資源簡介

人教A版高中數學選擇性必修三-7.1.1第1課時-條件概率-導學案
學習目標　1.結合古典概型，了解條件概率的定義.2.掌握條件概率的計算方法.3.利用條件概率公式解決一些簡單的實際問題．
一、條件概率的理解
問題　拋擲一枚質地均勻的硬幣兩次．
(1)兩次都是正面向上的概率是多少？
(2)在已知有一次出現正面向上的條件下，兩次都是正面向上的概率是多少？
(3)在第一次出現正面向上的條件下，第二次出現正面向上的概率是多少？
知識梳理
條件概率：一般地，設A，B為兩個隨機事件，且P(A)>0，我們稱P(B|A)＝________________為在事件A發生的條件下，事件B發生的條件概率，簡稱____________．
例1　判斷下列幾種概率哪些是條件概率：
(1)某校高中三個年級各派一名男生和一名女生參加市里的中學生運動會，每人參加一個不同的項目，已知一名女生獲得冠軍，則該名女生是高一的概率．
(2)擲一枚骰子，求擲出的點數為3的概率．
(3)在一副撲克的52張(去掉兩張王牌后)中任取1張，已知抽到梅花的條件下，抽到的是梅花5的概率．
反思感悟　判斷是不是條件概率主要看一個事件的發生是否是在另一個事件發生的條件下進行的．
跟蹤訓練1　下面幾種概率是條件概率的是(　　)
A．甲、乙二人投籃命中率分別為0.6,0.7，各投籃一次都投中的概率
B．甲、乙二人投籃命中率分別為0.6,0.7，在甲投中的條件下乙投籃一次命中的概率
C．有10件產品，其中3件次品，抽2件產品進行檢驗，恰好抽到一件次品的概率
D．小明上學路上要過四個路口，每個路口遇到紅燈的概率都是，則小明在一次上學中遇到紅燈的概率
二、利用定義求條件概率
例2　現有6個節目準備參加比賽，其中4個舞蹈節目，2個語言類節目，如果不放回地依次抽取2個節目，求：
(1)第1次抽到舞蹈節目的概率；
(2)第1次和第2次都抽到舞蹈節目的概率；
(3)在第1次抽到舞蹈節目的條件下，第2次抽到舞蹈節目的概率．
反思感悟　利用定義計算條件概率的步驟
(1)分別計算概率P(AB)和P(A)．
(2)將它們相除得到條件概率P(B|A)＝，這個公式適用于一般情形，其中AB表示A，B同時發生．
跟蹤訓練2　(1)為落實國務院提出的“雙減”政策，某校在課后服務時間開展了豐富多彩的興趣小組活動，其中有個課外興趣小組制作了一個正十二面體模型，并在十二個面上分別雕刻了十二生肖的圖案，作為2023年春節的吉祥物，2個興趣小組各派一名成員將模型隨機拋出，兩人都希望能拋出兔的圖案朝上，寓意玉兔呈祥.2人各拋一次，則在第一人拋出兔的圖案朝上時，兩人心愿均能達成的概率為(　　)
A. B. C. D.
(2)在5道試題中有2道代數題和3道幾何題，每次從中抽出1道題，抽出的題不再放回，則在第1次抽到代數題的條件下，第2次抽到幾何題的概率為________．
三、縮小樣本空間求條件概率
例3　集合A＝{1,2,3,4,5,6}，甲、乙兩人各從A中任取一個數，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇數的條件下，求乙抽到的數比甲抽到的數大的概率．
反思感悟　利用縮小樣本空間法求條件概率的方法
(1)縮：將原來樣本空間Ω縮小為事件A，原來的事件B縮小為事件AB.
(2)數：數出A中事件AB所包含的樣本點．
(3)算：利用P(B|A)＝求得結果．
跟蹤訓練3　(1)拋擲一枚質地均勻的骰子兩次，記A＝{兩次的點數均為奇數}，B＝{兩次的點數之和為8}，則P(B|A)等于(　　)
A. B. C. D.
(2)5個乒乓球，其中3個新的，2個舊的，每次取一個，不放回地取兩次，則在第一次取到新球的條件下，第二次取到新球的概率為________．
1．知識清單：
(1)條件概率的理解．
(2)利用定義求條件概率．
(3)縮小樣本空間求條件概率．
2．方法歸納：定義法、縮小樣本空間法．
3．常見誤區：分不清“在誰的條件下”，求“誰的概率”.
1．把一枚硬幣連續拋兩次，記“第一次出現正面”為事件A，“第二次出現反面”為事件B，則P(B|A)等于(　　)
A. B. C. D.
2．某地區空氣質量監測資料表明，一天的空氣質量為優良的概率是0.75，連續兩天的空氣質量為優良的概率是0.6，已知某天的空氣質量為優良，則隨后一天的空氣質量為優良的概率是(　　)
A．0.8 B．0.75
C．0.6 D．0.45
3．某校高三年級要從5名男生和2名女生中任選3名代表參加數學競賽(每人被選中的機會均等)，則在男生甲被選中的情況下，男生乙和女生丙至少有一個被選中的概率是(　　)
A. B. C. D.
4．一個盒子內裝有大小相同的3個紅球，5個白球，從盒子中任取2個球，已知一個球是白球，另一個球也是白球的概率為________．
參考答案與詳細解析
問題　(1)兩次拋擲硬幣，試驗結果的樣本點組成樣本空間Ω＝，其中兩次都是正面向上的事件記為B，則B＝，故P(B)＝.
(2)將兩次試驗中有一次正面向上的事件記為A，則A＝，那么，在A發生的條件下，B發生的概率為.在事件A發生的條件下，事件B發生的概率產生了變化．
(3)將第一次出現正面向上的事件記為C，則C＝，那么，在C發生的條件下，B發生的概率為.在事件C發生的條件下，事件B發生的概率產生了變化．
知識梳理
　條件概率
例1　解　由條件概率定義可知(1)(3)是，(2)不是．
跟蹤訓練1　B　[由條件概率的定義知B為條件概率．]
例2　解　設“第1次抽到舞蹈節目”為事件A，“第2次抽到舞蹈節目”為事件B，則第1次和第2次都抽到舞蹈節目為事件AB.
(1)從6個節目中不放回地依次抽取2個，總的樣本點數n(Ω)＝A＝30.
根據分步乘法計數原理，得n(A)＝AA＝20，
所以P(A)＝＝＝.
(2)因為n(AB)＝A＝12，所以P(AB)＝＝＝.
(3)由(1)(2)，得在第1次抽到舞蹈節目的條件下，第2次抽到舞蹈節目的概率P(B|A)＝＝＝.
跟蹤訓練2　(1)A　[設第一人拋出兔的圖案的事件為A事件，第二人拋出兔的圖案的事件為B事件，
則P(A)＝＝，P(AB)＝＝，
所以P(B|A)＝＝＝，
即在第一人拋出兔的圖案朝上時，兩人心愿均能達成的概率為.]
(2)
解析　設事件A：第1次抽到代數題，事件B：第2次抽到幾何題，
則P(A)＝，P(AB)＝×＝，
所以P(B|A)＝＝＝.
例3　解　將甲抽到數字a，乙抽到數字b，記作(a，b)，甲抽到奇數的樣本點有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共15個．在這15個樣本點中，乙抽到的數比甲抽到的數大的樣本點有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,6)，共9個，所以所求概率P＝＝.
跟蹤訓練3　(1)B　[P(B|A)＝，其中AB表示：兩次點數均為奇數，且兩次點數之和為8，共有兩種情況，即(3,5)，(5,3)，故n(AB)＝2，而n(A)＝CC＝9，所以P(B|A)＝＝.]
(2)
解析　設第1次取到新球為事件A，第2次取到新球為事件B，則P(B|A)＝＝＝.
隨堂演練
1．A　[依題意P(A)＝，P(AB)＝，
所以P(B|A)＝＝＝.]
2．A　[根據條件概率公式得所求概率為＝0.8.]
3．D　[男生甲被選中記作事件A，男生乙和女生丙至少有一個被選中記作事件B，
則P(A)＝＝，P(AB)＝＝，
由條件概率公式可得P(B|A)＝＝.]
4.
解析　取出2個球，記事件A＝“一個球是白球”，
則P(A)＝＝，
取出2個球，記事件B＝“另一個球是白球”，
則P(AB)＝＝＝，
由條件概率公式得P(B|A)＝＝＝，
所以已知一個球是白球，另一個球也是白球的概率為.人教A版高中數學選擇性必修三-7.1.1第2課時-條件概率的性質及應用-導學案
學習目標　1.了解事件的獨立性與條件概率的關系，掌握概率的乘法公式.2.會求互斥事件的條件概率，理解條件概率的性質．
一、概率的乘法公式
問題1　三張獎券中只有一張能中獎，現分別由甲、乙兩名同學有放回地抽取，事件A為“甲沒有抽到中獎獎券”，事件B為“乙抽到中獎獎券”， 事件A的發生會不會影響事件B發生的概率？P(B|A)與P(B)有什么關系？
知識梳理
概率的乘法公式：對任意兩個事件A與B，若P(A)>0，則P(AB)＝____________.
例1　(1)某項射擊游戲規定：選手先后對兩個目標進行射擊，只有兩個目標都射中才能過關．某選手射中第一個目標的概率為0.8，繼續射擊，射中第二個目標的概率為0.5，則這個選手過關的概率為________．
(2)一個盒子中有6個白球、4個黑球，從中不放回地每次任取1個，連取2次．求：
①第一次取得白球的概率；
②第一、第二次都取得白球的概率；
③第一次取得黑球而第二次取得白球的概率．
反思感悟　應用乘法公式求概率的關注點
(1)功能：是一種計算“積事件”概率的方法，即當不容易直接計算P(AB)時，可先求出P(A)及P(B|A)或先求出P(B)及P(A|B)，再利用乘法公式P(AB)＝P(A)P(B|A)＝P(B)P(A|B)求解．
(2)推廣：設A，B，C為三個事件，且P(AB)>0，則有P(ABC)＝P(C|AB)P(AB)＝P(C|AB)·
P(B|A)P(A)．
跟蹤訓練1　10個考簽中有4個難簽，2人參加抽簽(不放回)，甲先，乙后，求：
(1)甲抽到難簽的概率；
(2)甲、乙都抽到難簽的概率；
(3)甲沒有抽到難簽，而乙抽到難簽的概率．
二、互斥事件的條件概率
問題2　在必修第二冊中，我們已經學習了概率的基本性質，基本性質包括什么？
知識梳理
條件概率的性質
設P(A)>0，則
(1)P(Ω|A)＝____________.
(2)如果B和C是兩個互斥事件，則P(B∪C|A)＝____________.
(3)設和B互為對立事件，則P(|A)＝_____________.
例2　(1)某人一周晚上值班2次，在已知他周日晚上一定值班的條件下，他在周六晚上或周五晚上值班的概率為________．
(2)在一個袋子中裝有10個球，設有1個紅球，2個黃球，3個黑球，4個白球，從中依次摸2個球，求在第一個球是紅球的條件下，第二個球是黃球或黑球的概率．
反思感悟　(1)利用公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)可使條件概率的計算較為簡單，但應注意這個性質的使用前提是“B與C互斥”．
(2)為了求復雜事件的概率，往往需要把該事件分為兩個或多個互斥事件，求出簡單事件的概率后，相加即可得到復雜事件的概率．
跟蹤訓練2　拋擲兩顆質地均勻的骰子各一次．
(1)兩顆骰子向上的點數之和為7時，其中有一個的點數是2的概率是多少？
(2)兩顆骰子向上的點數不相同時，向上的點數之和為4或6的概率是多少？
1．知識清單：
(1)概率的乘法公式．
(2)互斥事件的條件概率．
2．方法歸納：公式法、正難則反．
3．常見誤區：判斷兩個事件是否是互斥事件．
1．設A，B為兩個事件，已知P(A)＝，P(B|A)＝，則P(AB)等于(　　)
A. B. C. D.
2．某地一農業科技實驗站，對一批新水稻種子進行試驗，已知這批水稻種子的發芽率為0.8，出芽后的幼苗成活率為0.9，在這批水稻種子中，隨機地抽取一粒，則這粒水稻種子能成長為幼苗的概率為(　　)
A．0.02 B．0.08 C．0.18 D．0.72
3．若B，C是互斥事件且P(B|A)＝，P(C|A)＝，則P(B∪C|A)等于(　　)
A. B. C. D.
4．有五瓶墨水，其中紅色一瓶，藍色、黑色各兩瓶，某同學從中隨機任取兩瓶，若取得的兩瓶中有一瓶是藍色，則另一瓶是紅色或黑色的概率為________．
參考答案與詳細解析
問題1　不會，事件A與事件B是相互獨立事件；有放回地抽取獎券時，乙也是從原來的三張獎券中任抽一張，因此P(B|A)＝P(B)．
知識梳理
P(A)P(B|A)
例1　(1)0.4
解析　由題意，記“射中第一個目標”為事件A，
“射中第二個目標”為事件B，
則P(A)＝0.8，P(B|A)＝0.5，
∴P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.8×0.5＝0.4.
即這個選手過關的概率為0.4.
(2)解　設A＝“第一次取得白球”，B＝“第二次取得白球”，則＝“第一次取得黑球”，由題意，得
①P(A)＝＝.
②P(AB)＝P(A)P(B|A)＝×＝.
③P(B)＝P()P(B|)＝×＝.
跟蹤訓練1　解　記事件A，B分別表示甲、乙抽到難簽，則
(1)P(A)＝＝.
(2)P(AB)＝P(A)P(B|A)＝×＝.
(3)P(B)＝P()P(B|)＝×＝.
問題2　性質1：對任意的事件A，都有P(A)≥0；
性質2：必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)＝1，P( )＝0；
性質3：如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；
性質4：如果事件A與事件B互為對立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)；
性質5：如果A B，那么P(A)≤P(B)，由該性質可得，對于任意事件A，因為 A Ω，所以0≤P(A)≤1.
性質6：設A，B是一個隨機試驗中的兩個事件，
有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
知識梳理
(1)1　(2)P(B|A)＋P(C|A)　(3)1－P(B|A)
例2　(1)
解析　相當于周一到周六，值班一天，則周六晚上或周五晚上值班的概率P＝＝.
(2)解　方法一　設“摸出第一個球為紅球”為事件A，“摸出第二個球為黃球”為事件B，“摸出第二個球為黑球”為事件C，則P(A)＝，P(AB)＝＝，P(AC)＝＝.∴P(B|A)＝＝＝＝，
P(C|A)＝＝＝.
∴P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝＋＝.
∴所求概率為.
方法二　∵n(A)＝1×C＝9，
n(B∪C|A)＝C＋C＝5，
∴P(B∪C|A)＝＝.
∴所求概率為.
跟蹤訓練2　解　(1)記事件A表示“兩顆骰子中，向上的點數有一個是2”，事件B表示“兩顆骰子向上的點數之和為7”，則事件AB表示“向上的點數之和為7，其中有一個的點數是2”，則P(B)＝＝，P(AB)＝＝，所以P(A|B)＝＝.
(2)記事件Mi表示“兩顆骰子向上的點數之和為i”，則事件“向上的點數之和為4或6”可表示為M＝M4∪M6，其中事件M4與M6互斥，記事件N表示“兩顆骰子向上的點數不相同”，則事件MiN表示“兩顆骰子向上的點數不相同，且向上的點數之和為i”．
因為P(N)＝＝，P(M4N)＝＝，P(M6N)＝＝，
所以P(M|N)＝P(M4∪M6|N)＝P(M4|N)＋P(M6|N)＝＋＝＋＝.
隨堂演練
1．B　[由概率的乘法公式，可得P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝×＝.]
2．D　[記“水稻種子發芽”為事件A，“發芽的種子成長為幼苗”為事件B，P(B|A)＝.
∴P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.9×0.8＝0.72.]
3．D　[因為B，C是互斥事件，所以P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝＋＝.]
4.
解析　設事件A為“其中一瓶是藍色”，事件B為“另一瓶是紅色”，事件C為“另一瓶是黑色”，事件D為“另一瓶是紅色或黑色”，
則D＝B∪C，且B與C互斥．
又P(A)＝＝，P(AB)＝＝，
P(AC)＝＝，
故P(D|A)＝P(B∪C|A)
＝P(B|A)＋P(C|A)
＝＋＝.

展開更多......

收起↑