資源簡介

第26課時　圓的認識
【知識要點】 【對點練習】
1.圓的定義及圓的軸對稱性 (1)定義:在一個平面內,線段OA繞它固定的一個端點O旋轉 ,另一個端點A所形成的圖形. (2)軸對稱性:圓是 ,任何一條 都是它的對稱軸. 1.判斷:(填“√”或“×”) 圓有無數條對稱軸.(√)
2.垂徑定理及推論 (1)垂徑定理:垂直于弦的直徑 , 并且平分弦所對的 . (2)推論:平分弦(不是直徑)的直徑 , 并且平分弦所對的 . 2.(1)(教材再開發·人教九上P83T1改編)如圖,在直徑為10 cm的☉O中,AB=8 cm,弦OC⊥AB于點C,則OC等于 cm. (2)如圖,若△ABC內接于半徑為6的☉O,且∠A=60°,連接OB,OC,則邊BC的長為 .
3.圓周角定理及推論 (1)定理:在同圓或等圓中,同弧或等弧所對的圓周角 ,都等于這條弧所對的圓心角的 . (2)推論: ①半圓(或直徑)所對的圓周角是 ,90°的圓周角所對的弦是 . ②在同圓或等圓中,如果兩個圓周角 ,它們所對的弧一定 . 3.(1)如圖,AB是半圓的直徑,C,D是半圓上的兩點,∠ADC=106°,則∠CAB等于( ) A.10° B.14° C.16° D.26° (2)如圖,AB是☉O的直徑,點C,D,E都在 ☉O上,∠1=55°,則∠2= °.
續表
【知識要點】 【對點練習】
4.圓心角、弧、弦之間的關系 名稱內容表示形式定理在同圓或等圓中,相等的圓心角所對的弧 ,所對的弦 如圖, ∵∠AOB= ∠COD, ∴=, AB=CD推論1.在同圓或等圓中,如果兩條弧相等,那么它們所對的圓心角相等,所對的弦相等; 2.在同圓或等圓中,如果兩條弦相等,那么它們所對的圓心角相等,所對的優弧和劣弧分別相等1.如圖, ∵=, ∴∠AOB = , AB= 2.如圖, ∵AB=CD, ∴∠AOB = , =
4.(1)如圖,四邊形ABCD內接于☉O, AB=CD,A為中點, ∠BDC=60°,則∠ADB等于( ) A.40° B.50° C.60° D.70° (2)(教材再開發·人教九上P90T14改編)如圖,四邊形ABCD的外接圓為☉O, BC=CD,∠DAC=35°,∠ACD=45°,則 ∠ADB的度數為( ) A.55° B.60° C.65° D.70°
5.圓內接四邊形的性質 圓內接四邊形的對角 . 5.如圖所示,四邊形ABCD是圓內接四邊形,其中∠A=75°,則 ∠C = °.
考點1　垂徑定理
【示范題1】(2024·重慶中考)如圖,AB是☉O的弦,OC⊥AB交☉O于點C,點D是☉O上一點,連接BD,CD.若∠D=28°,則∠OAB的度數為( )
A.28° B.34° C.56° D.62°
【答題關鍵指導】
1.找準相應線段的長:半徑、弦長、弦心距.
2.利用垂徑定理構造直角三角形:弦的一半、弦心距分別作為直角邊、半徑作為斜邊.
3.利用勾股定理解決問題.
【跟蹤訓練】
(2024·涼山州中考)數學活動課上,同學們要測一個如圖所示的殘缺圓形工件的半徑,小明的解決方案是:在工件圓弧上任取兩點A,B,連接AB,作AB的垂直平分線CD交AB于點D,交于點C,測出AB=40 cm,CD=10 cm,則圓形工件的半徑為( )
A.50 cm B.35 cm
C.25 cm D.20 cm
考點2　圓周角和圓心角
【示范題2】(2024·宜賓中考)如圖,AB是☉O的直徑,若∠CDB=60°,則∠ABC的度數等于( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
【答題關鍵指導】
1.同弧所對的圓周角、圓心角、弦、弦心距等要對應.
2.在解決圓周角問題時,常要考慮同弧所對的圓周角和圓心角的關系,找到一條弦,利用此關系進行角之間的轉化和計算.
3.由于直徑所對的圓周角是直角,所以在圓中,有直徑時,構造直徑所對的圓周角,利用解直角三角形的知識解決問題,這是圓中最常用的輔助線.
【跟蹤訓練】
1.(2024·湖南中考)如圖,AB,AC為☉O的兩條弦,連接OB,OC,若∠A=45°,則∠BOC的度數為( )
A.60° B.75° C.90° D.135°
2.(2024·云南中考)如圖,CD是☉O的直徑,點A,B在☉O上.若=,∠AOC=36°,則∠D=( )
A.9° B.18° C.36° D.45°
3.(2024·甘肅中考)如圖,點A,B,C在☉O上,AC⊥OB,垂足為D,若∠A=35°,則∠C的度數是( )
A.20° B.25° C.30° D.35°
考點3　圓內接四邊形
【示范題3】(2024·武漢中考)如圖,四邊形ABCD內接于☉O,∠ABC=60°,∠BAC=∠CAD=45°,AB+AD=2,則☉O的半徑是( )
A. B.
C. D.
【答題關鍵指導】
圓內接四邊形的角的“兩種”關系
(1)對角互補:若四邊形ABCD為☉O的內接四邊形,則∠A+∠C=180°,∠B+∠D =180°.
(2)任一外角與其相鄰的內角的對角相等,簡稱圓內接四邊形的外角等于其內對角.
【跟蹤訓練】
1.(2024·吉林中考)如圖,四邊形ABCD內接于☉O,過點B作BE∥AD,交CD于點E.若∠BEC=50°,則∠ABC的度數是( )
A.50° B.100° C.130° D.150°
2.(2024·廣元中考)如圖,已知四邊形ABCD是☉O的內接四邊形,E為AD延長線上一點,∠AOC=128°,則∠CDE等于( )
A.64° B.60° C.54° D.52°
3.(2024·浙江中考)如圖,在圓內接四邊形ABCD中,AD(1)若∠AFE=60°,CD為直徑,求∠ABD的度數.
(2)求證:①EF∥BC;
②EF=BD.第26課時　圓的認識
【知識要點】 【對點練習】
1.圓的定義及圓的軸對稱性 (1)定義:在一個平面內,線段OA繞它固定的一個端點O旋轉　一周　,另一個端點A所形成的圖形. (2)軸對稱性:圓是　軸對稱圖形　,任何一條　直徑所在直線　都是它的對稱軸. 1.判斷:(填“√”或“×”) 圓有無數條對稱軸.(√)
2.垂徑定理及推論 (1)垂徑定理:垂直于弦的直徑　平分弦　, 并且平分弦所對的　兩條弧　. (2)推論:平分弦(不是直徑)的直徑　垂直于弦　, 并且平分弦所對的　兩條弧　. 2.(1)(教材再開發·人教九上P83T1改編)如圖,在直徑為10 cm的☉O中,AB=8 cm,弦OC⊥AB于點C,則OC等于　3　cm. (2)如圖,若△ABC內接于半徑為6的☉O,且∠A=60°,連接OB,OC,則邊BC的長為　6　.
3.圓周角定理及推論 (1)定理:在同圓或等圓中,同弧或等弧所對的圓周角　相等　,都等于這條弧所對的圓心角的　一半　. (2)推論: ①半圓(或直徑)所對的圓周角是　直角　,90°的圓周角所對的弦是　直徑　. ②在同圓或等圓中,如果兩個圓周角　相等　,它們所對的弧一定　相等　. 3.(1)如圖,AB是半圓的直徑,C,D是半圓上的兩點,∠ADC=106°,則∠CAB等于(C) A.10° B.14° C.16° D.26° (2)如圖,AB是☉O的直徑,點C,D,E都在 ☉O上,∠1=55°,則∠2=　35　°.
續表
【知識要點】 【對點練習】
4.圓心角、弧、弦之間的關系 名稱內容表示形式定理在同圓或等圓中,相等的圓心角所對的弧　相等　,所對的弦　相等　 如圖, ∵∠AOB= ∠COD, ∴=, AB=CD推論1.在同圓或等圓中,如果兩條弧相等,那么它們所對的圓心角相等,所對的弦相等; 2.在同圓或等圓中,如果兩條弦相等,那么它們所對的圓心角相等,所對的優弧和劣弧分別相等1.如圖, ∵=, ∴∠AOB =　∠COD　, AB=　CD　 2.如圖, ∵AB=CD, ∴∠AOB =∠COD, =
4.(1)如圖,四邊形ABCD內接于☉O, AB=CD,A為中點, ∠BDC=60°,則∠ADB等于(A) A.40° B.50° C.60° D.70° (2)(教材再開發·人教九上P90T14改編)如圖,四邊形ABCD的外接圓為☉O, BC=CD,∠DAC=35°,∠ACD=45°,則 ∠ADB的度數為(C) A.55° B.60° C.65° D.70°
5.圓內接四邊形的性質 圓內接四邊形的對角　互補　. 5.如圖所示,四邊形ABCD是圓內接四邊形,其中∠A=75°,則 ∠C =　105　°.
考點1　垂徑定理
【示范題1】(2024·重慶中考)如圖,AB是☉O的弦,OC⊥AB交☉O于點C,點D是☉O上一點,連接BD,CD.若∠D=28°,則∠OAB的度數為(B)
A.28° B.34° C.56° D.62°
【答題關鍵指導】
1.找準相應線段的長:半徑、弦長、弦心距.
2.利用垂徑定理構造直角三角形:弦的一半、弦心距分別作為直角邊、半徑作為斜邊.
3.利用勾股定理解決問題.
【跟蹤訓練】
(2024·涼山州中考)數學活動課上,同學們要測一個如圖所示的殘缺圓形工件的半徑,小明的解決方案是:在工件圓弧上任取兩點A,B,連接AB,作AB的垂直平分線CD交AB于點D,交于點C,測出AB=40 cm,CD=10 cm,則圓形工件的半徑為(C)
A.50 cm B.35 cm
C.25 cm D.20 cm
考點2　圓周角和圓心角
【示范題2】(2024·宜賓中考)如圖,AB是☉O的直徑,若∠CDB=60°,則∠ABC的度數等于(A)
A.30° B.45° C.60° D.90°
【答題關鍵指導】
1.同弧所對的圓周角、圓心角、弦、弦心距等要對應.
2.在解決圓周角問題時,常要考慮同弧所對的圓周角和圓心角的關系,找到一條弦,利用此關系進行角之間的轉化和計算.
3.由于直徑所對的圓周角是直角,所以在圓中,有直徑時,構造直徑所對的圓周角,利用解直角三角形的知識解決問題,這是圓中最常用的輔助線.
【跟蹤訓練】
1.(2024·湖南中考)如圖,AB,AC為☉O的兩條弦,連接OB,OC,若∠A=45°,則∠BOC的度數為(C)
A.60° B.75° C.90° D.135°
2.(2024·云南中考)如圖,CD是☉O的直徑,點A,B在☉O上.若=,∠AOC=36°,則∠D=(B)
A.9° B.18° C.36° D.45°
3.(2024·甘肅中考)如圖,點A,B,C在☉O上,AC⊥OB,垂足為D,若∠A=35°,則∠C的度數是(A)
A.20° B.25° C.30° D.35°
考點3　圓內接四邊形
【示范題3】(2024·武漢中考)如圖,四邊形ABCD內接于☉O,∠ABC=60°,∠BAC=∠CAD=45°,AB+AD=2,則☉O的半徑是(A)
A. B.
C. D.
【答題關鍵指導】
圓內接四邊形的角的“兩種”關系
(1)對角互補:若四邊形ABCD為☉O的內接四邊形,則∠A+∠C=180°,∠B+∠D =180°.
(2)任一外角與其相鄰的內角的對角相等,簡稱圓內接四邊形的外角等于其內對角.
【跟蹤訓練】
1.(2024·吉林中考)如圖,四邊形ABCD內接于☉O,過點B作BE∥AD,交CD于點E.若∠BEC=50°,則∠ABC的度數是(C)
A.50° B.100° C.130° D.150°
2.(2024·廣元中考)如圖,已知四邊形ABCD是☉O的內接四邊形,E為AD延長線上一點,∠AOC=128°,則∠CDE等于(A)
A.64° B.60° C.54° D.52°
3.(2024·浙江中考)如圖,在圓內接四邊形ABCD中,AD(1)若∠AFE=60°,CD為直徑,求∠ABD的度數.
(2)求證:①EF∥BC;
②EF=BD.
【解析】(1)∵CD為直徑,
∴∠CAD=90°,
∵∠AFE=∠ADC=60°,
∴∠ACD=90°-60°=30°,
∴∠ABD=∠ACD=30°;
(2)①如圖,延長AB到點M,
∵四邊形ABCD是圓內接四邊形,
∴∠CBM=∠ADC,
又∵∠AFE=∠ADC,
∴∠AFE=∠CBM,
∴EF∥BC;
②過點D作DG∥BC交☉O于點G,連接GC,GA,
則DG∥BC∥EF,
∵DG∥BC,
∴=,
∴BD=CG,
∵四邊形BCGD是圓內接四邊形,
∴∠GDE=∠ACG=∠AEF,
∵∠AFE=∠ADC,∠ADC=∠AGC,
∴∠AFE=∠AGC,
∵AE=AC,
∴△AEF≌△ACG(AAS),
∴EF=CG,
∴EF=BD.

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