資源簡介

第8課時　一元二次方程
【知識要點】
1.一元二次方程的概念
(1)定義:只含有　1　個未知數,并且未知數的最高次數是　2　的整式方程.
(2)一般形式:　ax2+bx+c=0(a≠0)　.
【對點練習】
1.下列方程中是一元二次方程的是(B)
A.(x-2)2+4=x2　　B.x2+2x+2=0
C.x2+-3=0 D.xy+2=1
【知識要點】
2.一元二次方程的解法
【對點練習】
2.(教材再開發(fā)·人教九上P7例1改編)一元二次方程x2+4x-8=0的解是(D)
A.x1=2+2,x2=2-2
B.x1=2+2,x2=2-2
C.x1=-2+2,x2=-2-2
D.x1=-2+2,x2=-2-2
【知識要點】
3.根的判別式與一元二次方程的根的情況
(1)Δ=b2-4ac>0 方程　有兩個不相等　的實數根.
(2)Δ=b2-4ac=0 方程　有兩個相等　的實數根.
(3)Δ=b2-4ac<0 方程　沒有　實數根.
【對點練習】
3.下列一元二次方程無實數根的是(C)
A.x2+x-2=0 B.x2-2x=0
C.x2+x+5=0 D.x2-2x+1=0
【知識要點】
4.根與系數的關系
如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個實數根是x1,x2,那么x1+x2=　-　,x1·x2= 　.
【對點練習】
4.已知實數x1,x2是方程x2+x-1=0的兩根,則x1x2=　-1　,x1+x2=　-1　.
【知識要點】
5.一元二次方程的應用
常考類型及公式:
(1)面積問題:S矩形=長×寬,S△=×底×高;
(2)增長率問題:原量×(1+x)2=新量;
(3)互贈、握手問題:
x人互贈:x(x-1),x人兩兩握手:x(x-1);
(4)營銷問題:總利潤=一件利潤×銷售量.
【對點練習】
5.(教材再開發(fā)·人教九上P22T7改編)某電動自行車廠四月份的產量為1 000輛,由于市場需求量不斷增大,六月份的產量提高到1 210輛,則該廠五、六月份的月平均增長率為(A)
A.10% B.11% C.12.1% D.21%
考點1　 一元二次方程的解
【示范題1】(2024·涼山州中考)若關于x的一元二次方程(a+2)x2+x+a2-4=0的一個根是x=0,則a的值為(A)
A.2 B.-2 C.2或-2 　D.
【答題關鍵指導】
1.已知方程的根求未知系數
已知一根 直接代入原方程,得到一個關于未知系數(參數)的方程,解方程求出未知系數的值
已知兩根 把兩個根直接代入原方程,列出關于未知系數的方程組,解方程組,求出未知系數
利用根與系數的關系求解
2.注意隱含條件:二次項系數不為0.
【跟蹤訓練】
(2024·南充中考)已知m是方程x2+4x-1=0的一個根,則(m+5)(m-1)的值為　-4　.
考點2　一元二次方程的解法
【示范題2】(2024·齊齊哈爾中考)解方程:x2-5x+6=0.
【自主解答】∵x2-5x+6=0,
∴(x-2)(x-3)=0,
則x-2=0或x-3=0,
解得x1=2,x2=3.
【答題關鍵指導】
1.用公式法解一元二次方程,在確定系數a,b,c時,易忘記先將一元二次方程化為一般形式.
2.用因式分解法解一元二次方程,易出現方程的右邊沒有化為0,左邊直接因式分解的錯誤.
3.對于缺少常數項的一元二次方程,方程兩邊不能同時除以未知數或含有未知數的項,如解x2-5x=0時,易出現方程兩邊同時除以x,遺漏x=0的情況.
【跟蹤訓練】
1.(2024·河北中考)淇淇在計算正數a的平方時,誤算成a與2的積,求得的答案比正確答案小1,則a=(C)
A.1 B.-1
C.+1 D.1或+1
2.(2024·濱州中考)解方程:x2-4x=0.
【解析】∵x2-4x=0,
∴x(x-4)=0,
∴x=0或x-4=0,
∴x1=0,x2=4.
3.(2024·安徽中考)解方程:x2-2x=3.
【解析】x2-2x=3,
x2-2x-3=0,
(x-3)(x+1)=0,
∴x1=3,x2=-1.
考點3　一元二次方程根的判別式及根與系數的關系
【示范題3】(2024·廣安中考)若關于x的一元二次方程(m+1)x2-2x+1=0有兩個不相等的實數根,則m的取值范圍是(A)
A.m<0且m≠-1 　　　　B.m≥0
C.m≤0且m≠-1 　　　　D.m<0
【答題關鍵指導】
1.一元二次方程根與系數的關系成立的條件是方程有實數根,即Δ≥0.
2.在運用x1+x2=- 時, 注意不要漏“- ”.
3.應用根的判別式時,不要忽略二次項系數不為0的條件.
4.方程有兩個實數根包括兩個相等的實數根和兩個不相等的實數根兩種情況,不要遺漏.
【跟蹤訓練】
1.(2024·自貢中考)關于x的方程x2+mx-2=0根的情況是(A)
A.有兩個不相等的實數根
B.有兩個相等的實數根
C.只有一個實數根
D.沒有實數根
2.(2024·樂山中考)若關于x的一元二次方程x2+2x+p=0兩根為x1,x2,且+=3,則p的值為(A)
A.- B.
C.-6 D.6
考點4　一元二次方程的應用
【示范題4】(2024·重慶中考A卷)隨著經濟復蘇,某公司近兩年的總收入逐年遞增.該公司2021年繳稅40萬元,2023年繳稅48.4萬元.該公司這兩年繳稅的年平均增長率是　10%　.
【答題關鍵指導】
1.與幾何圖形有關的計算問題
解題關鍵是依據幾何圖形的性質尋求問題中的等量關系.
2.增長率問題的有關公式
增長數=基數×增長率;實際數=基數+增長數.
(1)兩次增長,且增長率相等的問題的基本等量關系式為:原來的×(1+增長率)2=后來的.
(2)如果是下降率,則上述關系式為:
原來的×(1-下降率)2=后來的.
3.商品利潤問題
利潤=售價-進價=進價×利潤率.
【跟蹤訓練】
1.(2024·內江中考)某市2021年底森林覆蓋率為64%,為貫徹落實“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念,該市大力發(fā)展植樹造林活動,2023年底森林覆蓋率已達到69%.如果這兩年森林覆蓋率的年平均增長率為x,則符合題意的方程是(B)
A.0.64(1+x)=0.69
B.0.64(1+x)2=0.69
C.0.64(1+2x)=0.69
D.0.64(1+2x)2=0.69
2.(2024·重慶中考B卷)重慶在低空經濟領域實現了新的突破.今年第一季度低空飛行航線安全運行了200架次,預計第三季度低空飛行航線安全運行將達到401架次.設第二、第三兩個季度安全運行架次的平均增長率為x,根據題意,可列方程為　200(1+x)2=401　.
(2023·福建中考)根據福建省統(tǒng)計局數據,福建省2020年的地區(qū)生產總值為43 903.89億元,2022年的地區(qū)生產總值為53 109.85億元.設這兩年福建省地區(qū)生產總值的年平均增長率為x,根據題意可列方程(B)
A.43 903.89(1+x)=53 109.85　　　　　
B.43 903.89(1+x)2=53 109.85
C.43 903.89x2=53 109.85
D.43 903.89(1+x2)=53 109.85第8課時　一元二次方程
【知識要點】
1.一元二次方程的概念
(1)定義:只含有 個未知數,并且未知數的最高次數是 的整式方程.
(2)一般形式: .
【對點練習】
1.下列方程中是一元二次方程的是( )
A.(x-2)2+4=x2　　B.x2+2x+2=0
C.x2+-3=0 D.xy+2=1
【知識要點】
2.一元二次方程的解法
【對點練習】
2.(教材再開發(fā)·人教九上P7例1改編)一元二次方程x2+4x-8=0的解是( )
A.x1=2+2,x2=2-2
B.x1=2+2,x2=2-2
C.x1=-2+2,x2=-2-2
D.x1=-2+2,x2=-2-2
【知識要點】
3.根的判別式與一元二次方程的根的情況
(1)Δ=b2-4ac>0 方程 的實數根.
(2)Δ=b2-4ac=0 方程 的實數根.
(3)Δ=b2-4ac<0 方程 實數根.
【對點練習】
3.下列一元二次方程無實數根的是( )
A.x2+x-2=0 B.x2-2x=0
C.x2+x+5=0 D.x2-2x+1=0
【知識要點】
4.根與系數的關系
如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個實數根是x1,x2,那么x1+x2= ,x1·x2= .
【對點練習】
4.已知實數x1,x2是方程x2+x-1=0的兩根,則x1x2= ,x1+x2= .
【知識要點】
5.一元二次方程的應用
常考類型及公式:
(1)面積問題:S矩形=長×寬,S△=×底×高;
(2)增長率問題:原量×(1+x)2=新量;
(3)互贈、握手問題:
x人互贈:x(x-1),x人兩兩握手:x(x-1);
(4)營銷問題:總利潤=一件利潤×銷售量.
【對點練習】
5.(教材再開發(fā)·人教九上P22T7改編)某電動自行車廠四月份的產量為1 000輛,由于市場需求量不斷增大,六月份的產量提高到1 210輛,則該廠五、六月份的月平均增長率為( )
A.10% B.11% C.12.1% D.21%
考點1　 一元二次方程的解
【示范題1】(2024·涼山州中考)若關于x的一元二次方程(a+2)x2+x+a2-4=0的一個根是x=0,則a的值為( )
A.2 B.-2 C.2或-2 　D.
【答題關鍵指導】
1.已知方程的根求未知系數
已知一根 直接代入原方程,得到一個關于未知系數(參數)的方程,解方程求出未知系數的值
已知兩根 把兩個根直接代入原方程,列出關于未知系數的方程組,解方程組,求出未知系數
利用根與系數的關系求解
2.注意隱含條件:二次項系數不為0.
【跟蹤訓練】
(2024·南充中考)已知m是方程x2+4x-1=0的一個根,則(m+5)(m-1)的值為 .
考點2　一元二次方程的解法
【示范題2】(2024·齊齊哈爾中考)解方程:x2-5x+6=0.
【答題關鍵指導】
1.用公式法解一元二次方程,在確定系數a,b,c時,易忘記先將一元二次方程化為一般形式.
2.用因式分解法解一元二次方程,易出現方程的右邊沒有化為0,左邊直接因式分解的錯誤.
3.對于缺少常數項的一元二次方程,方程兩邊不能同時除以未知數或含有未知數的項,如解x2-5x=0時,易出現方程兩邊同時除以x,遺漏x=0的情況.
【跟蹤訓練】
1.(2024·河北中考)淇淇在計算正數a的平方時,誤算成a與2的積,求得的答案比正確答案小1,則a=( )
A.1 B.-1
C.+1 D.1或+1
2.(2024·濱州中考)解方程:x2-4x=0.
3.(2024·安徽中考)解方程:x2-2x=3.
考點3　一元二次方程根的判別式及根與系數的關系
【示范題3】(2024·廣安中考)若關于x的一元二次方程(m+1)x2-2x+1=0有兩個不相等的實數根,則m的取值范圍是( )
A.m<0且m≠-1 　　　　B.m≥0
C.m≤0且m≠-1 　　　　D.m<0
【答題關鍵指導】
1.一元二次方程根與系數的關系成立的條件是方程有實數根,即Δ≥0.
2.在運用x1+x2=- 時, 注意不要漏“- ”.
3.應用根的判別式時,不要忽略二次項系數不為0的條件.
4.方程有兩個實數根包括兩個相等的實數根和兩個不相等的實數根兩種情況,不要遺漏.
【跟蹤訓練】
1.(2024·自貢中考)關于x的方程x2+mx-2=0根的情況是( )
A.有兩個不相等的實數根
B.有兩個相等的實數根
C.只有一個實數根
D.沒有實數根
2.(2024·樂山中考)若關于x的一元二次方程x2+2x+p=0兩根為x1,x2,且+=3,則p的值為( )
A.- B.
C.-6 D.6
考點4　一元二次方程的應用
【示范題4】(2024·重慶中考A卷)隨著經濟復蘇,某公司近兩年的總收入逐年遞增.該公司2021年繳稅40萬元,2023年繳稅48.4萬元.該公司這兩年繳稅的年平均增長率是 .
【答題關鍵指導】
1.與幾何圖形有關的計算問題
解題關鍵是依據幾何圖形的性質尋求問題中的等量關系.
2.增長率問題的有關公式
增長數=基數×增長率;實際數=基數+增長數.
(1)兩次增長,且增長率相等的問題的基本等量關系式為:原來的×(1+增長率)2=后來的.
(2)如果是下降率,則上述關系式為:
原來的×(1-下降率)2=后來的.
3.商品利潤問題
利潤=售價-進價=進價×利潤率.
【跟蹤訓練】
1.(2024·內江中考)某市2021年底森林覆蓋率為64%,為貫徹落實“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念,該市大力發(fā)展植樹造林活動,2023年底森林覆蓋率已達到69%.如果這兩年森林覆蓋率的年平均增長率為x,則符合題意的方程是( )
A.0.64(1+x)=0.69
B.0.64(1+x)2=0.69
C.0.64(1+2x)=0.69
D.0.64(1+2x)2=0.69
2.(2024·重慶中考B卷)重慶在低空經濟領域實現了新的突破.今年第一季度低空飛行航線安全運行了200架次,預計第三季度低空飛行航線安全運行將達到401架次.設第二、第三兩個季度安全運行架次的平均增長率為x,根據題意,可列方程為 .
(2023·福建中考)根據福建省統(tǒng)計局數據,福建省2020年的地區(qū)生產總值為43 903.89億元,2022年的地區(qū)生產總值為53 109.85億元.設這兩年福建省地區(qū)生產總值的年平均增長率為x,根據題意可列方程( )
A.43 903.89(1+x)=53 109.85　　　　　
B.43 903.89(1+x)2=53 109.85
C.43 903.89x2=53 109.85
D.43 903.89(1+x2)=53 109.85

展開更多......

收起↑