資源簡介

人教A版高中數學選擇性必修三
6.3.2第1課時-二項式系數的性質-導學案
學習目標　1.理解二項式系數的性質并靈活運用.2.掌握“賦值法”并會靈活應用．
一、楊輝三角
問題1　根據二項式定理寫出(a＋b)n(n＝1,2,3,4,5,6)的展開式的二項式系數．可以寫成如下形式，則第7行的數字分別是多少？
知識梳理
(1)在同一行中，每行兩端都是1，與這兩個1等距離的二項式系數________；
(2)在相鄰的兩行中，除1以外的每一個數都等于它“肩上”的兩個數________，即C＝________________.
例1　(1)觀察圖中的數所成的規律，則a所表示的數是(　　)
A．8 B．6 C．4 D．2
(2)已知(a＋b)2n的展開式的第4項與第8項的二項式系數相等，則(2x－1)n展開式中x3的系數為(　　)
A．80 B．40
C．－40 D．－80
反思感悟　解決與楊輝三角有關的問題的一般思路
(1)觀察：對題目要橫看、豎看、隔行看、連續看，多角度觀察．
(2)找規律：通過觀察找出每一行的數之間，行與行之間的數據的規律．
(3)將數據間的這種聯系用數學式表達出來，使問題得解．
跟蹤訓練1　(1)在(a＋b)n的二項展開式中，與第k項的二項式系數相同的項是(　　)
A．第n－k項 B．第n－k－1項
C．第n－k＋1項 D．第n－k＋2項
(2)如圖是與楊輝三角有類似性質的三角形數壘，a，b是某行的前兩個數，當a＝7時，b等于(　　)
A．20 B．21 C．22 D．23
二、二項式系數的增減性與最大值
知識梳理
增減性與最大值：
C＝＝C，即＝，所以當>1，即k<時，C隨k的增加而增大；由對稱性知，當k>時，C隨k的增加而減小．當n是偶數時，中間的一項取得最大值；當n是奇數時，中間的兩項與相等，且同時取得最大值．
例2　(1)在(2＋x)6的展開式中，二項式系數最大的項是(　　)
A．第3項和第4項 B．第4項和第5項
C．第3項 D．第4項
(2)已知f(x)＝(＋3x2)5，求展開式中二項式系數最大的項．
反思感悟　求二項式系數的最大項，根據二項式系數的性質對(a＋b)n中的n進行討論．
(1)當n為奇數時，中間兩項的二項式系數最大；
(2)當n為偶數時，中間一項的二項式系數最大．
跟蹤訓練2　(1)(1－x)2n－1展開式中，二項式系數最大的項是(　　)
A．第n－1項 B．第n項
C．第n－1項與第n＋1項 D．第n項與第n＋1項
(2)2n展開式的第6項的二項式系數最大，則其常數項為(　　)
A．120 B．252 C．210 D．45
三、二項展開式的系數和問題
問題2　在二項展開式(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn中，令a＝b＝1，可得到什么結論？令a＝1，b＝－1，可得到什么結論？
例3　若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求：
(1)a1＋a2＋…＋a7；
(2)a1＋a3＋a5＋a7；
(3)|a0|＋|a1|＋…＋|a7|.
反思感悟　求展開式的各項系數之和常用賦值法
(1)對形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展開式的各項系數之和，常用賦值法，只需令x＝1即可；對形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展開式各項系數之和，只需令x＝y＝1即可．
(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則f(x)的展開式中各項系數之和為f(1)，奇數項系數之和為a0＋a2＋a4＋…＝，偶數項系數之和為a1＋a3＋a5＋…＝.
跟蹤訓練3　設(1－2x)2 023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023(x∈R)．
(1)求a0的值；
(2)求a1＋a2＋a3＋…＋a2 023的值；
(3)求a1＋a3＋a5＋…＋a2 023的值．
1．知識清單：
(1)二項式系數的對稱性．
(2)二項式系數的增減性與最值．
(3)二項展開式的系數和問題．
2．方法歸納：賦值法．
3．常見誤區：系數與二項式系數的區別，中間項的個數，含絕對值的系數．
1．在(a－b)20的二項展開式中，二項式系數與第6項的二項式系數相同的項是(　　)
A．第15項 B．第16項
C．第17項 D．第18項
2.11的展開式中二項式系數最大的項是(　　)
A．第3項 B．第6項
C．第6,7項 D．第5,7項
3．楊輝三角在我國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中被記載．如圖所示的楊輝三角中，第15行第15個數是(　　)
A．14 B．15 C．16 D．17
若(2－x)7＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a7(1＋x)7，則a0＋a1＋a2＋…＋a6的值為______．
參考答案與詳細解析
問題1　1,7,21,35,35,21,7,1
知識梳理
(1)相等　(2)相加　C＋C
例1　(1)B　[由題圖知，下一行的數是其肩上兩數的和，所以4＋a＝10，即a＝6.]
(2)A　[由題意C＝C，所以3＋7＝2n，解得n＝5，
則(2x－1)5的展開式的通項為
Tk＋1＝C(2x)5－k(－1)k＝(－1)k25－kCx5－k，
由5－k＝3，得k＝2，所以x3的系數為(－1)2·C·23＝80.]
跟蹤訓練1　(1)D　[第k項的二項式系數是C，由于C＝C，故第n－k＋2項的二項式系數與第k項的二項式系數相同．]
(2)C　[由a＝7，可知b左肩上的數為6，右肩上的數為11＋5，即16，所以b＝6＋16＝22.]
例2　(1)D　[二項式(2＋x)6的展開式的通項為Tk＋1＝C26－kxk，
當k＝3時，二項式系數最大，即第4項的二項式系數最大．]
(2)解　∵5為奇數，∴展開式中二項式系數最大的項為中間的兩項，它們分別為T3＝＝90x6，T4＝＝.
跟蹤訓練2　(1)D　[由二項式系數的性質得，二項式系數最大為＝C，＝C，
分別為第n，n＋1項的二次項系數．]
(2)C　[由題意，得2n＝10，易知n＝5，
由Tk＋1＝C()10－kk＝，
令30－5k＝0，得k＝6，故其常數項為C＝210.]
問題2　C＋C＋C＋…＋C＝2n；C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
例3　解　(1)令x＝0，得a0＝－1.
令x＝1，得a0＋a1＋…＋a7＝27＝128，①
∴a1＋a2＋…＋a7＝129.
(2)令x＝－1，則a0－a1＋…＋a6－a7＝(－4)7，②
由①－②得，2(a1＋a3＋a5＋a7)＝128－(－4)7，
∴a1＋a3＋a5＋a7＝8 256.
(3)∵Tk＋1＝C(3x)7－k(－1)k，
∴|a0|＋|a1|＋…＋|a7|＝－a0＋a1－a2＋a3－…－a6＋a7＝47＝16 384.
跟蹤訓練3　解　(1)在等式(1－2x)2 023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023中，令x＝0，得1＝a0，∴a0＝1.
(2)令x＝1，得－1＝a0＋a1＋a2＋…＋a2 023，
∴a1＋a2＋…＋a2 023＝－2.
(3)分別令x＝－1，x＝1，
得
②－①，得－1－32 023＝2(a1＋a3＋…＋a2 023)．
∴a1＋a3＋…＋a2 023＝.
隨堂演練
1．B　[第6項的二項式系數為C，又C＝C，所以第16項符合條件．]
2．C　[11的展開式中第＋1項和＋1項，即第6,7項的二項式系數相等，且最大．]
3．B　[由楊輝三角知：
第1行：C，C，
第2行：C，C，C，
第3行：C，C，C，C，
第4行：C，C，C，C，C，
由此可得第n行，第r(1≤r≤n＋1)個數為C，
所以第15行第15個數是C＝C＝15.]
4．129
解析　令x＝0，得a0＋a1＋a2＋…＋a7＝27＝128，
又(2－x)7＝[3－(x＋1)]7，
則a7(1＋x)7＝C·30·[－(x＋1)]7，
解得a7＝－1.
故a0＋a1＋a2＋…＋a6＝128－a7＝128＋1＝129.人教A版高中數學選擇性必修三
6.3.2第2課時-二項式定理的綜合應用-導學案
學習目標　1.熟練掌握二項式定理.2.能夠利用二項式定理解決兩個多項式乘積的特定項問題.3.掌握二項展開式中系數最大(小)問題.4.能利用二項式定理解決整除(余數)問題．
一、兩個二項式積的問題
例1　(1)(1＋x2)(1＋x)5的展開式中x4的系數為(　　)
A．5 B．10 C．15 D．20
(2)已知(2x－a)6的展開式中x2的系數為－240，則該二項展開式中的常數項為________．
反思感悟　兩個二項式乘積的展開式中特定項問題
(1)分別對每個二項展開式進行分析，發現它們各自項的特點．
(2)找到構成展開式中特定項的組成部分．
(3)分別求解再相乘，求和即得．
跟蹤訓練1　5的展開式中各項系數的和為2，則a＝________，該展開式的常數項為________．
二、三項展開式問題
例2 　5的展開式中的常數項是________．
反思感悟　三項或三項以上的式子的展開問題，應根據式子的特點，轉化為二項式來解決，轉化的方法通常為配方、因式分解、項與項結合，項與項結合時，要注意合理性和簡捷性．
跟蹤訓練2　(x2＋x＋y)5的展開式中，x5y2的系數為________．
三、整除和余數問題
例3　(1)今天是星期一，今天是第1天，那么第810天是星期(　　)
A．一 B．二 C．三 D．四
(2)定義：兩個正整數a，b，若它們除以正整數m所得的余數相等，則稱a，b對于模m同余，記作a＝b(modm)，比如：26＝16(mod10)．已知n＝C＋C·8＋C·82＋…＋C·810，滿足n＝p(mod7)，則p可以是(　　)
A．23 B．31 C．32 D．19
(3)設a∈Z，且0≤a<13，若512 023＋a能被13整除，則a＝________.
反思感悟　(1)利用二項式定理處理整除問題，通常把底數寫成除數(或與除數密切關聯的數)與某數的和或差的形式，再利用二項式定理展開，只考慮后面(或前面)一、二項就可以了．
(2)解決求余數問題，必須構造一個與題目條件有關的二項式．
四、二項展開式中的系數最值問題
例4　(1)在n的展開式中，只有第5項的二項式系數最大，則展開式中系數最小的項的系數為(　　)
A．－126 B．－70
C．－56 D．－28
(2)6的展開式中二項式系數最大的項為第______項，系數最大的項為________．
反思感悟　求解二項展開式中系數的最值策略
(1)求二項式系數的最大值，則依據(a＋b)n中n的奇偶及二項式系數的性質求解．
(2)求展開式中項的系數的最大值，由于展開式中項的系數是離散型變量，設展開式各項的系數分別為A1，A2，…，An＋1，且第k項系數最大，因此在系數均為正值的前提下，求展開式中項的系數的最大值只需解不等式組即得結果．
1．知識清單：
(1)兩個二項式積的問題．
(2)三項展開式問題．
(3)整除和余數問題．
(4)二項展開式中的系數最值問題．
2．方法歸納：分類討論，方程思想等．
3．常見誤區：分類不當，重復或遺漏．
1．在x(1＋x)6的展開式中，含x3項的系數為(　　)
A．30 B．20 C．15 D．10
2．9192被100除所得的余數為(　　)
A．1 B．81 C．－81 D．992
3．(x＋y＋3)5展開式中不含y的各項系數之和為(　　)
A．25 B．35
C．45 D．(x＋3)5
在5的展開式中，x3的系數等于－5，則該展開式各項的系數中最大值為________．
參考答案與詳細解析
例1　(1)C　[因為二項式(1＋x)5的展開式的通項為Tk＋1＝Cxk，所以(1＋x2)(1＋x)5的展開式中含x4的項為1×Cx4＋x2×Cx2＝15x4，所以x4的系數為15.]
(2)－640
解析　6的展開式的通項公式為
Tk＋1＝Cx6－kk＝C2kx6－2k(k＝0,1,2,3,4,5,6),
令6－2k＝1，得k＝(舍去)；
令6－2k＝2，得k＝2.
故(2x－a)6的展開式中x2的系數為
－aC22＝－240，解得a＝4.
令6－2k＝－1，得k＝(舍去)；
令6－2k＝0，得k＝3.
故(2x－4)6的展開式中的常數項為－4C·23＝－640.
跟蹤訓練1　1　40
解析　令x＝1，得(1＋a)(2－1)5＝2，∴a＝1，
故5的展開式中常數項即為5的展開式中與x的系數之和．
5的展開式的通項為Tk＋1＝(－1)k25－kCx5－2k，
令5－2k＝1，得k＝2，
∴展開式中x的系數為C×25－2×(－1)2＝80.
令5－2k＝－1，得k＝3，
∴展開式中的系數為C×25－3×(－1)3＝－40，
∴5的展開式中常數項為80－40＝40.
例2 　
解析　方法一　原式＝5，
∴展開式的通項為＝(k1＝0,1,2，…，5)．
當k1＝5時，T6＝()5＝4，當0≤k1<5時，的展開式的通項為
(k2＝0,1,2，…，5－k1)．
令5－k1－2k2＝0，即k1＋2k2＝5.
∵0≤k1<5且k1∈Z，
∴或
∴常數項為4＋CC×2×＋CC××()3＝4＋＋20＝.
方法二　原式＝5＝·[(x＋)2]5＝·(x＋)10.
求原式的展開式中的常數項，轉化為求(x＋)10的展開式中含x5項的系數，即C()5.
∴所求的常數項為＝.
跟蹤訓練2　30
解析　方法一　(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，
含y2的項為T3＝C(x2＋x)3y2，
其中(x2＋x)3中含x5的項為Cx4x＝Cx5，
所以x5y2的系數為CC＝30.
方法二　(x2＋x＋y)5為5個x2＋x＋y之積，其中有兩個取y，兩個取x2，一個取x即可得含x5y2的項，所以x5y2的系數為CCC＝30.
例3　(1)A　[求第810天是星期幾，實質是求810除以7的余數．
因為810＝(7＋1)10＝710＋C×79＋…＋C×7＋1＝7M＋1(M∈N*)，所以第810天相當于第1天，故為星期一．]
(2)A　[因為n＝C＋C·8＋C·82＋…＋C·810＝(1＋8)10＝(7＋2)10，
也即n＝C×710＋C×79·2＋…＋C×7×29＋C·210，
故n除以7的余數為C·210＝1 024除以7的余數2，
又23除以7的余數也為2，滿足題意，其他選項都不滿足題意，所以p可以是23.]
(3)1
解析　因為512 023＋a＝(52－1)2 023＋a＝C522 023－C522 022＋C522 021－…＋C×521－1＋a能被13整除，故－1＋a能被13整除，又0≤a<13，故a＝1.
例4　(1)C　[因為只有第5項的二項式系數最大，所以n＝8，n的展開式的通項為
Tk＋1＝(k＝0,1,2，…，8)，
所以展開式中奇數項的二項式系數與相應奇數項的系數相等，偶數項的二項式系數與相應偶數項的系數互為相反數，而展開式中第5項的二項式系數最大，因此展開式中第4項和第6項的系數相等且最小，為(－1)3C＝－56.]
(2)4　240x－8y2
解析　因為6的展開式中二項式系數的最大值為C，所以二項式系數最大的項為第4項．因為6的展開式的通項為Tk＋1＝Cy6－kk＝C(－2)kx－2ky6－k，所以展開式中系數最大的項為奇數項．
方法一　設第r＋1項的系數最大，則
因為r∈Z,0≤r≤6，且r為偶數，所以r＝4，
則T5＝C·(－2)4x－8y2＝240x－8y2，
所以展開式中系數最大的項為240x－8y2，
方法二　展開式中第1,3,5,7項的系數分別為C·(－2)0，C·(－2)2，C·(－2)4，C·(－2)6，即1,60,240,64，所以展開式中系數最大的項為240x－8y2.
隨堂演練
1．C　[因為(1＋x)6的展開式的第k＋1項為Tk＋1＝Cxk，所以x(1＋x)6的展開式中含x3的項為Cx3＝15x3，所以含x3項的系數為15.]
2．B　[9192＝(90＋1)92＝C×9092＋C×9091＋…＋C×902＋C×90＋C.前91項均能被100整除，剩下兩項為92×90＋1＝8 281，顯然8 281除以100所得的余數為81.
故9192被100除所得的余數為81.]
3．C　[由(x＋y＋3)5＝[(x＋3)＋y]5，則展開式的通項為Tk＋1＝C(x＋3)5－kyk，
當k＝0時，不含y的項，T1＝C(x＋3)5＝(x＋3)5，
令x＝1，可得不含y的各項系數之和為45.]
4．10
解析　5的展開式的通項
Tk＋1＝Cx5－kk＝(－a)kCx5－2k，
令5－2k＝3，得k＝1，所以－a×5＝－5，即a＝1，
展開式中第2,4,6項的系數為負數，第1,3,5項的系數為正數，故各項的系數中最大值為C＝10.

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