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第27課時　與圓有關的位置關系
【知識要點】 【對點練習】
1.點與圓的位置關系 (1)設圓O的半徑為r,點P到圓心的距離為OP=d.則: 點P在圓外 　d>r　;點P在圓上 　d=r　;點P在圓內 　d2.直線與圓的位置關系 (1)三種位置關系:　相交　、　相切　、　相離　. (2)切線的定義、性質與判定: ①定義:和圓有　唯一　公共點的直線. ②性質:圓的切線　垂直于　過切點的直徑. ③判定:經過半徑的外端,并且　垂直　于這條半徑的直線是圓的切線. (3)切線長定理:從圓外一點可以引圓的兩條切線,它們的切線長　相等　,這一點和圓心的連線　平分　兩條切線的夾角. 2.(1)已知☉O的直徑為5,設圓心O到直線l的距離為d,當直線l與☉O相交時,d的取值范圍是　0≤d<2.5　. (2)(教材再開發·人教九上P101T6改編)如圖,P是☉O外一點,PA,PB分別和☉O切于A,B,C是上任意一點,過C作☉O的切線分別交PA,PB于D,E,若△PDE的周長為20 cm,則PA長為 　10 cm　.
3.三角形的外接圓與內切圓 名稱三角形的外接圓三角形的內切圓圖形圓心三角形的　外心　,三角形三條邊的垂直平分線的交點 三角形的內心,三角形三條　角平分線　的交點 性質三角形的外心到三角形三個頂點的距離 　相等　 三角形的內心到三角形三邊的距離 　相等　
3.(教材再開發·人教九上P100T1改編)如圖,O是△ABC的內心,∠BOC=100°,則∠A=　20　°.
考點1　直線與圓的位置關系的判斷
【示范題1】(2023·衡陽中考)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6.以點C為圓心,r為半徑作圓,當所作的圓與斜邊AB所在的直線相切時,r的值為 　.
【跟蹤訓練】
(2024·德陽中考)寬與長的比是的矩形叫黃金矩形,黃金矩形給我們以協調的美感,世界各國許多著名建筑為取得最佳的視覺效果,都采用了黃金矩形的設計.已知四邊形ABCD是黃金矩形(ABA.3 B.2 C.1 D.0
考點2　切線的性質與判定
【示范題2】(2024·山西中考)如圖,已知△ABC,以AB為直徑的☉O交BC于點D,與AC相切于點A,連接OD.若∠AOD=80°,則∠C的度數為(D)
A.30° B.40° C.45° D.50°
【答題關鍵指導】
1.切線的性質的應用
由于切線垂直于過切點的半徑,所以當有圓的切線時,常作過切點的半徑,即“過切點,連半徑”,將切線條件轉化為垂直條件.
2.切線判定的兩種思路
(1)“連半徑,證垂直”:若直線與圓有公共點時,則連接半徑,證半徑與直線垂直.
(2)“作垂直,證等徑”:若未給出直線和圓有公共點時,可過圓心作出直線的垂線段,證明垂線段的長等于半徑.
【跟蹤訓練】
(2024·臨夏州中考)如圖,直線l與☉O相切于點D,AB為☉O的直徑,過點A作AE⊥l于點E,延長AB交直線l于點C.
(1)求證:AD平分∠CAE;
(2)如果BC=1,DC=3,求☉O的半徑.
【解析】(1)連接OD,如圖,
∵直線l與☉O相切于點D,
∴OD⊥CE,
∵AE⊥CE,
∴OD∥AE,
∴∠ODA=∠EAD,
∵OA=OD,
∴∠ODA=∠OAD,
∴∠OAD=∠EAD,
∴AD平分∠CAE;
(2)設☉O的半徑為r,則OB=OD=r,
在Rt△OCD中,
∵OD=r,CD=3,OC=r+1,
∴r2+32=(r+1)2,
解得r=4,
即☉O的半徑為4.
考點3　切線長定理
【示范題3】(2024·瀘州中考)如圖,EA,ED是☉O的切線,切點為A,D,點B,C在☉O上,若∠BAE+∠BCD=236°,則∠E=(C)
A.56° B.60° C.68° D.70°
【答題關鍵指導】
切線長定理的幾個應用
(1)證線段相等
PA=PB,OA=OB,AC=BC.
(2)證角相等
∠PAO=∠PBO,∠APO=∠BPO,∠PAB=∠PBA,∠OAB=∠OBA,∠POA=∠POB.
(3)證垂直關系
OA⊥PA,OB⊥PB,OP⊥AB.
(4)證弧相等
=,=.
【跟蹤訓練】
(2024·涼山州中考)如圖,☉M的圓心為M(4,0),半徑為2,P是直線y=x+4上的一個動點,過點P作☉M的切線,切點為Q,則PQ的最小值為　2　.
考點4　三角形的外接圓與內切圓
【示范題4】(2024·武漢中考)如圖,△ABC為等腰三角形,O是底邊BC的中點,腰AC與半圓O相切于點D,底邊BC與半圓O交于E,F兩點.
(1)求證:AB與半圓O相切;
(2)連接OA.若CD=4,CF=2,求sin ∠OAC的值.
【自主解答】(1)連接OD,OA,作OH⊥AB于點H,如圖,∵△ABC為等腰三角形,O是底邊BC的中點,∴AO⊥BC,AO平分∠BAC,
∵AC與☉O相切于點D,∴OD⊥AC,而OH⊥AB,∴OH=OD,∴AB是☉O的切線;
(2)由(1)知OD⊥AC,在Rt△OCD中,CD=4,OC=OF+CF=OD+2,OD2+CD2=OC2,
∴OD2+42=(OD+2)2,∴OD=3,∴OC=5,
∴cos C==,
在Rt△OCA中,cos C==,
∴sin ∠OAC==.
【答題關鍵指導】
三角形外心和內心
(1)外心:①三角形的外心是外接圓的圓心,它是三角形三邊垂直平分線的交點,它到三角形三個頂點的距離相等.
②三角形的外接圓有且只有一個,即對于給定的三角形,其外心是唯一的,但一個圓的內接三角形卻有無數個,這些三角形的外心重合.
(2)內心:①三角形的內心是內切圓的圓心,它是三角形三個內角平分線的交點,它到三角形三邊的距離相等.
②三角形的內切圓有且只有1個,即對于給定的三角形,其內心是唯一的,但一個圓的外切三角形有無數個.
【跟蹤訓練】
1.(2024·濱州中考)劉徽(今山東濱州人)是魏晉時期我國偉大的數學家,中國古典數學理論的奠基者之一,被譽為“世界古代數學泰斗”.劉徽在注釋《九章算術》時十分重視一題多解,其中最典型的是勾股容方和勾股容圓公式的推導,他給出了內切圓直徑的多種表達形式.如圖,Rt△ABC中,∠C=90°,AB,BC,CA的長分別為c,a,b.則可以用含c,a,b的式子表示出△ABC的內切圓直徑d,下列解析式錯誤的是(D)
A.d=a+b-c
B.d=
C.d=
D.d=|(a-b)(c-b)|
2.(2024·廣元中考)如圖,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,☉O經過A,C兩點,交AB于點D,CO的延長線交AB于點F,DE∥CF交BC于點E.
(1)求證:DE為☉O的切線;
(2)若AC=4,tan ∠CFD=2,求☉O的半徑.
【解析】(1)連接OD.
∵AC=BC,∠ACB=90°,
∴△ACB為等腰直角三角形,
∴∠CAB=45°,
∴∠COD=2∠CAB=90°,
∵DE∥CF,∴∠COD+∠EDO=180°,
∴∠EDO=180°-∠COD=90°,
∴DE為☉O的切線.
(2)過點C作CH⊥AB于點H,
∵△ACB為等腰直角三角形,AC=4,
∴AB=4,∴CH=AH=2,
∵tan ∠CFD=2,∴=2,∴FH=,
∵在Rt△CHF中,CF2=CH2+FH2,
∴CF=.
在Rt△FOD中,∵tan ∠CFD==2,
設半徑為r,∴=2,
∴r=.
1.(2024·福建中考)如圖,已知點A,B在☉O上,∠AOB=72°,直線MN與☉O相切,切點為C,且C為的中點,則∠ACM等于(A)
A.18° B.30° C.36° D.72°
2.(2022·福建中考)如圖,BD是矩形ABCD的對角線.
(1)求作☉A,使得☉A與BD相切(要求:尺規作圖,不寫作法,保留作圖痕跡);
(2)在(1)的條件下,設BD與☉A相切于點E,CF⊥BD,垂足為F.若直線CF與☉A相切于點G,求tan∠ADB的值.
【解析】(1)根據題意作圖如下:
(2)設∠ADB=α,☉A的半徑為r,
∵BD與☉A相切于點E,CF與☉A相切于點G,∴AE⊥BD,AG⊥CG,即∠AEF=∠AGF=90°,
∵CF⊥BD,∴∠EFG=90°,∴四邊形AEFG是矩形,
又∵AE=AG=r,∴四邊形AEFG是正方形,
∴EF=AE=r,
在Rt△AEB和Rt△DAB中,
∠BAE+∠ABD=90°,∠ADB+∠ABD=90°,
∴∠BAE=∠ADB=α,
在Rt△ABE中,tan∠BAE=,
∴BE=r·tan α,
∵四邊形ABCD是矩形,∴AB∥CD,AB=CD,
∴∠ABE=∠CDF,
又∵∠AEB=∠CFD=90°,
∴△ABE≌△CDF,
∴BE=DF=r·tan α,
∴DE=DF+EF=r·tan α+r,
在Rt△ADE中,tan∠ADE=,
即DE·tan α=AE,
∴(r·tan α+r)×tan α=r,即tan2α+tan α-1=0,
∵tan α>0,∴tan α=,即tan∠ADB的值為.
3.(2023·福建中考)如圖,已知△ABC內接于☉O,CO的延長線交AB于點D,交☉O于點E,交☉O的切線AF于點F,且AF∥BC.
(1)求證:AO∥BE;
(2)求證:AO平分∠BAC.
【證明】(1)∵AF是☉O的切線,
∴AF⊥OA,即∠OAF=90°,
∵CE是☉O的直徑,
∴∠CBE=90°,
∴∠OAF=∠CBE,
∵AF∥BC,
∴∠BAF=∠ABC,
∴∠OAF-∠BAF=∠CBE-∠ABC,即∠OAB=∠ABE,
∴AO∥BE;
(2)∵∠ABE 與∠ACE 都是所對的圓周角,
∴∠ABE=∠ACE,
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠ACE,
∴∠ABE=∠OAC,
由(1)知,∠OAB=∠ABE,
∴∠OAB=∠OAC,∴AO平分∠BAC.
4.(2024·福建中考)如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,以AB為直徑的☉O交BC于點D,AE⊥OC,垂足為E,BE的延長線交于點F.
(1)求的值;
(2)求證:△AEB∽△BEC;
(3)求證:AD與EF互相平分.
【解析】(1)∵AB=AC,且AB是☉O的直徑,
∴AC=2AO,
∵∠BAC=90°,
在Rt△AOC中,tan ∠AOC==2,
∵AE⊥OC,
在Rt△AOE中,tan ∠EOA==tan ∠AOC,
∴=2,
∴=;
(2)過點B作BM∥AE,交EO延長線于點M,如圖,
∴∠BAE=∠ABM,∠AEO=∠BMO=90°.
∵AO=BO,
∴△AOE≌△BOM(AAS),
∴AE=BM,OE=OM,
∵=,
∴BM=2OE=EM,
∴∠MEB=∠MBE=45°,
∠AEB=∠AEO+∠MEB=135°,
∠BEC=180°-∠MEB=135°,
∴∠AEB=∠BEC.
∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠ABC=45°,
∴∠ABM=∠CBE,
∴∠BAE=∠CBE,
∴△AEB∽△BEC;
(3)連接DE,DF.如圖,
∵AB是☉O的直徑,
∴∠ADB=∠AFB=90°,AB=2AO.
∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴BC=2BD,∠DAB=45°,
由(2)知,△AEB∽△BEC,
===,∠EAO=∠EBD,
∴△AOE∽△BDE,
∴∠BED=∠AEO=90°,
∴∠DEF=90°,
∴∠AFB=∠DEF,
∴AF∥DE,
由(2)知,∠AEB=135°,
∴∠AEF=180°-∠AEB=45°.
∵∠DFB=∠DAB=45°,
∴∠DFB=∠AEF,
∴AE∥FD,
∴四邊形AEDF是平行四邊形,
∴AD與EF互相平分.第27課時　與圓有關的位置關系
【知識要點】 【對點練習】
1.點與圓的位置關系 (1)設圓O的半徑為r,點P到圓心的距離為OP=d.則: 點P在圓外 ;點P在圓上 ;點P在圓內 . (2)確定圓的條件:不在同一直線上的三個點確定 圓. (3)三角形的外心:三角形外接圓的圓心,三角形三邊的 的交點. 1.(1)若☉O的半徑是4,點A在☉O內,則OA的長可能是( ) A.2 B.4 C.6 D.8 (2)給定下列條件可以確定唯一的一個圓的是( ) A.已知圓心 B.已知半徑 C.已知直徑 D.不在同一直線上的三個點 (3)△ABC的三邊長分別為6,8,10,則△ABC的外接圓的半徑為 .
2.直線與圓的位置關系 (1)三種位置關系: 、 、 . (2)切線的定義、性質與判定: ①定義:和圓有 公共點的直線. ②性質:圓的切線 過切點的直徑. ③判定:經過半徑的外端,并且 于這條半徑的直線是圓的切線. (3)切線長定理:從圓外一點可以引圓的兩條切線,它們的切線長 ,這一點和圓心的連線 兩條切線的夾角. 2.(1)已知☉O的直徑為5,設圓心O到直線l的距離為d,當直線l與☉O相交時,d的取值范圍是 . (2)(教材再開發·人教九上P101T6改編)如圖,P是☉O外一點,PA,PB分別和☉O切于A,B,C是上任意一點,過C作☉O的切線分別交PA,PB于D,E,若△PDE的周長為20 cm,則PA長為 .
3.三角形的外接圓與內切圓 名稱三角形的外接圓三角形的內切圓圖形圓心三角形的 ,三角形三條邊的垂直平分線的交點 三角形的內心,三角形三條 的交點 性質三角形的外心到三角形三個頂點的距離 三角形的內心到三角形三邊的距離
3.(教材再開發·人教九上P100T1改編)如圖,O是△ABC的內心,∠BOC=100°,則∠A= °.
考點1　直線與圓的位置關系的判斷
【示范題1】(2023·衡陽中考)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6.以點C為圓心,r為半徑作圓,當所作的圓與斜邊AB所在的直線相切時,r的值為 .
【跟蹤訓練】
(2024·德陽中考)寬與長的比是的矩形叫黃金矩形,黃金矩形給我們以協調的美感,世界各國許多著名建筑為取得最佳的視覺效果,都采用了黃金矩形的設計.已知四邊形ABCD是黃金矩形(ABA.3 B.2 C.1 D.0
考點2　切線的性質與判定
【示范題2】(2024·山西中考)如圖,已知△ABC,以AB為直徑的☉O交BC于點D,與AC相切于點A,連接OD.若∠AOD=80°,則∠C的度數為( )
A.30° B.40° C.45° D.50°
【答題關鍵指導】
1.切線的性質的應用
由于切線垂直于過切點的半徑,所以當有圓的切線時,常作過切點的半徑,即“過切點,連半徑”,將切線條件轉化為垂直條件.
2.切線判定的兩種思路
(1)“連半徑,證垂直”:若直線與圓有公共點時,則連接半徑,證半徑與直線垂直.
(2)“作垂直,證等徑”:若未給出直線和圓有公共點時,可過圓心作出直線的垂線段,證明垂線段的長等于半徑.
【跟蹤訓練】
(2024·臨夏州中考)如圖,直線l與☉O相切于點D,AB為☉O的直徑,過點A作AE⊥l于點E,延長AB交直線l于點C.
(1)求證:AD平分∠CAE;
(2)如果BC=1,DC=3,求☉O的半徑.
考點3　切線長定理
【示范題3】(2024·瀘州中考)如圖,EA,ED是☉O的切線,切點為A,D,點B,C在☉O上,若∠BAE+∠BCD=236°,則∠E=( )
A.56° B.60° C.68° D.70°
【答題關鍵指導】
切線長定理的幾個應用
(1)證線段相等
PA=PB,OA=OB,AC=BC.
(2)證角相等
∠PAO=∠PBO,∠APO=∠BPO,∠PAB=∠PBA,∠OAB=∠OBA,∠POA=∠POB.
(3)證垂直關系
OA⊥PA,OB⊥PB,OP⊥AB.
(4)證弧相等
=,=.
【跟蹤訓練】
(2024·涼山州中考)如圖,☉M的圓心為M(4,0),半徑為2,P是直線y=x+4上的一個動點,過點P作☉M的切線,切點為Q,則PQ的最小值為 .
考點4　三角形的外接圓與內切圓
【示范題4】(2024·武漢中考)如圖,△ABC為等腰三角形,O是底邊BC的中點,腰AC與半圓O相切于點D,底邊BC與半圓O交于E,F兩點.
(1)求證:AB與半圓O相切;
(2)連接OA.若CD=4,CF=2,求sin ∠OAC的值.
【答題關鍵指導】
三角形外心和內心
(1)外心:①三角形的外心是外接圓的圓心,它是三角形三邊垂直平分線的交點,它到三角形三個頂點的距離相等.
②三角形的外接圓有且只有一個,即對于給定的三角形,其外心是唯一的,但一個圓的內接三角形卻有無數個,這些三角形的外心重合.
(2)內心:①三角形的內心是內切圓的圓心,它是三角形三個內角平分線的交點,它到三角形三邊的距離相等.
②三角形的內切圓有且只有1個,即對于給定的三角形,其內心是唯一的,但一個圓的外切三角形有無數個.
【跟蹤訓練】
1.(2024·濱州中考)劉徽(今山東濱州人)是魏晉時期我國偉大的數學家,中國古典數學理論的奠基者之一,被譽為“世界古代數學泰斗”.劉徽在注釋《九章算術》時十分重視一題多解,其中最典型的是勾股容方和勾股容圓公式的推導,他給出了內切圓直徑的多種表達形式.如圖,Rt△ABC中,∠C=90°,AB,BC,CA的長分別為c,a,b.則可以用含c,a,b的式子表示出△ABC的內切圓直徑d,下列解析式錯誤的是( )
A.d=a+b-c
B.d=
C.d=
D.d=|(a-b)(c-b)|
2.(2024·廣元中考)如圖,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,☉O經過A,C兩點,交AB于點D,CO的延長線交AB于點F,DE∥CF交BC于點E.
(1)求證:DE為☉O的切線;
(2)若AC=4,tan ∠CFD=2,求☉O的半徑.
1.(2024·福建中考)如圖,已知點A,B在☉O上,∠AOB=72°,直線MN與☉O相切,切點為C,且C為的中點,則∠ACM等于( )
A.18° B.30° C.36° D.72°
2.(2022·福建中考)如圖,BD是矩形ABCD的對角線.
(1)求作☉A,使得☉A與BD相切(要求:尺規作圖,不寫作法,保留作圖痕跡);
(2)在(1)的條件下,設BD與☉A相切于點E,CF⊥BD,垂足為F.若直線CF與☉A相切于點G,求tan∠ADB的值.
3.(2023·福建中考)如圖,已知△ABC內接于☉O,CO的延長線交AB于點D,交☉O于點E,交☉O的切線AF于點F,且AF∥BC.
(1)求證:AO∥BE;
(2)求證:AO平分∠BAC.
4.(2024·福建中考)如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,以AB為直徑的☉O交BC于點D,AE⊥OC,垂足為E,BE的延長線交于點F.
(1)求的值;
(2)求證:△AEB∽△BEC;
(3)求證:AD與EF互相平分.

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