得，共有45＋30＋15＝90(個)．
例2　解　由題意知，有1人既會英語又會日語，6人只會英語，2人只會日語．
方法一　分兩類．
第一類：從只會英語的6人中選1人教英語，有6種選法，則教日語的有2＋1＝3(種)選法．此時共有6×3＝18(種)選法．
第二類：從不只會英語的1人中選1人教英語，有1種選法，則選會日語的有2種選法，此時有1×2＝2(種)選法．
所以由分類加法計數原理知，共有18＋2＝20(種)選法．
方法二　設既會英語又會日語的人為甲，則甲有入選、不入選兩類情形，入選后又要分兩種：(1)教英語；(2)教日語．
第一類：甲入選．
(1)甲教英語，再從只會日語的2人中選1人，由分步乘法計數原理知，有1×2＝2(種)選法；
(2)甲教日語，再從只會英語的6人中選1人，由分步乘法計數原理知，有1×6＝6(種)選法．
故甲入選的不同選法共有2＋6＝8(種)．
第二類：甲不入選，可分兩步：
第一步，從只會英語的6人中選1人，有6種選法；第二步，從只會日語的2人中選1人，有2種選法．由分步乘法計數原理知，有6×2＝12(種)不同的選法．
綜上，共有8＋12＝20(種)不同的選法．
跟蹤訓練2　解　分三類：第一類，選出的4名鉗工中無“多面手”，
此時選法有CC＝75(種)；
第二類，選出的4名鉗工中有1名“多面手”，
此時選法為CCC＝100(種)；
第三類，選出的4名鉗工中有2名“多面手”，
此時選法為CCC＝10(種)．
由分類加法計數原理得，共有75＋100＋10＝185(種)不同的選法．
問題　1種，2種．
例3　解　(1)每組2本，均分為3組的分組種數為＝＝15.
(2)一組1本，一組2本，一組3本的分組種數為CCC＝20×3＝60.
(3)一組4本，另外兩組各1本的分組種數為＝＝15.
例4　解　(1)先把6個相同的小球排成一行，然后在小球之間5個空隙中任選3個空隙各插一塊隔板，故共有C＝10(種)放法．
(2)恰有一個空盒子，第一步先選出一個盒子，有C種選法，第二步在小球之間5個空隙中任選2個空隙各插一塊隔板，由分步乘法計數原理得，共有C·C＝40(種)放法．
跟蹤訓練3　(1)90
解析　·A＝90(種)．
(2)10
解析　先給每個花瓶放入數量與其編號數相同的鮮花，則還剩2枝鮮花．這2枝鮮花可以放在1個或2個花瓶中，
所以不同的放法共有C＋C＝10(種)．
隨堂演練
1．B　[先將4個熟悉道路的人平均分成兩組，有種，再將余下的6人平均分成兩組，有種，然后這四個組自由搭配還有A種，故最終分配方法有＝60(種)．]
2．A　[方法一　可以按從共面的5個點中取0個、1個、2個、3個進行分類，則可構成四面體的個數為CC＋CC＋CC＋CC＝205.
方法二　從10個點中任取4個點的方法數中去掉4個點全部取自共面的5個點的情況，得到所有構成四面體的個數為C－C＝205.]
3．36
解析　由題意得，不同的乘坐方式有CCA＝36(種)．
4．55
解析　由于“甲和乙不能都去”，故要分三類完成：
第一類，甲去乙不去，有C種選派方案；
第二類，乙去甲不去，有C種選派方案；
第三類，甲、乙都不去，有C種選派方案．
故共有C＋C＋C＝55(種)不同的選派方案．

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