資源簡(jiǎn)介

人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修三
7.4.2第2課時(shí)-超幾何分布的綜合問(wèn)題-導(dǎo)學(xué)案
學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.掌握超幾何分布的均值的計(jì)算.2.了解二項(xiàng)分布與超幾何分布的區(qū)別與聯(lián)系．
一、超幾何分布的均值
問(wèn)題　服從超幾何分布的隨機(jī)變量的均值是什么？
例1　(1)袋中有3個(gè)白球，1個(gè)紅球，從中任取2個(gè)球，取得1個(gè)白球得0分，取得1個(gè)紅球得2分，則所得分?jǐn)?shù)X的均值E(X)為(　　)
A．0 B．1 C．2 D．4
(2)某大學(xué)志愿者協(xié)會(huì)有6名男同學(xué)，4名女同學(xué)．在這10名同學(xué)中，3名同學(xué)來(lái)自數(shù)學(xué)學(xué)院，其余7名同學(xué)來(lái)自物理、化學(xué)等其他互不相同的七個(gè)學(xué)院．現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機(jī)選取3名同學(xué)，到希望小學(xué)進(jìn)行支教活動(dòng)(每位同學(xué)被選到的可能性相同)．
①求選出的3名同學(xué)是來(lái)自互不相同學(xué)院的概率；
②設(shè)X為選出的3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列及均值．
反思感悟　求超幾何分布均值的步驟
(1)驗(yàn)證隨機(jī)變量服從超幾何分布，并確定參數(shù)N，M，n的值．
(2)根據(jù)超幾何分布的概率計(jì)算公式計(jì)算出隨機(jī)變量取每一個(gè)值時(shí)的概率．
(3)利用均值公式求解．
跟蹤訓(xùn)練1　某學(xué)校實(shí)行自主招生，參加自主招生的學(xué)生從8道試題中隨機(jī)挑選4道進(jìn)行作答，至少答對(duì)3道才能通過(guò)初試．記在這8道試題中甲能答對(duì)6道，甲答對(duì)試題的個(gè)數(shù)為X，則甲通過(guò)自主招生初試的概率為_(kāi)_______，E(X)＝________.
二、二項(xiàng)分布與超幾何分布的區(qū)別與聯(lián)系
例2　某食品廠為了檢查一條自動(dòng)包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨機(jī)抽取該流水線上的40件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的質(zhì)量(單位：克)，質(zhì)量的分組區(qū)間為[490,495]，(495,500]，…，(510,515]，由此得到樣本的頻率分布直方圖如圖．
(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求質(zhì)量超過(guò)505克的產(chǎn)品數(shù)量；
(2)在上述抽取的40件產(chǎn)品中任取2件，設(shè)X為質(zhì)量超過(guò)505克的產(chǎn)品數(shù)量，求X的分布列，并求其均值；
(3)從該流水線上任取2件產(chǎn)品，設(shè)Y為質(zhì)量超過(guò)505克的產(chǎn)品數(shù)量，求Y的分布列．
反思感悟　不放回抽樣服從超幾何分布，放回抽樣服從二項(xiàng)分布，求均值可利用公式代入計(jì)算．
跟蹤訓(xùn)練2　在10件產(chǎn)品中有2件次品，連續(xù)抽3次，每次抽1件，求：
(1)不放回抽樣時(shí)，抽取次品數(shù)X的均值；
(2)放回抽樣時(shí)，抽取次品數(shù)Y的均值與方差．
三、超幾何分布的綜合應(yīng)用
例3　2021年7月1日是中國(guó)共產(chǎn)黨建黨100周年紀(jì)念日，為迎接這一天的到來(lái)，某高校組織了一場(chǎng)黨史知識(shí)競(jìng)賽，分為預(yù)選賽和決賽兩部分，已知預(yù)選賽的題目共有9道，隨機(jī)抽取3道讓參賽者回答，規(guī)定至少要答對(duì)其中2道才能通過(guò)預(yù)選賽，某參賽人員甲只能答對(duì)其中6道，記甲抽取的3道題目中能答對(duì)的題目數(shù)為X.
(1)求隨機(jī)變量X的分布列和均值；
(2)求甲沒(méi)有通過(guò)預(yù)選賽的概率．
反思感悟　超幾何分布常應(yīng)用在產(chǎn)品合格問(wèn)題、球盒取球(兩色)問(wèn)題、男女生選舉問(wèn)題等，這類問(wèn)題有一個(gè)共同特征，就是對(duì)每一個(gè)個(gè)體而言，只研究其相對(duì)的兩種性質(zhì)而不涉及其他性質(zhì)，如產(chǎn)品的合格與不合格、球的紅色與非紅色、學(xué)生的性別等．
跟蹤訓(xùn)練3　已知一個(gè)袋子中裝有大小形狀完全相同的3個(gè)白球和2個(gè)黑球．
(1)若從袋中一次任取3個(gè)球，若取到的3個(gè)球中有X個(gè)黑球，求X的分布列及均值；
(2)若從袋中每次隨機(jī)取出一個(gè)球，記下顏色后將球放回袋中，重復(fù)此過(guò)程，直至他連續(xù)2次取到黑球才停止，設(shè)他在第Y次取球后停止取球，求P.
1．知識(shí)清單：
(1)超幾何分布的均值．
(2)超幾何分布與二項(xiàng)分布的區(qū)別與聯(lián)系．
2．方法歸納：類比．
3．常見(jiàn)誤區(qū)：超幾何分布與二項(xiàng)分布混淆，前者是不放回抽樣，后者是有放回抽樣．
1．某校從學(xué)生會(huì)中的10名女生干部與5名男生干部中隨機(jī)選取6名學(xué)生干部組成“文明校園督察隊(duì)”，則組成4女2男的“文明校園督察隊(duì)”的概率為(　　)
A. B.
C. D.
2．(多選)某人參加一次測(cè)試，在備選的10道題中，他能答對(duì)其中的5道．現(xiàn)從備選的10道題中隨機(jī)抽出3道題進(jìn)行測(cè)試，規(guī)定至少答對(duì)2道題才算合格，則下列說(shuō)法正確的是(　　)
A．答對(duì)0道題和答對(duì)3道題的概率相同，都為
B．答對(duì)1道題的概率為
C．答對(duì)2道題的概率為
D．合格的概率為
3．袋中有3個(gè)黑球、4個(gè)紅球，除顏色外，其他均相同．從袋中任取3個(gè)球，則至少有1個(gè)紅球的概率為_(kāi)_______．
4.某校為了解高三學(xué)生身體素質(zhì)情況，從某項(xiàng)體育測(cè)試成績(jī)中隨機(jī)抽取n個(gè)學(xué)生成績(jī)進(jìn)行分析，得到成績(jī)頻率分布直方圖(如圖所示)．已知成績(jī)?cè)赱90,100]的學(xué)生人數(shù)為8，且有4個(gè)女生的成績(jī)?cè)赱50,60)中，則n＝________，現(xiàn)由成績(jī)?cè)赱50,60)的樣本中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，記所抽取學(xué)生中女生的人數(shù)為ξ，則ξ的均值是______．
參考答案與詳細(xì)解析
問(wèn)題　設(shè)隨機(jī)變量X服從超幾何分布，則X可以解釋為從包含M件次品的N件產(chǎn)品中，不放回地隨機(jī)抽取n件產(chǎn)品中的次品數(shù)．令p＝，則p是N件產(chǎn)品的次品率，而是抽取的n件產(chǎn)品的次品率，我們猜想E＝p，即E(X)＝np.
實(shí)際上，令m＝max(0，n－N＋M)，r＝min(n，M)，
由隨機(jī)變量均值的定義：當(dāng)m>0時(shí)，
E(X)＝＝M，(1)
因?yàn)镃＝C，
所以E(X)＝C＝＝＝np.
當(dāng)m＝0時(shí)，注意到(1)式中間求和的第一項(xiàng)為0，類似可以證明結(jié)論依然成立．
例1　(1)B　[由題意，得X的可能取值為0或2，其中X＝0表示取得2個(gè)白球，X＝2表示取得1個(gè)白球，1個(gè)紅球，所以P(X＝0)＝＝，P(X＝2)＝＝，故X的均值E(X)＝0×＋2×＝1.]
(2)解　①設(shè)“選出的3名同學(xué)是來(lái)自互不相同的學(xué)院”為事件A，則P(A)＝＝.所以選出的3名同學(xué)是來(lái)自互不相同的學(xué)院的概率為.
②依據(jù)條件，隨機(jī)變量X服從超幾何分布，其中N＝10，M＝4，n＝3，且隨機(jī)變量X的可能取值為0,1,2,3.
P(X＝k)＝，k＝0,1,2,3.
所以X的分布列為
X 0 1 2 3
P
所以隨機(jī)變量X的均值為E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.2.
跟蹤訓(xùn)練1　　3
解析　依題意，知甲能通過(guò)自主招生初試的概率為
P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＝＋＝.
由于X的可能取值為2,3,4，P(X＝2)＝＝，
故E(X)＝2×＋3×＋4×＝3.
例2　解　(1)質(zhì)量超過(guò)505克的產(chǎn)品的頻率為
5×0.05＋5×0.01＝0.3，
所以質(zhì)量超過(guò)505克的產(chǎn)品數(shù)量為40×0.3＝12(件)．
(2)質(zhì)量超過(guò)505克的產(chǎn)品數(shù)量為12件，則質(zhì)量未超過(guò)505克的產(chǎn)品數(shù)量為28件，X的可能取值為0,1,2，X服從超幾何分布．P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
∴X的分布列為
X 0 1 2
P
∴X的均值為
方法一　E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
方法二　E(X)＝＝.
(3)根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，取一件產(chǎn)品，該產(chǎn)品的質(zhì)量超過(guò)505克的概率為＝.
從流水線上任取2件產(chǎn)品互不影響，該問(wèn)題可看成2重伯努利試驗(yàn)，質(zhì)量超過(guò)505克的件數(shù)Y的可能取值為0,1,2，且Y～B，
P(Y＝k)＝C×k×2－k，k＝0,1,2，
∴P(Y＝0)＝C×2＝，
P(Y＝1)＝C××＝，
P(Y＝2)＝C×2＝.
∴Y的分布列為
Y 0 1 2
P
跟蹤訓(xùn)練2　解　(1)方法一　由題意知X的可能取值為0,1,2.
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.
∴隨機(jī)變量X的分布列為
X 0 1 2
P
E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
方法二　由題意知P(X＝k)＝，k＝0,1,2，
∴隨機(jī)變量X服從超幾何分布，n＝3，M＝2，N＝10，
∴E(X)＝＝＝.
(2)由題意知，抽取1次取到次品的概率為＝，
隨機(jī)變量Y服從二項(xiàng)分布Y～B，
∴E(Y)＝3×＝，
D(Y)＝3××＝.
例3　解　(1)隨機(jī)變量X的可能取值有0,1,2,3，且X服從超幾何分布．
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.
所以隨機(jī)變量X的分布列為
X 0 1 2 3
P
E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2.
(2)若甲沒(méi)有通過(guò)預(yù)選賽，則甲答對(duì)了1道或0道．
所以甲沒(méi)有通過(guò)預(yù)選賽的概率P＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝.
跟蹤訓(xùn)練3　解　(1)X可能的取值為0,1,2，P(X＝k)＝，其中k＝0,1,2，分布列如下：
X 0 1 2
P
均值E(X)＝.
(2)當(dāng)Y＝5時(shí)知第四、五次取到的是黑球，第三次取到的是白球，前兩次不能都取到黑球，
∴所求概率P＝×××＝.
隨堂演練
1．C　[組成4女2男的“文明校園督察隊(duì)”的概率為P＝.]
2．CD　[對(duì)于A，答對(duì)0道題的概率為P0＝＝，答對(duì)3道題的概率為P3＝＝，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，答對(duì)1道題的概率為P1＝＝，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，答對(duì)2道題的概率為P2＝＝，故C正確；
對(duì)于D，合格的概率為P＝＋＝，故D正確．]
3.
解析　令X表示取出的紅球個(gè)數(shù)，則X的可能取值為0,1,2,3，P(X＝0)＝＝，故至少有1個(gè)紅球的概率為P(X≥1)＝1－＝.
4．50　
解析　依題意得0.016×10n＝8，則n＝50.
成績(jī)?cè)赱50,60)的人數(shù)為0.012×10×50＝6，
其中4個(gè)為女生，2個(gè)為男生．
ξ的可能取值為0,1,2.
P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝＝，
故E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修三-7.4.2第1課時(shí)-超幾何分布-導(dǎo)學(xué)案
學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.理解超幾何分布的概念及特征.2.會(huì)用超幾何分布解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．
一、超幾何分布
問(wèn)題　已知在10件產(chǎn)品中有4件次品，分別采取有放回和不放回的方式隨機(jī)抽取3件，設(shè)抽取的3件產(chǎn)品中次品數(shù)為X，試寫(xiě)出X的分布列．
知識(shí)梳理
超幾何分布：一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品，從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為
P(X＝k)＝________________________，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.
其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．
如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布．
例1　下列問(wèn)題中，哪些屬于超幾何分布問(wèn)題，說(shuō)明理由．
(1)拋擲三枚骰子，所得向上的數(shù)是6的骰子的個(gè)數(shù)記為X，求X的分布列；
(2)有一批種子的發(fā)芽率為70%，任取10顆種子做發(fā)芽試驗(yàn)，把試驗(yàn)中發(fā)芽的種子的個(gè)數(shù)記為X，求X的分布列；
(3)盒子中有紅球3只，黃球4只，藍(lán)球5只，任取3只球，把不是紅色的球的個(gè)數(shù)記為X，求X的分布列；
(4)某班級(jí)有男生25人，女生20人．選派4名學(xué)生參加學(xué)校組織的活動(dòng)，班長(zhǎng)必須參加，其中女生人數(shù)記為X，求X的分布列；
(5)現(xiàn)有100臺(tái)平板電腦未經(jīng)檢測(cè)，抽取10臺(tái)送檢，把檢驗(yàn)結(jié)果為不合格的平板電腦的個(gè)數(shù)記為X，求X的分布列．
反思感悟　判斷一個(gè)隨機(jī)變量是否服從超幾何分布
(1)總體是否可分為兩類明確的對(duì)象．
(2)是否為不放回抽樣．
(3)隨機(jī)變量是否為樣本中其中一類個(gè)體的個(gè)數(shù)．
跟蹤訓(xùn)練1　(1)(多選)下列隨機(jī)事件中的隨機(jī)變量X不服從超幾何分布的是(　　)
A．將一枚硬幣連拋3次，正面向上的次數(shù)X
B．從7名男生與3名女生共10名學(xué)生干部中選出5名優(yōu)秀學(xué)生干部，選出女生的人數(shù)為X
C．某射手的命中率為0.8，現(xiàn)對(duì)目標(biāo)射擊1次，記命中目標(biāo)的次數(shù)為X
D．盒中有4個(gè)白球和3個(gè)黑球，每次從中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球時(shí)的總次數(shù)
(2)(多選)一個(gè)袋中有6個(gè)同樣大小的黑球，編號(hào)為1,2,3,4,5,6，還有4個(gè)同樣大小的白球，編號(hào)為7,8,9,10.現(xiàn)從中任取4個(gè)球，有如下幾種變量，這四種變量中服從超幾何分布的是(　　)
A．X表示取出的最大號(hào)碼
B．X表示取出的最小號(hào)碼
C．取出一個(gè)黑球記2分，取出一個(gè)白球記1分，X表示取出的4個(gè)球的總得分
D．X表示取出的黑球個(gè)數(shù)
二、超幾何分布的概率
例2　(1)一個(gè)盒子里裝有大小相同的10個(gè)黑球、12個(gè)紅球、4個(gè)白球，從中任取2個(gè)，其中白球的個(gè)數(shù)記為X，則下列概率等于的是(　　)
A．P(0C．P(X＝1) D．P(X＝2)
(2)現(xiàn)有來(lái)自甲、乙兩班的學(xué)生共7名，從中任選2名都是甲班的概率為.
①求7名學(xué)生中甲班的學(xué)生數(shù)；
②設(shè)所選2名學(xué)生中甲班的學(xué)生數(shù)為ξ，求ξ≥1的概率．
反思感悟　(1)解答此類問(wèn)題的關(guān)鍵是先分析隨機(jī)變量是否滿足超幾何分布．
(2)注意公式中M，N，n的含義．
跟蹤訓(xùn)練2　某校高三年級(jí)某班的數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組中有6名男生，4名女生，從中選出4人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽考試，用X表示其中的男生人數(shù)．求至少有2名男生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的概率．
三、超幾何分布的分布列
例3　在一次招聘中，主考官要求應(yīng)聘者從6道備選題中一次性隨機(jī)抽取3道題，并獨(dú)立完成所抽取的3道題．甲能正確完成其中的4道題，且每道題完成與否互不影響．規(guī)定至少正確完成其中2道題便可過(guò)關(guān)．記所抽取的3道題中，甲答對(duì)的題數(shù)為X，求X的分布列．
反思感悟　求超幾何分布的分布列的步驟
跟蹤訓(xùn)練3　在10個(gè)乒乓球中有8個(gè)正品，2個(gè)次品．從中任取3個(gè)，求其中所含次品數(shù)的分布列．
1．知識(shí)清單：
(1)超幾何分布的概念及特征．
(2)超幾何分布的概率及分布列．
2．方法歸納：公式法．
3．常見(jiàn)誤區(qū)：判斷隨機(jī)變量是不是超幾何分布．
1．(多選)下列隨機(jī)變量中，服從超幾何分布的有(　　)
A．在10件產(chǎn)品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，記取到的次品數(shù)為X
B．從3臺(tái)甲型電腦和2臺(tái)乙型電腦中任取2臺(tái)，記X表示所取的2臺(tái)電腦中甲型電腦的臺(tái)數(shù)
C．一名學(xué)生騎自行車上學(xué)，途中有6個(gè)交通崗，記此學(xué)生遇到紅燈的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量X
D．從10名男生，5名女生中選3人參加植樹(shù)活動(dòng)，其中男生人數(shù)記為X
2．盒中有4個(gè)白球，5個(gè)紅球，從中任取3個(gè)球，則恰好取出2個(gè)紅球的概率是(　　)
A. B. C. D.
3．已知在10件產(chǎn)品中可能存在次品，從中抽取2件檢查，其中次品數(shù)為ξ，已知P(ξ＝1)＝，且該產(chǎn)品的次品率不超過(guò)40%，則這10件產(chǎn)品的次品率為(　　)
A．10% B．20% C．30% D．40%
某導(dǎo)游團(tuán)有外語(yǔ)導(dǎo)游10人，其中6人會(huì)說(shuō)日語(yǔ)，現(xiàn)要選出4人去完成一項(xiàng)任務(wù)，則有2人會(huì)說(shuō)日語(yǔ)的概率為_(kāi)_______．
參考答案與詳細(xì)解析
問(wèn)題　若采用有放回抽樣時(shí)X服從二項(xiàng)分布，即X～B(3,0.4)，其分布列為P(X＝k)＝C0.4k(1－0.4)3－k，k＝0,1,2,3.
若采用不放回抽樣，“X＝k”，k＝0,1,2,3表示“取出的3件產(chǎn)品中恰有k件次品”，這意味著，從4件次品中取出k件，再?gòu)?件正品中取出3－k件，共有CC種取法，故X的分布列為P(X＝k)＝，k＝0,1,2,3.
知識(shí)梳理
例1　解　(1)(2)中樣本沒(méi)有分類，不是超幾何分布問(wèn)題，是重復(fù)試驗(yàn)問(wèn)題．
(3)(4)符合超幾何分布的特征，樣本都分為兩類，隨機(jī)變量X表示抽取n件樣本中某類樣本被抽取的件數(shù)，是超幾何分布．
(5)中沒(méi)有給出不合格產(chǎn)品數(shù)，無(wú)法計(jì)算X的分布列，所以不屬于超幾何分布問(wèn)題．
跟蹤訓(xùn)練1　(1)ACD　[由超幾何分布的定義可知僅B是超幾何分布，故選ACD.]
(2)CD　[由超幾何分布的概念知C，D符合，故選CD.]
例2　(1)B　[由題意可知，P(X＝1)＝，
P(X＝0)＝ ，
故表示選1個(gè)白球或者一個(gè)白球都沒(méi)有取得，即P(X≤1)．]
(2)解　①設(shè)甲班的學(xué)生人數(shù)為M，則＝＝，
即M2－M－6＝0，解得M＝3或M＝－2(舍去)．
∴7名學(xué)生中甲班的學(xué)生共有3人．
②由題意可知，ξ服從超幾何分布．
∴P(ξ ≥1)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)
＝＋＝＋＝.
跟蹤訓(xùn)練2　解　依題意，得隨機(jī)變量X服從超幾何分布，且N＝10，M＝6，n＝4，
∴P(X＝m)＝(m＝0,1,2,3,4)．
∴P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝，
方法一　(直接法)
P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)
＝＋＋＝.
方法二　(間接法)
由分布列的性質(zhì)，得P(X≥2)＝1－P(X<2)
＝1－[P(X＝0)＋P(X＝1)]
＝1－＝.
例3　解　由題意得X可取1,2,3，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
故X的分布列為
X 1 2 3
P
跟蹤訓(xùn)練3　解　記任取的3個(gè)乒乓球中，所含次品的個(gè)數(shù)為X，則X所有的取值為0,1,2.
有P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.
所以X的分布列為
X 0 1 2
P
隨堂演練
1．ABD　[依據(jù)超幾何分布模型定義可知，A，B，D中隨機(jī)變量X服從超幾何分布．而C中顯然不能看作一個(gè)不放回抽樣問(wèn)題，故隨機(jī)變量X不服從超幾何分布．]
2．C　[設(shè)取出紅球的個(gè)數(shù)為X，易知X服從超幾何分布．
∴P(X＝2)＝＝.]
3．B　[設(shè)10件產(chǎn)品中有x件次品，
則P(ξ＝1)＝＝＝，
所以x＝2或8.因?yàn)榇纹仿什怀^(guò)40%，所以x＝2，
所以次品率為＝20%.]
4.
解析　有2人會(huì)說(shuō)日語(yǔ)的概率為＝.

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