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人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修三-7.4.1第2課時(shí)-二項(xiàng)分布的綜合問題-導(dǎo)學(xué)案
學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.掌握二項(xiàng)分布的均值與方差公式.2.能利用二項(xiàng)分布解決一些簡單的實(shí)際問題．
一、二項(xiàng)分布的均值與方差
問題　若隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(n，p)，那么X的均值和方差各是什么？
知識(shí)梳理
1．若X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)＝________，D(X)＝________.
2．若X～B(n，p)，則E(X)＝____________，D(X)＝________.
例1　(1)已知X～B(10,0.5)，Y＝2X－8，則E(Y)等于(　　)
A．6 B．2 C．4 D．3
(2)將一個(gè)半徑適當(dāng)?shù)男∏蚍湃肴鐖D所示的容器最上方的入口處，小球自由下落，在下落的過程中，小球?qū)⒂龅胶谏系K物3次，最后落入A袋或B袋中，已知小球每次遇到障礙物時(shí)，向左、右兩邊下落的概率分別是，.
(1)分別求出小球落入A袋和B袋中的概率；
(2)在容器的入口處依次放入4個(gè)小球，記ξ為落入B袋中的小球的個(gè)數(shù)，求ξ的分布列、均值和方差．
反思感悟　解決此類問題第一步是判斷隨機(jī)變量X服從什么分布，第二步代入相應(yīng)的公式求解．若X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)；若X服從二項(xiàng)分布，即X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
跟蹤訓(xùn)練1　某一智力游戲玩一次所得的積分是一個(gè)隨機(jī)變量X，其分布列如下表，均值E(X)＝2.
X 0 3 6
P a b
(1)求a和b的值；
(2)某同學(xué)連續(xù)玩三次該智力游戲，記積分X大于0的次數(shù)為Y，求Y的分布列與均值．
二、二項(xiàng)分布的實(shí)際應(yīng)用
例2　為紀(jì)念中國共產(chǎn)黨成立100周年，某學(xué)校組織黨史知識(shí)競賽，競賽規(guī)則是：兩人組成一個(gè)“組合”，進(jìn)行多輪競賽，每一輪競賽中，一個(gè)“組合”的兩人分別各答3道題，若答對(duì)的題目總數(shù)不少于5道題，此“組合”獲得20分．已知小華和小夏兩人組成“華夏組合”，小華、小夏每道題答對(duì)的概率分別是和，且每道題答對(duì)與否互不影響．
(1)求“華夏組合”在一輪競賽中獲得20分的概率；
(2)若每輪競賽互不影響，“華夏組合”期望至少要獲得100分，則理論上至少要進(jìn)行多少輪競賽？
反思感悟　(1)二項(xiàng)分布的實(shí)際應(yīng)用類問題的求解步驟
①根據(jù)題意設(shè)出隨機(jī)變量；
②分析隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布；
③求出參數(shù)n和p的值；
④根據(jù)二項(xiàng)分布的均值、方差的計(jì)算公式求解．
(2)利用二項(xiàng)分布求解“至少”“至多”問題的概率，其實(shí)質(zhì)是求在某一取值范圍內(nèi)的概率，一般轉(zhuǎn)化為幾個(gè)互斥事件發(fā)生的概率的和，或者利用對(duì)立事件求概率．
跟蹤訓(xùn)練2　一名學(xué)生每天騎自行車上學(xué)，從家到學(xué)校的途中有5個(gè)交通崗，假設(shè)他在各交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的，并且概率都是.
(1)求這名學(xué)生在途中遇到紅燈的次數(shù)ξ的均值；
(2)求這名學(xué)生在首次遇到紅燈或到達(dá)目的地停車前經(jīng)過的路口數(shù)η的分布列；
(3)求這名學(xué)生在途中至少遇到一次紅燈的概率．
三、二項(xiàng)分布的性質(zhì)
例3　某一批產(chǎn)品的合格率為95%，那么在取出的20件產(chǎn)品中，最有可能有幾件產(chǎn)品合格？
反思感悟　二項(xiàng)分布概率最大問題的求解思路
可以用≤1(0≤k≤n－1，k∈N)來求，還可以考慮用不等式組
(k∈N，1≤k≤n－1)來求．
跟蹤訓(xùn)練3　若X～B，則P(X＝k)(0≤k≤20且k∈N)取得最大值時(shí)，k＝______.
1．知識(shí)清單：
(1)二項(xiàng)分布的均值、方差．
(2)二項(xiàng)分布的性質(zhì)．
2．方法歸納：公式法．
3．常見誤區(qū)：判斷隨機(jī)變量X是否服從二項(xiàng)分布．
1．已知X～B，則E(X＋1)等于(　　)
A. B．1 C. D.
2．若隨機(jī)變量X～B，則使P(X＝k)最大的k的值是(　　)
A．2 B．3 C．2或3 D．4
3．在某校籃球隊(duì)的首輪選拔測(cè)試中，參加測(cè)試的5名同學(xué)的投籃命中率分別為，，，，，每人均有10次投籃機(jī)會(huì)，至少投中6次才能晉級(jí)下一輪測(cè)試，假設(shè)每人每次投籃相互獨(dú)立，則晉級(jí)下一輪的大約有(　　)
A．1人 B．2人 C．3人 D．4人
已知隨機(jī)變量X～B(4，p)，E(X)＝3，則D(X)＝________.
參考答案與詳細(xì)解析
問題　當(dāng)n＝1時(shí)，X服從兩點(diǎn)分布，分布列為
X 0 1
P 1－p p
E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．
二項(xiàng)分布的分布列為(q＝1－p)
X 0 1 … k … n
P Cp0qn Cp1qn－1 … Cpkqn－k … Cpnq0
則E(X)＝0×Cp0qn＋1×Cp1qn－1＋2×Cp2qn－2＋…＋kCpkqn－k＋…＋nCpnq0，
由kC＝nC，
可得E(X)＝n×Cp1qn－1＋n×Cp2qn－2＋…＋nCpkqn－k＋…＋nCpnq0
＝np(Cp0qn－1＋Cp1qn－2＋…＋Cpk－1qn－k＋…＋Cpn－1q0)
＝np(p＋q)n－1＝np，
同理可得D(X)＝np(1－p)．
知識(shí)梳理
1．p　p(1－p)
2．np　np(1－p)
例1　(1)B　[由題意，隨機(jī)變量X～B(10,0.5)，可得E(X)＝10×0.5＝5，
因?yàn)閅＝2X－8，可得E(Y)＝2E(X)－8＝2×5－8＝2.]
(2)解　①設(shè)M＝“小球落入A袋”，N＝“小球落入B袋”，
則P(M)＝××＋××＝，
所以P(N)＝1－P(M)＝1－＝.
②易知ξ～B，
則ξ的分布列為
P(ξ＝k)＝Ck4－k(k＝0,1,2,3,4)，
故P(ξ＝0)＝，
P(ξ＝1)＝，
P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝，
P(ξ＝4)＝.
故ξ的分布列為
ξ 0 1 2 3 4
P
E(ξ)＝4×＝，
D(ξ)＝4××＝.
跟蹤訓(xùn)練1　解　(1)因?yàn)镋(X)＝2，所以0×＋3×a＋6×b＝2，即3a＋6b＝2.①
又＋a＋b＝1，得a＋b＝，②
聯(lián)立①②，解得a＝，b＝.
(2)P(X>0)＝，
依題意知Y～B，
故P(Y＝0)＝3＝，
P(Y＝1)＝C××2＝，
P(Y＝2)＝C×2×＝，
P(Y＝3)＝3＝.
故Y的分布列為
Y 0 1 2 3
P
方法一　Y的均值為E(Y)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
方法二　E(Y)＝3×＝.
例2　解　(1)設(shè)小夏和小華答對(duì)的題目個(gè)數(shù)分別為a1和a2，
則所求的概率P＝P(a1＝2，a2＝3)＋P(a1＝3，a2＝2)＋P(a1＝3，a2＝3)
＝C2××3＋3×C×2×＋3×3＝，
故“華夏組合”在一輪競賽中獲得20分的概率為.
(2)依題意知“華夏組合”在競賽中得分的輪數(shù)X滿足X～B(n，p)，
由(1)得p＝，據(jù)此，由np≥5 n≥5 n≥
≈8.4，
所以“華夏組合”期望至少要獲得100分，則理論上至少要進(jìn)行9輪競賽．
跟蹤訓(xùn)練2　解　(1)方法一　由ξ～B，得
P(ξ＝k)＝C×k×5－k，k＝0,1,2,3,4,5.
即P(ξ＝0)＝C×0×5＝，
P(ξ＝1)＝C××4＝，
P(ξ＝2)＝C×2×3＝，
P(ξ＝3)＝C×3×2＝，
P(ξ＝4)＝C×4×＝，
P(ξ＝5)＝C×5＝.
故ξ的分布列為
ξ 0 1 2 3 4 5
P
∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝.
方法二　∵ξ～B，∴E(ξ)＝5×＝.
(2)η的分布列為P(η＝k)＝P(前k個(gè)是綠燈，第k＋1個(gè)是紅燈)＝k×，k＝0,1,2,3,4，
即P(η＝0)＝0×＝，
P(η＝1)＝×＝，
P(η＝2)＝2×＝，
P(η＝3)＝3×＝，
P(η＝4)＝4×＝，
P(η＝5)＝5＝.
故η的分布列為
η 0 1 2 3 4 5
P
(3)所求概率為P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)
＝1－5＝.
例3　解　設(shè)在取出的20件產(chǎn)品中，合格產(chǎn)品有X件，則X～B(20,0.95)，則恰好有k件產(chǎn)品合格的概率為P(X＝k)＝C×0.95k×0.0520－k(0≤k≤20且k∈N)．
∴＝
＝
＝1＋
＝1＋(1≤k≤20且k∈N)．
則當(dāng)k<19.95時(shí)，P(X＝k－1)當(dāng)k>19.95時(shí)，P(X＝k－1)>P(X＝k)，
∴<1.
由以上分析可知，在取出的20件產(chǎn)品中，合格品有19件的概率最大，即最有可能有19件合格品．
跟蹤訓(xùn)練3　6或7
解析　由題意知，X服從二項(xiàng)分布，
所以P(X＝k)＝Ck20－k
＝Ck20－k,0≤k≤20且k∈N.
由不等式≤1(0≤k≤19且k∈N)，
得×≤1，
解得k≥6.
所以當(dāng)k≥6時(shí)，P(X＝k)≥P(X＝k＋1)；
當(dāng)k<6時(shí)，P(X＝k＋1)>P(X＝k)．
因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)k＝6時(shí)，P(X＝k＋1)＝P(X＝k)，
所以當(dāng)k＝6或k＝7時(shí)，P(X＝k)取得最大值．
隨堂演練
1．D　[由題意知，隨機(jī)變量X～B，可得E(X)＝np＝5×＝，
所以E(X＋1)＝E(X)＋1＝＋1＝.]
2．B　[由＝＝≥1，得k≤2.5，所以當(dāng)k＝2時(shí)，P(X＝2)＝，當(dāng)k＝3時(shí)，P(X＝3)＝，從而X＝3時(shí)，P(X＝k)取最大值，即k＝3.]
3．C　[5名同學(xué)投籃各10次，相當(dāng)于各做了10次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，他們投中的次數(shù)服從二項(xiàng)分布，則他們投中的均值分別為10×＝6,10×<6,10×>6,10×>6,10×<6.故晉級(jí)下一輪的大約有3人．]
4.
解析　由二項(xiàng)分布的性質(zhì)知4p＝3，即p＝，所以D(X)＝4p(1－p)＝.人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修三-7.4.1第1課時(shí)-二項(xiàng)分布-導(dǎo)學(xué)案
學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.理解n重伯努利試驗(yàn)的概念.2.掌握二項(xiàng)分布的概率表達(dá)形式.3.能利用n重伯努利試驗(yàn)及二項(xiàng)分布解決一些簡單的實(shí)際問題．
一、n重伯努利試驗(yàn)
問題1　觀察下面試驗(yàn)有什么共同的特點(diǎn)？
(1)投擲一枚相同的硬幣5次，每次正面向上的概率為0.5；
(2)某同學(xué)玩射擊氣球游戲，每次射擊擊破氣球的概率為0.7，現(xiàn)有氣球10個(gè)；
(3)某籃球隊(duì)員罰球命中率為0.8，罰球6次．
知識(shí)梳理
1．n重伯努利試驗(yàn)：將一個(gè)伯努利試驗(yàn)______________進(jìn)行n次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱為n重伯努利試驗(yàn)．
2．n重伯努利試驗(yàn)的共同特征：
(1)同一個(gè)伯努利試驗(yàn)________做n次；
(2)各次試驗(yàn)的結(jié)果____________．
例1　判斷下列試驗(yàn)是不是n重伯努利試驗(yàn)：
(1)依次投擲四枚質(zhì)地不同的硬幣，3次正面向上；
(2)某人射擊，擊中目標(biāo)的概率是穩(wěn)定的，他連續(xù)射擊了10次，其中6次擊中；
(3)口袋中裝有5個(gè)白球，3個(gè)紅球，2個(gè)黑球，依次從中抽取5個(gè)球，恰好抽出4個(gè)白球．
反思感悟　n重伯努利試驗(yàn)的判斷依據(jù)
(1)要看該試驗(yàn)是不是在相同的條件下可以重復(fù)進(jìn)行．
(2)每次試驗(yàn)相互獨(dú)立，互不影響．
(3)每次試驗(yàn)都只有兩種結(jié)果，即事件發(fā)生、不發(fā)生．
跟蹤訓(xùn)練1　(多選)下列事件不是n重伯努利試驗(yàn)的是(　　)
A．運(yùn)動(dòng)員甲射擊一次，“射中9環(huán)”與“射中8環(huán)”
B．甲、乙兩運(yùn)動(dòng)員各射擊一次，“甲射中10環(huán)”與“乙射中9環(huán)”
C．甲、乙兩運(yùn)動(dòng)員各射擊一次，“甲、乙都射中目標(biāo)”與“甲、乙都沒射中目標(biāo)”
D．在相同的條件下，甲射擊10次，5次擊中目標(biāo)
二、二項(xiàng)分布的推導(dǎo)
問題2　連續(xù)投擲一枚圖釘3次，且每次針尖向上的概率為p，針尖向下的概率為q，則僅出現(xiàn)1次針尖向上的概率是多少？
問題3　類似地，連續(xù)投擲一枚圖釘3次，出現(xiàn)k(k＝0,1,2,3)次針尖向上的概率是多少？有什么規(guī)律？
知識(shí)梳理
二項(xiàng)分布：一般地，在n重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p(0如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作__________．
例2　甲、乙兩人各射擊一次，擊中目標(biāo)的概率分別是和，假設(shè)甲、乙每次射擊是否擊中目標(biāo)，相互之間沒有影響．(結(jié)果需用分?jǐn)?shù)作答)
(1)求甲射擊3次，至少有1次未擊中目標(biāo)的概率；
(2)求兩人各射擊2次，甲恰好擊中目標(biāo)2次且乙恰好擊中目標(biāo)1次的概率．
反思感悟　n重伯努利試驗(yàn)概率求法的三個(gè)步驟
(1)判斷：依據(jù)n重伯努利試驗(yàn)的特征，判斷所給試驗(yàn)是否為n重伯努利試驗(yàn)．
(2)分拆：判斷所求事件是否需要分拆．
(3)計(jì)算：就每個(gè)事件依據(jù)n重伯努利試驗(yàn)的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式計(jì)算．
跟蹤訓(xùn)練2　現(xiàn)有4個(gè)人去參加某娛樂活動(dòng)，該活動(dòng)有甲、乙兩個(gè)游戲可供參加者選擇．為增加趣味性，約定：每個(gè)人通過擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己參加哪個(gè)游戲，擲出點(diǎn)數(shù)為1或2的人參加甲游戲，擲出點(diǎn)數(shù)大于2的人參加乙游戲．
(1)求這4個(gè)人中恰有2人參加甲游戲的概率；
(2)求這4個(gè)人中參加甲游戲的人數(shù)大于參加乙游戲的人數(shù)的概率．
三、二項(xiàng)分布的簡單應(yīng)用
例3　“石頭、剪刀、布”是一種廣泛流傳于我國民間的古老游戲，其規(guī)則是：用三種不同的手勢(shì)分別表示石頭、剪刀、布；兩個(gè)玩家同時(shí)出示各自手勢(shì)1次記為1次游戲，“石頭”勝“剪刀”，“剪刀”勝“布”，“布”勝“石頭”；雙方出示的手勢(shì)相同時(shí)，不分勝負(fù)．現(xiàn)假設(shè)玩家甲、乙雙方在游戲時(shí)出示三種手勢(shì)是等可能的．
(1)求在1次游戲中玩家甲勝玩家乙的概率；
(2)若玩家甲、乙兩方共進(jìn)行了3次游戲，其中玩家甲勝玩家乙的次數(shù)記作隨機(jī)變量X，求X的分布列．
反思感悟　二項(xiàng)分布問題的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)
(1)對(duì)立性，即一次試驗(yàn)中，事件發(fā)生與否兩者必有其一．
(2)重復(fù)性，即試驗(yàn)是獨(dú)立重復(fù)地進(jìn)行了n次．
跟蹤訓(xùn)練3　某一中學(xué)生心理咨詢中心服務(wù)電話接通率為，某班3名同學(xué)商定明天分別就同一問題詢問該服務(wù)中心．且每人只撥打一次，求他們中成功咨詢的人數(shù)X的分布列．
1．知識(shí)清單：
(1)n重伯努利試驗(yàn)的概念及特征．
(2)二項(xiàng)分布的概念及表示．
2．方法歸納：數(shù)學(xué)建模．
3．常見誤區(qū)：二項(xiàng)分布的判斷錯(cuò)誤．
1．隨機(jī)變量X～B，則P(X＝2)等于(　　)
A. B. C. D.
2．某檔深受觀眾喜愛的綜藝節(jié)目采用組團(tuán)比賽的方式進(jìn)行，參賽選手需要全部參加完五場公開比賽，其中五場中有四場獲勝，就能取得參加決賽的資格．若某參賽選手每場比賽獲勝的概率是，則這名選手能參加決賽的概率是(　　)
A. B. C. D.
3．在4重伯努利試驗(yàn)中，若事件A至少發(fā)生1次的概率為，則事件A在1次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為(　　)
A. B. C. D.
4．從次品率為0.1的一批產(chǎn)品中任取4件，恰有兩件次品的概率為________．
參考答案與詳細(xì)解析
問題1　(1)相同條件下的試驗(yàn)：5次、10次、6次；
(2)每次試驗(yàn)相互獨(dú)立；
(3)每次試驗(yàn)只有兩種可能的結(jié)果：發(fā)生或不發(fā)生；
(4)每次試驗(yàn)發(fā)生的概率相同，為p，不發(fā)生的概率也相同，為1－p.
知識(shí)梳理
1．獨(dú)立地重復(fù)　2.(1)重復(fù)　(2)相互獨(dú)立
例1　解　(1)由于試驗(yàn)的條件不同(質(zhì)地不同)，因此不是n重伯努利試驗(yàn)．
(2)某人射擊且擊中的概率是穩(wěn)定的，因此是n重伯努利試驗(yàn)．
(3)每次抽取，試驗(yàn)的結(jié)果有三種不同的顏色，且每種顏色出現(xiàn)的可能性不相等，因此不是n重伯努利試驗(yàn)．
跟蹤訓(xùn)練1　ABC　[A，C符合互斥事件的概念，是互斥事件；B是相互獨(dú)立事件；D是n重伯努利試驗(yàn)．]
問題2　連續(xù)擲一枚圖釘3次，就是做3次伯努利試驗(yàn)，用Ai(i＝1,2,3)表示第i次擲得針尖向上的事件，用B1表示“僅出現(xiàn)一次針尖向上”的事件，則B1＝(A1)∪(A2)∪ (A3)．由此可得P(B1)＝q2p＋q2p＋q2p＝3q2p.
問題3　用Ai(i＝1,2,3)表示事件“第i次擲得針尖向上”，
用Bk(k＝0,1,2,3)表示事件“出現(xiàn)k次針尖向上”，
P(B0)＝P()＝q3＝Cp0q3，
P(B1)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝3q2p＝Cp1q2，
P(B2)＝P(A1A2)＋P(A2A3)＋P(A1A3)＝3qp2＝Cp2q1，
P(B3)＝P(A1A2A3)＝p3＝Cp3q0，
規(guī)律：P(Bk)＝Cpkq3－k，k＝0,1,2,3.
知識(shí)梳理
Cpk(1－p)n－k　X～B(n，p)
例2　解　(1)記“甲射擊3次至少有1次未擊中目標(biāo)”為事件A1，由題意，知射擊3次，相當(dāng)于3重伯努利試驗(yàn)，故P(A1)＝1－P()＝1－3＝.
(2)記“甲射擊2次，恰有2次擊中目標(biāo)”為事件A2，“乙射擊2次，恰有1次擊中目標(biāo)”為事件B2，
則P(A2)＝C×2＝，
P(B2)＝C×1×＝，
由于甲、乙射擊相互獨(dú)立，
故P(A2B2)＝×＝.
跟蹤訓(xùn)練2　解　(1)依題意知，這4個(gè)人中，每個(gè)人參加甲游戲的概率為，參加乙游戲的概率為.
設(shè)“這4個(gè)人中恰有k人參加甲游戲”為事件Ak(k＝0,1,2,3,4)．
則P(Ak)＝C·k4－k.
故這4個(gè)人中恰有2人參加甲游戲的概率為
P(A2)＝C×2×2＝.
(2)設(shè)“這4個(gè)人中參加甲游戲的人數(shù)大于參加乙游戲的人數(shù)”為事件B，則B＝A3＋A4.
由于A3與A4互斥，故P(B)＝P(A3)＋P(A4)＝C×3×＋C×4＝，
所以這4個(gè)人中參加甲游戲的人數(shù)大于參加乙游戲的人數(shù)的概率為.
例3　解　(1)玩家甲、乙雙方在1次游戲中出示手勢(shì)的所有可能結(jié)果是(石頭，石頭)，(石頭，剪刀)，(石頭，布)，(剪刀，石頭)，(剪刀，剪刀)，(剪刀，布)，(布，石頭)，(布，剪刀)，(布，布)，共9個(gè)基本事件．玩家甲勝玩家乙的基本事件分別是(石頭，剪刀)，(剪刀，布)，(布，石頭)，共有3個(gè)．
所以在1次游戲中玩家甲勝玩家乙的概率P＝.
(2)由題意知，X＝0,1,2,3.
因?yàn)镻(X＝0)＝C·3＝，
P(X＝1)＝C·1·2＝，
P(X＝2)＝C2·1＝，
P(X＝3)＝C·3＝.
所以X的分布列如下：
X 0 1 2 3
P
跟蹤訓(xùn)練3　解　由題意知X～B，
∴P(X＝k)＝C×k×3－k，k＝0,1,2,3，
即P(X＝0)＝C×0×3＝，
P(X＝1)＝C××2＝，
P(X＝2)＝C×2×＝，
P(X＝3)＝C×3＝.
∴X的分布列為
X 0 1 2 3
P
隨堂演練
1．A　[隨機(jī)變量X～B，
則P(X＝2)＝C24＝.]
2．D　[由題意可知五場中獲勝的場次X～B，
所求選手能參加決賽的概率P＝C·4·＋C·5·0＝.]
3．A　[設(shè)事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為p，
由題意得1－Cp0(1－p)4＝，
所以1－p＝，p＝.]
4．0.048 6
解析　P＝C×0.12×(1－0.1)2＝0.048 6.

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