資源簡介

第31課時　相似與位似
【知識要點】
1.平行線分線段成比例
(1)基本事實:兩條直線被一組平行線所截,所得的　對應線段　成比例.
(2)平行線分線段成比例定理的推論:平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線),所得的　對應線段　成比例.
【對點練習】
1.(1)如圖①,兩條直線AC,DF被三條互相平行的直線l1,l2,l3所截,則=.
(2)如圖②,在△ABC中,因為DE∥BC,所以=,也可以說=.
【知識要點】
2.相似三角形的性質
性質1:相似三角形的對應角　相等　,對應邊的比　相等　.
性質2:相似三角形周長的比等于　相似比　.
性質3:相似三角形對應高的比、對應中線的比、對應角平分線的比等于　相似比　.
性質4:相似三角形的面積的比等于相似比的　平方　.
【對點練習】
2.(1)(教材再開發·人教九下P43T12改編)如圖,在△ABC中,DE∥BC,=,△ADE的面積是4,則△ABC的面積為(B)
A.12 B.9 C.10 D.8
(2)如圖,點D,E分別在△ABC的邊AB,AC上,且DE∥BC.若AD=5,DB=2,則DE∶BC=　5∶7　.
(3)如果兩個相似三角形對應邊的比為2∶3,那么它們對應高線的比是　2∶3　.
【知識要點】
3.相似三角形的判定
判定1:平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交,所構成的三角形與原　三角形　相似(相似三角形的預備定理).
判定2:三邊　成比例　的兩個三角形相似.
判定3:兩邊　成比例　且　夾角相等　的兩個三角形相似.
判定4:兩角　分別相等　的兩個三角形相似.
【對點練習】
3.下列說法正確的是(D)
A.兩個直角三角形相似
B.兩條邊對應成比例,一組對應角相等的兩個三角形相似
C.有一個角為40°的兩個等腰三角形相似
D.有一個角為100°的兩個等腰三角形相似
【知識要點】
4.位似
(1)概念
位似的圖形不僅相似,而且它們的對應點的連線相交于一點,這個點叫做位似中心.
(2)性質
①位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于　相似比　.
②在平面直角坐標系中,如果以原點為位似中心,相似比為k,那么位似圖形上的對應點的坐標的比等于　k或-k　.
【對點練習】
4.(教材再開發·人教九下P58T10改編)如圖,△ABC和△A'B'C'是以點O為位似中心的位似圖形,若OA∶OA'=1∶2,則△ABC與△A'B'C'的周長比為(C)
A.1∶4 B.1∶3 C.1∶2 D.1∶9
考點1　平行線分線段成比例
【示范題1】(2024·莆田模擬)如圖,在△ABC中,D,E分別為AB,AC邊的中點,連接DE,點F為BC邊上一點,BF=2FC,連接AF交DE于點N,則下列結論中錯誤的是(C)
A.= B.=
C.= D.=
【跟蹤訓練】
(2024·泉州模擬)如圖,△ABC中,D是AB邊上一點,DE∥BC交AC于點E,連接BE,DF∥BE交AC于點F,則下列結論錯誤的是(D)
A.= B.=
C.= D.=
考點2　相似三角形的判定
【示范題2】(2023·邵陽中考)如圖,CA⊥AD,ED⊥AD,點B是線段AD上的一點,且CB⊥BE.已知AB=8,AC=6,DE=4.
(1)證明:△ABC∽△DEB.
(2)求線段BD的長.
【解析】(1)∵CA⊥AD,ED⊥AD,CB⊥BE,
∴∠A=∠CBE=∠D=90°,
∴∠C+∠CBA=90°,∠CBA+∠DBE=90°,
∴∠C=∠DBE,
∴△ABC∽△DEB;
(2)∵△ABC∽△DEB,
∴=,∴=,
∴BD=3.
【答題關鍵指導】
判定三角形相似的“五個基本思路”
(1)條件中若有平行線,可采用相似三角形的預備定理.
(2)條件中若有一對等角,可再找一對等角或再找夾這對等角的兩邊對應成比例.
(3)條件中若有兩邊對應成比例,可找夾角相等.
(4)條件中若有一對直角,可考慮再找一對等角或證明夾直角的兩條直角邊對應成比例.
(5)條件中若有等腰三角形,可找頂角相等,或一對底角相等,或找底和腰對應成比例.
【跟蹤訓練】
1.(2024·湖南中考)如圖,在△ABC中,點D,E分別為邊AB,AC的中點.下列結論中,錯誤的是(D)
A.DE∥BC B.△ADE∽△ABC
C.BC=2DE D.S△ADE=S△ABC
2.(2024·濱州中考)如圖,在△ABC中,點D,E分別在邊AB,AC上.添加一個條件使△ADE∽△ACB,則這個條件可以是　∠ADE=∠C(答案不唯一)　.(寫出一種情況即可)
考點3　相似三角形的性質
【示范題3】(2024·內江中考)已知△ABC與△DEF相似,且相似比為1∶3,則△ABC與△DEF的周長之比是(B)
A.1∶1 B.1∶3
C.1∶6 D.1∶9
【答題關鍵指導】
1.有時需要先說明兩三角形相似,再利用相似三角形的性質解決問題.
2.利用相似三角形的性質時關鍵要找準對應邊或對應角.
【跟蹤訓練】
1.(2024·樂山中考)如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,對角線AC和BD交于點O,若=,則= 　.
2.(2024·山東中考)如圖,點E為 ABCD的對角線AC上一點,AC=5,CE=1,連接DE并延長至點F,使得EF=DE,連接BF,則BF為(B)
A. B.3 C. D.4
考點4　位似
【示范題4】(2024·涼山州中考)如圖,一塊面積為60 cm2的三角形硬紙板(記為△ABC)平行于投影面時,在點光源O的照射下形成的投影是△A1B1C1,若OB∶BB1=2∶3,則△A1B1C1的面積是(D)
A.90 cm2 B.135 cm2
C.150 cm2 D.375 cm2
【答題關鍵指導】
直角坐標系中的位似變化
　(1)在直角坐標系中,如果位似變換是以原點為位似中心,相似比為k,那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或-k.
(2)位似中心既可以位于兩位似圖形的同側,也可以在兩位似圖形之間.
【跟蹤訓練】
(2024·浙江中考)如圖,在平面直角坐標系中,△ABC與△A'B'C'是位似圖形,位似中心為點O.若點A(-3,1)的對應點為A'(-6,2),則點B(-2,4)的對應點B'的坐標為(A)
A.(-4,8) B.(8,-4)
C.(-8,4) D.(4,-8)
1.(2023·福建中考)如圖1,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D是AB邊上不與A,B重合的一個定點.AO⊥BC于點O,交CD于點E.DF是由線段DC繞點D順時針旋轉90°得到的,FD,CA的延長線相交于點M.
(1)求證:△ADE∽△FMC;
(2)求∠ABF的度數;
(3)若N是AF的中點,如圖2,求證:ND=NO.
【解析】(1)如圖:
∵DF是由線段DC繞點D順時針旋轉 90° 得到的,
∴∠FDC=90°,FD=CD,∠DFC=45°,
∵AB=AC,AO⊥BC,
∴∠BAO=∠BAC.
∵∠BAC=90°,
∴∠BAO=∠ABC=45°,
∴∠BAO=∠DFC,
∵∠EDA+∠ADM=90°,∠M+∠ADM=90°,
∴∠EDA=∠M,
∴△ADE∽△FMC;
(2)設BC與DF的交點為I,如圖:
∵∠DBI=∠CFI=45°,∠BID=∠FIC,
∴△BID∽△FIC,∴=,即=,
∵∠BIF=∠DIC,∴△BIF∽△DIC,
∴∠IBF=∠IDC,
∵∠IDC=90°,∴∠IBF=90°,
∵∠ABC=45°,
∴∠ABF=∠ABC+∠IBF=135°;
(3)延長ON交BF于點T,連接DT,DO,如圖:
∵∠FBI=∠BOA=90°,
∴BF∥AO,
∴∠FTN=∠AON.
∵N是AF的中點,
∴AN=FN,
∵∠TNF=∠ONA,
∴△TNF≌△ONA(AAS),
∴NT=NO,FT=AO,
∵∠BAC=90°,AB=AC,AO⊥BC,
∴AO=CO,
∴FT=CO,
由(2)知,△BIF∽△DIC,
∴∠DFT=∠DCO.
∵DF=DC,
∴△DFT≌△DCO(SAS),
∴DT=DO,∠FDT=∠CDO,
∴∠FDT+∠FDO=∠CDO+∠FDO,
即∠ODT=∠CDF,
∵∠CDF=90°,
∴∠ODT=∠CDF=90°,
∴ND=TO=NO.
2.(2023·福建中考)閱讀下列材料,回答問題.
任務:測量一個扁平狀的小水池的最大寬度,該水池東西走向的最大寬度AB遠大于南北走向的最大寬度,如圖1.
工具:一把皮尺(測量長度略小于AB)和一臺測角儀,如圖2.皮尺的功能是直接測量任意可到達的兩點間的距離(這兩點間的距離不大于皮尺的測量長度);測角儀的功能是測量角的大小,即在任一點O處,對其視線可及的P,Q兩點,可測得∠POQ的大小,如圖3.
小明利用皮尺測量,求出了小水池的最大寬度AB.其測量及求解過程如下:
測量過程:
(ⅰ)在小水池外選點C,如圖4,測得AC=a m,BC=b m;
(ⅱ)分別在AC,BC上測得CM = m,CN= m,測得MN=c m.
求解過程:
由測量知,AC=a,BC=b,CM=,CN=,
∴==,又∵①　　　　　　,
∴△CMN∽△CAB,∴=.
又∵MN=c,∴AB=②　　　　　　(m).
故小水池的最大寬度為***m.
(1)補全小明求解過程中①②所缺的內容;
(2)小明求得AB用到的幾何知識是 　　　　　　　　　　;
(3)小明僅利用皮尺,通過5次測量,求得AB.請你同時利用皮尺和測角儀,通過測量長度、角度等幾何量,并利用解直角三角形的知識求小水池的最大寬度AB,寫出你的測量及求解過程.
要求:測量得到的長度用字母a,b,c…表示,角度用α,β,γ…表示;測量次數不超過4次(測量的幾何量能求出AB,且測量的次數最少,才能得滿分).
【解析】(1)①由測量知,AC=a,BC=b,CM=,CN=,∴==,
又∵∠C=∠C,∴△CMN∽△CAB,∴=.又∵MN=c,∴AB=3c(m).
答案:①∠C=∠C　②3c
(2)求得AB用到的幾何知識是:相似三角形的判定和性質.
答案:相似三角形的判定與性質
(3)測量過程:(ⅰ)在小水池外選點C,如圖,用測角儀在點B處測得∠ABC=α,在點A處測得∠BAC=β;
(ⅱ)用皮尺測得 BC=a m.
求解過程:由測量知,在△ABC中,∠ABC=α,∠BAC=β,BC=a.
過點C作 CD⊥AB,垂足為D.
在Rt△CBD中,cos∠CBD=,
即cos α=,所以BD=acos α.
同理,CD=asin α.在Rt△ACD中,tan∠CAD=,即tan β=,所以 AD=,
所以AB=BD+AD=acos α+(m).
故小水池的最大寬度為(acos α+) m.第31課時　相似與位似
【知識要點】
1.平行線分線段成比例
(1)基本事實:兩條直線被一組平行線所截,所得的 成比例.
(2)平行線分線段成比例定理的推論:平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線),所得的 成比例.
【對點練習】
1.(1)如圖①,兩條直線AC,DF被三條互相平行的直線l1,l2,l3所截,則=.
(2)如圖②,在△ABC中,因為DE∥BC,所以=,也可以說=.
【知識要點】
2.相似三角形的性質
性質1:相似三角形的對應角 ,對應邊的比 .
性質2:相似三角形周長的比等于 .
性質3:相似三角形對應高的比、對應中線的比、對應角平分線的比等于 .
性質4:相似三角形的面積的比等于相似比的 .
【對點練習】
2.(1)(教材再開發·人教九下P43T12改編)如圖,在△ABC中,DE∥BC,=,△ADE的面積是4,則△ABC的面積為( )
A.12 B.9 C.10 D.8
(2)如圖,點D,E分別在△ABC的邊AB,AC上,且DE∥BC.若AD=5,DB=2,則DE∶BC= .
(3)如果兩個相似三角形對應邊的比為2∶3,那么它們對應高線的比是 .
【知識要點】
3.相似三角形的判定
判定1:平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交,所構成的三角形與原 相似(相似三角形的預備定理).
判定2:三邊 的兩個三角形相似.
判定3:兩邊 且 的兩個三角形相似.
判定4:兩角 的兩個三角形相似.
【對點練習】
3.下列說法正確的是( )
A.兩個直角三角形相似
B.兩條邊對應成比例,一組對應角相等的兩個三角形相似
C.有一個角為40°的兩個等腰三角形相似
D.有一個角為100°的兩個等腰三角形相似
【知識要點】
4.位似
(1)概念
位似的圖形不僅相似,而且它們的對應點的連線相交于一點,這個點叫做位似中心.
(2)性質
①位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于 .
②在平面直角坐標系中,如果以原點為位似中心,相似比為k,那么位似圖形上的對應點的坐標的比等于 .
【對點練習】
4.(教材再開發·人教九下P58T10改編)如圖,△ABC和△A'B'C'是以點O為位似中心的位似圖形,若OA∶OA'=1∶2,則△ABC與△A'B'C'的周長比為( )
A.1∶4 B.1∶3 C.1∶2 D.1∶9
考點1　平行線分線段成比例
【示范題1】(2024·莆田模擬)如圖,在△ABC中,D,E分別為AB,AC邊的中點,連接DE,點F為BC邊上一點,BF=2FC,連接AF交DE于點N,則下列結論中錯誤的是( )
A.= B.=
C.= D.=
【跟蹤訓練】
(2024·泉州模擬)如圖,△ABC中,D是AB邊上一點,DE∥BC交AC于點E,連接BE,DF∥BE交AC于點F,則下列結論錯誤的是( )
A.= B.=
C.= D.=
考點2　相似三角形的判定
【示范題2】(2023·邵陽中考)如圖,CA⊥AD,ED⊥AD,點B是線段AD上的一點,且CB⊥BE.已知AB=8,AC=6,DE=4.
(1)證明:△ABC∽△DEB.
(2)求線段BD的長.
【答題關鍵指導】
判定三角形相似的“五個基本思路”
(1)條件中若有平行線,可采用相似三角形的預備定理.
(2)條件中若有一對等角,可再找一對等角或再找夾這對等角的兩邊對應成比例.
(3)條件中若有兩邊對應成比例,可找夾角相等.
(4)條件中若有一對直角,可考慮再找一對等角或證明夾直角的兩條直角邊對應成比例.
(5)條件中若有等腰三角形,可找頂角相等,或一對底角相等,或找底和腰對應成比例.
【跟蹤訓練】
1.(2024·湖南中考)如圖,在△ABC中,點D,E分別為邊AB,AC的中點.下列結論中,錯誤的是( )
A.DE∥BC B.△ADE∽△ABC
C.BC=2DE D.S△ADE=S△ABC
2.(2024·濱州中考)如圖,在△ABC中,點D,E分別在邊AB,AC上.添加一個條件使△ADE∽△ACB,則這個條件可以是 .(寫出一種情況即可)
考點3　相似三角形的性質
【示范題3】(2024·內江中考)已知△ABC與△DEF相似,且相似比為1∶3,則△ABC與△DEF的周長之比是( )
A.1∶1 B.1∶3
C.1∶6 D.1∶9
【答題關鍵指導】
1.有時需要先說明兩三角形相似,再利用相似三角形的性質解決問題.
2.利用相似三角形的性質時關鍵要找準對應邊或對應角.
【跟蹤訓練】
1.(2024·樂山中考)如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,對角線AC和BD交于點O,若=,則= .
2.(2024·山東中考)如圖,點E為 ABCD的對角線AC上一點,AC=5,CE=1,連接DE并延長至點F,使得EF=DE,連接BF,則BF為( )
A. B.3 C. D.4
考點4　位似
【示范題4】(2024·涼山州中考)如圖,一塊面積為60 cm2的三角形硬紙板(記為△ABC)平行于投影面時,在點光源O的照射下形成的投影是△A1B1C1,若OB∶BB1=2∶3,則△A1B1C1的面積是( )
A.90 cm2 B.135 cm2
C.150 cm2 D.375 cm2
【答題關鍵指導】
直角坐標系中的位似變化
　(1)在直角坐標系中,如果位似變換是以原點為位似中心,相似比為k,那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或-k.
(2)位似中心既可以位于兩位似圖形的同側,也可以在兩位似圖形之間.
【跟蹤訓練】
(2024·浙江中考)如圖,在平面直角坐標系中,△ABC與△A'B'C'是位似圖形,位似中心為點O.若點A(-3,1)的對應點為A'(-6,2),則點B(-2,4)的對應點B'的坐標為( )
A.(-4,8) B.(8,-4)
C.(-8,4) D.(4,-8)
1.(2023·福建中考)如圖1,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D是AB邊上不與A,B重合的一個定點.AO⊥BC于點O,交CD于點E.DF是由線段DC繞點D順時針旋轉90°得到的,FD,CA的延長線相交于點M.
(1)求證:△ADE∽△FMC;
(2)求∠ABF的度數;
(3)若N是AF的中點,如圖2,求證:ND=NO.
2.(2023·福建中考)閱讀下列材料,回答問題.
任務:測量一個扁平狀的小水池的最大寬度,該水池東西走向的最大寬度AB遠大于南北走向的最大寬度,如圖1.
工具:一把皮尺(測量長度略小于AB)和一臺測角儀,如圖2.皮尺的功能是直接測量任意可到達的兩點間的距離(這兩點間的距離不大于皮尺的測量長度);測角儀的功能是測量角的大小,即在任一點O處,對其視線可及的P,Q兩點,可測得∠POQ的大小,如圖3.
小明利用皮尺測量,求出了小水池的最大寬度AB.其測量及求解過程如下:
測量過程:
(ⅰ)在小水池外選點C,如圖4,測得AC=a m,BC=b m;
(ⅱ)分別在AC,BC上測得CM = m,CN= m,測得MN=c m.
求解過程:
由測量知,AC=a,BC=b,CM=,CN=,
∴==,又∵① ,
∴△CMN∽△CAB,∴=.
又∵MN=c,∴AB=② (m).
故小水池的最大寬度為***m.
(1)補全小明求解過程中①②所缺的內容;
(2)小明求得AB用到的幾何知識是 ;
(3)小明僅利用皮尺,通過5次測量,求得AB.請你同時利用皮尺和測角儀,通過測量長度、角度等幾何量,并利用解直角三角形的知識求小水池的最大寬度AB,寫出你的測量及求解過程.
要求:測量得到的長度用字母a,b,c…表示,角度用α,β,γ…表示;測量次數不超過4次(測量的幾何量能求出AB,且測量的次數最少,才能得滿分).

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