資源簡介

第34課時　概率初步
【知識要點】
1.確定性事件與隨機事件
(1)必然事件:在一定條件下重復進行試驗時,在每次試驗中　一定會　發生的事件.
(2)不可能事件:在一定條件下重復進行試驗時,在每次試驗中　一定不會　發生的事件.
(3)隨機事件:在一定條件下,　可能發生也可能不發生　的事件.
(4)事件的分類:
事件
【對點練習】
1.(教材再開發·人教九上P128練習改編)下列事件中,是隨機事件的是(D)
A.太陽每天早晨從西邊升起
B.△ABC中,AB+AC>BC
C.兩個負數相乘,積為正
D.兩個數相加,和大于其中的一個加數
【知識要點】
2.事件的概率及求法
(1)隨機事件的概率:對于一個隨機事件A,我們把刻畫其發生　可能性大小　的數值,稱為隨機事件A發生的概率,記為P(A).
(2)概率的求法:如果在一次試驗中,有n種可能的結果,并且它們發生的可能性都
　相等　,事件A包含其中m種結果,那么事件A發生的概率P(A)= 　.
(3)事件A發生的概率的取值范圍是　0≤P(A)≤1　.
特別地,①當A為必然事件時,P(A)=　1　.
②當A為不可能事件時,P(A)=　0　.
③當A為隨機事件時,　0(4)求概率的方法:用頻率估計概率、列舉法、列表法、畫樹狀圖法.
【對點練習】
2.(1)某班級計劃舉辦手抄報展覽,確定了“5G時代”“北斗衛星”“高鐵速度”三個主題,若小明和小亮每人隨機選擇其中一個主題,則他們恰好選擇同一個主題的概率是(C)
A. B. C. D.
(2)(教材再開發·人教九上P132例2改編)如圖,任意將圖中的某一白色方塊涂黑后,能使所有黑色方塊構成的圖形是軸對稱圖形的概率是(A)
A. B. C. D.
【知識要點】
3.用頻率估計概率
在大量重復試驗中,如果事件A發生的頻率會穩定在某個常數p附近,那么事件A發生的概率為P(A)=　p　,其中 p滿足　0≤p≤1　.
【對點練習】
3.擲一枚質地不均勻的骰子,做了大量的重復試驗,發現“朝上一面為1點”出現的頻率越來越穩定于0.6,那么,擲一次該骰子,“朝上一面為1點”的概率為　0.6　.
考點1　事件類型及其發生可能性的大小
【示范題1】(2024·湖北中考)下列各事件,是必然事件的是(D)
A.擲一枚正方體骰子,正面朝上恰好是3
B.某同學投籃球,一定投不中
C.經過紅綠燈路口時,一定是紅燈
D.畫一個三角形,其內角和為180°
【答題關鍵指導】
　事件分為確定事件和不確定事件,確定事件分為必然事件和不可能事件.
(1)一定發生的事件是必然事件,必然事件發生的概率是1,如太陽每天東升西落.
(2)一定不會發生的事件是不可能事件,不可能發生的事件發生的概率是0.
(3)也可能發生,也可能不發生的事件是不確定事件;不確定事件發生的概率大于0小于1.
【跟蹤訓練】
1.(2024·內江中考)下列事件是必然事件的是(B)
A.打開電視機,中央臺正在播放“嫦娥六號完成人類首次背月采樣”的新聞
B.從兩個班級中任選三名學生擔任學校安全督查員,至少有兩名學生來自同一個班級
C.小明在內江平臺一定能搶到龍舟節開幕式門票
D.從《西游記》《紅樓夢》《三國演義》《水滸傳》這四本書中隨機抽取一本是《三國演義》
2.(2024·武漢中考)小美和小好同學做“石頭、剪刀、布”的游戲,兩人同時出相同的手勢,這個事件是(A)
A.隨機事件 B.不可能事件
C.必然事件 D.確定性事件
考點2　概率的求法
【示范題2】(2024·連云港中考)下列說法正確的是(C)
A.10張票中有1張獎票,10人去摸,先摸的人摸到獎票的概率較大
B.從1,2,3,4,5中隨機抽取一個數,取得偶數的可能性較大
C.小強一次擲出3顆質地均勻的骰子,3顆全是6點朝上是隨機事件
D.拋一枚質地均勻的硬幣,正面朝上的概率為,連續拋此硬幣2次必有1次正面朝上
【答題關鍵指導】
1.畫樹狀圖法要做到不重復不遺漏地列出所有可能的結果,適合于兩步完成的事件.
2.運用公式P(A)=求簡單事件發生的概率,即找到事件所有可能的結果種數n和使事件A發生的結果種數m.再將兩者相除,得到結果.
【跟蹤訓練】
1.(2024·廣西中考)不透明袋子中裝有白球2個,紅球1個,這些球除了顏色外無其他差別.從袋子中隨機取出1個球,取出白球的概率是(D)
A.1 B. C. D.
2.(2024·貴州中考)小星同學通過大量重復的定點投籃練習,用頻率估計他投中的概率為0.4,下列說法正確的是(A)
A.小星定點投籃1次,不一定能投中
B.小星定點投籃1次,一定可以投中
C.小星定點投籃10次,一定投中4次
D.小星定點投籃4次,一定投中1次
3.(2024·山東中考)某校課外活動期間開展跳繩、踢毽子、韻律操三項活動,甲、乙兩位同學各自任選其中一項參加,則他們選擇同一項活動的概率是(C)
A. B. C. D.
4.(2024·山西中考)一個不透明的盒子里裝有一個紅球、一個白球和一個綠球,這些球除顏色外都相同.從中隨機摸出一個球,記下顏色后不放回,再從中隨機摸出一個球,則兩次摸到的球恰好有一個紅球的概率是(B)
A. B. C. D.
考點3　用頻率估計概率
【示范題3】(2024·揚州中考)數學興趣小組做拋擲一枚瓶蓋的試驗后,整理的數據如下表:
累計 拋擲 次數 50 100 200 300 500 1 000 2 000 3 000 5 000
蓋面 朝上 次數 28 54 106 157 264 527 1 056 1 587 2 650
蓋面 朝上 頻率 0.560 0.540 0.530 0.523 0.528 0.527 0.528 0.529 0.530
根據以上數據可以估計出“蓋面朝上”的概率為　0.53　.(精確到0.01)
【答題關鍵指導】
用頻率估計概率
(1)用頻率估計概率時,一般是通過觀察所計算的各頻數數值的變化(集中)趨勢,即觀察各數值主要集中在哪個常數附近,這個常數就是所求概率的估計值.同時要明確,頻率只是一個估計值,不同的試驗受試驗次數及試驗條件的影響,所得到的結果可能有所不同.
(2)在用頻率估計概率時,要注意試驗的次數越多,事件發生的頻率越接近于概率.計算時用事件發生的次數除以試驗的總次數,一般不用多個頻率的平均數來估計事件發生的概率.
【跟蹤訓練】
(2024·廈門模擬)社團課上,同學們進行了“摸球游戲”:在一個不透明的盒子里裝有幾十個除顏色不同外其余均相同的黑、白兩種球,將盒子里面的球攪勻后從中隨機摸出一個球記下顏色,再把它放回盒子中,不斷重復上述過程.整理數據后,制作了“摸出黑球的頻率”與“摸球的總次數”的關系圖象如圖所示,經分析可以推斷盒子里個數比較多的是　白球　.(填“黑球”或“白球”)
考點4　概率的應用
【示范題4】(2024·內江中考)如圖所示的電路中,當隨機閉合開關S1,S2,S3中的兩個時,燈泡能發光的概率為(A)
A. B. C. D.
【答題關鍵指導】
列舉(列表或畫樹狀圖)法:當一次試驗涉及多個因素(對象)時,由于不能直觀得到事件A發生的次數m及總事件發生的結果數n,所以需要借助于列表或畫樹狀圖的方法來清晰地列舉出來,再根據公式進行計算.
【跟蹤訓練】
1.(2024·河南中考)豫劇是國家級非物質文化遺產,因其雅俗共賞,深受大眾喜愛.正面印有豫劇經典劇目人物的三張卡片如圖所示,它們除正面外完全相同.把這三張卡片背面朝上洗勻,從中隨機抽取一張,放回洗勻后,再從中隨機抽取一張,兩次抽取的卡片正面相同的概率為(D)
A. B. C. D.
2.(2024·武漢中考)經過某十字路口的汽車,可能直行,也可能向左轉或向右轉,這三種可能性大小相同.若兩輛汽車經過這個十字路口,則至少一輛車向右轉的概率是(D)
A. B. C. D.
3.(2024·連云港中考)數學文化節猜謎游戲中,有四張大小、形狀、質地都相同的字謎卡片,分別記作字謎A、字謎B、字謎C、字謎D,其中字謎A、字謎B是猜“數學名詞”,字謎C、字謎D是猜“數學家人名”.
(1)若小軍從中隨機抽取一張字謎卡片,則小軍抽取的字謎是猜“數學名詞”的概率是　　　　　;
(2)若小軍一次從中隨機抽取兩張字謎卡片,請用畫樹狀圖或列表的方法求小軍抽取的字謎均是猜“數學家人名”的概率.
【解析】(1)∵字謎A、字謎B、字謎C、字謎D,其中字謎A、字謎B是猜“數學名詞”,字謎C、字謎D是猜“數學家人名”,
∴小軍從中隨機抽取一張字謎卡片,則小軍抽取的字謎是猜“數學名詞”的概率是=.
答案:
(2)畫樹狀圖如下:
共有12種等可能結果,其中小軍抽取的字謎均是猜“數學家人名”的結果有2種,即CD,DC,
∴小軍抽取的字謎均是“猜數學家人名”的概率是=.
1.(2024·福建中考)哥德巴赫提出“每個大于2的偶數都可以表示為兩個質數之和”的猜想,我國數學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果.在質數2,3,5中,隨機選取兩個不同的數,其和是偶數的概率是(B)
A. B. C. D.
2.(2022·福建中考)一個不透明的袋中裝有3個紅球和2個白球,這些球除顏色外無其他差別.現隨機從袋中摸出一個球,這個球是紅球的概率是 　.
3.(2023·福建中考)為促進消費,助力經濟發展,某商場決定“讓利酬賓”,于“五一”期間舉辦了抽獎促銷活動.活動規定:凡在商場消費一定金額的顧客,均可獲得一次抽獎機會.抽獎方案如下:從裝有大小質地完全相同的1個紅球及編號為①②③的3個黃球的袋中,隨機摸出1個球,若摸得紅球,則中獎,可獲得獎品;若摸得黃球,則不中獎.同時,還允許未中獎的顧客將其摸得的球放回袋中,并再往袋中加入1個紅球或黃球(它們的大小質地與袋中的4個球完全相同),然后從中隨機摸出1個球,記下顏色后不放回,再從中隨機摸出1個球,若摸得的兩球的顏色相同,則該顧客可獲得精美禮品一份.現已知某顧客獲得抽獎機會.
(1)求該顧客首次摸球中獎的概率;
(2)假如該顧客首次摸球未中獎,為了有更大機會獲得精美禮品,他應往袋中加入哪種顏色的球 說明你的理由.
【解析】(1)顧客首次摸球的所有可能結果為紅,黃①,黃②,黃③,共4種等可能的結果,
記“首次摸得紅球”為事件A,則事件A發生的結果只有1種,∴P(A)=,
∴顧客首次摸球中獎的概率為;
(2)他應往袋中加入黃球;理由如下:
記往袋中加入的球為“新”,摸得的兩球所有可能的結果列表如下:
球 紅 黃① 黃② 黃③ 新
紅 — 紅,黃① 紅,黃② 紅,黃③ 紅,新
黃① 黃①,紅 — 黃①,黃② 黃①,黃③ 黃①,新
黃② 黃②,紅 黃②,黃① — 黃②,黃③ 黃②,新
黃③ 黃③,紅 黃③,黃① 黃③,黃② — 黃③,新
新 新,紅 新,黃① 新,黃② 新,黃③ —
共有20種等可能結果,
(i)若往袋中加入的是紅球,兩球顏色相同的結果共有8種,此時該顧客獲得精美禮品的概率 P1==;
(ii)若往袋中加入的是黃球,兩球顏色相同的結果共有12種,此時該顧客獲得精美禮品的概率 P2==;
∵<,∴P1【知識要點】
1.確定性事件與隨機事件
(1)必然事件:在一定條件下重復進行試驗時,在每次試驗中 發生的事件.
(2)不可能事件:在一定條件下重復進行試驗時,在每次試驗中 發生的事件.
(3)隨機事件:在一定條件下, 的事件.
(4)事件的分類:
事件
【對點練習】
1.(教材再開發·人教九上P128練習改編)下列事件中,是隨機事件的是( )
A.太陽每天早晨從西邊升起
B.△ABC中,AB+AC>BC
C.兩個負數相乘,積為正
D.兩個數相加,和大于其中的一個加數
【知識要點】
2.事件的概率及求法
(1)隨機事件的概率:對于一個隨機事件A,我們把刻畫其發生 的數值,稱為隨機事件A發生的概率,記為P( ).
(2)概率的求法:如果在一次試驗中,有n種可能的結果,并且它們發生的可能性都
,事件A包含其中m種結果,那么事件A發生的概率P( )= .
(3)事件A發生的概率的取值范圍是 .
特別地,①當A為必然事件時,P( )= .
②當A為不可能事件時,P( )= .
③當A為隨機事件時, .
(4)求概率的方法:用頻率估計概率、列舉法、列表法、畫樹狀圖法.
【對點練習】
2.(1)某班級計劃舉辦手抄報展覽,確定了“5G時代”“北斗衛星”“高鐵速度”三個主題,若小明和小亮每人隨機選擇其中一個主題,則他們恰好選擇同一個主題的概率是( )
A. B. C. D.
(2)(教材再開發·人教九上P132例2改編)如圖,任意將圖中的某一白色方塊涂黑后,能使所有黑色方塊構成的圖形是軸對稱圖形的概率是( )
A. B. C. D.
【知識要點】
3.用頻率估計概率
在大量重復試驗中,如果事件A發生的頻率會穩定在某個常數p附近,那么事件A發生的概率為P( )= ,其中 p滿足 .
【對點練習】
3.擲一枚質地不均勻的骰子,做了大量的重復試驗,發現“朝上一面為1點”出現的頻率越來越穩定于0.6,那么,擲一次該骰子,“朝上一面為1點”的概率為 .
考點1　事件類型及其發生可能性的大小
【示范題1】(2024·湖北中考)下列各事件,是必然事件的是( )
A.擲一枚正方體骰子,正面朝上恰好是3
B.某同學投籃球,一定投不中
C.經過紅綠燈路口時,一定是紅燈
D.畫一個三角形,其內角和為180°
【答題關鍵指導】
　事件分為確定事件和不確定事件,確定事件分為必然事件和不可能事件.
(1)一定發生的事件是必然事件,必然事件發生的概率是1,如太陽每天東升西落.
(2)一定不會發生的事件是不可能事件,不可能發生的事件發生的概率是0.
(3)也可能發生,也可能不發生的事件是不確定事件;不確定事件發生的概率大于0小于1.
【跟蹤訓練】
1.(2024·內江中考)下列事件是必然事件的是( )
A.打開電視機,中央臺正在播放“嫦娥六號完成人類首次背月采樣”的新聞
B.從兩個班級中任選三名學生擔任學校安全督查員,至少有兩名學生來自同一個班級
C.小明在內江平臺一定能搶到龍舟節開幕式門票
D.從《西游記》《紅樓夢》《三國演義》《水滸傳》這四本書中隨機抽取一本是《三國演義》
2.(2024·武漢中考)小美和小好同學做“石頭、剪刀、布”的游戲,兩人同時出相同的手勢,這個事件是( )
A.隨機事件 B.不可能事件
C.必然事件 D.確定性事件
考點2　概率的求法
【示范題2】(2024·連云港中考)下列說法正確的是( )
A.10張票中有1張獎票,10人去摸,先摸的人摸到獎票的概率較大
B.從1,2,3,4,5中隨機抽取一個數,取得偶數的可能性較大
C.小強一次擲出3顆質地均勻的骰子,3顆全是6點朝上是隨機事件
D.拋一枚質地均勻的硬幣,正面朝上的概率為,連續拋此硬幣2次必有1次正面朝上
【答題關鍵指導】
1.畫樹狀圖法要做到不重復不遺漏地列出所有可能的結果,適合于兩步完成的事件.
2.運用公式P( )=求簡單事件發生的概率,即找到事件所有可能的結果種數n和使事件A發生的結果種數m.再將兩者相除,得到結果.
【跟蹤訓練】
1.(2024·廣西中考)不透明袋子中裝有白球2個,紅球1個,這些球除了顏色外無其他差別.從袋子中隨機取出1個球,取出白球的概率是( )
A.1 B. C. D.
2.(2024·貴州中考)小星同學通過大量重復的定點投籃練習,用頻率估計他投中的概率為0.4,下列說法正確的是( )
A.小星定點投籃1次,不一定能投中
B.小星定點投籃1次,一定可以投中
C.小星定點投籃10次,一定投中4次
D.小星定點投籃4次,一定投中1次
3.(2024·山東中考)某校課外活動期間開展跳繩、踢毽子、韻律操三項活動,甲、乙兩位同學各自任選其中一項參加,則他們選擇同一項活動的概率是( )
A. B. C. D.
4.(2024·山西中考)一個不透明的盒子里裝有一個紅球、一個白球和一個綠球,這些球除顏色外都相同.從中隨機摸出一個球,記下顏色后不放回,再從中隨機摸出一個球,則兩次摸到的球恰好有一個紅球的概率是( )
A. B. C. D.
考點3　用頻率估計概率
【示范題3】(2024·揚州中考)數學興趣小組做拋擲一枚瓶蓋的試驗后,整理的數據如下表:
累計 拋擲 次數 50 100 200 300 500 1 000 2 000 3 000 5 000
蓋面 朝上 次數 28 54 106 157 264 527 1 056 1 587 2 650
蓋面 朝上 頻率 0.560 0.540 0.530 0.523 0.528 0.527 0.528 0.529 0.530
根據以上數據可以估計出“蓋面朝上”的概率為 .(精確到0.01)
【答題關鍵指導】
用頻率估計概率
(1)用頻率估計概率時,一般是通過觀察所計算的各頻數數值的變化(集中)趨勢,即觀察各數值主要集中在哪個常數附近,這個常數就是所求概率的估計值.同時要明確,頻率只是一個估計值,不同的試驗受試驗次數及試驗條件的影響,所得到的結果可能有所不同.
(2)在用頻率估計概率時,要注意試驗的次數越多,事件發生的頻率越接近于概率.計算時用事件發生的次數除以試驗的總次數,一般不用多個頻率的平均數來估計事件發生的概率.
【跟蹤訓練】
(2024·廈門模擬)社團課上,同學們進行了“摸球游戲”:在一個不透明的盒子里裝有幾十個除顏色不同外其余均相同的黑、白兩種球,將盒子里面的球攪勻后從中隨機摸出一個球記下顏色,再把它放回盒子中,不斷重復上述過程.整理數據后,制作了“摸出黑球的頻率”與“摸球的總次數”的關系圖象如圖所示,經分析可以推斷盒子里個數比較多的是 .(填“黑球”或“白球”)
考點4　概率的應用
【示范題4】(2024·內江中考)如圖所示的電路中,當隨機閉合開關S1,S2,S3中的兩個時,燈泡能發光的概率為( )
A. B. C. D.
【答題關鍵指導】
列舉(列表或畫樹狀圖)法:當一次試驗涉及多個因素(對象)時,由于不能直觀得到事件A發生的次數m及總事件發生的結果數n,所以需要借助于列表或畫樹狀圖的方法來清晰地列舉出來,再根據公式進行計算.
【跟蹤訓練】
1.(2024·河南中考)豫劇是國家級非物質文化遺產,因其雅俗共賞,深受大眾喜愛.正面印有豫劇經典劇目人物的三張卡片如圖所示,它們除正面外完全相同.把這三張卡片背面朝上洗勻,從中隨機抽取一張,放回洗勻后,再從中隨機抽取一張,兩次抽取的卡片正面相同的概率為( )
A. B. C. D.
2.(2024·武漢中考)經過某十字路口的汽車,可能直行,也可能向左轉或向右轉,這三種可能性大小相同.若兩輛汽車經過這個十字路口,則至少一輛車向右轉的概率是( )
A. B. C. D.
3.(2024·連云港中考)數學文化節猜謎游戲中,有四張大小、形狀、質地都相同的字謎卡片,分別記作字謎A、字謎B、字謎C、字謎D,其中字謎A、字謎B是猜“數學名詞”,字謎C、字謎D是猜“數學家人名”.
(1)若小軍從中隨機抽取一張字謎卡片,則小軍抽取的字謎是猜“數學名詞”的概率是 ;
(2)若小軍一次從中隨機抽取兩張字謎卡片,請用畫樹狀圖或列表的方法求小軍抽取的字謎均是猜“數學家人名”的概率.
1.(2024·福建中考)哥德巴赫提出“每個大于2的偶數都可以表示為兩個質數之和”的猜想,我國數學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果.在質數2,3,5中,隨機選取兩個不同的數,其和是偶數的概率是( )
A. B. C. D.
2.(2022·福建中考)一個不透明的袋中裝有3個紅球和2個白球,這些球除顏色外無其他差別.現隨機從袋中摸出一個球,這個球是紅球的概率是 .
3.(2023·福建中考)為促進消費,助力經濟發展,某商場決定“讓利酬賓”,于“五一”期間舉辦了抽獎促銷活動.活動規定:凡在商場消費一定金額的顧客,均可獲得一次抽獎機會.抽獎方案如下:從裝有大小質地完全相同的1個紅球及編號為①②③的3個黃球的袋中,隨機摸出1個球,若摸得紅球,則中獎,可獲得獎品;若摸得黃球,則不中獎.同時,還允許未中獎的顧客將其摸得的球放回袋中,并再往袋中加入1個紅球或黃球(它們的大小質地與袋中的4個球完全相同),然后從中隨機摸出1個球,記下顏色后不放回,再從中隨機摸出1個球,若摸得的兩球的顏色相同,則該顧客可獲得精美禮品一份.現已知某顧客獲得抽獎機會.
(1)求該顧客首次摸球中獎的概率;
(2)假如該顧客首次摸球未中獎,為了有更大機會獲得精美禮品,他應往袋中加入哪種顏色的球 說明你的理由.

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