資源簡介

第21課時　直角三角形
【知識要點】 【對點練習】
1.直角三角形的性質與判定 (1)性質:①直角三角形的兩個銳角　互余　 ②在直角三角形中,30°角所對的直角邊等于斜邊的　一半　 ③在直角三角形中,斜邊上的中線等于斜邊的　一半　 (2)判定:①定義法:有一個角是　直角　的三角形 ②兩個內角　互余　的三角形 1.(1)已知:在一個直角三角形中30°角所對的直角邊為3 cm,則斜邊長為　6 cm　. (2)直角三角形斜邊上的中線長為5 cm,則斜邊長為　10　cm.
2.勾股定理及逆定理 (1)勾股定理:如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a,b,斜邊長為c,那么　a2+b2=c2　. (2)勾股定理的逆定理:如果三角形的三邊長a,b,c滿足　a2+b2=c2　,那么這個三角形是直角三角形. 2.(教材再開發·人教八下P24T1改編)若一個直角三角形的兩邊長分別是4 cm,3 cm,則第三條邊長是　5或　cm.
3.命題、定理 (1)互逆命題:如果兩個命題的　題設　和　結論　正好相反,我們把這樣的兩個命題叫做互逆命題,如果把其中一個叫做原命題,那么另一個叫做它的　逆命題　. (2)互逆定理:若一個定理的逆命題是正確的,那么它就是這個定理的逆定理,稱這兩個定理為　互逆　定理. 3.(1)把命題“同位角相等”改寫成“如果……那么……”的形式為　如果兩個角是同位角,那么這兩個角相等　. (2)命題“等邊三角形是銳角三角形”的逆命題是　假　(填“真”或“假”)命題.
考點1　直角三角形的性質與判定
【示范題1】(2024·安徽中考)如圖,在Rt△ABC中,AC=BC=2,點D在AB的延長線上,且CD=AB,則BD的長是(B)
A.- B.-
C.2-2 D.2-
【答題關鍵指導】
直角三角形性質的四個應用
(1)在一個題目中,若直角三角形較多,可考慮利用等面積的方法求線段的長度.
(2)可利用直角三角形兩銳角互余,根據同(等)角的余角相等,兩個銳角相等.
(3)在直角三角形中,有30°銳角可考慮30°角所對直角邊等于斜邊的一半.
(4)在直角三角形中,若有斜邊中點,可考慮直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.
【跟蹤訓練】
1. (2024·達州中考)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,點D在線段BC上,且∠BAD=45°,若AC=4,CD=1,則△ABC的面積是 　.
2.(2024·齊齊哈爾中考)已知矩形紙片ABCD,AB=5,BC=4,點P在邊BC上,連接AP,將△ABP沿AP所在的直線折疊,點B的對應點為B',把紙片展平,連接BB',CB',當△BCB'為直角三角形時,線段CP的長為　2或　.
考點2　勾股定理及逆定理
【示范題2】(2024·眉山中考)如圖,圖1是北京國際數學家大會的會標,它取材于我國古代數學家趙爽的“弦圖”,是由四個全等的直角三角形拼成.若圖1中大正方形的面積為24,小正方形的面積為4,現將這四個直角三角形拼成圖2,則圖2中大正方形的面積為(D)
A.24 B.36 C.40 D.44
【跟蹤訓練】
1. (2024·南充中考)如圖,已知線段AB,按以下步驟作圖:①過點B作BC⊥AB,使BC=AB,連接AC;②以點C為圓心,以BC長為半徑畫弧,交AC于點D;③以點A為圓心,以AD長為半徑畫弧,交AB于點E.若AE=mAB,則m的值為(A)
A. B.
C.-1 D.-2
2.(2024·南充中考)如圖是我國漢代趙爽在注解《周髀算經》時給出的,人們稱它為“趙爽弦圖”,它是由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成.在正方形ABCD中,AB=10.下列三個結論:①若tan∠ADF=,則EF=2;②若Rt△ABG的面積是正方形EFGH面積的3倍,則點F是AG的三等分點;
③將△ABG繞點A逆時針旋轉90°得到△ADG',則BG'的最大值為5+5.其中正確的結論是(D)
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
3.(2024·吉林中考)圖①中有一首古算詩,根據詩中的描述可以計算出紅蓮所在位置的湖水深度,其示意圖如圖②,其中AB=AB',AB⊥B'C于點C,BC=0.5尺,B'C=2尺.設AC的長度為x尺,可列方程為　x2+22=(x+0.5)2　.
考點3　命題、定理及逆定理
【示范題3】(2024·湖南中考)下列命題中,正確的是(A)
A.兩點之間,線段最短
B.菱形的對角線相等
C.正五邊形的外角和為720°
D.直角三角形是軸對稱圖形
【答題關鍵指導】
判斷命題真假的方法
只有對一件事情做出判定的語句才是命題,其中正確的命題是真命題,錯誤的命題是假命題.對于命題的真假(正誤)判斷問題,一般只需根據熟記的定義、公式、性質、判定定理等相關內容直接作出判斷即可,有的則需要經過必要的推理與計算才能進一步確定真與假.
【跟蹤訓練】
1.(2024·寧德模擬)下列命題中,是假命題的是(C)
A.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半
B.等腰三角形頂角的平分線,底邊上的中線,底邊上的高相互重合
C.若AB=BC,則點B是線段AC的中點
D.三角形三條邊的垂直平分線的交點叫做這個三角形的外心
2.(2024·三明模擬)下列命題是真命題的是(B)
A.對角線相等的四邊形是平行四邊形
B.對角線互相平分且相等的四邊形是矩形
C.對角線互相垂直的四邊形是菱形
D.對角線互相垂直平分的四邊形是正方形
1.(2022·福建中考)推理是數學的基本思維方式,若推理過程不嚴謹,則推理結果可能產生錯誤.
例如,有人聲稱可以證明“任意一個實數都等于0”,并證明如下:
設任意一個實數為x,令x=m,
等式兩邊都乘x,得x2=mx.①
等式兩邊都減m2,得x2-m2=mx-m2.②
等式兩邊分別分解因式,得(x+m)(x-m)=m(x-m).③
等式兩邊都除以x-m,得x+m=m.④
等式兩邊都減m,得x=0.⑤
所以任意一個實數都等于0.
以上推理過程中,開始出現錯誤的那一步對應的序號是　④　.
2.(2024·福建中考)已知實數a,b,c,m,n滿足3m+n=,mn=.
(1)求證:b2-12ac為非負數;
(2)若a,b,c均為奇數,m,n是否可以都為整數 說明你的理由.
【解析】(1)∵3m+n=,mn=,
∴b=a(3m+n),c=amn,
則b2-12ac=[a(3m+n)]2-12a2mn
=a2(9m2+6mn+n2)-12a2mn
=a2(9m2-6mn+n2)
=a2(3m-n)2,
∵a,m,n是實數,
∴a2(3m-n)2≥0,
∴b2-12ac為非負數.
(2)m,n不可能都為整數.
理由如下:若m,n都為整數,其可能情況有:①m,n都為奇數;②m,n為整數,且其中至少有一個為偶數,
①當m,n都為奇數時,則3m+n必為偶數,
又∵3m+n=,
∴b=a(3m+n),
∵a為奇數,
∴a(3m+n)必為偶數,這與b為奇數矛盾;
②當m,n為整數,且其中至少有一個為偶數時,則mn必為偶數,
又∵mn=,
∴c=amn,
∵a為奇數,
∴amn必為偶數,這與c為奇數矛盾.
綜上所述,m,n不可能都為整數.第21課時　直角三角形
【知識要點】 【對點練習】
1.直角三角形的性質與判定 (1)性質:①直角三角形的兩個銳角 ②在直角三角形中,30°角所對的直角邊等于斜邊的 ③在直角三角形中,斜邊上的中線等于斜邊的 (2)判定:①定義法:有一個角是 的三角形 ②兩個內角 的三角形 1.(1)已知:在一個直角三角形中30°角所對的直角邊為3 cm,則斜邊長為 . (2)直角三角形斜邊上的中線長為5 cm,則斜邊長為 cm.
2.勾股定理及逆定理 (1)勾股定理:如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a,b,斜邊長為c,那么 . (2)勾股定理的逆定理:如果三角形的三邊長a,b,c滿足 ,那么這個三角形是直角三角形. 2.(教材再開發·人教八下P24T1改編)若一個直角三角形的兩邊長分別是4 cm,3 cm,則第三條邊長是 cm.
3.命題、定理 (1)互逆命題:如果兩個命題的 和 正好相反,我們把這樣的兩個命題叫做互逆命題,如果把其中一個叫做原命題,那么另一個叫做它的 . (2)互逆定理:若一個定理的逆命題是正確的,那么它就是這個定理的逆定理,稱這兩個定理為 定理. 3.(1)把命題“同位角相等”改寫成“如果……那么……”的形式為 . (2)命題“等邊三角形是銳角三角形”的逆命題是 (填“真”或“假”)命題.
考點1　直角三角形的性質與判定
【示范題1】(2024·安徽中考)如圖,在Rt△ABC中,AC=BC=2,點D在AB的延長線上,且CD=AB,則BD的長是( )
A.- B.-
C.2-2 D.2-
【答題關鍵指導】
直角三角形性質的四個應用
(1)在一個題目中,若直角三角形較多,可考慮利用等面積的方法求線段的長度.
(2)可利用直角三角形兩銳角互余,根據同(等)角的余角相等,兩個銳角相等.
(3)在直角三角形中,有30°銳角可考慮30°角所對直角邊等于斜邊的一半.
(4)在直角三角形中,若有斜邊中點,可考慮直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.
【跟蹤訓練】
1. (2024·達州中考)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,點D在線段BC上,且∠BAD=45°,若AC=4,CD=1,則△ABC的面積是 .
2.(2024·齊齊哈爾中考)已知矩形紙片ABCD,AB=5,BC=4,點P在邊BC上,連接AP,將△ABP沿AP所在的直線折疊,點B的對應點為B',把紙片展平,連接BB',CB',當△BCB'為直角三角形時,線段CP的長為 .
考點2　勾股定理及逆定理
【示范題2】(2024·眉山中考)如圖,圖1是北京國際數學家大會的會標,它取材于我國古代數學家趙爽的“弦圖”,是由四個全等的直角三角形拼成.若圖1中大正方形的面積為24,小正方形的面積為4,現將這四個直角三角形拼成圖2,則圖2中大正方形的面積為( )
A.24 B.36 C.40 D.44
【跟蹤訓練】
1. (2024·南充中考)如圖,已知線段AB,按以下步驟作圖:①過點B作BC⊥AB,使BC=AB,連接AC;②以點C為圓心,以BC長為半徑畫弧,交AC于點D;③以點A為圓心,以AD長為半徑畫弧,交AB于點E.若AE=mAB,則m的值為( )
A. B.
C.-1 D.-2
2.(2024·南充中考)如圖是我國漢代趙爽在注解《周髀算經》時給出的,人們稱它為“趙爽弦圖”,它是由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成.在正方形ABCD中,AB=10.下列三個結論:①若tan∠ADF=,則EF=2;②若Rt△ABG的面積是正方形EFGH面積的3倍,則點F是AG的三等分點;
③將△ABG繞點A逆時針旋轉90°得到△ADG',則BG'的最大值為5+5.其中正確的結論是( )
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
3.(2024·吉林中考)圖①中有一首古算詩,根據詩中的描述可以計算出紅蓮所在位置的湖水深度,其示意圖如圖②,其中AB=AB',AB⊥B'C于點C,BC=0.5尺,B'C=2尺.設AC的長度為x尺,可列方程為 .
考點3　命題、定理及逆定理
【示范題3】(2024·湖南中考)下列命題中,正確的是( )
A.兩點之間,線段最短
B.菱形的對角線相等
C.正五邊形的外角和為720°
D.直角三角形是軸對稱圖形
【答題關鍵指導】
判斷命題真假的方法
只有對一件事情做出判定的語句才是命題,其中正確的命題是真命題,錯誤的命題是假命題.對于命題的真假(正誤)判斷問題,一般只需根據熟記的定義、公式、性質、判定定理等相關內容直接作出判斷即可,有的則需要經過必要的推理與計算才能進一步確定真與假.
【跟蹤訓練】
1.(2024·寧德模擬)下列命題中,是假命題的是( )
A.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半
B.等腰三角形頂角的平分線,底邊上的中線,底邊上的高相互重合
C.若AB=BC,則點B是線段AC的中點
D.三角形三條邊的垂直平分線的交點叫做這個三角形的外心
2.(2024·三明模擬)下列命題是真命題的是( )
A.對角線相等的四邊形是平行四邊形
B.對角線互相平分且相等的四邊形是矩形
C.對角線互相垂直的四邊形是菱形
D.對角線互相垂直平分的四邊形是正方形
1.(2022·福建中考)推理是數學的基本思維方式,若推理過程不嚴謹,則推理結果可能產生錯誤.
例如,有人聲稱可以證明“任意一個實數都等于0”,并證明如下:
設任意一個實數為x,令x=m,
等式兩邊都乘x,得x2=mx.①
等式兩邊都減m2,得x2-m2=mx-m2.②
等式兩邊分別分解因式,得(x+m)(x-m)=m(x-m).③
等式兩邊都除以x-m,得x+m=m.④
等式兩邊都減m,得x=0.⑤
所以任意一個實數都等于0.
以上推理過程中,開始出現錯誤的那一步對應的序號是 .
2.(2024·福建中考)已知實數a,b,c,m,n滿足3m+n=,mn=.
(1)求證:b2-12ac為非負數;
(2)若a,b,c均為奇數,m,n是否可以都為整數 說明你的理由.

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