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第13課時　反比例函數與一次函數的綜合
考點1　有關取值范圍問題
【示范題1】(2024·山東中考)列表法、解析式法、圖象法是三種表示函數的方法,它們從不同角度反映了自變量與函數值之間的對應關系.下表是函數y=2x+b與y=部分自變量與函數值的對應關系:
x - a 1
2x+b a 1
7
(1)求a,b的值,并補全表格;
(2)結合表格,當y=2x+b的圖象在y=的圖象上方時,直接寫出x的取值范圍.
【自主解答】(1)當x=-時,2x+b=a,即-7+b=a,當x=a時,2x+b=1,即2a+b=1,∴,解得,∴一次函數解析式為y=2x+5,當x=1時,y=7.
∵當x=1時,y==7,即k=7,∴反比例函數解析式為y=,當x=-時,y=7÷(-)=-2,當x=-2時,y=-,
補全表格如下:
x - a 1
2x+b a 1 7
-2 - 7
(2)由表格信息可得兩個函數的交點坐標分別為(-,-2),(1,7),
∴當y=2x+b的圖象在y=的圖象上方時,x的取值范圍為-1.
【跟蹤訓練】
(2024·湖北中考)如圖,一次函數y=x+m的圖象與x軸交于點A(-3,0),與反比例函數y=(k為常數,k≠0)的圖象在第一象限的部分交于點B(n,4).
(1)求m,n,k的值;
(2)若C是反比例函數y=的圖象在第一象限部分上的點,且△AOC的面積小于△AOB的面積,直接寫出點C的橫坐標a的取值范圍.
【解析】(1)由題意得-3+m=0,n+m=4,k=4n,解得m=3,n=1,k=4;
(2)∵S△AOC∴點B到x軸的距離大于點C到x軸的距離,∴點C位于點B的右側,∴a>1.
考點2　有關面積問題
【示范題2】(2024·甘肅中考)如圖,在平面直角坐標系中,將函數y=ax的圖象向上平移3個單位長度,得到一次函數y=ax+b的圖象,與反比例函數y=(x>0)的圖象交于點A(2,4).過點B(0,2)作x軸的平行線分別交y=ax+b與y=(x>0)的圖象于C,D兩點.
(1)求一次函數y=ax+b和反比例函數y=的解析式;
(2)連接AD,求△ACD的面積.
【自主解答】(1)∵函數y=ax+b的圖象是由函數y=ax的圖象向上平移3個單位長度得到的,∴b=3.
將點A坐標代入一次函數解析式得,2a+3=4,解得a=,
∴一次函數解析式為y=x+3.
將點A坐標代入反比例函數解析式得,k=2×4=8,
∴反比例函數解析式為y=.
(2)將y=2代入y=x+3得,x+3=2,解得x=-2,
∴點C的坐標為(-2,2).
將y=2代入y=得x=4,
∴點D的坐標為(4,2),所以CD=4-(-2)=6,∴S△ACD=×6×(4-2)=6.
【跟蹤訓練】
(2024·廣安中考)如圖,一次函數y=ax+b(a,b為常數,a≠0)的圖象與反比例函數y=(k為常數,k≠0)的圖象交于A(2,4),B(n,-2)兩點.
(1)求一次函數和反比例函數的解析式;
(2)直線AB與x軸交于點C,點P(m,0)是x軸上的點,若△PAC的面積大于12,請直接寫出m的取值范圍.
【解析】(1)把點A(2,4)代入y=,得k=8,
∴反比例函數的解析式為y=.
把點B(n,-2)代入y=得n=-4,
∴B(-4,-2)
∵點A(2,4),B(-4,-2)在一次函數y=ax+b的圖象上,
∴,解得,
∴一次函數的解析式為y=x+2.
(2)在函數y=x+2中,當y=0時,x=-2,
∴C(-2,0),
則PC=|m+2|.
∵S△PAC=×|m+2|×4>12,
∴|m+2|>6,
解得m>4或m<-8.第13課時　反比例函數與一次函數的綜合
考點1　有關取值范圍問題
【示范題1】(2024·山東中考)列表法、解析式法、圖象法是三種表示函數的方法,它們從不同角度反映了自變量與函數值之間的對應關系.下表是函數y=2x+b與y=部分自變量與函數值的對應關系:
x - a 1
2x+b a 1
7
(1)求a,b的值,并補全表格;
(2)結合表格,當y=2x+b的圖象在y=的圖象上方時,直接寫出x的取值范圍.
【跟蹤訓練】
(2024·湖北中考)如圖,一次函數y=x+m的圖象與x軸交于點A(-3,0),與反比例函數y=(k為常數,k≠0)的圖象在第一象限的部分交于點B(n,4).
(1)求m,n,k的值;
(2)若C是反比例函數y=的圖象在第一象限部分上的點,且△AOC的面積小于△AOB的面積,直接寫出點C的橫坐標a的取值范圍.
考點2　有關面積問題
【示范題2】(2024·甘肅中考)如圖,在平面直角坐標系中,將函數y=ax的圖象向上平移3個單位長度,得到一次函數y=ax+b的圖象,與反比例函數y=(x>0)的圖象交于點A(2,4).過點B(0,2)作x軸的平行線分別交y=ax+b與y=(x>0)的圖象于C,D兩點.
(1)求一次函數y=ax+b和反比例函數y=的解析式;
(2)連接AD,求△ACD的面積.
【跟蹤訓練】
(2024·廣安中考)如圖,一次函數y=ax+b(a,b為常數,a≠0)的圖象與反比例函數y=(k為常數,k≠0)的圖象交于A(2,4),B(n,-2)兩點.
(1)求一次函數和反比例函數的解析式;
(2)直線AB與x軸交于點C,點P(m,0)是x軸上的點,若△PAC的面積大于12,請直接寫出m的取值范圍.

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