資源簡(jiǎn)介

人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修三
8.2第2課時(shí)-一元線性回歸模型的綜合問(wèn)題-導(dǎo)學(xué)案
學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.了解殘差的推導(dǎo)過(guò)程，理解殘差的概念.2.會(huì)通過(guò)分析殘差和利用R2判斷回歸模型的擬合效果．
一、殘差及殘差分析
問(wèn)題1　上節(jié)課中我們知道兒子身高Y關(guān)于父親身高x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為＝0.839x＋28.957，那么當(dāng)x＝172時(shí)，＝0.839×172＋28.957＝173.265(cm)，如果一位父親的身高為172 cm，他兒子長(zhǎng)大成人后的身高一定是173 cm嗎？為什么？
問(wèn)題2　對(duì)于課本105頁(yè)表8.2－1中的第6個(gè)觀測(cè)，我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)父親身高為172 cm時(shí)，兒子的身高實(shí)際為176 cm，實(shí)際身高與預(yù)測(cè)的身高相差了多少？
知識(shí)梳理
1．殘差：對(duì)于響應(yīng)變量Y，通過(guò)觀測(cè)得到的數(shù)據(jù)稱為_(kāi)_______，通過(guò)經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的稱為_(kāi)_______，________減去__________稱為殘差．
2．殘差分析：________是隨機(jī)誤差的估計(jì)結(jié)果，通過(guò)對(duì)________的分析可以判斷模型刻畫(huà)數(shù)據(jù)的效果，以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等，這方面工作稱為_(kāi)_______．
例1　(1)對(duì)變量x，y進(jìn)行回歸分析時(shí)，依據(jù)得到的4個(gè)不同的回歸模型畫(huà)出殘差圖，則下列模型擬合精度最高的是(　　)
(2)已知一系列樣本點(diǎn)(xi，yi)(i＝1,2,3，…，n)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為＝2x＋a，若樣本點(diǎn)(r,1)與(1，s)的殘差相同，則有(　　)
A．r＝s B．s＝2r
C．s＝－2r＋3 D．s＝2r＋1
反思感悟　殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說(shuō)明選用的模型比較合適．這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說(shuō)明模型擬合精度越高，經(jīng)驗(yàn)回歸方程的預(yù)報(bào)精度越高．
跟蹤訓(xùn)練1　(1)已知某成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的殘差圖如圖，則樣本點(diǎn)數(shù)據(jù)中可能不準(zhǔn)確的是從左到右第________個(gè)．
(2)某種產(chǎn)品的廣告支出x與銷售額y(單位：萬(wàn)元)之間有如表關(guān)系，y與x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為＝6.5x＋17.5，當(dāng)廣告支出為5萬(wàn)元時(shí)，隨機(jī)誤差的殘差為(　　)
x 2 4 5 6 8
y 30 40 60 50 70
A.10 B．20 C．30 D．40
二、對(duì)數(shù)函數(shù)模型y＝c1＋c2ln x
例2　噪聲污染已經(jīng)成為影響人們身體健康和生活質(zhì)量的嚴(yán)重問(wèn)題，為了了解聲音強(qiáng)度D(單位：dB)與聲音能量I(單位：W/cm2)之間的關(guān)系，將測(cè)量得到的聲音強(qiáng)度Di和聲音能量Ii(i＝1,2，…，10)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值．
(Ii－)2 (Wi －)2 (Ii－)· (Di－) (Wi－)· (Di－)
1.04×10－11 45.7 －11.5 1.56×10－21 0.51 6.88×10－11 5.1
表中Wi＝lg Ii，＝Wi .
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求聲音強(qiáng)度D關(guān)于聲音能量I的經(jīng)驗(yàn)回歸方程＝＋·lg I；
(2)當(dāng)聲音強(qiáng)度大于60 dB時(shí)屬于噪音，會(huì)產(chǎn)生噪聲污染，城市中某點(diǎn)P共受到兩個(gè)聲源的影響，這兩個(gè)聲源的聲音能量分別是I1和I2，且＋＝1010.已知點(diǎn)P的聲音能量等于聲音能量I1與I2之和，請(qǐng)根據(jù)(1)中的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，判斷P點(diǎn)是否受到噪聲污染的干擾，并說(shuō)明理由．
附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其經(jīng)驗(yàn)回歸直線＝＋u的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為＝，＝－·.
反思感悟　對(duì)數(shù)函數(shù)模型y＝c1＋c2ln x的求法
(1)確定變量，作出散點(diǎn)圖．
(2)根據(jù)散點(diǎn)圖，做出y＝c1＋c2ln x的函數(shù)選擇．
(3)變量置換，令z＝ln x，通過(guò)變量置換把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為＝1＋2z的經(jīng)驗(yàn)回歸問(wèn)題，并求出經(jīng)驗(yàn)回歸方程＝1＋2z.
(4)根據(jù)相應(yīng)的變換，寫(xiě)出＝1＋2ln x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程．
跟蹤訓(xùn)練2　生物學(xué)家認(rèn)為，睡眠中的恒溫動(dòng)物依然會(huì)消耗體內(nèi)能量，主要是為了保持體溫．脈搏率f是單位時(shí)間心跳的次數(shù)，醫(yī)學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，動(dòng)物的體重W(單位：g)與脈搏f存在著一定的關(guān)系．如表給出一些動(dòng)物體重與脈搏率對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)，圖1畫(huà)出了體重W與脈搏率f的散點(diǎn)圖，圖2畫(huà)出了lg W與lg f的散點(diǎn)圖．
動(dòng)物名 鼠 大鼠 豚鼠 兔 小狗 大狗 羊
體重 25 200 300 2 000 5 000 30 000 50 000
脈搏率 670 420 300 200 120 85 70
圖1
圖2
為了較好地描述體重和脈搏率的關(guān)系，現(xiàn)有以下兩種模型供選擇：
①f＝kW＋b；②lg f＝klg W＋b.
(1)選出你認(rèn)為最符合實(shí)際的函數(shù)模型，并說(shuō)明理由；
(2)不妨取表中豚鼠和兔的體重脈搏率數(shù)據(jù)代入所選函數(shù)模型，求出f關(guān)于W的函數(shù)解析式．
參考數(shù)據(jù)：lg 2≈0.3，lg 3≈0.5.
三、殘差平方和與決定系數(shù)R2
問(wèn)題3　例2中給出了兩個(gè)模型，那么如何比較這兩個(gè)模型的擬合效果？
知識(shí)梳理
1．殘差平方和法
殘差平方和(yi－i)2越______，模型的擬合效果越______．
2．決定系數(shù)R2
可以用R2＝1－來(lái)比較兩個(gè)模型的擬合效果，R2越______，模型的擬合效果越______，R2越______，模型的擬合效果越______．
例3　假定小麥基本苗數(shù)x與成熟期有效穗y之間存在相關(guān)關(guān)系，今測(cè)得5組數(shù)據(jù)如下表：
x 15.0 25.8 30.0 36.6 44.4
y 39.4 42.9 42.9 43.1 49.2
并由最小二乘法計(jì)算得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為＝0.29x＋34.7.
(1)計(jì)算各組殘差，并計(jì)算殘差平方和；
(2)求R2.
參考數(shù)據(jù)：(yi－)2＝50.18.
反思感悟　刻畫(huà)回歸效果的三種方法
(1)殘差圖法：殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平帶狀區(qū)域內(nèi)說(shuō)明選用的模型比較合適．
(2)殘差平方和法：殘差平方和(yi－i)2越小，模型的擬合效果越好．
(3)決定系數(shù)R2法：R2＝1－越接近1，表明模型的擬合效果越好．
跟蹤訓(xùn)練3　已知某種商品的價(jià)格x(單位：元)與需求量y(單位：件)之間的關(guān)系有如下一組數(shù)據(jù)：
x 14 16 18 20 22
y 12 10 7 5 3
求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并借助殘差平方和及R2說(shuō)明回歸模型擬合效果的好壞．
參考公式及數(shù)據(jù)：＝，＝－，＝1 660，iyi＝620.
1．知識(shí)清單：
(1)殘差的概念．
(2)對(duì)模型刻畫(huà)數(shù)據(jù)效果的分析：殘差圖法、殘差平方和法和R2法．
2．方法歸納：數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸．
3．常見(jiàn)誤區(qū)： 混淆殘差圖法、殘差平方和法和R2法的概念，導(dǎo)致刻畫(huà)回歸效果出錯(cuò)．
1．在回歸分析中，決定系數(shù)R2 的值越小，說(shuō)明殘差平方和(　　)
A．越小 B．越大
C．可能大也可能小 D．以上都不對(duì)
2．甲、乙、丙、丁四位同學(xué)各自對(duì)A，B兩變量的線性相關(guān)性做試驗(yàn)，并用回歸分析方法分別求得R2與殘差平方和m如下表：
甲 乙 丙 丁
R2 0.82 0.78 0.69 0.85
m 106 115 124 103
則試驗(yàn)結(jié)果體現(xiàn)A，B兩變量有更強(qiáng)的線性相關(guān)性的同學(xué)是(　　)
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
3．(多選)關(guān)于殘差圖的描述正確的是(　　)
A．殘差圖的橫坐標(biāo)可以是樣本編號(hào)
B．殘差圖的橫坐標(biāo)也可以是解釋變量或響應(yīng)變量
C．殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄，R2越小
D．殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄，殘差平方和越小
4．下表是某飲料專賣店一天賣出奶茶的杯數(shù)y與當(dāng)天氣溫x(單位：°C)的對(duì)比表，已知表中數(shù)據(jù)計(jì)算得到y(tǒng)關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為＝x＋27，則相應(yīng)于點(diǎn)(10,20)的殘差為_(kāi)_______．
氣溫x/°C 5 10 15 20 25
杯數(shù)y 26 20 16 14 14
參考答案與詳細(xì)解析
問(wèn)題1　不一定，因?yàn)檫€有其他影響他兒子身高的因素，父親的身高不能完全決定兒子身高．
問(wèn)題2　176－173.265＝2.735(cm)．
知識(shí)梳理
1．觀測(cè)值　預(yù)測(cè)值　觀測(cè)值　預(yù)測(cè)值
2．殘差　殘差　殘差分析
例1　(1)A　[用殘差圖判斷模型的擬合效果，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說(shuō)明這樣的模型比較合適，帶狀區(qū)域的寬度越窄，說(shuō)明模型的擬合精度越高．]
(2)C　[樣本點(diǎn)(r,1)的殘差為1－2r－a，樣本點(diǎn)(1，s)的殘差為s－a－2，依題意得1－2r－a＝s－a－2，故s＝－2r＋3.]
跟蹤訓(xùn)練1　(1)6
解析　原始數(shù)據(jù)中的可疑數(shù)據(jù)往往是殘差絕對(duì)值過(guò)大的那個(gè)數(shù)據(jù)，即偏離平衡位置過(guò)大．
(2)A　[因?yàn)閥與x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為＝6.5x＋17.5，所以當(dāng)x＝5時(shí)，＝6.5×5＋17.5＝50.由表格知當(dāng)廣告支出5萬(wàn)元時(shí)，銷售額為60萬(wàn)元，所以隨機(jī)誤差的殘差為60－50＝10.]
例2　解　(1)由Wi＝lg Ii，先建立D關(guān)于W的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，由于＝＝＝10，
∴＝－＝45.7－×10＝160.7，
∴D關(guān)于W的經(jīng)驗(yàn)回歸方程是＝10W＋160.7，
即D關(guān)于I的經(jīng)驗(yàn)回歸方程是＝10·lg I＋160.7.
(2)點(diǎn)P的聲音能量I＝I1＋I(xiàn)2，∵＋＝1010，
∴I＝I1＋I(xiàn)2＝10－10·(I1＋I(xiàn)2)＝10－10·≥9×10－10(當(dāng)且僅當(dāng)＝，即I2＝2I1時(shí)等號(hào)成立)，
根據(jù)(1)中的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，點(diǎn)P的聲音強(qiáng)度D的最小預(yù)測(cè)值為＝10·lg(9×10－10)＋160.7＝10·lg 9＋60.7>60，
∴點(diǎn)P會(huì)受到噪聲污染的干擾．
跟蹤訓(xùn)練2　解　(1)模型②lg f＝klg W＋b最符合實(shí)際．
根據(jù)散點(diǎn)圖的特征，圖2基本上呈直線形式，所以可選擇一次函數(shù)來(lái)刻畫(huà)lg W和lg f的關(guān)系．
(2)lg 200＝2＋lg 2≈2.3，lg 2 000＝3＋lg 2≈3.3，lg 300＝2＋lg 3≈2.5.
由題意知
解得
所以lg f＝－lg W＋，
所以f關(guān)于W的函數(shù)解析式為f＝.
問(wèn)題3　殘差平方和、決定系數(shù)．
知識(shí)梳理
1．小　好
2．大　好　小　差
例3　解　(1)由i＝xi＋，
可以算得i＝y(tǒng)i－i分別為1＝0.35，2＝0.718，3＝－0.5，4＝－2.214，5＝1.624，
殘差平方和為≈8.43.
(2)(yi－)2＝50.18，故R2≈1－≈0.832.
跟蹤訓(xùn)練3　解　＝×(14＋16＋18＋20＋22)＝18，
＝×(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4，
所以＝＝＝－1.15，
＝7.4＋1.15×18＝28.1，
所以所求經(jīng)驗(yàn)回歸方程是＝－1.15x＋28.1.
列出殘差表為
yi－i 0 0.3 －0.4 －0.1 0.2
yi－ 4.6 2.6 －0.4 －2.4 －4.4
所以(yi－i)2＝0.3，(yi－)2＝53.2，R2＝1－≈0.994，
所以回歸模型的擬合效果很好．
隨堂演練
1．B　[用決定系數(shù)R2的值判斷模型的擬合效果，R2越大，模型的擬合效果越好，而用殘差平方和判斷模型的擬合效果時(shí)，殘差平方和越小，模型的擬合效果越好，由此可知決定系數(shù)R2的值越小，說(shuō)明殘差平方和越大．]
2．D　[在驗(yàn)證兩個(gè)變量之間的線性相關(guān)關(guān)系中，決定系數(shù)R2越大，相關(guān)性越強(qiáng)．
在四個(gè)選項(xiàng)中只有丁的決定系數(shù)最大．
殘差平方和越小，相關(guān)性越強(qiáng)．只有丁的殘差平方和最小．
綜上可知丁的試驗(yàn)結(jié)果體現(xiàn)A，B兩變量有更強(qiáng)的線性相關(guān)性．]
3．ABD　[殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說(shuō)明模型擬合精度越高，則殘差平方和越小，此時(shí)，R2的值越大，故描述錯(cuò)誤的是C.]
4．－1
解析　＝＝15，
＝＝18，
代入經(jīng)驗(yàn)回歸方程＝x＋27得18＝15＋27，
解得＝－0.6，
則經(jīng)驗(yàn)回歸方程為＝－0.6x＋27.
所以相應(yīng)于點(diǎn)(10,20)的殘差為20－(－0.6×10＋27)＝－1.人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修三-8.2第1課時(shí)
一元線性回歸模型及參數(shù)的最小二乘估計(jì)-學(xué)案
學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.結(jié)合實(shí)例，了解一元線性回歸模型的含義，了解模型參數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義.2.了解最小二乘原理，掌握一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)方法.3.針對(duì)實(shí)際問(wèn)題，會(huì)用一元線性回歸模型進(jìn)行預(yù)測(cè)．
一、一元線性回歸模型
生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們，兒子的身高與父親的身高具有正相關(guān)的關(guān)系，為了進(jìn)一步研究?jī)烧咧g的關(guān)系，有人調(diào)查了14名男大學(xué)生的身高及其父親的身高，得到的數(shù)據(jù)如表所示：
編號(hào) 1 2 3 4 5 6 7
父親身高/cm 174 170 173 169 182 172 180
兒子身高/cm 176 176 170 170 185 176 178
編號(hào) 8 9 10 11 12 13 14
父親身高/cm 172 168 166 182 173 164 180
兒子身高/cm 174 170 168 178 172 165 182
我們畫(huà)出散點(diǎn)圖(課本105頁(yè)圖8.2－1)并通過(guò)計(jì)算得到樣本相關(guān)系數(shù)r≈0.886.
問(wèn)題1　由樣本相關(guān)系數(shù)可以得到什么結(jié)論？
問(wèn)題2　這兩個(gè)變量之間的關(guān)系可以用函數(shù)模型來(lái)刻畫(huà)嗎？
知識(shí)梳理
一元線性回歸模型：我們稱為Y關(guān)于x的___________模型，其中，Y稱為_(kāi)______或________，x稱為_(kāi)_____或______；a和b為模型的未知參數(shù)，a稱為_(kāi)____參數(shù)，b稱為_(kāi)_______參數(shù)；e是Y與bx＋a之間的隨機(jī)________．
例1　判斷下列變量間哪些能用函數(shù)模型刻畫(huà)，哪些能用回歸模型刻畫(huà)？
(1)某公司的銷售收入和廣告支出；
(2)某城市寫(xiě)字樓的出租率和每平米月租金；
(3)航空公司的顧客投訴次數(shù)和航班正點(diǎn)率；
(4)某地區(qū)的人均消費(fèi)水平和人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值(GDP)；
(5)學(xué)生期末考試成績(jī)和考前用于復(fù)習(xí)的時(shí)間；
(6)一輛汽車在某段路程中的行駛速度和行駛時(shí)間；
(7)正方形的面積與周長(zhǎng)．
反思感悟　在函數(shù)關(guān)系中，變量X對(duì)應(yīng)的是變量Y的確定值，而在相關(guān)關(guān)系中，變量X對(duì)應(yīng)的是變量Y的概率分布．換句話說(shuō)，相關(guān)關(guān)系是隨機(jī)變量之間或隨機(jī)變量與非隨機(jī)變量之間的一種數(shù)量依存關(guān)系，對(duì)于這種關(guān)系，通常運(yùn)用統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行研究．通過(guò)對(duì)相關(guān)關(guān)系的研究又可以總結(jié)規(guī)律，從而指導(dǎo)人們的生活與生活實(shí)踐．
跟蹤訓(xùn)練1　若某地財(cái)政收入x與支出y滿足一元線性回歸模型y＝bx＋a＋e(單位：億元)，其中b＝0.7，a＝3，|e|≤0.5，如果今年該地區(qū)財(cái)政收入10億元，年支出預(yù)計(jì)不會(huì)超過(guò)(　　)
A．9億元 B．9.5億元
C．10億元 D．10.5億元
二、最小二乘法和經(jīng)驗(yàn)回歸方程
問(wèn)題3　在一元線性回歸模型中，表達(dá)式Y(jié)＝bx＋a＋e刻畫(huà)了變量Y與x之間的線性相關(guān)關(guān)系，其中參數(shù)a和b未知，確定參數(shù)a和b的原則是什么？
問(wèn)題4　下列確定直線的四種方法中最具有可行性的是哪一個(gè)？
方法(1)：先畫(huà)出一條直線，測(cè)量出各點(diǎn)到直線的距離，然后移動(dòng)直線，到達(dá)一個(gè)使距離和最小的位置，測(cè)量出此時(shí)的斜率和截距，就得到一條直線．
方法(2)：可以在散點(diǎn)圖中選兩點(diǎn)畫(huà)一條直線，使得直線兩側(cè)點(diǎn)的個(gè)數(shù)基本相同，把這條直線作為所求直線．
方法(3)：在散點(diǎn)圖中多取幾對(duì)點(diǎn)，確定出幾條直線的方程，再分別求出這些直線的斜率、截距的平均數(shù)，將這兩個(gè)平均數(shù)作為所求直線的斜率和截距．
方法(4)：我們可以考慮使各組數(shù)據(jù)的隨機(jī)誤差e的和最小來(lái)確定直線的斜率和截距．
知識(shí)梳理
最小二乘法：我們將＝x＋稱為Y關(guān)于x的________________，也稱經(jīng)驗(yàn)回歸函數(shù)或經(jīng)驗(yàn)回歸公式，其圖形稱為經(jīng)驗(yàn)回歸直線．這種求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的方法叫做________________，求得的，叫做b，a的________________，其中＝＝，＝－.
例2　某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出x(單位：百萬(wàn)元)與銷售額y(單位：百萬(wàn)元)之間有如下對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：
x 2 4 5 6 8
y 30 40 60 50 70
求經(jīng)驗(yàn)回歸方程．
參考公式：＝，＝－.
反思感悟　求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的步驟
(1)算：計(jì)算，，，iyi.
(2)代：代入公式計(jì)算，的值．
(3)寫(xiě)：寫(xiě)出經(jīng)驗(yàn)回歸方程．
跟蹤訓(xùn)練2　某班5名學(xué)生的數(shù)學(xué)和物理成績(jī)?nèi)绫恚?br/>　　學(xué)生 學(xué)科 A B C D E
數(shù)學(xué)成績(jī)(x) 88 76 73 66 63
物理成績(jī)(y) 78 65 71 64 61
求物理成績(jī)y對(duì)數(shù)學(xué)成績(jī)x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程．
三、利用經(jīng)驗(yàn)回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)
例3　偏差是指?jìng)€(gè)別測(cè)定值與測(cè)定的平均值之差，在成績(jī)統(tǒng)計(jì)中，我們把某個(gè)同學(xué)的某科考試成績(jī)與該科平均分的差叫某科偏差(實(shí)際成績(jī)－平均分＝偏差)．在某次考試成績(jī)統(tǒng)計(jì)中，某老師為了對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)偏差x(單位：分)與物理偏差y(單位：分)之間的關(guān)系進(jìn)行分析，隨機(jī)挑選了8位同學(xué)，得到他們的兩科成績(jī)偏差數(shù)據(jù)如下：
學(xué)生序號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8
數(shù)學(xué)偏差x 20 15 13 3 2 －5 －10 －18
物理偏差y 6.5 3.5 3.5 1.5 0.5 －0.5 －2.5 －3.5
(1)若x與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；
(2)若該次考試數(shù)學(xué)平均分為120分，物理平均分為91.5分，試由(1)的結(jié)論預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?28分的同學(xué)的物理成績(jī)．
參考數(shù)據(jù)和參考公式：
iyi＝324，＝1 256，
經(jīng)驗(yàn)回歸方程為＝x＋，
其中
反思感悟　(1)判斷兩個(gè)變量是否線性相關(guān)：可以利用經(jīng)驗(yàn)，也可以畫(huà)散點(diǎn)圖．
(2)求經(jīng)驗(yàn)回歸方程，注意運(yùn)算的正確性．
(3)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)估計(jì)：估計(jì)值不是實(shí)際值，兩者會(huì)有一定的誤差．
跟蹤訓(xùn)練3　恩格爾系數(shù)法是國(guó)際上常用的一種測(cè)定貧困線的方法，是指居民家庭年人均食物支出占年人均消費(fèi)總支出的比重，它隨家庭收入的增加而下降，即恩格爾系數(shù)越大，生活越貧困．某調(diào)研小組通過(guò)調(diào)查得到了某地年人均消費(fèi)總支出x(萬(wàn)元)與恩格爾系數(shù)y的五組數(shù)據(jù)如下表：
x 1 1.5 2 2.5 3
y 0.9 0.7 0.5 0.3 0.2
(1)請(qǐng)根據(jù)上表數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；
(2)若該地某居民家庭年人均消費(fèi)總支出為2.6萬(wàn)元，估計(jì)該居民家庭的恩格爾系數(shù)．
參考公式：經(jīng)驗(yàn)回歸方程＝x＋中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為＝＝，＝－.
1．知識(shí)清單：
(1)一元線性回歸模型．
(2)最小二乘法、經(jīng)驗(yàn)回歸方程的求法．
(3)利用經(jīng)驗(yàn)回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)．
2．方法歸納：數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸．
3．常見(jiàn)誤區(qū)：不判斷變量間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，盲目求解經(jīng)驗(yàn)回歸方程致誤．
1．工人工資y(元)與勞動(dòng)生產(chǎn)率x(千元)的相關(guān)關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為＝50＋80x，下列判斷正確的是(　　)
A．勞動(dòng)生產(chǎn)率為1 000元時(shí)，工人工資為130元
B．勞動(dòng)生產(chǎn)率提高1 000元時(shí)，工人工資平均提高80元
C．勞動(dòng)生產(chǎn)率提高1 000元時(shí)，工人工資平均提高130元
D．當(dāng)月工資為250元時(shí)，勞動(dòng)生產(chǎn)率為2 000元
2．設(shè)某大學(xué)的女生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性相關(guān)關(guān)系．根據(jù)成對(duì)樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為＝0.85x－85.71，則下列結(jié)論中不正確的是(　　)
A．y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系
B．經(jīng)驗(yàn)回歸直線過(guò)點(diǎn)(，)
C．若該大學(xué)某女生身高增加1 cm，則其體重約增加0.85 kg
D．若該大學(xué)某女生身高為170 cm，則可判定其體重必為58.79 kg
3．(多選)為研究需要，統(tǒng)計(jì)了兩個(gè)變量x，y的數(shù)據(jù)情況如表：
x x1 x2 x3 … xn
y y1 y2 y3 … yn
其中數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn和數(shù)據(jù)y1，y2，y3，…，yn的均值分別為和，并且計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)r＝－0.8，經(jīng)驗(yàn)回歸方程為＝x＋，以下結(jié)論正確的為(若|r|>0.75，則線性相關(guān)性較強(qiáng))(　　)
A．將以上數(shù)據(jù)的每個(gè)數(shù)據(jù)都加一個(gè)相同的常數(shù)后，方差不變
B．變量x，y的相關(guān)性較強(qiáng)
C．當(dāng)x＝x1時(shí)，則必有＝y(tǒng)1
D.<0
4．某車間為了提高工作效率，需要測(cè)試加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此進(jìn)行了5次試驗(yàn)，這5次試驗(yàn)的數(shù)據(jù)列(個(gè)數(shù)x，加工時(shí)間y)為：(10,62)，(20，a)，(30,75)，(40,81)，(50,89)．若用最小二乘法求得其經(jīng)驗(yàn)回歸方程為＝0.67x＋54.9，則a的值為_(kāi)_______．
參考答案與詳細(xì)解析
問(wèn)題1　由散點(diǎn)圖的分布趨勢(shì)表明兒子的身高與父親的身高線性相關(guān)，通過(guò)樣本相關(guān)系數(shù)可知兒子的身高與父親的身高正線性相關(guān)，且相關(guān)程度較高．
問(wèn)題2　不能．因?yàn)檫@兩個(gè)變量之間不是函數(shù)關(guān)系，也就不能用函數(shù)模型刻畫(huà)．
知識(shí)梳理
一元線性回歸　因變量　響應(yīng)變量　自變量　解釋變量　截距　斜率　誤差
例1　解　(1)(2)(3)(4)(5)回歸模型，(6)(7)函數(shù)模型．
跟蹤訓(xùn)練1　D　[因?yàn)樨?cái)政收入x與支出y滿足一元線性回歸模型y＝bx＋a＋e，其中b＝0.7，a＝3，
所以y＝0.7x＋3＋e.
當(dāng)x＝10時(shí)，得y＝0.7×10＋3＋e＝10＋e，
又|e|≤0.5，即－0.5≤e≤0.5，所以9.5≤y≤10.5，
所以年支出預(yù)計(jì)不會(huì)超過(guò)10.5億元．]
問(wèn)題3　使表示成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的各散點(diǎn)在整體上與一條適當(dāng)?shù)闹本€盡可能地接近．
問(wèn)題4　方法(1)，(2)，(3)雖然有一定道理，但是比較難操作，方法(4)可以利用點(diǎn)到直線的距離來(lái)刻畫(huà)散點(diǎn)與該直線的接近程度，然后利用所有距離之和刻畫(huà)所有樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)與該直線的接近程度(具體推導(dǎo)過(guò)程參考課本108～109頁(yè))．
知識(shí)梳理
經(jīng)驗(yàn)回歸方程　最小二乘法　最小二乘估計(jì)
例2　解　＝＝5，
＝＝50，
iyi＝2×30＋4×40＋5×60＋6×50＋8×70＝1 380，
5＝5×5×50＝1 250，
＝22＋42＋52＋62＋82＝145，
52＝5×52＝125，
＝＝6.5，
＝－＝50－6.5×5＝17.5，
所以所求經(jīng)驗(yàn)回歸方程為＝6.5x＋17.5.
跟蹤訓(xùn)練2　解　＝×(88＋76＋73＋66＋63)＝73.2，
＝×(78＋65＋71＋64＋61)＝67.8.
iyi＝88×78＋76×65＋73×71＋66×64＋63×61＝25 054.
＝882＋762＋732＋662＋632＝27 174.
所以＝＝≈0.625，
＝－≈67.8－0.625×73.2＝22.05.
所以所求經(jīng)驗(yàn)回歸方程是＝0.625x＋22.05.
例3　解　(1)由題意可得，
＝[20＋15＋13＋3＋2＋(－5)＋(－10)＋(－18)]×＝，
＝[6.5＋3.5＋3.5＋1.5＋0.5＋＋＋]×＝，
＝＝＝，
所以＝－＝－×＝，故經(jīng)驗(yàn)回歸方程為＝x＋.
(2)由題意，設(shè)該同學(xué)的物理成績(jī)?yōu)棣兀瑒t物理偏差為ω－91.5.
而數(shù)學(xué)偏差為128－120＝8，
所以ω－91.5＝×8＋，解得ω＝94，
所以，可以預(yù)測(cè)這位同學(xué)的物理成績(jī)?yōu)?4分．
跟蹤訓(xùn)練3　解　(1)由題意可得＝×(1＋1.5＋2＋2.5＋3)＝2，
＝×(0.9＋0.7＋0.5＋0.3＋0.2)＝0.52.
(xi－)(yi－)＝－1×0.38－0.5×0.18＋0.5×(－0.22)＋1×(－0.32)＝－0.9，
(xi－)2＝1＋0.25＋0.25＋1＝2.5，
則＝－＝－0.36，
＝－＝1.24，故＝－0.36x＋1.24.
(2)當(dāng)x＝2.6時(shí)，＝－0.36×2.6＋1.24＝0.304，
故估計(jì)該居民家庭的恩格爾系數(shù)為0.304.
隨堂演練
1．B　[因?yàn)榻?jīng)驗(yàn)回歸直線的斜率為80，所以x每增加1，y平均增加80，即勞動(dòng)生產(chǎn)率提高1 000元時(shí)，工人工資平均提高80元．]
2．D　[當(dāng)x＝170時(shí)，＝0.85×170－85.71＝58.79，體重的估計(jì)值為58.79 kg.]
3．ABD　[對(duì)于A，因?yàn)榉讲钍潜硎緮?shù)據(jù)波動(dòng)大小的量，將一組數(shù)據(jù)的每個(gè)數(shù)都加一個(gè)相同的常數(shù)后，方差不變，所以A正確；
對(duì)于B，樣本相關(guān)系數(shù)r＝－0.8，|r|＝0.8，變量x，y的相關(guān)性較強(qiáng)，所以B正確；
對(duì)于C，當(dāng)x＝x1時(shí)，不一定有＝y(tǒng)1，所以C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，因?yàn)閞＝－0.8＜0，是負(fù)相關(guān)，所以＜0，所以D正確．]
4．68
解析　根據(jù)題意，可得，
＝×＝30，
＝×＝61.4＋.
又經(jīng)驗(yàn)回歸直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(，)，
故可得61.4＋＝0.67×30＋54.9，解得a＝68.人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修三
8.2第3課時(shí)-指數(shù)函數(shù)模型與冪函數(shù)模型-導(dǎo)學(xué)案
學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.進(jìn)一步掌握一元線性回歸模型參數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義.2.了解非線性回歸模型，掌握指數(shù)型函數(shù)模型和冪函數(shù)模型的求解過(guò)程．
一、指數(shù)函數(shù)模型y＝αeβx(α＞0)
例1　某景區(qū)的各景點(diǎn)從2010年取消門(mén)票實(shí)行免費(fèi)開(kāi)放后，旅游的人數(shù)不斷地增加，不僅帶動(dòng)了該市淡季的旅游，而且優(yōu)化了旅游產(chǎn)業(yè)的結(jié)構(gòu)，促進(jìn)了該市旅游向“觀光、休閑、會(huì)展”三輪驅(qū)動(dòng)的理想結(jié)構(gòu)快速轉(zhuǎn)變．下表是從2011年至2020年，該景點(diǎn)的旅游人數(shù)y(萬(wàn)人)與年份x的數(shù)據(jù)：
第x年 1 2 3 4 5
旅游人數(shù)y(萬(wàn)人) 300 283 321 345 372
第x年 6 7 8 9 10
旅游人數(shù)y(萬(wàn)人) 435 486 527 622 800
該景點(diǎn)為了預(yù)測(cè)2023年的旅游人數(shù)，建立了y與x的兩個(gè)回歸模型：
模型①：由最小二乘法求得y與x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程＝50.8x＋169.7；
模型②：由散點(diǎn)圖的樣本點(diǎn)分布，可以認(rèn)為樣本點(diǎn)集中在曲線y＝aebx的附近．
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求模型②的經(jīng)驗(yàn)回歸方程＝aebx(a精確到個(gè)位，b精確到0.01)；
(2)根據(jù)下列表中的數(shù)據(jù)，比較兩種模型的決定系數(shù)R2，并選擇擬合精度更高、更可靠的模型，預(yù)測(cè)2023年該景區(qū)的旅游人數(shù)(單位：萬(wàn)人，精確到個(gè)位)．
經(jīng)驗(yàn)回歸方程 ①＝50.8x＋169.7 ②＝aebx
(yi－)2 30 407 14 607
參考公式、參考數(shù)據(jù)及說(shuō)明：
①對(duì)于一組數(shù)據(jù)(v1，w1)，(v2，w2)，…，(vn，wn)，其經(jīng)驗(yàn)回歸直線＝＋v的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為＝，＝－.
②刻畫(huà)回歸效果的決定系數(shù)R2＝1－.
③參考數(shù)據(jù)：e5.46≈235，e1.43≈4.2.
(xi－)2 (xi－)·(yi－) (xi－)·(ui－)
5.5 449 6.05 83 4 195 9.00
表中ui＝ln yi，＝i.
反思感悟　指數(shù)函數(shù)型y＝ebx＋a回歸問(wèn)題的處理方法
(1)函數(shù)y＝ebx＋a的圖象，如圖所示．
(2)處理方法：兩邊取對(duì)數(shù)得ln y＝ln ebx＋a，即ln y＝bx＋a.令z＝ln y，把原始數(shù)據(jù)(x，y)轉(zhuǎn)化為(x，z)，再根據(jù)線性回歸模型的方法求出a，b.
跟蹤訓(xùn)練1　已知某種細(xì)菌的適宜生長(zhǎng)溫度為10 ℃～25 ℃，為了研究該種細(xì)菌的繁殖數(shù)量y(單位：個(gè))隨溫度x(單位：℃)變化的規(guī)律，收集數(shù)據(jù)如表：
溫度x/℃ 12 14 16 18 20 22 24
繁殖數(shù)量y/個(gè) 20 25 33 27 51 112 194
對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行初步處理后，得到了一些統(tǒng)計(jì)量的值，如表所示：
(xi－)2 (ki－)2 (xi－)· (yi－) (xi－)· (ki－)
18 66 3.8 112 4.3 1 428 20.5
其中ki＝ln yi，＝i.
(1)請(qǐng)繪出y關(guān)于x的散點(diǎn)圖，并根據(jù)散點(diǎn)圖判斷y＝bx＋a與y＝cedx哪一個(gè)更適合作為該種細(xì)菌的繁殖數(shù)量y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程模型(只做出判斷，不必說(shuō)明理由)；
(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表格數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程(結(jié)果精確到0.1)；
(3)當(dāng)溫度為25 ℃時(shí)，該種細(xì)菌的繁殖數(shù)量的預(yù)測(cè)值為多少？
參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(ui，vi)(i＝1,2,3，…，n)，其經(jīng)驗(yàn)回歸直線＝u＋的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為＝，＝－.參考數(shù)據(jù)：e5.5≈245.
二、冪函數(shù)模型y＝αxβ(α＞0)
例2　某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x(單位：千元)對(duì)年銷售量y(單位：t)和年利潤(rùn)z(單位：千元)的影響．對(duì)近8年的年宣傳費(fèi)xi和年銷售量yi(i＝1,2，…，8)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值．
(xi－)2 (wi－)2
46.6 563 6.8 289.8 1.6
(xi－)·(yi－) (wi－)·(yi－)
1 469 108.8
表中wi＝，＝i.
(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y＝a＋bx與y＝c＋d哪一個(gè)適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程模型？(給出判斷即可，不必說(shuō)明理由)
(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；
(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤(rùn)z與x，y的關(guān)系為z＝0.2y－x.根據(jù)(2)的結(jié)果計(jì)算年宣傳費(fèi)x為何值時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)測(cè)值最大？
附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其經(jīng)驗(yàn)回歸直線＝＋u的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為＝，＝－.
反思感悟　y＝bxn＋a型處理方法
設(shè)x′＝xn，原方程可化為y＝bx′＋a，再根據(jù)線性回歸模型的方法求出a，b.
跟蹤訓(xùn)練2　某企業(yè)新研發(fā)了一種產(chǎn)品，產(chǎn)品的成本由原料成本及非原料成本組成．每件產(chǎn)品的非原料成本y(元)與生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量x(千件)有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到如表數(shù)據(jù)：
x 1 2 3 4 5 6 7 8
y 112 61 44.5 35 30.5 28 25 24
根據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制了散點(diǎn)圖．
觀察散點(diǎn)圖，兩個(gè)變量不具有線性相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)考慮用反比例函數(shù)模型y＝a＋和指數(shù)函數(shù)模型y＝cedx分別對(duì)兩個(gè)變量的關(guān)系進(jìn)行擬合．已求得用指數(shù)函數(shù)模型擬合的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為＝96.54e－0.2x，ln y與x的樣本相關(guān)系數(shù)r1＝－0.94.
(1)用反比例函數(shù)模型求y關(guān)于x的非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程；
(2)用樣本相關(guān)系數(shù)判斷上述兩個(gè)模型哪一個(gè)擬合效果更好(精確到0.01)，并用其預(yù)測(cè)產(chǎn)量為10千件時(shí)每件產(chǎn)品的非原料成本．
參考數(shù)據(jù)：
iyi 2
183.4 0.34 0.115 1.53
i e－2
360 22 385.5 61.4 0.135
參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其經(jīng)驗(yàn)回歸直線＝＋u的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為＝，＝－，
樣本相關(guān)系數(shù)r＝.
1．知識(shí)清單：
(1)指數(shù)函數(shù)模型．
(2)冪函數(shù)模型．
2．方法歸納：轉(zhuǎn)化思想．
3．常見(jiàn)誤區(qū)：非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程轉(zhuǎn)化為線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程時(shí)的轉(zhuǎn)化方法．
1．給出下列說(shuō)法：①以模型y＝cekx去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，為了求出非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程，設(shè)z＝ln y，經(jīng)計(jì)算得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程＝0.3x＋4，則c，k的值分別是e4和0.3；②根據(jù)具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程＝＋x，若＝2，＝1，＝3，則＝1；③若變量x和y滿足關(guān)系y＝－0.1x＋1，且變量y與z正相關(guān)，則x與z也正相關(guān)．其中正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
2．某校數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x(單位：°C)的關(guān)系，由試驗(yàn)數(shù)據(jù)得到如圖所示的散點(diǎn)圖. 由此散點(diǎn)圖，可以得出最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程模型的是(　　)
A．y＝a＋bx B．y＝a＋bln x
C．y＝a＋bex D．y＝a＋bx2
3．若一函數(shù)模型為y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，將y轉(zhuǎn)化為t的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，需做變換t等于(　　)
A．x2 B．(x＋a)2
C.2 D．以上都不對(duì)
4．在研究?jī)蓚€(gè)變量的相關(guān)關(guān)系時(shí)，觀察散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)樣本點(diǎn)集中于某一條指數(shù)曲線y＝ebx＋a的周圍．令＝ln y，求得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為＝0.25x－2.58，則該模型的非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程為_(kāi)___________________．
參考答案與詳細(xì)解析
例1　解　(1)對(duì)y＝aebx取對(duì)數(shù)，得ln y＝bx＋ln a，設(shè)u＝ln y，c＝ln a，先建立u關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為＝x＋.
＝＝≈0.108,
＝－≈6.05－0.108×5.5＝5.456≈5.46，
＝≈e5.46≈235，
∴模型②的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為＝235e0.11x.
(2)由表格中的數(shù)據(jù)，有30 407>14 607，即>，
即1－<1－，R說(shuō)明回歸模型②的擬合效果更好．
2023年時(shí)，x＝13，
預(yù)測(cè)旅游人數(shù)為＝235e0.11×13＝235e1.43≈235×4.2＝987(萬(wàn)人)．
跟蹤訓(xùn)練1　解　(1)由題意，y關(guān)于x的散點(diǎn)圖，如圖所示．
y＝cedx更適合作為y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程．
(2)由(1)知y＝cedx，則ln y＝x＋ln c，
令k＝ln y，則＝x＋ln c，
∴＝＝≈0.183，
ln c＝－＝3.8－0.183×18≈0.5，即c≈e0.5.
∴y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為＝e0.2x＋0.5.
(3)由(2)中的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，令x＝25，求得＝e5.5≈245，
∴當(dāng)溫度為25 ℃時(shí)，該種細(xì)菌的繁殖數(shù)量的預(yù)測(cè)值為245個(gè)．
例2　解　(1)由散點(diǎn)圖可以判斷，y＝c＋d適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程模型．
(2)令w＝，＝＋w.先建立y關(guān)于w的經(jīng)驗(yàn)回歸方程．
由于＝＝＝68，
＝－＝563－68×6.8＝100.6，
所以y關(guān)于w的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為＝100.6＋68w，
因此y關(guān)于x的非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程為＝100.6＋68.
(3)根據(jù)(2)的結(jié)果知，年利潤(rùn)z的預(yù)測(cè)值＝0.2(100.6＋68)－x＝－x＋13.6＋20.12.
所以當(dāng)＝＝6.8，
即x＝46.24時(shí)，取得最大值．
故年宣傳費(fèi)為46.24千元時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)測(cè)值最大．
跟蹤訓(xùn)練2　解　(1)令u＝，
則y＝a＋可轉(zhuǎn)化為y＝a＋bu，
先建立y關(guān)于u的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，因?yàn)椋剑?5，
所以＝＝＝＝100，
則＝－＝45－100×0.34＝11，
所以＝11＋100u，
所以y關(guān)于x的非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程為＝11＋.
(2)y與的樣本相關(guān)系數(shù)為r2＝＝≈0.99.
因?yàn)閨r1|＜|r2|，所以用反比例函數(shù)模型擬合效果更好，
當(dāng)x＝10時(shí)，y＝＋11＝21，所以當(dāng)產(chǎn)量為10千件時(shí)，預(yù)測(cè)每件產(chǎn)品的非原料成本為21元．
隨堂演練
1．C　[由非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程的求解過(guò)程可知①正確；易知②正確；根據(jù)y與z正相關(guān)，y與x負(fù)相關(guān)，可知x與z負(fù)相關(guān)，③錯(cuò)誤．]
2．B　[由散點(diǎn)圖可知，數(shù)據(jù)分布成遞增趨勢(shì)，但是呈現(xiàn)上凸效果，即增加緩慢．
A中，y＝a＋bx是直線型，均勻增長(zhǎng)，不符合要求；
B中，y＝a＋bln x是對(duì)數(shù)型，增長(zhǎng)緩慢，符合要求；
C中，y＝a＋bex是指數(shù)型，爆炸式增長(zhǎng)，增長(zhǎng)快，不符合要求；
D中，y＝a＋bx2是二次函數(shù)型，圖象呈現(xiàn)下凸，增長(zhǎng)也較快，不符合要求．
故對(duì)數(shù)型最適宜該經(jīng)驗(yàn)回歸方程模型．]
3．C　[y＝ax2＋bx＋c＝a2＋(a≠0)，
可令t＝2，
則y＝at＋為關(guān)于t的經(jīng)驗(yàn)回歸方程．]
4.＝e0.25x－2.58
解析　因?yàn)椋?.25x－2.58，＝ln y，所以＝e0.25x－2.58.

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