資源簡介

人教A版高中數學選擇性必修三
7.3.1第2課時-離散型隨機變量的均值的綜合應用-導學案
學習目標　1.掌握離散型隨機變量的均值的性質.2.會利用離散型隨機變量的均值反映離散型隨機變量的取值水平，解決一些相關的實際問題．
一、均值的性質
問題　若X，η都是離散型隨機變量，且η＝aX＋b(其中a，b是常數)，那么E(η)與E(X)有怎樣的關系？
知識梳理
離散型隨機變量的均值的性質
若Y＝aX＋b，其中a，b均是常數(X是隨機變量)，則Y也是隨機變量，且E(aX＋b)＝________________.
例1　已知隨機變量X的分布列為
X －2 －1 0 1 2
P m
若Y＝－2X，則E(Y)＝________.
反思感悟　求線性關系的隨機變量η＝aξ＋b的均值的方法
(1)定義法：先列出η的分布列，再求均值．
(2)性質法：直接套用公式，E(η)＝E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，求解即可．
跟蹤訓練1　(1)已知Y＝5X＋1，E(Y)＝6，則E(X)的值為(　　)
A. B．5 C．1 D．31
(2)已知隨機變量ξ和η，其中η＝12ξ＋7，且E(η)＝34，若ξ的分布列如表所示，則m的值為(　　)
ξ 1 2 3 4
P m n
A. B. C. D.
二、均值的實際應用
例2　某中藥種植基地有兩處種植區的藥材需在下周一、周二兩天內采摘完畢，基地員工一天可以完成一處種植區的采摘．由于下雨會影響藥材品質，基地收益如下表所示：
周一 無雨 無雨 有雨 有雨
周二 無雨 有雨 無雨 有雨
收益 20萬元 15萬元 10萬元 7.5萬元
若基地額外聘請工人，可在周一當天完成全部采摘任務．無雨時收益為20萬元；有雨時收益為10萬元．額外聘請工人的成本為a萬元．已知下周一和下周二有雨的概率相同，兩天是否下雨互不影響，基地收益為20萬元的概率為0.36.
(1)若不額外聘請工人，寫出基地收益X的分布列及基地的預期收益(即X的均值)；
(2)該基地是否應該外聘工人，請說明理由．
反思感悟　解答概率模型的三個步驟
(1)建模：即把實際問題概率模型化．
(2)解模：確定分布列，計算隨機變量的均值．
(3)回歸：利用所得數據，對實際問題作出判斷．
跟蹤訓練2　受轎車在保修期內維修費等因素的影響，企業生產每輛轎車的利潤與該轎車首次出現故障的時間有關，某轎車制造廠生產甲、乙兩種品牌轎車，保修期均為2年，現從該廠已售出的兩種品牌轎車中隨機抽取50輛，統計數據如表所示：
品牌 甲 乙
首次出現故障時間x(年) 02 02
轎車數量(輛) 2 3 45 5 45
每輛利潤(萬元) 1 2 3 1.8 2.9
將頻率視為概率，解答下列問題：
(1)從該廠生產的甲品牌轎車中隨機抽取一輛，求其首次出現故障發生在保修期內的概率；
(2)若該廠生產的轎車均能售出，記生產一輛甲品牌轎車的利潤為X1，生產一輛乙品牌轎車的利潤為X2，分別求X1，X2的分布列；
(3)該廠預計今后這兩種品牌轎車銷量相當，由于資金限制，只能生產其中一種品牌轎車，若從經濟效益的角度考慮，你認為應該生產哪種品牌的轎車？說明理由．
三、決策問題
例3　甲、乙兩家外賣公司，其送餐員的日工資方案如下：甲公司的底薪80元，每單抽成4元；乙公司無底薪，40單以內(含40單)的部分每單抽成6元，超出40單的部分每單抽成7元，假設同一公司送餐員一天的送餐單數相同，現從兩家公司各隨機抽取一名送餐員，并分別記錄其50天的送餐單數，得到如下頻數表：
甲公司送餐員送餐單數頻數表：
送餐單數 38 39 40 41 42
天數 10 15 10 10 5
乙公司送餐員送餐單數頻數表：
送餐單數 38 39 40 41 42
天數 5 10 10 20 5
若將頻率視為概率，回答下列兩個問題：
(1)記乙公司送餐員日工資為X(單位：元)，求X的分布列和均值；
(2)小王打算到甲、乙兩家公司中的一家應聘送餐員，如果僅從日工資的角度考慮，請利用所學的統計學知識為小王作出選擇，并說明理由．
反思感悟　(1)求分布列的關鍵是根據題意確定隨機變量的所有可能取值和取每一個值時的概率，然后列成表格的形式即可．
(2)根據統計數據做出決策時，可根據實際情況從均值的大小關系作出比較后得到結論．
跟蹤訓練3　某地盛產臍橙，該地銷售臍橙按照等級分為四類：珍品、特級、優級和一級(每箱重量為5 kg)，某采購商打算在該地采購一批臍橙銷往外地，并從采購的這批臍橙中隨機抽取50箱，利用臍橙的等級分類標準得到的數據如表：
等級 珍品 特級 優級 一級
箱數 10 15 15 10
(1)用分層隨機抽樣的方法從這50箱臍橙中抽取10箱，再從抽取的10箱中隨機抽取3箱，ξ表示隨機抽取的3箱中是特級的箱數，求ξ的分布列及均值E(ξ)；
(2)利用樣本估計總體，該地提出兩種購銷方案供采購商參考：
方案一：不分等級賣出，價格為20元/kg；
方案二：分等級賣出，分等級的臍橙價格如表：
等級 珍品 特級 優級 一級
售價(元/kg) 25 20 15 10
從采購商節約資金的角度考慮，應該采用哪種方案？
1．知識清單：
(1)離散型隨機變量的均值的性質．
(2)離散型隨機變量的均值的實際應用．
2．方法歸納：建模思想．
3．常見誤區：不會應用均值對實際問題作出正確分析．
1．已知Y＝4X＋7，E(Y)＝15，則E(X)等于(　　)
A．67 B．11 C．2 D．1
2．若p為非負實數，隨機變量X的分布列為
X 0 1 2
P p －p
則E(X)的最小值為(　　)
A．1 B. C. D．2
3．某人進行一項試驗，若試驗成功，則停止試驗，若試驗失敗，再重新試驗一次，若試驗3次均失敗，則放棄試驗．若此人每次試驗成功的概率為，則此人試驗次數X的均值是(　　)
A. B. C. D.
4．利用下列盈利表中的數據進行決策，
自然狀況 方案盈利概率 A1 A2 A3 A4
S1 0.25 50 70 －20 98
S2 0.30 65 26 52 82
S3 0.45 26 16 78 －10
應選擇的方案是________．
參考答案與詳細解析
問題　X，η的分布列為
X x1 x2 … xi … xn
η ax1＋b ax2＋b … axi＋b … axn＋b
P p1 p2 … pi … pn
則E(η)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axi＋b)pi＋…＋(axn＋b)pn
＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn)＝aE(X)＋b.
知識梳理
aE(X)＋b
例1　
解析　由分布列的性質，得
＋＋＋m＋＝1，
解得m＝，
∴E(X)＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＋2×＝－.
由Y＝－2X，得E(Y)＝－2E(X)，
即E(Y)＝－2×＝.
跟蹤訓練1　(1)C　[因為E(Y)＝E(5X＋1)＝5E(X)＋1＝6，所以E(X)＝1.]
(2)A　[因為η＝12ξ＋7，E(η)＝34，
則E(η)＝12E(ξ)＋7，
即E(η)＝12×＋7＝34.
所以2m＋3n＝，①
又＋m＋n＋＝1，所以m＋n＝，②
由①②，解得m＝.]
例2　解　(1)設下周一無雨的概率為p，
由題意得，p2＝0.36，則p＝0.6，基地收益X的可能取值為20,15,10,7.5，
則P(X＝20)＝0.36，P(X＝15)＝0.24，P(X＝10)＝0.24，P(X＝7.5)＝0.16，
所以基地收益X的分布列為
X 20 15 10 7.5
P 0.36 0.24 0.24 0.16
基地的預期收益
E(X)＝20×0.36＋15×0.24＋10×0.24＋7.5×0.16＝14.4(萬元)，
所以基地的預期收益為14.4萬元．
(2)設基地額外聘請工人時的收益為Y萬元，
則其預期收益E(Y)＝20×0.6＋10×0.4－a＝(16－a)萬元，
E(Y)－E(X)＝1.6－a，
綜上，當額外聘請工人的成本高于1.6萬元時，不外聘工人；
成本低于1.6萬元時，外聘工人；
成本恰為1.6萬元時，是否外聘工人均可以．
跟蹤訓練2　解　(1)設“甲品牌轎車首次出現故障發生在保修期內”為事件A，則P(A)＝＝.
(2)依題意得，X1的分布列為
X1 1 2 3
P
X2的分布列為
X2 1.8 2.9
P
(3)由(2)得E(X1)＝1×＋2×＋3×＝2.86(萬元)．
E(X2)＝1.8×＋2.9×＝2.79(萬元)．
∵E(X1)>E(X2)，∴應生產甲品牌轎車．
例3　解　(1)設乙公司送餐員送餐單數為a，
當a＝38時，X＝38×6＝228，P＝＝；
當a＝39時，X＝39×6＝234，P＝＝；
當a＝40時，X＝40×6＝240，P＝＝；
當a＝41時，X＝40×6＋1×7＝247，P＝＝；
當a＝42時，X＝40×6＋2×7＝254，P＝＝，
故X的所有可能取值為228,234,240,247,254，
故X的分布列為
X 228 234 240 247 254
P
故E(X)＝228×＋234×＋240×＋247×＋254×＝241.8(元)．
(2)甲公司送餐員日平均送餐單數為
38×0.2＋39×0.3＋40×0.2＋41×0.2＋42×0.1＝39.7，
則甲公司送餐員日平均工資為80＋4×39.7＝238.8(元)，
因為乙公司送餐員日平均工資為241.8元，238.8<241.8，
所以推薦小王去乙公司應聘．
跟蹤訓練3　解　(1)用分層隨機抽樣的方法從這50箱臍橙中抽取10箱，特級品的箱數為10×＝3，非特級品的箱數為10－3＝7，ξ的取值為0,1,2,3.
則P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，
則ξ的分布列為
ξ 0 1 2 3
P
E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
(2)方案一的單價為20元/kg，
設方案二的單價為η，則η的均值為
E(η)＝25×＋20×＋15×＋10×
＝17.5(元/kg)，
因為17.5<20，所以從采購商節約資金的角度考慮，應該采用方案二．
隨堂演練
1．C　[E(Y)＝4E(X)＋7＝15，則E(X)＝2.]
2．A　[由p≥0，－p≥0，得0≤p≤，
則E(X)＝－p＋2×＝－p≥1，故選A.]
3．B　[試驗次數X的可能取值為1,2,3，
則P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，
P(X＝3)＝××＝.
所以X的分布列為
X 1 2 3
P
所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝.]
4．A3
解析　A1的均值為50×0.25＋65×0.30＋26×0.45＝43.7；
A2的均值為70×0.25＋26×0.30＋16×0.45＝32.5；
A3的均值為－20×0.25＋52×0.30＋78×0.45＝45.7；
A4的均值為98×0.25＋82×0.30－10×0.45＝44.6，
因為A3的均值最大，所以應選擇的方案是A3.人教A版高中數學選擇性必修三-7.3.1第1課時-離散型隨機變量的均值-導學案
學習目標　1.通過實例理解離散型隨機變量均值的概念，能計算簡單離散型隨機變量的均值.2.掌握兩點分布的均值.3.會利用離散型隨機變量的均值，解決一些相關的實際問題．
一、離散型隨機變量的均值
問題1　某人射擊10次，所得環數分別是7,7,7,7,8,8,8,9,9,10，則所得的平均環數是多少？
知識梳理
均值：一般地，若離散型隨機變量X的分布列如表所示，
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
則稱E(X)＝_____________＝ipi為隨機變量X的均值或數學期望，數學期望簡稱________．
例1　某地最近出臺一項機動車駕照考試規定：每位考試者一年之內最多有4次參加考試的機會，一旦某次考試通過，便可領取駕照，不再參加以后的考試，否則就一直考到第4次為止．
如果李明決定參加駕照考試，設他每次參加考試通過的概率依次為0.6,0.7,0.8,0.9，求在一年內李明參加駕照考試次數ξ的分布列和ξ的均值，并求李明在一年內領到駕照的概率．
反思感悟　求隨機變量X的均值的方法和步驟
(1)理解隨機變量X的意義，寫出X所有可能的取值．
(2)求出X取每個值的概率P(X＝k)．
(3)寫出X的分布列．
(4)利用均值的定義求E(X)．
跟蹤訓練1　從裝有2個紅球，2個白球和1個黑球的袋中逐一取球，已知每個球被取到的可能性相同．若取后不放回，設取完紅球所需的次數為X，求X的分布列及均值．
二、兩點分布的均值
知識梳理
兩點分布的均值：一般地，如果隨機變量X服從兩點分布，那么E(X)＝________________.
例2　(1)已知隨機變量X滿足P(X＝1)＝0.3，P(X＝0)＝0.7，則E(X)等于(　　)
A．0.3 B．0.7 C．0.21 D．1
(2)一個袋中裝有除顏色外其他都相同的3個白球和4個紅球．
①從中任意摸出1個球，用0表示摸出白球，用1表示摸出紅球，即X＝求X的分布列及均值；
②從中任意摸出兩個球，用Y＝0表示“兩個球全是白球”，用Y＝1表示“兩個球不全是白球”，求Y的分布列及均值．
反思感悟　兩點分布的特點
(1)兩點分布中只有兩個對應結果，且兩個結果是對立的．
(2)由對立事件的概率求法可知P(X＝0)＋P(X＝1)＝1.
跟蹤訓練2　在擲一枚圖釘的隨機試驗中，令X＝如果針尖向上的概率為，那么試寫出隨機變量X的分布列并求其均值．
三、均值的簡單應用
例3　在某校開展的知識競賽活動中，共有A，B，C三道題，答對A，B，C分別得2分、2分、4分，答錯不得分．已知甲同學答對問題A，B，C的概率分別為，，，且各題回答正確與否相互獨立．
(1)求甲同學至少有一道題不能答對的概率；
(2)求甲同學本次競賽中得分的分布列及均值．
反思感悟　解答應用類問題時，首先把問題概率模型化，然后利用有關概率的知識去分析相應各事件可能性的大小，并列出分布列，最后利用公式求出相應概率．
跟蹤訓練3　隨機抽取某廠的某種產品200件，經質檢，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生產1件一、二、三等品獲得的利潤分別為6萬元、2萬元、1萬元，而1件次品虧損2萬元，設1件產品的利潤(單位：萬元)為X.
(1)求X的分布列；
(2)求1件產品的平均利潤(即X的均值)；
(3)經技術革新后，仍有四個等級的產品，但次品率降為1%，一等品率提高為70%.若此時要求1件產品的平均利潤不小于4.73萬元，則三等品率最多是多少？
1．知識清單：
(1)離散型隨機變量的均值．
(2)兩點分布的均值．
(3)均值的簡單應用．
2．方法歸納：函數與方程、轉化化歸．
3．常見誤區：不會應用均值對實際問題作出正確分析．
1．已知離散型隨機變量X的分布列為
X 1 2 3
P
則X的均值E(X)等于(　　)
A. B．2 C. D．3
2．設隨機變量X的分布列如表，且E(X)＝1.6，則a－b等于(　　)
X 0 1 2 3
P 0.1 a b 0.1
A.0.2 B．0.1
C．－0.2 D．－0.4
3．學校要從10名候選人中選2名同學進入學生會，其中高二(1)班有4名候選人，假設每名候選人都有相同的機會被選到，若X表示選到高二(1)班的候選人的人數，則E(X)等于(　　)
A. B. C. D.
4．隨機變量X的取值為0,1,2，若P(X＝0)＝，E(X)＝1，則P(X＝1)＝________.
參考答案與詳細解析
問題1　＝＝7×＋8×＋9×＋10×＝8.
知識梳理
x1p1＋x2p2＋…＋xnpn　期望
例1　解　ξ的取值分別為1,2,3,4.
ξ＝1，表明李明第一次參加駕照考試就通過了，故P(ξ＝1)＝0.6.
ξ＝2，表明李明在第一次考試未通過，第二次通過了，故P(ξ＝2)＝(1－0.6)×0.7＝0.28.
ξ＝3，表明李明在第一、二次考試未通過，第三次通過了，故
P(ξ＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)×0.8＝0.096.
ξ＝4，表明李明第一、二、三次考試都未通過，故
P(ξ＝4)＝(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)＝0.024.
故ξ的分布列為
ξ 1 2 3 4
P 0.6 0.28 0.096 0.024
∴均值E(ξ)＝1×0.6＋2×0.28＋3×0.096＋4×0.024＝1.544.
李明在一年內領到駕照的概率為
1－(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)×(1－0.9)＝0.997 6.
跟蹤訓練1　解　由題意知X的可能取值為2,3,4,5.
當X＝2時，表示前2次取的都是紅球，
∴P(X＝2)＝＝；
當X＝3時，表示前2次中取得1個紅球，1個白球或黑球，第3次取紅球，
∴P(X＝3)＝＝；
當X＝4時，表示前3次中取得1個紅球，2個不是紅球，第4次取得紅球，
∴P(X＝4)＝＝；
當X＝5時，表示前4次中取得1個紅球，3個不是紅球，第5次取得紅球，
∴P(X＝5)＝＝.
∴X的分布列為
X 2 3 4 5
P
∴E(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＝4.
知識梳理
0×(1－p)＋1×p＝p
例2　(1)A　[根據題意知隨機變量X服從兩點分布，所以E(X)＝0.3.]
(2)解　①由題意知P(X＝0)＝，P(X＝1)＝.
所以X的分布列為
X 0 1
P
E(X)＝0×＋1×＝.
②由題意知P(Y＝0)＝＝，
P(Y＝1)＝1－P(Y＝0)＝.
所以Y的分布列為
Y 0 1
P
E(Y)＝0×＋1×＝.
跟蹤訓練2　解　根據分布列的性質，針尖向下的概率是1－＝.
則隨機變量X的分布列為
X 0 1
P
E(X)＝0×＋1×＝.
例3　解　(1)設甲同學三道題都答對的事件為A，
則P(A)＝××＝，
所以甲同學至少有一道題不能答對的概率為
P＝1－P(A)＝1－＝.
(2)設甲同學本次競賽中得分為X，則X的可能取值為0,2,4,6,8，
則P(X＝0)＝××＝＝，
P(X＝2)＝××＋××＝＝，
P(X＝4)＝××＋××＝，
P(X＝6)＝××＋××＝＝，
P(X＝8)＝××＝，
所以X的分布列為
X 0 2 4 6 8
P
所以E(X)＝×0＋×2＋×4＋×6＋×8＝＝.
跟蹤訓練3　解　(1)X的所有可能取值有6,2,1，－2，
P(X＝6)＝＝0.63，P(X＝2)＝＝0.25，
P(X＝1)＝＝0.1，P(X＝－2)＝＝0.02.
故X的分布列為
X 6 2 1 －2
P 0.63 0.25 0.1 0.02
(2)E(X)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34(萬元)．
(3)設技術革新后的三等品率為x，則此時1件產品的平均利潤為E(X)＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋1×x＋(－2)×0.01＝4.76－x(0≤x≤0.29)，
依題意，知E(X)≥4.73，即4.76－x≥4.73，
解得x≤0.03，所以三等品率最多為3%.
隨堂演練
1．A　[E(X)＝1×＋2×＋3×＝.]
2．C　[易知a，b∈[0,0.8]，
由0.1＋a＋b＋0.1＝1，得a＋b＝0.8.①
又由E(X)＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.6，
得a＋2b＝1.3，②
由①②，解得a＝0.3，b＝0.5，則a－b＝－0.2.]
3．D　[X的可能取值有0,1,2，
且P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
則E(X)＝0×＋1×＋2×＝.]
4.
解析　設P(X＝1)＝p，因為P(X＝0)＝，E(X)＝1，故0×＋1×p＋2×＝1，即p＋－2p＝1，解得p＝.

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