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第14課時　二次函數的圖象與性質
【知識要點】
1.二次函數的概念及其解析式
(1)二次函數的概念:形如　y=ax2+bx+c　(a,b,c是常數,a≠0)的函數.
(2)二次函數的解析式:
①一般式:　y=ax2+bx+c(a≠0)　.
②頂點式:y=a(x-h)2+k(a≠0),其頂點坐標是　(h,k)　.
③交點式:y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是二次函數圖象與x軸交點的橫坐標.
【對點練習】
1.(1)下列函數解析式中,一定為二次函數的是(C)
A.y=2x-5　　　 B.y=ax2+bx+c
C.h= D.y=x2+
(2)(教材再開發·人教九上P37練習改編)已知二次函數的圖象的頂點是(1,-2),且經過點(0,-5),則二次函數的解析式是(C)
A.y=-3(x+1)2-2　 B.y=3(x+1)2-2
C.y=-3(x-1)2-2 D.y=3(x-1)2-2
(3)二次函數解析式為y=(m+1)+4x+7,則m的取值是　2　.
【知識要點】
2.二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與性質
(1)當a>0時:
①開口方向:向上.
②頂點坐標:.
③對稱軸:直線　x=-　.
④增減性:當x<-時,y隨x的增大而　減小　;
當x>-時,y隨x的增大而　增大　.
⑤最值:當x=-時,y最小值= 　.
(2)當a<0時:
①開口方向:向下.
②頂點坐標:.
③對稱軸:直線　x=-　.
④增減性:當x<-時,y隨x的增大而　增大　;
當x>-時,y隨x的增大而　減小　.
⑤最值:當x=-時,y最大值= 　.
【對點練習】
2.(1)已知二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的部分圖象如圖所示,對稱軸為x=,且經過點(-1,0).下列結論:
①3a+b=0;②若點(,y1),(3,y2)是拋物線上的兩點,則y1A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
(2)關于二次函數y=2(x-4)2+6的最大值或最小值,下列說法正確的是(D)
A.有最大值4 B.有最小值4　
C.有最大值6 D.有最小值6
【知識要點】
3.二次函數圖象的平移
平移前的 解析式 移動方向(m,n>0) 平移后的解析式 規律
y=a(x-h)2+k 向左平移m個單位 y=a(x-h+m)2+k 給x左加右減
向右平移m個單位 y=a(x-h-m)2+k
向上平移n個單位 y=a(x-h)2+k+n 給等號右邊整體上加下減
向下平移n個單位 y=a(x-h)2+k-n
【對點練習】
3.(1)把拋物線y=2x2+1向左平移1個單位長度,再向下平移3個單位長度,得到的拋物線的解析式為　y=2x2+4x　.
(2)將拋物線y=(x+3)2向下平移1個單位長度,再向右平移　2或4　個單位長度后,得到的新拋物線經過原點.
【知識要點】
4.二次函數與方程、不等式的關系
【對點練習】
4.(1)(教材再開發·人教九上P47T5改編)如圖所示的是二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的部分圖象,由圖象可知不等式ax2+bx+c<0的解集是(D)
A.-1B.x>5
C.x<-1
D.x<-1或x>5
(2)已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象經過(-3,0)與(1,0)兩點,關于x的方程ax2+bx+c+m=0(m>0)有兩個整數根,其中一個根是3,則另一個根是(A)
A.-5 B.-3
C.-1 D.3
考點1　二次函數的圖象與性質
【示范題1】(2024·連云港中考)已知拋物線y=ax2+bx+c(a,b,c是常數,a<0)的頂點為(1,2).小燁同學得出以下結論:①abc<0;②當x>1時,y隨x的增大而減小;③若ax2+bx+c=0的一個根為3,則a=-;④拋物線y=ax2+2是由拋物線y=ax2+bx+c向左平移1個單位,再向下平移2個單位得到的.其中一定正確的是(B)
A.①② B.②③
C.③④ D.②④
【答題關鍵指導】
系數a,b,c與二次函數的圖象的關系
1.a決定開口方向及開口大小
(1)當a>0時開口向上,當a<0時開口向下.
(2)|a|越大,拋物線的開口越小.
2.b和a共同決定拋物線對稱軸的位置
由于拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是直線x=-,故
(1)b=0時,對稱軸為y軸.
(2)>0(即a,b同號)時,對稱軸在y軸左側.
(3)<0(即a,b異號)時,對稱軸在y軸右側.
3.c的大小決定拋物線y=ax2+bx+c與y軸交點的位置,當x=0時,y=c,所以拋物線y=ax2+bx+c與y軸有且只有一個交點(0,c):
(1)c=0,拋物線經過原點.
(2)c>0,拋物線與y軸交于正半軸.
(3)c<0,拋物線與y軸交于負半軸.
【跟蹤訓練】
1.(2024·涼山州中考)拋物線y=(x-1)2+c經過(-2,y1),(0,y2),(,y3)三點,則y1,y2,y3的大小關系正確的是(D)
A.y1>y2>y3 B.y2>y3>y1
C.y3>y1>y2 D.y1>y3>y2
2.(2024·貴州中考)如圖,二次函數y=ax2+bx+c的部分圖象與x軸的一個交點的橫坐標是-3,頂點坐標為(-1,4),則下列說法正確的是(D)
A.二次函數圖象的對稱軸是直線x=1
B.二次函數圖象與x軸的另一個交點的橫坐標是2
C.當x<-1時,y隨x的增大而減小
D.二次函數圖象與y軸的交點的縱坐標是3
3.(2024·樂山中考)已知二次函數y=x2-2x(-1≤x≤t-1),當x=-1時,函數取得最大值;當x=1時,函數取得最小值,則t的取值范圍是(C)
A.0C.2≤t≤4 D.t≥2
4.(2024·瀘州中考)已知二次函數y=ax2+(2a-3)x+a-1(x是自變量)的圖象經過第一、二、四象限,則實數a的取值范圍為(A)
A.1≤a< B.0C.0考點2　確定二次函數解析式
【示范題2】(2024·湖北中考)拋物線y=ax2+bx+c的頂點為(-1,-2),拋物線與y軸的交點位于x軸上方.以下結論正確的是(C)
A.a<0 B.c<0
C.a-b+c=-2 D.b2-4ac=0
【答題關鍵指導】
二次函數解析式的三種常用形式
一般式y=ax2+bx+c(a≠0)、頂點式y=a(x-h)2+k(a≠0)和交點式y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),答題時要根據題目的不同條件選擇適當形式,建立方程或方程組,簡化計算過程.
【跟蹤訓練】
1.(2024·陜西中考)已知一個二次函數y=ax2+bx+c的自變量x與函數y的幾組對應值如下表:
x … -4 -2 0 3 5 …
y … -24 -8 0 -3 -15 …
則下列關于這個二次函數的結論正確的是(D)
A.圖象的開口向上
B.當x>0時,y的值隨x值的增大而減小
C.圖象經過第二、三、四象限
D.圖象的對稱軸是直線x=1
2.(2024·眉山中考)定義運算:a b=(a+2b)(a-b),例如4 3=(4+2×3)(4-3),則函數y=(x+1) 2的最小值為(B)
A.-21 B.-9 C.-7 D.-5
考點3　二次函數與方程、不等式的關系
【示范題3】(2024·煙臺中考)已知二次函數y=ax2+bx+c的y與x的部分對應值如表:
x -4 -3 -1 1 5
y 0 5 9 5 -27
下列結論:
①abc>0;
②關于x的一元二次方程ax2+bx+c=9有兩個相等的實數根;
③當-4④若點(m,y1),(-m-2,y2)均在二次函數圖象上,則y1=y2;
⑤滿足ax2+(b+1)x+c<2的x的取值范圍是x<-2或x>3.
其中正確結論的序號為?、佗冖堋?
【答題關鍵指導】
1.二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)與一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的關系
(1)當b2-4ac>0時,y=ax2+bx+c與x軸有兩個交點,交點的橫坐標即為ax2+bx+c=0的兩個不相等的實數根.
(2)當b2-4ac=0時,y=ax2+bx+c與x軸只有一個交點,交點的橫坐標即為ax2+bx+c=0的兩個相等的實數根.
(3)當b2-4ac<0時,y=ax2+bx+c與x軸無交點,即ax2+bx+c=0無實數根.
2.利用二次函數圖象解不等式的方法
不等式ax2+bx+c>0(或ax2+bx+c< 0)的解集就是二次函數y=ax2+bx+c的圖象在 x 軸上(下)方的點所對應的 x的取值范圍,不等式如果帶有等號,其解集也相應帶有等號.a>0時, y>0取兩邊,y<0取中間.
【跟蹤訓練】
1.(2024·達州中考)拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于兩點,其中一個交點的橫坐標大于1,另一個交點的橫坐標小于1,則下列結論正確的是(A)
A.b+c>1 B.b=2
C.b2+4c<0 D.c<0
2.(2024·武漢中考)拋物線y=ax2+bx+c(a,b,c是常數,a<0)經過(-1,1),(m,1)兩點,且0①b>0;
②若01;
③若a=-1,則關于x的一元二次方程ax2+bx+c=2無實數解;
④點A(x1,y1),B(x2,y2)在拋物線上,若x1+x2>-,x1>x2,總有y1其中正確的是?、冖邰堋?填寫序號).
考點4　與二次函數有關的綜合題
【示范題4】(2024·赤峰中考)如圖,正方形ABCD的頂點A,C在拋物線y=-x2+4上,點D在y軸上.若A,C兩點的橫坐標分別為m,n(m>n>0),下列結論正確的是(B)
A.m+n=1 B.m-n=1
C.mn=1 D.=1
【答題關鍵指導】
解數學壓軸題一般可以分為三個步驟:
①認真審題,②理解題意、探究解題思路,③正確解答.
審題要全面審視題目的所有條件和答題要求,在整體上把握試題的特點、結構,以利于解題方法的選擇和解題步驟的設計.
解數學壓軸題要善于總結解數學壓軸題中所隱含的重要數學思想,如轉化思想、數形結合思想、分類討論思想及方程的思想等.認識條件和結論之間的關系,圖形的幾何特征與數、式的數量、結構特征的關系,確定解題的思路和方法.
當思維受阻時,要及時調整思路和方法,并重新審視題意,注意挖掘隱蔽的條件和內在聯系,既要防止鉆牛角尖,又要防止輕易放棄.
【跟蹤訓練】
1.(2024·新疆中考)如圖,拋物線y=x2-4x+6與y軸交于點A,與x軸交于點B,線段CD在拋物線的對稱軸上移動(點C在點D下方),且CD=3.當AD+BC的值最小時,點C的坐標為　(4,1)　.
2.(2024·臨夏州中考)在平面直角坐標系中,拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于A(-1,0),B(3,0)兩點,與y軸交于點C,作直線BC.
(1)求拋物線的解析式.
(2)如圖1,點P是線段BC上方的拋物線上一動點,過點P作PQ⊥BC,垂足為Q,請問線段PQ是否存在最大值 若存在,請求出最大值及此時點P的坐標;若不存在,請說明理由.
(3)如圖2,點M是直線BC上一動點,過點M作線段MN∥OC(點N在直線BC下方),已知MN=2,若線段MN與拋物線有交點,請直接寫出點M的橫坐標xM的取值范圍.
【解析】(1)∵拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于A(-1,0),B(3,0)兩點,
∴,解得,
∴拋物線的解析式為y=-x2+2x+3.
(2)存在.過點P作PD⊥AB于點D,交BC于點K.
∵B(3,0),C(0,3),
∴直線BC的解析式為y=-x+3.
∵OB=OC,∠BOC=90°,
∴∠CBO=45°.
∵∠KDB=90°,
∴∠PKQ=∠DKB=45°.
∵PQ⊥BC,
∴△PQK是等腰直角三角形,
∴PK=PQ,
∴PK的值最大時,PQ的值最大.
設P(m,-m2+2m+3),則K(m,-m+3),
∴PK=-m2+2m+3-(-m+3)
=-m2+3m.
∵-1<0,∴當m=時,PK的值最大,
PK的最大值=-+=,
∴PQ的最大值=PK=,
此時P(,).
(3)設M(a,-a+3),則N(a,-a+1),
當點N在拋物線上時,-a+1=-a2+2a+3,
∴a2-3a-2=0,
解得a1=,a2=.
∵線段MN與拋物線有交點,
∴滿足條件的點M的橫坐標的取值范圍為≤xM≤0或3≤xM≤.
1.(2024·福建中考)已知二次函數y=x2-2ax+a(a≠0)的圖象經過A(,y1),B(3a,y2)兩點,則下列判斷正確的是(C)
A.可以找到一個實數a,使得y1>a
B.無論實數a取什么值,都有y1>a
C.可以找到一個實數a,使得y2<0
D.無論實數a取什么值,都有y2<0
2.(2022·福建中考)已知拋物線y=x2+2x-n與x軸交于A,B兩點,拋物線y=x2-2x-n與x軸交于C,D兩點,其中n>0.若AD=2BC,則n的值為　8　.
3.(2023·福建中考)已知拋物線y=ax2-2ax+b(a>0)經過A(2n+3,y1),B(n-1,y2)兩點,若A,B分別位于拋物線對稱軸的兩側,且y14.(2024·福建中考)如圖,已知二次函數y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A,B兩點,與y軸交于點C,其中A(-2,0),C(0,-2).
(1)求二次函數的解析式;
(2)若P是二次函數圖象上的一點,且點P在第二象限,線段PC交x軸于點D,△PDB的面積是△CDB的面積的2倍,求點P的坐標.
【解析】(1)由題意,將A(-2,0),C(0,-2)代入y=x2+bx+c得
∴,
∴二次函數的解析式為y=x2+x-2.
(2)由題意,設P(m,n)(m<0,n>0),
由△PDB的面積是△CDB的面積的2倍,
得=2,即=2,
∴=2.
又∵CO=2,
∴n=2CO=4.
由m2+m-2=4,
得m1=-3,m2=2(舍去),
∴點P的坐標為(-3,4).
5.(2022·福建中考)在平面直角坐標系xOy中,已知拋物線y=ax2+bx經過A(4,0),B(1,4)兩點.P是拋物線上一點,且在直線AB的上方.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若△OAB面積是△PAB面積的2倍,求點P的坐標;
(3)如圖,OP交AB于點C,PD∥BO交AB于點D.記△CDP,△CPB,△CBO的面積分別為S1,S2,S3.判斷+是否存在最大值.若存在,求出最大值;若不存在,請說明理由.
【解析】(1)將A(4,0),B(1,4)代入y=ax2+bx,
∴,解得.
∴拋物線的解析式為y=-x2+x.
(2)設直線AB的解析式為y=kx+t,
將A(4,0),B(1,4)代入y=kx+t,
∴,解得,
∴y=-x+.
∵A(4,0),B(1,4),∴S△OAB=×4×4=8,
∵S△OAB=2S△PAB=8,即S△PAB=4,過點P作PM⊥x軸于點M,PM與AB交于點N,過點B作BE⊥PM于點E,如圖,
∴S△PAB=S△PNB+S△PNA=PN·BE+PN·AM=PN=4,∴PN=.
設點P的橫坐標為m,
∴P(1N,
∴PN=-m2+m-=.
解得m=2或m=3;
∴P或(3,4).
(3)存在.∵PD∥OB,
∴∠DPC=∠BOC,∠PDC=∠OBC,
∴△DPC∽△BOC,
∴CP∶CO=CD∶CB=PD∶OB,
∵=,=,∴+=.
設直線AB交y軸于點F.則F,
過點P作PH⊥x軸,垂足為H,PH交AB于點G,如圖,
∵∠PDC=∠OBC,
∴∠PDG=∠OBF,
∵PG∥OF,
∴∠PGD=∠OFB,
∴△PDG∽△OBF,
∴PD∶OB=PG∶OF,
設P(1由(2)可知,PG=-n2+n-,
∴+==
=PG=-+.
∵16.(2023·福建中考)已知拋物線y=ax2+bx+3交x軸于A(1,0),B(3,0)兩點,M為拋物線的頂點,C,D為拋物線上不與A,B重合的相異兩點,記AB中點為E,直線AD,BC的交點為P.
(1)求拋物線的函數解析式;
(2)若C(4,3),D(m,-),且m<2,求證:C,D,E三點共線;
(3)小明研究發現:無論C,D在拋物線上如何運動,只要C,D,E三點共線,△AMP,△MEP,△ABP中必存在面積為定值的三角形.請直接寫出其中面積為定值的三角形及其面積,不必說明理由.
【解析】(1)因為拋物線 y=ax2+bx+3 經過點A(1,0),B(3,0),
所以,解得,
所以拋物線的函數解析式為y=x2-4x+3;
(2)設直線CE對應的函數解析式為 y=kx+n(k≠0),
因為E為AB中點,所以E(2,0).
又因為C(4,3),
所以,解得 ,所以直線CE對應的函數解析式為 y=x-3.
因為點D(m,-)在拋物線上,
所以 m2-4m+3=-.
解得m= 或 m=.
又因為m<2,所以 m=,所以D(,-).
因為×-3=-,即 D(,-) 滿足直線CE對應的函數解析式,
所以點D在直線CE上,即C,D,E三點共線;
(3)△ABP的面積為定值,其面積為2.
理由如下:(考生不必寫出下列理由)
如圖1,當C,D分別運動到點 C',D'的位置時,C,D'與D,C'分別關于直線EM對稱,此時仍有 C',D',E三點共線.
設AD'與 BC'的交點為P',則P,P'關于直線EM對稱,即 PP'∥x 軸.此時,PP'與AM不平行,且AM不平分線段 PP',故P,P'到直線AM的距離不相等,即在此情形下△AMP 與△AMP'的面積不相等,
所以△AMP 的面積不為定值.
如圖2,當C,D 分別運動到點 C1,D1 的位置,且保持 C1,D1,E三點共線.此時AD1 與 BC1 的交點 P1 到直線EM的距離小于P到直線EM的距離,所以△MEP1的面積小于△MEP的面積,故△MEP 的面積不為定值.
又因為△AMP,△MEP,△ABP 中存在面積為定值的三角形,故△ABP 的面積為定值.
在(2)的條件下,∵B(3,0),C(4,3),D(,-),
∴直線BC對應的函數解析式為y=3x-9;直線AD對應的函數解析式為 y=-x+,
由,解得,
∴P(,-2),此時△ABP 的面積為2.第14課時　二次函數的圖象與性質
【知識要點】
1.二次函數的概念及其解析式
(1)二次函數的概念:形如 (a,b,c是常數,a≠0)的函數.
(2)二次函數的解析式:
①一般式: .
②頂點式:y=a(x-h)2+k(a≠0),其頂點坐標是 .
③交點式:y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是二次函數圖象與x軸交點的橫坐標.
【對點練習】
1.(1)下列函數解析式中,一定為二次函數的是( )
A.y=2x-5　　　 B.y=ax2+bx+c
C.h= D.y=x2+
(2)(教材再開發·人教九上P37練習改編)已知二次函數的圖象的頂點是(1,-2),且經過點(0,-5),則二次函數的解析式是( )
A.y=-3(x+1)2-2　 B.y=3(x+1)2-2
C.y=-3(x-1)2-2 D.y=3(x-1)2-2
(3)二次函數解析式為y=(m+1)+4x+7,則m的取值是 .
【知識要點】
2.二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與性質
(1)當a>0時:
①開口方向:向上.
②頂點坐標:.
③對稱軸:直線 .
④增減性:當x<-時,y隨x的增大而 ;
當x>-時,y隨x的增大而 .
⑤最值:當x=-時,y最小值= .
(2)當a<0時:
①開口方向:向下.
②頂點坐標:.
③對稱軸:直線 .
④增減性:當x<-時,y隨x的增大而 ;
當x>-時,y隨x的增大而 .
⑤最值:當x=-時,y最大值= .
【對點練習】
2.(1)已知二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的部分圖象如圖所示,對稱軸為x=,且經過點(-1,0).下列結論:
①3a+b=0;②若點(,y1),(3,y2)是拋物線上的兩點,則y1A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
(2)關于二次函數y=2(x-4)2+6的最大值或最小值,下列說法正確的是( )
A.有最大值4 B.有最小值4　
C.有最大值6 D.有最小值6
【知識要點】
3.二次函數圖象的平移
平移前的 解析式 移動方向(m,n>0) 平移后的解析式 規律
y=a(x-h)2+k 向左平移m個單位 y=a(x-h+m)2+k 給x 右減
向右平移m個單位 y=a(x-h-m)2+k
向上平移n個單位 y=a(x-h)2+k+n 給等號右邊整體上加
向下平移n個單位 y=a(x-h)2+k-n
【對點練習】
3.(1)把拋物線y=2x2+1向左平移1個單位長度,再向下平移3個單位長度,得到的拋物線的解析式為 .
(2)將拋物線y=(x+3)2向下平移1個單位長度,再向右平移 個單位長度后,得到的新拋物線經過原點.
【知識要點】
4.二次函數與方程、不等式的關系
【對點練習】
4.(1)(教材再開發·人教九上P47T5改編)如圖所示的是二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的部分圖象,由圖象可知不等式ax2+bx+c<0的解集是( )
A.-1B.x>5
C.x<-1
D.x<-1或x>5
(2)已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象經過(-3,0)與(1,0)兩點,關于x的方程ax2+bx+c+m=0(m>0)有兩個整數根,其中一個根是3,則另一個根是( )
A.-5 B.-3
C.-1 D.3
考點1　二次函數的圖象與性質
【示范題1】(2024·連云港中考)已知拋物線y=ax2+bx+c(a,b,c是常數,a<0)的頂點為(1,2).小燁同學得出以下結論:①abc<0;②當x>1時,y隨x的增大而減小;③若ax2+bx+c=0的一個根為3,則a=-;④拋物線y=ax2+2是由拋物線y=ax2+bx+c向左平移1個單位,再向下平移2個單位得到的.其中一定正確的是( )
A.①② B.②③
C.③④ D.②④
【答題關鍵指導】
系數a,b,c與二次函數的圖象的關系
1.a決定開口方向及開口大小
(1)當a>0時開口向上,當a<0時開口向下.
(2)|a|越大,拋物線的開口越小.
2.b和a共同決定拋物線對稱軸的位置
由于拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是直線x=-,故
(1)b=0時,對稱軸為y軸.
(2)>0(即a,b同號)時,對稱軸在y軸左側.
(3)<0(即a,b異號)時,對稱軸在y軸右側.
3.c的大小決定拋物線y=ax2+bx+c與y軸交點的位置,當x=0時,y=c,所以拋物線y=ax2+bx+c與y軸有且只有一個交點(0,c):
(1)c=0,拋物線經過原點.
(2)c>0,拋物線與y軸交于正半軸.
(3)c<0,拋物線與y軸交于負半軸.
【跟蹤訓練】
1.(2024·涼山州中考)拋物線y=(x-1)2+c經過(-2,y1),(0,y2),(,y3)三點,則y1,y2,y3的大小關系正確的是( )
A.y1>y2>y3 B.y2>y3>y1
C.y3>y1>y2 D.y1>y3>y2
2.(2024·貴州中考)如圖,二次函數y=ax2+bx+c的部分圖象與x軸的一個交點的橫坐標是-3,頂點坐標為(-1,4),則下列說法正確的是( )
A.二次函數圖象的對稱軸是直線x=1
B.二次函數圖象與x軸的另一個交點的橫坐標是2
C.當x<-1時,y隨x的增大而減小
D.二次函數圖象與y軸的交點的縱坐標是3
3.(2024·樂山中考)已知二次函數y=x2-2x(-1≤x≤t-1),當x=-1時,函數取得最大值;當x=1時,函數取得最小值,則t的取值范圍是( )
A.0C.2≤t≤4 D.t≥2
4.(2024·瀘州中考)已知二次函數y=ax2+(2a-3)x+a-1(x是自變量)的圖象經過第一、二、四象限,則實數a的取值范圍為( )
A.1≤a< B.0C.0考點2　確定二次函數解析式
【示范題2】(2024·湖北中考)拋物線y=ax2+bx+c的頂點為(-1,-2),拋物線與y軸的交點位于x軸上方.以下結論正確的是( )
A.a<0 B.c<0
C.a-b+c=-2 D.b2-4ac=0
【答題關鍵指導】
二次函數解析式的三種常用形式
一般式y=ax2+bx+c(a≠0)、頂點式y=a(x-h)2+k(a≠0)和交點式y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),答題時要根據題目的不同條件選擇適當形式,建立方程或方程組,簡化計算過程.
【跟蹤訓練】
1.(2024·陜西中考)已知一個二次函數y=ax2+bx+c的自變量x與函數y的幾組對應值如下表:
x … -4 -2 0 3 5 …
y … -24 -8 0 -3 -15 …
則下列關于這個二次函數的結論正確的是( )
A.圖象的開口向上
B.當x>0時,y的值隨x值的增大而減小
C.圖象經過第二、三、四象限
D.圖象的對稱軸是直線x=1
2.(2024·眉山中考)定義運算:a b=(a+2b)(a-b),例如4 3=(4+2×3)(4-3),則函數y=(x+1) 2的最小值為( )
A.-21 B.-9 C.-7 D.-5
考點3　二次函數與方程、不等式的關系
【示范題3】(2024·煙臺中考)已知二次函數y=ax2+bx+c的y與x的部分對應值如表:
x -4 -3 -1 1 5
y 0 5 9 5 -27
下列結論:
①abc>0;
②關于x的一元二次方程ax2+bx+c=9有兩個相等的實數根;
③當-4④若點(m,y1),(-m-2,y2)均在二次函數圖象上,則y1=y2;
⑤滿足ax2+(b+1)x+c<2的x的取值范圍是x<-2或x>3.
其中正確結論的序號為 .
【答題關鍵指導】
1.二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)與一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的關系
(1)當b2-4ac>0時,y=ax2+bx+c與x軸有兩個交點,交點的橫坐標即為ax2+bx+c=0的兩個不相等的實數根.
(2)當b2-4ac=0時,y=ax2+bx+c與x軸只有一個交點,交點的橫坐標即為ax2+bx+c=0的兩個相等的實數根.
(3)當b2-4ac<0時,y=ax2+bx+c與x軸無交點,即ax2+bx+c=0無實數根.
2.利用二次函數圖象解不等式的方法
不等式ax2+bx+c>0(或ax2+bx+c< 0)的解集就是二次函數y=ax2+bx+c的圖象在 x 軸上(下)方的點所對應的 x的取值范圍,不等式如果帶有等號,其解集也相應帶有等號.a>0時, y>0取兩邊,y<0取中間.
【跟蹤訓練】
1.(2024·達州中考)拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于兩點,其中一個交點的橫坐標大于1,另一個交點的橫坐標小于1,則下列結論正確的是( )
A.b+c>1 B.b=2
C.b2+4c<0 D.c<0
2.(2024·武漢中考)拋物線y=ax2+bx+c(a,b,c是常數,a<0)經過(-1,1),(m,1)兩點,且0①b>0;
②若01;
③若a=-1,則關于x的一元二次方程ax2+bx+c=2無實數解;
④點A(x1,y1),B(x2,y2)在拋物線上,若x1+x2>-,x1>x2,總有y1其中正確的是 (填寫序號).
考點4　與二次函數有關的綜合題
【示范題4】(2024·赤峰中考)如圖,正方形ABCD的頂點A,C在拋物線y=-x2+4上,點D在y軸上.若A,C兩點的橫坐標分別為m,n(m>n>0),下列結論正確的是( )
A.m+n=1 B.m-n=1
C.mn=1 D.=1
【答題關鍵指導】
解數學壓軸題一般可以分為三個步驟:
①認真審題,②理解題意、探究解題思路,③正確解答.
審題要全面審視題目的所有條件和答題要求,在整體上把握試題的特點、結構,以利于解題方法的選擇和解題步驟的設計.
解數學壓軸題要善于總結解數學壓軸題中所隱含的重要數學思想,如轉化思想、數形結合思想、分類討論思想及方程的思想等.認識條件和結論之間的關系,圖形的幾何特征與數、式的數量、結構特征的關系,確定解題的思路和方法.
當思維受阻時,要及時調整思路和方法,并重新審視題意,注意挖掘隱蔽的條件和內在聯系,既要防止鉆牛角尖,又要防止輕易放棄.
【跟蹤訓練】
1.(2024·新疆中考)如圖,拋物線y=x2-4x+6與y軸交于點A,與x軸交于點B,線段CD在拋物線的對稱軸上移動(點C在點D下方),且CD=3.當AD+BC的值最小時,點C的坐標為 .
2.(2024·臨夏州中考)在平面直角坐標系中,拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于A(-1,0),B(3,0)兩點,與y軸交于點C,作直線BC.
(1)求拋物線的解析式.
(2)如圖1,點P是線段BC上方的拋物線上一動點,過點P作PQ⊥BC,垂足為Q,請問線段PQ是否存在最大值 若存在,請求出最大值及此時點P的坐標;若不存在,請說明理由.
(3)如圖2,點M是直線BC上一動點,過點M作線段MN∥OC(點N在直線BC下方),已知MN=2,若線段MN與拋物線有交點,請直接寫出點M的橫坐標xM的取值范圍.
1.(2024·福建中考)已知二次函數y=x2-2ax+a(a≠0)的圖象經過A(,y1),B(3a,y2)兩點,則下列判斷正確的是( )
A.可以找到一個實數a,使得y1>a
B.無論實數a取什么值,都有y1>a
C.可以找到一個實數a,使得y2<0
D.無論實數a取什么值,都有y2<0
2.(2022·福建中考)已知拋物線y=x2+2x-n與x軸交于A,B兩點,拋物線y=x2-2x-n與x軸交于C,D兩點,其中n>0.若AD=2BC,則n的值為 .
3.(2023·福建中考)已知拋物線y=ax2-2ax+b(a>0)經過A(2n+3,y1),B(n-1,y2)兩點,若A,B分別位于拋物線對稱軸的兩側,且y14.(2024·福建中考)如圖,已知二次函數y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A,B兩點,與y軸交于點C,其中A(-2,0),C(0,-2).
(1)求二次函數的解析式;
(2)若P是二次函數圖象上的一點,且點P在第二象限,線段PC交x軸于點D,△PDB的面積是△CDB的面積的2倍,求點P的坐標.
5.(2022·福建中考)在平面直角坐標系xOy中,已知拋物線y=ax2+bx經過A(4,0),B(1,4)兩點.P是拋物線上一點,且在直線AB的上方.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若△OAB面積是△PAB面積的2倍,求點P的坐標;
(3)如圖,OP交AB于點C,PD∥BO交AB于點D.記△CDP,△CPB,△CBO的面積分別為S1,S2,S3.判斷+是否存在最大值.若存在,求出最大值;若不存在,請說明理由.
6.(2023·福建中考)已知拋物線y=ax2+bx+3交x軸于A(1,0),B(3,0)兩點,M為拋物線的頂點,C,D為拋物線上不與A,B重合的相異兩點,記AB中點為E,直線AD,BC的交點為P.
(1)求拋物線的函數解析式;
(2)若C(4,3),D(m,-),且m<2,求證:C,D,E三點共線;
(3)小明研究發現:無論C,D在拋物線上如何運動,只要C,D,E三點共線,△AMP,△MEP,△ABP中必存在面積為定值的三角形.請直接寫出其中面積為定值的三角形及其面積,不必說明理由.

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