資源簡介

人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修三
7.3.2第2課時-離散型隨機變量的方差的綜合問題-導(dǎo)學(xué)案
學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.掌握離散型隨機變量的方差的性質(zhì).2.會用離散型隨機變量的均值和方差解決一些實際應(yīng)用問題．
一、方差的性質(zhì)
問題　你能推導(dǎo)出D與D的關(guān)系嗎？
例1　已知X的分布列如表所示：
X －1 0 1
P a
(1)求X2的分布列；
(2)計算X的方差；
(3)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差．
反思感悟　方差性質(zhì)應(yīng)用的關(guān)注點
(1)公式：D(aX＋b)＝a2D(X)．
(2)優(yōu)勢：既避免了求隨機變量Y＝aX＋b的分布列，又避免了涉及大數(shù)的計算，從而簡化了計算過程．
跟蹤訓(xùn)練1　已知隨機變量X的分布列為P(X＝k)＝，k＝1,2,3,4，則D(2X－1)等于(　　)
A. B. C．4 D．5
二、方差的實際應(yīng)用
例2　甲、乙兩名工人加工同一種零件，兩人每天加工的零件數(shù)相同，所得次品數(shù)分別為X，Y，且X和Y的分布列如下表：
X 0 1 2
P 0.6 0.1 0.3
Y 0 1 2
P 0.5 0.3 0.2
根據(jù)次品數(shù)的均值和方差，試對這兩名工人的技術(shù)水平進行比較．
反思感悟　隨機變量的均值反映了隨機變量取值的平均水平，方差反映了隨機變量穩(wěn)定于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫了隨機變量，是生產(chǎn)實際中用于方案取舍的重要理論依據(jù)．一般先比較均值，若均值相同，再用方差來決定．
跟蹤訓(xùn)練2　甲、乙兩個野生動物保護區(qū)有相同的自然環(huán)境，且野生動物的種類和數(shù)量也大致相等，兩個保護區(qū)內(nèi)每個季度發(fā)生違反保護條例的事件次數(shù)的分布列分別為
甲保護區(qū)：
ξ 0 1 2 3
P 0.3 0.3 0.2 0.2
乙保護區(qū)：
η 0 1 2
P 0.1 0.5 0.4
試評定兩個保護區(qū)的管理水平．
三、決策問題
例3　某保險公司對一個擁有20 000人的企業(yè)推出一款意外險產(chǎn)品，每年每位職工只要交少量保費，發(fā)生意外后可一次性獲得若干賠償金，保險公司把企業(yè)的所有崗位共分為A，B，C三類工種，從事這三類工種的人數(shù)分別為12 000，6 000，2 000，由歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計出三類工種的賠付頻率如表(并以此估計賠付概率)：
工種類別 A B C
賠付頻率
已知A，B，C三類工種的職工每人每年保費分別為25元、25元、40元，出險后的賠償金額分別為100萬元、100萬元、50萬元，保險公司在開展此項業(yè)務(wù)過程中的固定支出為每年10萬元．
(1)求保險公司在該業(yè)務(wù)中所獲利潤的均值；
(2)現(xiàn)有如下兩個方案供企業(yè)選擇：
方案1：企業(yè)不與保險公司合作，職工不交保險，出意外企業(yè)自行拿出與保險公司提供的等額賠償金賠付給意外職工，企業(yè)開展這項工作的固定支出為每年12萬元；
方案2：企業(yè)與保險公司合作，企業(yè)負責(zé)職工保費的70%，職工個人負責(zé)保費的30%，出險后賠償金由保險公司賠付，企業(yè)無額外專項開支．
請根據(jù)企業(yè)成本差異給出選擇合適方案的建議．
反思感悟　均值、方差在決策中的作用
(1)均值：均值反映了離散型隨機變量取值的平均水平，均值越大，平均水平越高．
(2)方差：方差反映了離散型隨機變量取值的離散波動程度，方差越大越不穩(wěn)定．
(3)在決策中常結(jié)合實際情形依據(jù)均值、方差做出決斷．
跟蹤訓(xùn)練3　某投資公司對以下兩個項目進行前期市場調(diào)研．項目A：通信設(shè)備．根據(jù)調(diào)研，投資到該項目上，所有可能結(jié)果為獲利40%、虧損20%、不賠不賺，且這三種情況發(fā)生的概率分別為，，a.項目B：新能源汽車．根據(jù)調(diào)研，投資到該項目上，所有可能結(jié)果為獲利30%、虧損10%，且這兩種情況發(fā)生的概率分別為b，c.
經(jīng)測算，當(dāng)投入A，B兩個項目的資金相等時，它們所獲得的平均收益(即均值)也相等．
(1)求a，b，c的值；
(2)若將100萬元全部投到其中一個項目，請你從投資回報穩(wěn)定性的角度考慮，為投資公司選擇一個合理的項目，并說明理由．
1．知識清單：
(1)方差的性質(zhì)．
(2)方差的實際應(yīng)用．
2．方法歸納：轉(zhuǎn)化化歸．
3．常見誤區(qū)：公式計算錯誤．
1．已知隨機變量X滿足D(X)＝2，則D(3X＋2)等于(　　)
A．6 B．8 C．18 D．20
2．已知隨機變量ξ滿足P(ξ＝1)＝0.3，P(ξ＝2)＝0.7，則E(ξ)和D(ξ)的值分別為(　　)
A．0.6和0.7 B．1.7和0.09
C．0.3和0.7 D．1.7和0.21
3．設(shè)0＜a＜，隨機變量X的分布列是：
X －1 1 2
P －a ＋
則當(dāng)D(X)最大時的a的值是(　　)
A. B. C. D.
4．已知隨機變量ξ的分布列如下表，D(ξ)表示ξ的方差，則D(2ξ＋1)＝________.
ξ 0 1 2
P a 1－2a
參考答案與詳細解析
問題　D＝a2D.
例1　解　(1)由分布列的性質(zhì)知＋＋a＝1，
解得a＝，
所以X2的分布列為
X2 0 1
P
(2)方法一　由(1)知a＝，
所以E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－，
D(X)＝2×＋2×＋2×＝.
方法二　由(1)知a＝，
所以E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－.
E(X2)＝0×＋1×＝，
所以D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝.
(3)因為Y＝4X＋3，所以E(Y)＝4E(X)＋3＝2，
D(Y)＝42D(X)＝11.
跟蹤訓(xùn)練1　D　[∵P(X＝k)＝，k＝1,2,3,4，
∴E(X)＝×(1＋2＋3＋4)＝，
D(X)
＝×
＝，
∴D(2X－1)＝22D(X)＝4×＝5.]
例2　解　E(X)＝0.1＋0.6＝0.7，
D(X)＝0.72×0.6＋0.32×0.1＋1.32×0.3＝0.294＋0.009＋0.507＝0.81.
E(Y)＝0.3＋0.4＝0.7，
D(Y)＝0.72×0.5＋0.32×0.3＋1.32×0.2＝0.245＋0.027＋0.338＝0.61.
E(X)＝E(Y)，D(X)>D(Y)，
兩者的均值相同，但乙的穩(wěn)定性比甲好，故可認為乙的技術(shù)水平更高．
跟蹤訓(xùn)練2　解　甲保護區(qū)的違規(guī)次數(shù)ξ的均值和方差分別為E(ξ)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3，
D(ξ)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21.
乙保護區(qū)的違規(guī)次數(shù)η的均值和方差分別為
E(η)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3，
D(η)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.
因為E(ξ)＝E(η)，D(ξ)＞D(η)，所以兩個保護區(qū)內(nèi)每個季度發(fā)生的違規(guī)事件的平均次數(shù)相同，但甲保護區(qū)的違規(guī)事件次數(shù)相對分散和波動，乙保護區(qū)內(nèi)的違規(guī)事件次數(shù)更集中和穩(wěn)定，故乙保護區(qū)的管理水平較高．
例3　解　(1)設(shè)工種A，B，C職工的每份保單保險公司的收益為隨機變量X，Y，Z，則X，Y，Z的分布列分別為
X 25 25－100×104
P 1－
Y 25 25－100×104
P 1－
Z 40 40－50×104
P 1－
所以E(X)＝25×＋(25－100×104)×＝15(元)，
E(Y)＝25×＋(25－100×104)×＝5(元)，
E(Z)＝40×＋(40－50×104)×＝－10(元)，
保險公司所獲利潤的均值為12 000×15＋6 000×5－2 000×10－100 000＝90 000(元)，所以保險公司在該業(yè)務(wù)中所獲利潤的均值為9萬元．
(2)方案1：企業(yè)不與保險公司合作，則企業(yè)每年安全支出與固定開支共為12 000×100×104 ×＋6 000×100×104×＋2 000×50×104×＋12×104＝46×104(元)；
方案2：企業(yè)與保險公司合作，則企業(yè)支出保險金額為(12 000×25＋6 000×25＋2 000×40) ×0.7＝37.1×104(元)．因為46×104>37.1×104，
所以建議企業(yè)選擇方案2.
跟蹤訓(xùn)練3　解　(1)依題意，得＋＋a＝1，解得a＝.
設(shè)投到項目A，B的資金都為x萬元，變量X1和X2分別表示投資項目A和B所獲得的利潤，
則X1和X2的分布列分別為
X1 0.4x －0.2x 0
P
X2 0.3x －0.1x
P b c
所以E(X1)＝0.4x×＋(－0.2x)×＋0×＝0.2x，
E(X2)＝0.3bx－0.1cx，
因為E(X1)＝E(X2)，
所以0.3bx－0.1cx＝0.2x，
即0.3b－0.1c＝0.2.①
又b＋c＝1，②
由①②，解得b＝，c＝，
所以a＝，b＝，c＝.
(2)選擇項目B.理由如下：
當(dāng)投入100萬元資金時，由(1)知x＝100，
所以E(X1)＝E(X2)＝20，
D(X1)＝(40－20)2×＋(－20－20)2×＋(0－20)2×＝600，
D(X2)＝(30－20)2×＋(－10－20)2×＝300.
因為E(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2)，說明雖然項目A和項目B的平均收益相等，但項目B更穩(wěn)妥，所以從風(fēng)險回報穩(wěn)定性的角度考慮，建議該投資公司選擇項目B.
隨堂演練
1．C　[∵D(X)＝2，∴D(3X＋2)＝9D(X)＝18.]
2．D　[E(ξ)＝1×0.3＋2×0.7＝1.7，
D(ξ)＝(1－1.7)2×0.3＋(2－1.7)2×0.7＝0.21.]
3．D　[根據(jù)隨機變量的分布列和均值與方差的計算公式，
可得E(X)＝－1×＋1×＋2×＝，
又由E(X2)＝1×＋1×＋22×
＝1＋a，
可得D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝1＋a－
＝－2＋，
因為04．2
解析　由分布列知，a＋(1－2a)＋＝1，解得a＝，
于是得E(ξ)＝0×a＋1×(1－2a)＋2×＝1，
D(ξ)＝a×(1－0)2＋(1－2a)(1－1)2＋×(1－2)2＝，
所以D(2ξ＋1)＝4D(ξ)＝4×＝2.人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修三
7.3.2第1課時-離散型隨機變量的方差-導(dǎo)學(xué)案
學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.理解離散型隨機變量的方差及標(biāo)準(zhǔn)差的概念.2.能計算簡單離散型隨機變量的方差，并能解決一些實際問題．
一、離散型隨機變量的方差
問題　要從甲、乙兩名同學(xué)中挑出一名代表班級參加射擊比賽．根據(jù)以往的成績記錄，應(yīng)派哪位同學(xué)參賽？
甲同學(xué)擊中目標(biāo)靶的環(huán)數(shù)X1的分布列為
X1 5 6 7 8 9 10
P 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10
乙同學(xué)擊中目標(biāo)靶的環(huán)數(shù)X2的分布列為
X2 5 6 7 8 9
P 0.01 0.05 0.20 0.41 0.33
知識梳理
方差：設(shè)離散型隨機變量X的分布列為
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
考慮X所有可能取值xi與E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2 ，…，(xn－E(X))2 ，因為X取每個值的概率不盡相同，所以我們用偏差平方關(guān)于取值概率的加權(quán)平均，來度量隨機變量X取值與其均值E(X)的偏離程度，我們稱
D(X)＝______________________________＝____________________________為隨機變量X的________，有時也記為Var(X)，并稱為隨機變量X的________，記為σ(X)．
例1　(多選)下列說法正確的是(　　)
A．離散型隨機變量的方差越大，隨機變量越穩(wěn)定
B．若a是常數(shù)， 則D(a)＝0
C．離散型隨機變量的方差反映了隨機變量偏離于均值的平均程度
D．隨機變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機變量取值偏離均值的平均程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則偏離變量的平均程度越小
反思感悟　方差反應(yīng)了隨機變量取值的離散程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，隨機變量的取值越集中；方差或標(biāo)準(zhǔn)差越大，隨機變量的取值越分散．
跟蹤訓(xùn)練1　(多選)下列說法中錯誤的是(　　)
A．離散型隨機變量X的均值E(X)反映了X取值的概率的平均值
B．離散型隨機變量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平
C．離散型隨機變量X的均值E(X)反映了X取值的平均水平
D．離散型隨機變量X的方差D(X)反映了X取值的概率的平均值
二、方差的計算
例2　有10張卡片，其中8張標(biāo)有數(shù)字2,2張標(biāo)有數(shù)字5，從中隨機地抽取3張卡片，設(shè)3張卡片數(shù)字之和為ξ，求E(ξ)和D(ξ)．
反思感悟　求離散型隨機變量方差的步驟
(1)理解隨機變量X的意義，寫出X的所有取值．
(2)求出X取每個值的概率．
(3)寫出X的分布列．
(4)計算E(X)．
(5)計算D(X)．
跟蹤訓(xùn)練2　(1)設(shè)離散型隨機變量X的分布列為
X 1 2 3 4
P
則D(X)等于(　　)
A. B. C. D.
(2)在一組樣本數(shù)據(jù)中，1,2,3,4出現(xiàn)的頻率分別為p1，p2，p3，p4，且i＝1，則下面四種情形中，對應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組是(　　)
A．p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4
B．p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1
C．p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3
D．p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2
三、方差的簡單應(yīng)用
例3　有甲、乙兩種建筑材料，從中各取等量樣品檢查它們的抗拉強度如表所示：
ξA 110 120 125 130 135
P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
ξB 100 115 125 130 145
P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
其中，ξA，ξB分別表示甲、乙兩種材料的抗拉強度，在使用時要求抗拉強度不低于120，試比較甲、乙兩種建筑材料的穩(wěn)定程度(哪一個的穩(wěn)定性較好)．
反思感悟　(1)解題時可采用比較分析法，通過比較兩個隨機變量的均值和方差得出結(jié)論．
(2)均值體現(xiàn)了隨機變量取值的平均水平，有時只比較均值往往是不恰當(dāng)?shù)模€需比較方差，才能準(zhǔn)確地得出更適合的結(jié)論．
跟蹤訓(xùn)練3　甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個相互獨立的隨機變量ξ與η，且ξ，η的分布列如下表所示．
ξ 1 2 3
P a 0.1 0.6
η 1 2 3
P 0.3 b 0.3
(1)求a，b的值；
(2)計算ξ，η的均值與方差，并以此分析甲、乙的技術(shù)狀況．
1.知識清單：離散型隨機變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差.
2.方法歸納：公式法.
3.常見誤區(qū)：方差公式套用錯誤.
1．已知隨機變量X的分布列為P(X＝k)＝，k＝3,6,9，則D(X)等于(　　)
A．6 B．9 C．3 D．4
2．設(shè)隨機試驗的結(jié)果只有A發(fā)生和A不發(fā)生，且P(A)＝m，令隨機變量X＝則X的方差D(X)等于(　　)
A．m B．2m(1－m)
C．m(m－1) D．m(1－m)
3．已知離散型隨機變量X的分布列為
X 1 3 5
P 0.5 m 0.2
則其方差D(X)等于(　　)
A．1 B．0.6 C．2.44 D．2.4
4．已知隨機變量ξ的分布列為
ξ －1 0 1
P a b c
若a，b，c成等差數(shù)列，且E(ξ)＝，則b的值是________，D(ξ)的值是________．
參考答案與詳細解析
問題　E(X1)＝8，E(X2)＝8，因為兩個均值相等，所以只根據(jù)均值無法判斷這兩名同學(xué)的射擊水平．可以利用樣本方差，它可以刻畫樣本數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性．
知識梳理
(x1－E(X))2 p1 ＋(x2－E(X))2 p2＋…＋(xn－E(X))2pn　(xi－E(X))2pi　方差　標(biāo)準(zhǔn)差
例1　BCD　[隨機變量的方差越小，隨機變量越穩(wěn)定．
所以A錯誤．]
跟蹤訓(xùn)練1　ABD　[E(X)反映了X取值的平均水平，D(X)反映了X取值的離散程度．]
例2　解　這3張卡片上的數(shù)字之和為ξ，ξ的可能取值為6,9,12.
ξ＝6表示取出的3張卡片上均標(biāo)有2，
則P(ξ＝6)＝＝；
ξ＝9表示取出的3張卡片上兩張標(biāo)有2，一張標(biāo)有5，
則P(ξ＝9)＝＝；
ξ＝12表示取出的3張卡片上一張標(biāo)有2，兩張標(biāo)有5，
則P(ξ＝12)＝＝.
∴ξ的分布列為
ξ 6 9 12
P
∴E(ξ)＝6×＋9×＋12×＝7.8，
D(ξ)＝(6－7.8)2×＋(9－7.8)2×＋(12－7.8)2×＝3.36.
跟蹤訓(xùn)練2　(1)C　[由題意知，
E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝，
故D(X)＝2×＋2×＋2×＋2×＝.]
(2)B　[對于A選項，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為A＝(1＋4)×0.1＋(2＋3)×0.4＝2.5，
方差為s＝(1－2.5)2×0.1＋(2－2.5)2×0.4＋(3－2.5)2×0.4＋(4－2.5)2×0.1＝0.65；
對于B選項，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為B＝(1＋4)×0.4＋(2＋3)×0.1＝2.5，
方差為s＝(1－2.5)2×0.4＋(2－2.5)2×0.1＋(3－2.5)2×0.1＋(4－2.5)2×0.4＝1.85；
對于C選項，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為C＝(1＋4)×0.2＋(2＋3)×0.3＝2.5，
方差為s＝(1－2.5)2×0.2＋(2－2.5)2×0.3＋(3－2.5)2×0.3＋(4－2.5)2×0.2＝1.05；
對于D選項，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為D＝(1＋4)×0.3＋(2＋3)×0.2＝2.5，
方差為s＝(1－2.5)2×0.3＋(2－2.5)2×0.2＋(3－2.5)2×0.2＋(4－2.5)2×0.3＝1.45.
因此，B選項這一組的標(biāo)準(zhǔn)差最大．]
例3　解　E(ξA)＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125，
E(ξB)＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125.
D(ξA)＝0.1×(110－125)2＋0.2×(120－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(135－125)2＝50，
D(ξB)＝0.1×(100－125)2＋0.2×(115－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(145－125)2＝165.
由此可見E(ξA)＝E(ξB)，D(ξA)故兩種材料的抗拉強度的均值相等，但穩(wěn)定程度材料乙明顯不如材料甲，即甲的穩(wěn)定性較好．
跟蹤訓(xùn)練3　解　(1)由離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)可知a＋0.1＋0.6＝1，∴a＝0.3.
同理0.3＋b＋0.3＝1，
∴b＝0.4.
(2)E(ξ)＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3，
E(η)＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2，
D(ξ)＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81，
D(η)＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6.
由于E(ξ)>E(η)，說明在一次射擊中，甲的平均得分比乙高，但D(ξ)>D(η)，說明甲得分的穩(wěn)定性不如乙，因此甲、乙兩人技術(shù)水平都不夠全面，各有優(yōu)劣．
隨堂演練
1．A　[由題意得E(X)＝3×＋6×＋9×＝6，
D(X)＝(3－6)2×＋(6－6)2×＋(9－6)2×＝6.]
2．D　[由題意P(X＝1)＝m，P(X＝0)＝1－m，所以E(X)＝m，所以D(X)＝(0－m)2(1－m)＋(1－m)2m＝m(1－m)．]
3．C　[由離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)
得0.5＋m＋0.2＝1，解得m＝0.3，
∴E(X)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4，
∴D(X)＝(1－2.4)2×0.5＋(3－2.4)2×0.3＋(5－2.4)2×0.2＝2.44.]
4.　
解析　由a，b，c成等差數(shù)列得2b＝a＋c，①
又由分布列得a＋b＋c＝1，②
E(ξ)＝－a＋c＝，③
聯(lián)立①②③解得a＝，b＝，c＝，
則D(ξ)＝2×＋2×＋2×＝.

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