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第20課時　等腰三角形
【知識要點】 【對點練習】
1.等腰三角形 (1)定義:有 相等的三角形 (2)性質:①軸對稱性:等腰三角形是軸對稱圖形, 是它的對稱軸 ②定理:(i)等腰三角形的兩個底角 (簡稱: ) (ii)等腰三角形頂角 、底邊上的中線和底邊上的 相互重合(簡稱“三線合一”) (3)判定:如果一個三角形有兩個角相等,那么這兩個角所對的邊也 (簡寫為“ ”) 1.(1)(教材再開發·人教八上P8T6改編)已知等腰三角形的兩邊長分別為4 cm和8 cm,則此三角形的周長為 cm. (2)等腰三角形的頂角度數為70°,則它的底角度數為 . (3)如圖,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足為D,若BC=4,則BD= .
2.等邊三角形 (1)定義: 相等的三角形 (2)性質:①等邊三角形的三個內角都 ,并且每一個角都等于 ②等邊三角形是軸對稱圖形,并且有 條對稱軸 (3)判定:①三個角都 的三角形 ②有一個角是60°的 三角形 2.(教材再開發·人教八上P80T2改編) 如圖,在等邊△ABC中,AD⊥BC,AB=5 cm,則DC的長為 .
3.線段的垂直平分線 (1)性質:線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離 . (2)判定:與一條線段兩個端點距離相等的點,在這條線段的 上. 3.如圖是求作線段AB中點的作圖痕跡,則下列結論不一定成立的是( ) A.∠B=45°　　　B.AE=EB C.AC=BC D.AB⊥CD
考點1　等腰三角形的性質與判定
【示范題1】(2024·云南中考)已知AF是等腰△ABC底邊BC上的高,若點F到直線AB的距離為3,則點F到直線AC的距離為( )
A. B.2 C.3 D.
【答題關鍵指導】
等腰三角形的“三線合一”,包括以下三個結論:
如圖,在△ABC中,AB=AC.
(1)若AD⊥BC,則BD=DC,∠1=∠2.
(2)若BD=DC,則AD⊥BC,∠1=∠2.
(3)若∠1=∠2,則AD⊥BC,BD=DC.
【跟蹤訓練】
1.(2024·內江中考)如圖,在△ABC中,∠DCE=40°,AE=AC,BC=BD,則∠ACB的度數為 .
2.(2024·重慶中考)如圖,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于點D.若BC=2,則AD的長度為 .
3. (2024·德陽中考)如圖,四邊形ABCD是矩形,△ADG是正三角形,點F是GD的中點,點P是矩形ABCD內一點,且△PBC是以BC為底的等腰三角形,則△PCD的面積與△FCD的面積的比值是 .
考點2　等邊三角形的性質與判定
【示范題2】
(2024·自貢中考)如圖,等邊△ABC鋼架的立柱CD⊥AB于點D,AB長12 m.現將鋼架立柱縮短成DE,∠BED=60°.則新鋼架減少用鋼( )
A.(24-12)m B.(24-8)m
C.(24-6)m D.(24-4)m
【答題關鍵指導】
等邊三角形是特殊的等腰三角形,解題時,要靈活運用下列性質:
(1)三條邊相等.
(2)三個角相等,并且都等于60°.
(3)是軸對稱圖形,并且有三條對稱軸.
(4)具有“等邊對等角”及“三線合一”的性質.
【跟蹤訓練】
1.(2024·湖北中考)△DEF為等邊三角形,分別延長FD,DE,EF,到點A,B,C,使DA=EB=FC,連接AB,AC,BC,連接BF并延長交AC于點G.若AD=DF=2,則∠DBF= ,FG= .
2.(2024·新疆中考)【探究】
(1)已知△ABC和△ADE都是等邊三角形.
①如圖1,當點D在BC上時,連接CE.請探究CA,CE和CD之間的數量關系,并說明理由;
②如圖2,當點D在線段BC的延長線上時,連接CE.請再次探究CA,CE和CD之間的數量關系,并說明理由.
【運用】
(2)如圖3,等邊三角形ABC中,AB=6,點E在AC上,CE=2.點D是直線BC上的動點,連接DE,以DE為邊在DE的右側作等邊三角形DEF,連接CF.當△CEF為直角三角形時,請直接寫出BD的長.
考點3　線段垂直平分線的性質與判定
【示范題3】(2024·涼山州中考)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,DE垂直平分AB交BC于點D,若△ACD的周長為50 cm,則AC+BC=( )
A.25 cm B.45 cm
C.50 cm D.55 cm
【答題關鍵指導】
線段垂直平分線的應用特征
(1)線段垂直平分線中的兩組線段相等:
①線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等;
②被垂直平分的線段,被分為兩條相等的線段.
(2)當出現“垂直平分” 字眼或題目中有垂直,且垂足是中點時,要聯想到線段垂直平分線的性質.
【跟蹤訓練】
1.(2024·眉山中考)如圖,在△ABC中,AB=AC=6,BC=4,分別以點A,點B為圓心,大于AB的長為半徑作弧,兩弧交于點E,F,過點E,F作直線交AC于點D,連接BD,則△BCD的周長為( )
A.7 B.8 C.10 D.12
2.(2024·山東中考)如圖,已知∠MAN,以點A為圓心,以適當長為半徑作弧,分別與AM,AN相交于點B,C;分別以B,C為圓心,以大于BC的長為半徑作弧,兩弧在∠MAN內部相交于點P,作射線AP.分別以A,B為圓心,以大于AB的長為半徑作弧,兩弧相交于點D,E,作直線DE分別與AB,AP相交于點F,Q.若AB=4,∠PQE=67.5°,則F到AN的距離為 .
(2022·福建中考)如圖所示的衣架可以近似看成一個等腰三角形ABC,其中AB=AC,∠ABC=27°,BC=44 cm,則高AD約為(參考數據:sin 27°≈0.45,cos 27°≈0.89,tan 27°≈0.51)( )
A.9.90 cm B.11.22 cm C.19.58 cm D.22.44 cm第20課時　等腰三角形
【知識要點】 【對點練習】
1.等腰三角形 (1)定義:有　兩邊　相等的三角形 (2)性質:①軸對稱性:等腰三角形是軸對稱圖形,　底邊上的中線(或底邊上的高或頂角平分線)所在的直線　是它的對稱軸 ②定理:(i)等腰三角形的兩個底角　相等　(簡稱:　等邊對等角　) (ii)等腰三角形頂角　平分線　、底邊上的中線和底邊上的　高　相互重合(簡稱“三線合一”) (3)判定:如果一個三角形有兩個角相等,那么這兩個角所對的邊也　相等　(簡寫為“　等角對等邊　”) 1.(1)(教材再開發·人教八上P8T6改編)已知等腰三角形的兩邊長分別為4 cm和8 cm,則此三角形的周長為　20　cm. (2)等腰三角形的頂角度數為70°,則它的底角度數為　55°　. (3)如圖,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足為D,若BC=4,則BD=　2　.
2.等邊三角形 (1)定義:　三邊　相等的三角形 (2)性質:①等邊三角形的三個內角都　相等　,并且每一個角都等于　60°　 ②等邊三角形是軸對稱圖形,并且有　三　條對稱軸 (3)判定:①三個角都　相等　的三角形 ②有一個角是60°的　等腰　三角形 2.(教材再開發·人教八上P80T2改編) 如圖,在等邊△ABC中,AD⊥BC,AB=5 cm,則DC的長為　 cm　.
3.線段的垂直平分線 (1)性質:線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離　相等　. (2)判定:與一條線段兩個端點距離相等的點,在這條線段的　垂直平分線　上. 3.如圖是求作線段AB中點的作圖痕跡,則下列結論不一定成立的是(A) A.∠B=45°　　　B.AE=EB C.AC=BC D.AB⊥CD
考點1　等腰三角形的性質與判定
【示范題1】(2024·云南中考)已知AF是等腰△ABC底邊BC上的高,若點F到直線AB的距離為3,則點F到直線AC的距離為(C)
A. B.2 C.3 D.
【答題關鍵指導】
等腰三角形的“三線合一”,包括以下三個結論:
如圖,在△ABC中,AB=AC.
(1)若AD⊥BC,則BD=DC,∠1=∠2.
(2)若BD=DC,則AD⊥BC,∠1=∠2.
(3)若∠1=∠2,則AD⊥BC,BD=DC.
【跟蹤訓練】
1.(2024·內江中考)如圖,在△ABC中,∠DCE=40°,AE=AC,BC=BD,則∠ACB的度數為　100°　.
2.(2024·重慶中考)如圖,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于點D.若BC=2,則AD的長度為　2　.
3. (2024·德陽中考)如圖,四邊形ABCD是矩形,△ADG是正三角形,點F是GD的中點,點P是矩形ABCD內一點,且△PBC是以BC為底的等腰三角形,則△PCD的面積與△FCD的面積的比值是　2　.
考點2　等邊三角形的性質與判定
【示范題2】
(2024·自貢中考)如圖,等邊△ABC鋼架的立柱CD⊥AB于點D,AB長12 m.現將鋼架立柱縮短成DE,∠BED=60°.則新鋼架減少用鋼(D)
A.(24-12)m B.(24-8)m
C.(24-6)m D.(24-4)m
【答題關鍵指導】
等邊三角形是特殊的等腰三角形,解題時,要靈活運用下列性質:
(1)三條邊相等.
(2)三個角相等,并且都等于60°.
(3)是軸對稱圖形,并且有三條對稱軸.
(4)具有“等邊對等角”及“三線合一”的性質.
【跟蹤訓練】
1.(2024·湖北中考)△DEF為等邊三角形,分別延長FD,DE,EF,到點A,B,C,使DA=EB=FC,連接AB,AC,BC,連接BF并延長交AC于點G.若AD=DF=2,則∠DBF=　30°　,FG= 　.
2.(2024·新疆中考)【探究】
(1)已知△ABC和△ADE都是等邊三角形.
①如圖1,當點D在BC上時,連接CE.請探究CA,CE和CD之間的數量關系,并說明理由;
②如圖2,當點D在線段BC的延長線上時,連接CE.請再次探究CA,CE和CD之間的數量關系,并說明理由.
【運用】
(2)如圖3,等邊三角形ABC中,AB=6,點E在AC上,CE=2.點D是直線BC上的動點,連接DE,以DE為邊在DE的右側作等邊三角形DEF,連接CF.當△CEF為直角三角形時,請直接寫出BD的長.
【解析】(1)①CE+CD=CA.理由如下,
∵△ABC和△ADE是等邊三角形,
∴AB=AC=BC,AD=AE=DE,∠BAC=∠DAE=60°,
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,
∴∠BAD=∠CAE,
在△ABD和△ACE中,
,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴CE=BD,
∵BD+CD=BC,
∴CE+CD=CA.
②CA+CD=CE.理由如下,
∵△ABC和△ADE是等邊三角形,
∴AB=AC=BC,AD=AE=DE,∠BAC=∠DAE=60°,
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC,
∴∠BAD=∠CAE,
在△ABD和△ACE中,
,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴CE=BD,
∵CB+CD=BD,
∴CA+CD=CE.
(2)過E作EH∥AB,則△EHC為等邊三角形.
①當點D在H左側時,如圖1,
∵ED=EF,∠DEH=∠FEC,EH=EC,
∴△EDH≌△EFC(SAS),
∴∠ECF=∠EHD=120°,
此時△CEF不可能為直角三角形.
②當點D在H右側,且在線段CH上時,如圖2,
同理可得△EDH≌△EFC(SAS),
∴∠FCE=∠EHD=60°,∠FEC=∠DEH<∠HEC=60°,
此時只有∠EFC有可能為90°,
當∠EFC=90°時,∠EDH=90°,
∴ED⊥CH,
∵CH=CE=2,
∴CD=CH=,
又∵AB=6,
∴BD=6-.
③當點D在H右側,且在HC延長線上時,如圖3,
此時只有∠CEF=90°,
∵∠DEF=60°,
∴∠CED=30°,
∵∠ECH=60°,
∴∠EDC=∠CED=30°,
∴CD=CE=2,
∴BD=6+2.
綜上:BD的長為6-或6+2.
考點3　線段垂直平分線的性質與判定
【示范題3】(2024·涼山州中考)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,DE垂直平分AB交BC于點D,若△ACD的周長為50 cm,則AC+BC=(C)
A.25 cm B.45 cm
C.50 cm D.55 cm
【答題關鍵指導】
線段垂直平分線的應用特征
(1)線段垂直平分線中的兩組線段相等:
①線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等;
②被垂直平分的線段,被分為兩條相等的線段.
(2)當出現“垂直平分” 字眼或題目中有垂直,且垂足是中點時,要聯想到線段垂直平分線的性質.
【跟蹤訓練】
1.(2024·眉山中考)如圖,在△ABC中,AB=AC=6,BC=4,分別以點A,點B為圓心,大于AB的長為半徑作弧,兩弧交于點E,F,過點E,F作直線交AC于點D,連接BD,則△BCD的周長為(C)
A.7 B.8 C.10 D.12
2.(2024·山東中考)如圖,已知∠MAN,以點A為圓心,以適當長為半徑作弧,分別與AM,AN相交于點B,C;分別以B,C為圓心,以大于BC的長為半徑作弧,兩弧在∠MAN內部相交于點P,作射線AP.分別以A,B為圓心,以大于AB的長為半徑作弧,兩弧相交于點D,E,作直線DE分別與AB,AP相交于點F,Q.若AB=4,∠PQE=67.5°,則F到AN的距離為 　.
(2022·福建中考)如圖所示的衣架可以近似看成一個等腰三角形ABC,其中AB=AC,∠ABC=27°,BC=44 cm,則高AD約為(參考數據:sin 27°≈0.45,cos 27°≈0.89,tan 27°≈0.51)(B)
A.9.90 cm B.11.22 cm C.19.58 cm D.22.44 cm

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