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第28課時　圓的有關計算
【知識要點】
1.正多邊形和圓
(1)定義:各邊 ,各角也都 的多邊形是正多邊形.
(2)正多邊形和圓的關系:把一個圓 ,依次連接 可作出圓的內接正n邊形.
【對點練習】
1.如圖,正五邊形ABCDE內接于☉O,連接AC,則∠ACD的度數是( )
A.72° B.70° C.60° D.45°
【知識要點】
2.圓中的弧長與扇形面積
(1)半徑為R的圓中,n°的圓心角所對的弧長l的計算公式為l= .
(2)扇形面積:
①半徑為R的圓中,圓心角為n°的扇形面積為S扇形= .
②半徑為R,弧長為l的扇形面積為S扇形= .
【對點練習】
2.(教材再開發·人教九上P115T1改編)(1)用一張半圓形鐵皮,圍成一個底面半徑為4 cm的圓錐形工件的側面(接縫忽略不計),則圓錐的母線長為( )
A.4 cm B.8 cm C.12 cm D.16 cm
(2)已知圓心角為135°的扇形面積為24π,則扇形的半徑為 .
【知識要點】
3.圓柱和圓錐
(1)設圓柱的高為l,底面半徑為R,則有:
①S圓柱側= ;
②S圓柱全= ;
③V圓柱= .
(2)設圓錐的母線長為l,底面半徑為R,高為h,則有:
①S圓錐側= ;
②S圓錐全= ;
③V圓錐=πR2h.
【對點練習】
3.(1)已知圓錐的母線長為8 cm,底面圓的直徑為6 cm,則這個圓錐的側面積是( )
A.96π cm2　　　 B.48π cm2
C.33π cm2 D.24π cm2
(2)底面半徑為3,母線長為5的圓錐的高是 .
(3)若圓錐的底面圓半徑為2 cm,母線長是5 cm,則它的側面展開圖的面積為 cm2.
考點1　正多邊形和圓的有關計算
【示范題1】(2024·德陽中考)已知,正六邊形ABCDEF的面積為6,則正六邊形的邊長為( )
A.1 B. C.2 D.4
【答題關鍵指導】
正多邊形有關邊的計算的常用公式
(1)r2+=R2(r表示邊心距,R表示半徑,a表示邊長).
(2)l=na(l表示周長,n表示邊數,a表示邊長).
(3)S正n邊形=lr(l表示周長,r表示邊心距).
【跟蹤訓練】
1.(2024·宜賓中考)如圖,正五邊形ABCDE的邊長為4,則這個正五邊形的對角線AC的長是 .
2.(2024·甘肅中考)馬家窯文化以發達的彩陶著稱于世,其陶質堅固,器表細膩,紅、黑、白彩共用,彩繪線條流暢細致,圖案繁縟多變,形成了絢麗典雅的藝術風格,創造了一大批令人驚嘆的彩陶藝術精品,體現了古代勞動人民的智慧.如圖1的彩陶紋樣呈現的是三等分圓周,古人用等邊三角形三點定位的方法確定圓周的三等分點,這種方法和下面三等分圓周的方法相通.如圖2,已知☉O和圓上一點M.作法如下:
①以點M為圓心,OM長為半徑,作弧交☉O于A,B兩點;
②延長MO交☉O于點C;
即點A,B,C將☉O的圓周三等分.
(1)請你依據以上步驟,用不帶刻度的直尺和圓規在圖2中將☉O的圓周三等分(保留作圖痕跡,不寫作法);
(2)根據(1)畫出的圖形,連接AB,AC,BC,若☉O的半徑為2 cm,則△ABC的周長為 cm.
考點2　弧長、扇形面積的計算
【示范題2】(2024·安徽中考)若扇形AOB的半徑為6,∠AOB=120°,則的長為( )
A.2π B.3π C.4π D.6π
【答題關鍵指導】
1.弧長公式的理解與變形
(1)在弧長公式中,n表示1°的圓心角的倍數,在應用公式計算時,“n”和“180”可不用寫單位.
(2)在弧長的計算公式中,已知l,n,R中的任意兩個量都可以求出第三個量,變形公式有:①n=;②R=.
2.求不規則圖形面積的方法
求解一些幾何圖形的面積,特別是不規則幾何圖形的面積時,常通過平移、旋轉、分割等方法,把不規則圖形面積轉化為規則圖形面積的和或差,使復雜問題簡單化,便于求解.這種解題方法也體現了整體思想、轉化思想.將不規則圖形面積轉化為規則圖形的面積,常用的方法有:①和差法;②割補法.
【跟蹤訓練】
1.(2024·云南中考)某校九年級學生參加社會實踐,學習編織圓錐型工藝品.若這種圓錐的母線長為40厘米,底面圓的半徑為30厘米,則該圓錐的側面積為( )
A.700π平方厘米 B.900π平方厘米
C.1 200π平方厘米 D.1 600π平方厘米
2.(2024·貴州中考)如圖,在扇形紙扇中,若∠AOB=150°,OA=24,則的長為( )
A.30π B.25π C.20π D.10π
考點3　與圓有關的陰影面積的計算
【示范題3】(2024·重慶中考)如圖,在矩形ABCD中,分別以點A和C為圓心,AD長為半徑畫弧,兩弧有且僅有一個公共點.若AD=4,則圖中陰影部分的面積為( )
A.32-8π B.16-4π
C.32-4π D.16-8π
【答題關鍵指導】
求不規則圖形的面積時,常轉化為幾個規則的圖形面積的和與差.
【跟蹤訓練】
1.(2024·遂寧中考)工人師傅在檢查排污管道時發現淤泥堆積.如圖所示,排污管道的橫截面是直徑為2米的圓,為預估淤泥量,測得淤泥橫截面(圖中陰影部分)寬AB為1米,請計算出淤泥橫截面的面積( )
A.π- B.π-
C.π- D.π-
2.(2024·河南中考)如圖,☉O是邊長為4的等邊三角形ABC的外接圓,點D是的中點,連接BD,CD.以點D為圓心,BD的長為半徑在☉O內畫弧,則陰影部分的面積為( )
A. B.4π C. D.16π
3.(2024·山東中考)如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,∠DAB=60°,AB=BC=2AD=2.以點A為圓心,以AD為半徑作交AB于點E,以點B為圓心,以BE為半徑作所交BC于點F,連接FD交于另一點G,連接CG.
(1)求證:CG為所在圓的切線;
(2)求圖中陰影部分的面積.(結果保留π)
1.(2023·福建中考)我國魏晉時期數學家劉徽在《九章算術注》中提到了著名的“割圓術”,即利用圓的內接正多邊形逼近圓的方法來近似估算,指出“割之彌細,所失彌少.割之又割,以至于不可割,則與圓周合體,而無所失矣”.“割圓術”孕育了微積分思想,他用這種思想得到了圓周率π的近似值為3.141 6.如圖,☉O的半徑為1,運用“割圓術”,以圓內接正六邊形面積近似估計☉O的面積,可得π的估計值為,若用圓內接正十二邊形作近似估計,可得π的估計值為( )
A. B.2 C.3 D.2
2.(2022·福建中考)如圖,△ABC內接于☉O,AD∥BC交☉O于點D,DF∥AB交BC于點E,交☉O于點F,連接AF,CF.
(1)求證:AC=AF;
(2)若☉O的半徑為3,∠CAF=30°,求的長(結果保留π).第28課時　圓的有關計算
【知識要點】
1.正多邊形和圓
(1)定義:各邊　相等　,各角也都　相等　的多邊形是正多邊形.
(2)正多邊形和圓的關系:把一個圓　n等分　,依次連接　各分點　可作出圓的內接正n邊形.
【對點練習】
1.如圖,正五邊形ABCDE內接于☉O,連接AC,則∠ACD的度數是(A)
A.72° B.70° C.60° D.45°
【知識要點】
2.圓中的弧長與扇形面積
(1)半徑為R的圓中,n°的圓心角所對的弧長l的計算公式為l= 　.
(2)扇形面積:
①半徑為R的圓中,圓心角為n°的扇形面積為S扇形= 　.
②半徑為R,弧長為l的扇形面積為S扇形= lR　.
【對點練習】
2.(教材再開發·人教九上P115T1改編)(1)用一張半圓形鐵皮,圍成一個底面半徑為4 cm的圓錐形工件的側面(接縫忽略不計),則圓錐的母線長為(B)
A.4 cm B.8 cm C.12 cm D.16 cm
(2)已知圓心角為135°的扇形面積為24π,則扇形的半徑為　8　.
【知識要點】
3.圓柱和圓錐
(1)設圓柱的高為l,底面半徑為R,則有:
①S圓柱側=　2πRl　;
②S圓柱全=　2πR2+2πRl　;
③V圓柱=　πR2l　.
(2)設圓錐的母線長為l,底面半徑為R,高為h,則有:
①S圓錐側=　πRl　;
②S圓錐全=　πRl+πR2　;
③V圓錐=πR2h.
【對點練習】
3.(1)已知圓錐的母線長為8 cm,底面圓的直徑為6 cm,則這個圓錐的側面積是(D)
A.96π cm2　　　 B.48π cm2
C.33π cm2 D.24π cm2
(2)底面半徑為3,母線長為5的圓錐的高是　4　.
(3)若圓錐的底面圓半徑為2 cm,母線長是5 cm,則它的側面展開圖的面積為　10π　cm2.
考點1　正多邊形和圓的有關計算
【示范題1】(2024·德陽中考)已知,正六邊形ABCDEF的面積為6,則正六邊形的邊長為(C)
A.1 B. C.2 D.4
【答題關鍵指導】
正多邊形有關邊的計算的常用公式
(1)r2+=R2(r表示邊心距,R表示半徑,a表示邊長).
(2)l=na(l表示周長,n表示邊數,a表示邊長).
(3)S正n邊形=lr(l表示周長,r表示邊心距).
【跟蹤訓練】
1.(2024·宜賓中考)如圖,正五邊形ABCDE的邊長為4,則這個正五邊形的對角線AC的長是　2+2　.
2.(2024·甘肅中考)馬家窯文化以發達的彩陶著稱于世,其陶質堅固,器表細膩,紅、黑、白彩共用,彩繪線條流暢細致,圖案繁縟多變,形成了絢麗典雅的藝術風格,創造了一大批令人驚嘆的彩陶藝術精品,體現了古代勞動人民的智慧.如圖1的彩陶紋樣呈現的是三等分圓周,古人用等邊三角形三點定位的方法確定圓周的三等分點,這種方法和下面三等分圓周的方法相通.如圖2,已知☉O和圓上一點M.作法如下:
①以點M為圓心,OM長為半徑,作弧交☉O于A,B兩點;
②延長MO交☉O于點C;
即點A,B,C將☉O的圓周三等分.
(1)請你依據以上步驟,用不帶刻度的直尺和圓規在圖2中將☉O的圓周三等分(保留作圖痕跡,不寫作法);
(2)根據(1)畫出的圖形,連接AB,AC,BC,若☉O的半徑為2 cm,則△ABC的周長為　　　　　cm.
【解析】(1)如圖,點A,B,C即為所求.
(2)設CM交AB于點E.∵==,
∴AB=AC=CB,∠AOB=120°,
∵=,∴∠AOM=∠BOM=60°,
∵OA=OB,
∴OE⊥AB,AE=EB=AO·sin 60°=2×=(cm),
∴AB=2 cm,∴△ABC的周長為6 cm.
答案:6
考點2　弧長、扇形面積的計算
【示范題2】(2024·安徽中考)若扇形AOB的半徑為6,∠AOB=120°,則的長為(C)
A.2π B.3π C.4π D.6π
【答題關鍵指導】
1.弧長公式的理解與變形
(1)在弧長公式中,n表示1°的圓心角的倍數,在應用公式計算時,“n”和“180”可不用寫單位.
(2)在弧長的計算公式中,已知l,n,R中的任意兩個量都可以求出第三個量,變形公式有:①n=;②R=.
2.求不規則圖形面積的方法
求解一些幾何圖形的面積,特別是不規則幾何圖形的面積時,常通過平移、旋轉、分割等方法,把不規則圖形面積轉化為規則圖形面積的和或差,使復雜問題簡單化,便于求解.這種解題方法也體現了整體思想、轉化思想.將不規則圖形面積轉化為規則圖形的面積,常用的方法有:①和差法;②割補法.
【跟蹤訓練】
1.(2024·云南中考)某校九年級學生參加社會實踐,學習編織圓錐型工藝品.若這種圓錐的母線長為40厘米,底面圓的半徑為30厘米,則該圓錐的側面積為(C)
A.700π平方厘米 B.900π平方厘米
C.1 200π平方厘米 D.1 600π平方厘米
2.(2024·貴州中考)如圖,在扇形紙扇中,若∠AOB=150°,OA=24,則的長為(C)
A.30π B.25π C.20π D.10π
考點3　與圓有關的陰影面積的計算
【示范題3】(2024·重慶中考)如圖,在矩形ABCD中,分別以點A和C為圓心,AD長為半徑畫弧,兩弧有且僅有一個公共點.若AD=4,則圖中陰影部分的面積為(D)
A.32-8π B.16-4π
C.32-4π D.16-8π
【答題關鍵指導】
求不規則圖形的面積時,常轉化為幾個規則的圖形面積的和與差.
【跟蹤訓練】
1.(2024·遂寧中考)工人師傅在檢查排污管道時發現淤泥堆積.如圖所示,排污管道的橫截面是直徑為2米的圓,為預估淤泥量,測得淤泥橫截面(圖中陰影部分)寬AB為1米,請計算出淤泥橫截面的面積(A)
A.π- B.π-
C.π- D.π-
2.(2024·河南中考)如圖,☉O是邊長為4的等邊三角形ABC的外接圓,點D是的中點,連接BD,CD.以點D為圓心,BD的長為半徑在☉O內畫弧,則陰影部分的面積為(C)
A. B.4π C. D.16π
3.(2024·山東中考)如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,∠DAB=60°,AB=BC=2AD=2.以點A為圓心,以AD為半徑作交AB于點E,以點B為圓心,以BE為半徑作所交BC于點F,連接FD交于另一點G,連接CG.
(1)求證:CG為所在圓的切線;
(2)求圖中陰影部分的面積.(結果保留π)
【解析】(1)連接BG,如圖1,
根據題意可知:AD=AE,BE=BF,
又∵AB=BC,
∴CF=AE=AD,
∵BC=2AD,
∴BF=BE=AD=AE=CF,
∵AD∥BC,
∴四邊形ABFD是平行四邊形,
∴∠BFD=∠DAB=60°,
∵BG=BF,
∴△BFG是等邊三角形,
∴GF=BF,
∴GF=BF=FC,
∴G在以BC為直徑的圓上,
∴∠BGC=90°,
∴CG為所在圓的切線.
(2)過D作DH⊥AB于點H,連接BG,如圖2,
由圖可得:S陰影=S ABFD-S扇AED-S扇BEG-S△BFG,
在Rt△AHD中,AD=1,∠DAB=60°,
∴DH=AD·sin ∠DAB=1×=,
∴S ABFD=AB·DH=2×=,
由題可知:扇形ADE和扇形BGE全等,
∴S扇形AED=S扇形BGE====,
等邊三角形BFG的面積為:
GF·DH=×1×=,
∴S陰影=S ABFD-S扇形AED-S扇形BEG-S△BFG
=---=-.
1.(2023·福建中考)我國魏晉時期數學家劉徽在《九章算術注》中提到了著名的“割圓術”,即利用圓的內接正多邊形逼近圓的方法來近似估算,指出“割之彌細,所失彌少.割之又割,以至于不可割,則與圓周合體,而無所失矣”.“割圓術”孕育了微積分思想,他用這種思想得到了圓周率π的近似值為3.141 6.如圖,☉O的半徑為1,運用“割圓術”,以圓內接正六邊形面積近似估計☉O的面積,可得π的估計值為,若用圓內接正十二邊形作近似估計,可得π的估計值為(C)
A. B.2 C.3 D.2
2.(2022·福建中考)如圖,△ABC內接于☉O,AD∥BC交☉O于點D,DF∥AB交BC于點E,交☉O于點F,連接AF,CF.
(1)求證:AC=AF;
(2)若☉O的半徑為3,∠CAF=30°,求的長(結果保留π).
【解析】(1)∵AD∥BC,DF∥AB,
∴四邊形ABED是平行四邊形,
∴∠B=∠D,
∵∠AFC=∠B,∠ACF=∠D,
∴∠AFC=∠ACF,∴AC=AF.
(2)連接AO,CO,
由(1)得∠AFC=∠ACF,
∵∠AFC==75°,
∴∠AOC=2∠AFC=150°,
∴的長為=.

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