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第19課時　尺規(guī)作圖
知識要點 作圖方法 作法 作圖依據(jù)
作一條線段等于已知線段 1.作射線OP; 2.以點O為圓心,a為半徑作弧,交OP于點A,OA即為所求作的線段. 圓上的點到圓心的距離等于半徑
作一個角等于已知角 1.以點O為圓心,以適當(dāng)長為半徑作弧,分別交∠α的兩邊于點P,Q; 2.作射線O'A; 3.以點O'為圓心,OP長為半徑作弧,交O'A于點M,可得到O'M=OP; 4.以點M為圓心,PQ長為半徑作弧,與前弧相交于點N,可得到MN=PQ; 5.過點N作射線O'B,∠AO'B即為所求作的角. 三邊分別相等的兩個三角形全等;全等三角形的對應(yīng)角相等
作一個角的平分線 1.以點O為圓心,適當(dāng)長為半徑作弧,分別交OA于點N,交OB于點M,可得到OM=ON; 2.分別以點M,N為圓心,大于MN的長為半徑作弧,兩弧在∠AOB的內(nèi)部相交于點P,可得到MP=PN; 3.作射線OP,OP即為所求作的角平分線. 三邊分別相等的兩個三角形全等;全等三角形的對應(yīng)角相等
作線段的垂直平分線 1.分別以點A,B為圓心,大于AB的長為半徑,在AB兩側(cè)作弧,兩弧交于兩點; 2.過兩弧交點的直線l即為所求作的垂直平分線. 到線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上
過已知點作直線的垂線 (1)點在直線上 (2)點在直線外 1.以點P為圓心,任意長為半徑向點P兩側(cè)作弧,交直線于點A和點B,可得到PA=PB; 2.分別以點A,點B為圓心,大于AB的長為半徑向直線兩側(cè)作弧,兩弧相交于M,N兩點,可得到MA=MB=NA=NB; 3.連接MN,則直線MN即為所求作的垂線. 到線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上
考點1　作一條線段等于已知線段
【示范題1】用尺規(guī)作圖:(不要求寫作法)
如圖,已知線段AB=a,CD=b,作線段EF=b-2a.
【自主解答】如圖,EH=b,HI=FI=a,EF=b-2a,EF即為所求.
【答題關(guān)鍵指導(dǎo)】
作法:①作射線AB;②在射線AB上截取AC=a,則線段AC就是所求作的線段,如圖.作一條線段等于已知線段是作有關(guān)線段的基礎(chǔ),利用它可以作出已知線段的和、差、倍等線段.
【跟蹤訓(xùn)練】
如圖,已知線段a和線段AB.
(1)延長線段AB到C,使BC=a(尺規(guī)作圖,不寫作法,保留作圖痕跡);
(2)在(1)的條件下,若AB=6,BC=4,點O是線段AC的中點,求線段OB的長.
【解析】(1)如圖所示,即為所求;
(2)∵AB=6,BC=4,∴AC=AB+BC=10,
∵點O是線段AC的中點,
∴AO=AC=5,∴OB=AB-AO=1.
考點2　作一個角等于已知角
【示范題2】如圖,在Rt△ABC中,∠A=90°,點D是線段BC上一點.
(1)尺規(guī)作圖:在△ABC內(nèi)作∠CDE=∠B,與邊AC交于點E(保留作圖痕跡,不用寫作法);
(2)在(1)的條件下,當(dāng)∠C=30°時,求∠CDE的度數(shù).
【自主解答】(1)如圖,∠CDE為所作;
(2)∵∠B+∠C+∠A=180°,∠A=90°,∠C=30°,∴∠B=180°-90°-30°=60°,
∴∠CDE=∠B=60°.
【答題關(guān)鍵指導(dǎo)】
作法:①作射線O'A';②以點O為圓心,以任意長為半徑畫弧,交OA于點C,交OB于點D;③以O(shè)'為圓心,以O(shè)C的長為半徑畫弧,交O'A'于點C';④以C'為圓心,以CD的長為半徑畫弧,交前弧于點D';⑤過點D'作射線O'B',則∠A'O'B'就是所求作的角,如圖.
【跟蹤訓(xùn)練】
如圖,在△ABC中,∠C>∠B.
(1)請用尺規(guī)作圖法,在△ABC內(nèi)求作∠ACD,使∠ACD=∠B,CD交AB于D.(不要求寫作法,保留作圖痕跡)
(2)在(1)的條件下,若AC=6,AB=9,求AD的長.
【解析】(1)以B為圓心,小于AB的任意長為半徑畫弧,分別交AB,BC于點E,F,以C為圓心,以BE長為半徑畫弧,交AC于點G,以G為圓心,以EF長為半徑畫弧,交前弧于點H,連接CH并延長交AB于點D即可,如圖所示.
(2)∵∠ACD=∠ABC,∠CAD=∠BAC,
∴△ACD∽△ABC,∴=,即=,
∴AD=4.
考點3　作一個角的平分線
【示范題3】尺規(guī)作圖:已知∠AOB,求作∠AOB的平分線OC.(保留作圖痕跡,不寫作法)
【自主解答】如圖所示,射線OC即為所求.
【答題關(guān)鍵指導(dǎo)】
作法:①在OA,OB上分別截取OD,OE,使OD=OE;②分別以D,E為圓心,以大于DE的長為半徑作弧,兩弧在∠AOB內(nèi)交于點C;③作射線OC,則OC就是∠AOB的平分線,如圖.
【跟蹤訓(xùn)練】
1.如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,AB(1)實踐與操作:利用尺規(guī)作∠ADC的平分線,交BC于點E(要求:尺規(guī)作圖并保留作圖痕跡,不寫作法,標(biāo)明字母);
(2)猜想與證明:試猜想線段AD,DC,BE的關(guān)系,并加以證明.
【解析】(1)如圖所示,射線DE即為所求;
(2)AD=CD+BE.
證明:∵四邊形ABCD為平行四邊形,
∴AD∥BC,AD=BC,∴∠ADE=∠DEC,
∵DE平分∠ADC,∴∠ADE=∠CDE,
∴∠CDE=∠DEC,∴CD=CE,
∴AD=BC=BE+CD.
2.如圖,有三幢公寓樓分別建在點A,點B,點C處,AB,AC,BC是連接三幢公寓樓的三條道路,要修建一超市P,按照設(shè)計要求,超市要在△ABC的內(nèi)部,且到A,C的距離必須相等,到兩條道路AC,AB的距離也必須相等,請利用尺規(guī)作圖確定超市P的位置.(不要求寫出作法、證明,但要保留作圖痕跡).
【解析】如圖,P點即為所作.
考點4　作線段的垂直平分線
【示范題4】如圖,在Rt△ACB中,∠C=90°,∠B=30°.請用尺規(guī)作圖法在BC上找一點D,連接AD,使得∠ADB=120°.(保留作圖痕跡,不寫作法)
【自主解答】如圖,點D為所作.
【答題關(guān)鍵指導(dǎo)】
作法:①分別以點A和B為圓心,大于AB的長為半徑作弧,兩弧相交于點C和D;②作直線CD,則直線CD就是線段AB的垂直平分線,如圖.
【跟蹤訓(xùn)練】
如圖,BD是矩形ABCD的一條對角線.
(1)作BD的垂直平分線EF,分別交AD,BC于點E,F,垂足為點O(要求用尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡.不要求寫作法);
(2)若BC=8,CD=4,求BF的長.
【解析】(1)如圖所示,直線EF即為所求;
(2)連接FD,
∵EF垂直平分線段BD,∴BF=DF,
∵BC=8,CD=4,∠C=90°,∴設(shè)BF=x,則CF=8-x,
∵CF2+CD2=DF2,即(8-x)2+42=x2,解得x=5,∴BF的長為5.
考點5　作圓及切線問題
【示范題5】如圖,已知△ABC中,∠ABC=90°.
(1)尺規(guī)作圖:作Rt△ABC的內(nèi)切圓(保留作圖痕跡,請標(biāo)明字母);
(2)若Rt△ABC中AB=3,BC=4,求Rt△ABC內(nèi)切圓的面積.
【自主解答】(1)如圖所示,☉O即為所求;
(2)∵Rt△ABC中,AB=3,BC=4,
∴AC==5,
設(shè)☉O的半徑為r,
則(3+4+5)×r=×3×4,
解得r=1,
∴Rt△ABC內(nèi)切圓的面積為πr2=π×12=π.
【答題關(guān)鍵指導(dǎo)】
作圓問題:①三角形的內(nèi)心(到各邊距離相等):三條角平分線的交點;②三角形的外心(到各頂點距離相等):三條垂直平分線的交點;③將作圓問題轉(zhuǎn)化成作角平分線或垂直平分線問題;
作圓切線問題:以切點為圓心,任意長為半徑畫弧,與過切點的直徑所在直線有兩個交點,再以這兩個交點為圓心,大于這兩點的距離的一半為半徑畫弧,兩弧的兩個交點連線即可.
【跟蹤訓(xùn)練】
1.已知:如圖,A,B,C三個點.求作:☉O,使☉O經(jīng)過A,B,C三點.
【解析】如圖,☉O即為所求,
2.尺規(guī)作圖:(不寫作法,保留作圖痕跡)
已知:☉O和☉O外一點P.
求作:過點P的☉O的切線PA,PB.
【解析】作圖如圖,直線PA,PB即為所作的☉O的切線.
1.(2023·福建中考)閱讀以下作圖步驟:
①在OA和OB上分別截取OC,OD,使OC=OD;
②分別以C,D為圓心,以大于CD的長為半徑作弧,兩弧在∠AOB內(nèi)交于點M;
③作射線OM,連接CM,DM,如圖所示.
根據(jù)以上作圖,一定可以推得的結(jié)論是(A)
A.∠1=∠2且CM=DM
B.∠1=∠3且CM=DM
C.∠1=∠2且OD=DM
D.∠2=∠3且OD=DM
2.(2024·福建中考)如圖,已知直線l1∥l2.
(1)在l1,l2所在的平面內(nèi)求作直線l,使得l∥l1∥l2,且l與l1間的距離恰好等于l與l2間的距離;(要求:尺規(guī)作圖,不寫作法,保留作圖痕跡)
(2)在(1)的條件下,若l1與l2間的距離為2,點A,B,C分別在l,l1,l2上,且△ABC為等腰直角三角形,求△ABC的面積.
【解析】(1)如圖1,直線l即為所求作的直線;
(2)①當(dāng)∠BAC=90°,AB=AC時,如圖2,
∵l∥l1∥l2,直線l1與l2間的距離為2,且l與l1間的距離等于l與l2間的距離,
根據(jù)圖形的對稱性可知:BC=2,
∴AB=AC=,
∴S△ABC=AB·AC=1;
②當(dāng)∠ABC=90°,BA=BC時,
如圖3,分別過點A,C作直線l1的垂線,垂足為M,N,
∴∠AMB=∠BNC=90°,
∵l∥l1∥l2,直線l1與l2間的距離為2,且l與l1間的距離等于l與l2間的距離,
∴CN=2,AM=1,
∵∠MAB+∠ABM=90°,∠NBC+∠ABM=90°,
∴∠MAB=∠NBC,
∴△AMB≌△BNC(AAS),
∴BM=CN=2,
在Rt△ABM中,由勾股定理得AB2=AM2+BM2=12+22=5,
∴AB=,
∴S△ABC=AB·BC=;
③當(dāng)∠ACB=90°,CA=CB時,同②可得,
S△ABC=;
綜上所述,△ABC的面積為1或.第19課時　尺規(guī)作圖
知識要點 作圖方法 作法 作圖依據(jù)
作一條線段等于已知線段 1.作射線OP; 2.以點O為圓心,a為半徑作弧,交OP于點A,OA即為所求作的線段. 圓上的點到圓心的距離等于半徑
作一個角等于已知角 1.以點O為圓心,以適當(dāng)長為半徑作弧,分別交∠α的兩邊于點P,Q; 2.作射線O'A; 3.以點O'為圓心,OP長為半徑作弧,交O'A于點M,可得到O'M=OP; 4.以點M為圓心,PQ長為半徑作弧,與前弧相交于點N,可得到MN=PQ; 5.過點N作射線O'B,∠AO'B即為所求作的角. 三邊分別相等的兩個三角形全等;全等三角形的對應(yīng)角相等
作一個角的平分線 1.以點O為圓心,適當(dāng)長為半徑作弧,分別交OA于點N,交OB于點M,可得到OM=ON; 2.分別以點M,N為圓心,大于MN的長為半徑作弧,兩弧在∠AOB的內(nèi)部相交于點P,可得到MP=PN; 3.作射線OP,OP即為所求作的角平分線. 三邊分別相等的兩個三角形全等;全等三角形的對應(yīng)角相等
作線段的垂直平分線 1.分別以點A,B為圓心,大于AB的長為半徑,在AB兩側(cè)作弧,兩弧交于兩點; 2.過兩弧交點的直線l即為所求作的垂直平分線. 到線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上
過已知點作直線的垂線 (1)點在直線上 (2)點在直線外 1.以點P為圓心,任意長為半徑向點P兩側(cè)作弧,交直線于點A和點B,可得到PA=PB; 2.分別以點A,點B為圓心,大于AB的長為半徑向直線兩側(cè)作弧,兩弧相交于M,N兩點,可得到MA=MB=NA=NB; 3.連接MN,則直線MN即為所求作的垂線. 到線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上
考點1　作一條線段等于已知線段
【示范題1】用尺規(guī)作圖:(不要求寫作法)
如圖,已知線段AB=a,CD=b,作線段EF=b-2a.
【答題關(guān)鍵指導(dǎo)】
作法:①作射線AB;②在射線AB上截取AC=a,則線段AC就是所求作的線段,如圖.作一條線段等于已知線段是作有關(guān)線段的基礎(chǔ),利用它可以作出已知線段的和、差、倍等線段.
【跟蹤訓(xùn)練】
如圖,已知線段a和線段AB.
(1)延長線段AB到C,使BC=a(尺規(guī)作圖,不寫作法,保留作圖痕跡);
(2)在(1)的條件下,若AB=6,BC=4,點O是線段AC的中點,求線段OB的長.
考點2　作一個角等于已知角
【示范題2】如圖,在Rt△ABC中,∠A=90°,點D是線段BC上一點.
(1)尺規(guī)作圖:在△ABC內(nèi)作∠CDE=∠B,與邊AC交于點E(保留作圖痕跡,不用寫作法);
(2)在(1)的條件下,當(dāng)∠C=30°時,求∠CDE的度數(shù).
【答題關(guān)鍵指導(dǎo)】
作法:①作射線O'A';②以點O為圓心,以任意長為半徑畫弧,交OA于點C,交OB于點D;③以O(shè)'為圓心,以O(shè)C的長為半徑畫弧,交O'A'于點C';④以C'為圓心,以CD的長為半徑畫弧,交前弧于點D';⑤過點D'作射線O'B',則∠A'O'B'就是所求作的角,如圖.
【跟蹤訓(xùn)練】
如圖,在△ABC中,∠C>∠B.
(1)請用尺規(guī)作圖法,在△ABC內(nèi)求作∠ACD,使∠ACD=∠B,CD交AB于D.(不要求寫作法,保留作圖痕跡)
(2)在(1)的條件下,若AC=6,AB=9,求AD的長.
考點3　作一個角的平分線
【示范題3】尺規(guī)作圖:已知∠AOB,求作∠AOB的平分線OC.(保留作圖痕跡,不寫作法)
【答題關(guān)鍵指導(dǎo)】
作法:①在OA,OB上分別截取OD,OE,使OD=OE;②分別以D,E為圓心,以大于DE的長為半徑作弧,兩弧在∠AOB內(nèi)交于點C;③作射線OC,則OC就是∠AOB的平分線,如圖.
【跟蹤訓(xùn)練】
1.如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,AB(1)實踐與操作:利用尺規(guī)作∠ADC的平分線,交BC于點E(要求:尺規(guī)作圖并保留作圖痕跡,不寫作法,標(biāo)明字母);
(2)猜想與證明:試猜想線段AD,DC,BE的關(guān)系,并加以證明.
2.如圖,有三幢公寓樓分別建在點A,點B,點C處,AB,AC,BC是連接三幢公寓樓的三條道路,要修建一超市P,按照設(shè)計要求,超市要在△ABC的內(nèi)部,且到A,C的距離必須相等,到兩條道路AC,AB的距離也必須相等,請利用尺規(guī)作圖確定超市P的位置.(不要求寫出作法、證明,但要保留作圖痕跡).
考點4　作線段的垂直平分線
【示范題4】如圖,在Rt△ACB中,∠C=90°,∠B=30°.請用尺規(guī)作圖法在BC上找一點D,連接AD,使得∠ADB=120°.(保留作圖痕跡,不寫作法)
【答題關(guān)鍵指導(dǎo)】
作法:①分別以點A和B為圓心,大于AB的長為半徑作弧,兩弧相交于點C和D;②作直線CD,則直線CD就是線段AB的垂直平分線,如圖.
【跟蹤訓(xùn)練】
如圖,BD是矩形ABCD的一條對角線.
(1)作BD的垂直平分線EF,分別交AD,BC于點E,F,垂足為點O(要求用尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡.不要求寫作法);
(2)若BC=8,CD=4,求BF的長.
考點5　作圓及切線問題
【示范題5】如圖,已知△ABC中,∠ABC=90°.
(1)尺規(guī)作圖:作Rt△ABC的內(nèi)切圓(保留作圖痕跡,請標(biāo)明字母);
(2)若Rt△ABC中AB=3,BC=4,求Rt△ABC內(nèi)切圓的面積.
【答題關(guān)鍵指導(dǎo)】
作圓問題:①三角形的內(nèi)心(到各邊距離相等):三條角平分線的交點;②三角形的外心(到各頂點距離相等):三條垂直平分線的交點;③將作圓問題轉(zhuǎn)化成作角平分線或垂直平分線問題;
作圓切線問題:以切點為圓心,任意長為半徑畫弧,與過切點的直徑所在直線有兩個交點,再以這兩個交點為圓心,大于這兩點的距離的一半為半徑畫弧,兩弧的兩個交點連線即可.
【跟蹤訓(xùn)練】
1.已知:如圖,A,B,C三個點.求作:☉O,使☉O經(jīng)過A,B,C三點.
2.尺規(guī)作圖:(不寫作法,保留作圖痕跡)
已知:☉O和☉O外一點P.
求作:過點P的☉O的切線PA,PB.
1.(2023·福建中考)閱讀以下作圖步驟:
①在OA和OB上分別截取OC,OD,使OC=OD;
②分別以C,D為圓心,以大于CD的長為半徑作弧,兩弧在∠AOB內(nèi)交于點M;
③作射線OM,連接CM,DM,如圖所示.
根據(jù)以上作圖,一定可以推得的結(jié)論是( )
A.∠1=∠2且CM=DM
B.∠1=∠3且CM=DM
C.∠1=∠2且OD=DM
D.∠2=∠3且OD=DM
2.(2024·福建中考)如圖,已知直線l1∥l2.
(1)在l1,l2所在的平面內(nèi)求作直線l,使得l∥l1∥l2,且l與l1間的距離恰好等于l與l2間的距離;(要求:尺規(guī)作圖,不寫作法,保留作圖痕跡)
(2)在(1)的條件下,若l1與l2間的距離為2,點A,B,C分別在l,l1,l2上,且△ABC為等腰直角三角形,求△ABC的面積.

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