資源簡介

第22課時　解直角三角形
【知識要點】 【對點練習】
1.特殊角的三角函數值 1.(1)2sin 45°的值等于( ) A.1 B. C. D.2 (2)在△ABC中,若+=0,則∠C的度數是 .
2.直角三角形中的邊角關系 (1)三邊之間的關系: . (2)兩銳角之間的關系: . (3)邊角之間的關系:sin A=cos B= , sin B=cos A= ,tan A= , tan B= . (4)解直角三角形:由直角三角形中的 ,求出其余 的過程,叫做解直角三角形. 2.(教材再開發·人教九下P65T1改編) 在Rt△ABC中,若∠C=90°,AC=5,BC=12,則sin A的值為 .
3.解直角三角形的應用 (1)仰角和俯角:如圖1,在同一鉛垂面內視線和水平線間的夾角,視線在水平線 的叫做仰角,在水平線 的叫做俯角. 如圖1 (2)坡度(坡比)和坡角:如圖2,通常把坡面的鉛直高度h和 之比叫做坡度(或叫做坡比),用字母 表示,即i= ;坡面與 的夾角叫做坡角,記作α.所以i= =tan α. 圖2 (3)方向角:指北或指南的方向線與目標方向所成的小于90°的角叫做方向角. 3.(1)(教材再開發·人教九下P84T8改編)數學活動小組到某廣場測量標志性建筑AB的高度.如圖,他們在地面上C點測得最高點A的仰角為22°,再向前70 m至D點,又測得最高點A的仰角為58°,點C,D,B在同一直線上,則該建筑物AB的高度約為( ) (精確到1 m.參考數據:sin 22°≈0.37,tan 22°≈0.40,sin 58°≈0.85,tan 58°≈1.60) A.28 m B.34 m C.37 m D.46 m (2)如圖斜坡AB的坡比為1∶2,豎直高度BC為1米,則該斜坡的水平寬度AC為 米.
考點1　三角函數
【示范題1】(2024·云南中考)如圖,在△ABC中,若∠B=90°,AB=3,BC=4,則tan A=( )
A. B. C. D.
【答題關鍵指導】
1.求銳角三角函數值時必須把角轉化到直角三角形中解決,可以通過相等的角轉化或通過作輔助線構造直角三角形.
2.解題時要找準角的對邊、鄰邊和所在直角三角形的斜邊.
【跟蹤訓練】
1.(2024·天津中考)cos 45°-1的值等于( )
A.0 B.1
C.-1 D.-1
2.(2024·達州中考)如圖,由8個全等的菱形組成的網格中,每個小菱形的邊長均為2,∠ABD=120°,其中點A,B,C都在格點上,則tan ∠BCD的值為( )
A.2 B.2 C. D.3
考點2　解直角三角形
【示范題2】(2024·浙江中考)如圖,在△ABC中,AD⊥BC,AE是BC邊上的中線,AB=10,AD=6,tan ∠ACB=1.
(1)求BC的長;
(2)求sin ∠DAE的值.
【答題關鍵指導】
1.解直角三角形時,要盡量用到已知條件的數據,防止“積累誤差”.
2.遵守“有弦(斜邊)用弦(正弦、余弦),無弦用切(正切),寧乘勿除”的原則,提高解題的正確性.
3.必要時,畫出圖形幫助分析.
【跟蹤訓練】
(2024·內江中考)如圖,在矩形ABCD中,AB=3,AD=5,點E在DC上,將矩形ABCD沿AE折疊,點D恰好落在BC邊上的點F處,那么tan ∠EFC= .
考點3　解直角三角形的應用
【示范題3】(2024·德陽中考)某校學生開展綜合實踐活動,測量一建筑物CD的高度,在建筑物旁邊有一高度為10米的小樓房AB,小李同學在小樓房樓底B處測得C處的仰角為60°,在小樓房樓頂A處測得C處的仰角為30°(AB,CD在同一平面內,B,D在同一水平面上),則建筑物CD的高為 米.( )
A.20 B.15
C.12 D.10+5
【答題關鍵指導】
1.審題,通過圖形,弄清已知和未知.
2.通過作輔助線構造直角三角形,把問題轉化為解直角三角形的問題.
3.根據直角三角形元素(邊、角)之間關系解有關的直角三角形.
【跟蹤訓練】
1.(2024·鹽城中考)如圖,小明用無人機測量教學樓的高度,將無人機垂直上升至距地面30 m的點P處,測得教學樓底端點A的俯角為37°,再將無人機沿教學樓方向水平飛行26.6 m至點Q處,測得教學樓頂端點B的俯角為45°,則教學樓AB的高度約為 m.(精確到1 m,參考數據:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75)
2.(2024·眉山中考)如圖,斜坡CD的坡度i=1∶2,在斜坡上有一棵垂直于水平面的大樹AB,當太陽光與水平面的夾角為60°時,大樹在斜坡上的影子BE長為10米,則大樹AB的高為 米.
3.(2024·重慶中考A卷)如圖,甲、乙兩艘貨輪同時從A港出發,分別向B,D兩港運送物資,最后到達A港正東方向的C港裝運新的物資.甲貨輪沿A港的東南方向航行40海里后到達B港,再沿北偏東60°方向航行一定距離到達C港.乙貨輪沿A港的北偏東60°方向航行一定距離到達D港,再沿南偏東30°方向航行一定距離到達C港.
(參考數據:≈1.41,≈1.73,≈2.45)
(1)求A,C兩港之間的距離(結果保留小數點后一位);
(2)若甲、乙兩艘貨輪的速度相同(停靠B,D兩港的時間相同),哪艘貨輪先到達C港 請通過計算說明.
(2024·福建中考)無動力帆船是借助風力前行的.如圖是帆船借助風力航行的平面示意圖,已知帆船航行方向與風向所在直線的夾角∠PDA為70°,帆與航行方向的夾角∠PDQ為30°,風對帆的作用力F為400 N.根據物理知識,F可以分解為兩個力F1與F2,其中與帆平行的力F1不起作用,與帆垂直的力F2又可以分解為兩個力f1與f2,f1與航行方向垂直,被舵的阻力抵消;f2與航行方向一致,是真正推動帆船前行的動力.在物理學上常用線段的長度表示力的大小,據此,建立數學模型:F=AD=400,則f2=CD= .(單位:N)(參考數據:sin 40°≈0.64,cos 40°≈0.77) 第22課時　解直角三角形
【知識要點】 【對點練習】
1.特殊角的三角函數值 1.(1)2sin 45°的值等于(B) A.1 B. C. D.2 (2)在△ABC中,若+=0,則∠C的度數是　90°　.
2.直角三角形中的邊角關系 (1)三邊之間的關系:　a2+b2=c2　. (2)兩銳角之間的關系:　∠A+∠B=90°　. (3)邊角之間的關系:sin A=cos B= 　, sin B=cos A= 　,tan A= 　, tan B= 　. (4)解直角三角形:由直角三角形中的　已知元素　,求出其余　未知元素　的過程,叫做解直角三角形. 2.(教材再開發·人教九下P65T1改編) 在Rt△ABC中,若∠C=90°,AC=5,BC=12,則sin A的值為 　.
3.解直角三角形的應用 (1)仰角和俯角:如圖1,在同一鉛垂面內視線和水平線間的夾角,視線在水平線　上方　的叫做仰角,在水平線　下方　的叫做俯角. 如圖1 (2)坡度(坡比)和坡角:如圖2,通常把坡面的鉛直高度h和　水平寬度l　之比叫做坡度(或叫做坡比),用字母　i　表示,即i= 　;坡面與　水平面　的夾角叫做坡角,記作α.所以i= 　=tan α. 圖2 (3)方向角:指北或指南的方向線與目標方向所成的小于90°的角叫做方向角. 3.(1)(教材再開發·人教九下P84T8改編)數學活動小組到某廣場測量標志性建筑AB的高度.如圖,他們在地面上C點測得最高點A的仰角為22°,再向前70 m至D點,又測得最高點A的仰角為58°,點C,D,B在同一直線上,則該建筑物AB的高度約為(C) (精確到1 m.參考數據:sin 22°≈0.37,tan 22°≈0.40,sin 58°≈0.85,tan 58°≈1.60) A.28 m B.34 m C.37 m D.46 m (2)如圖斜坡AB的坡比為1∶2,豎直高度BC為1米,則該斜坡的水平寬度AC為　2　米.
考點1　三角函數
【示范題1】(2024·云南中考)如圖,在△ABC中,若∠B=90°,AB=3,BC=4,則tan A=(C)
A. B. C. D.
【答題關鍵指導】
1.求銳角三角函數值時必須把角轉化到直角三角形中解決,可以通過相等的角轉化或通過作輔助線構造直角三角形.
2.解題時要找準角的對邊、鄰邊和所在直角三角形的斜邊.
【跟蹤訓練】
1.(2024·天津中考)cos 45°-1的值等于(A)
A.0 B.1
C.-1 D.-1
2.(2024·達州中考)如圖,由8個全等的菱形組成的網格中,每個小菱形的邊長均為2,∠ABD=120°,其中點A,B,C都在格點上,則tan ∠BCD的值為(B)
A.2 B.2 C. D.3
考點2　解直角三角形
【示范題2】(2024·浙江中考)如圖,在△ABC中,AD⊥BC,AE是BC邊上的中線,AB=10,AD=6,tan ∠ACB=1.
(1)求BC的長;
(2)求sin ∠DAE的值.
【自主解答】(1)∵AD⊥BC,AB=10,AD=6,
∴BD===8,
∵tan ∠ACB=1,
∴CD=AD=6,
∴BC=BD+CD=8+6=14;
(2)∵AE是BC邊上的中線,
∴CE=BC=7,
∴DE=CE-CD=7-6=1,
∵AD⊥BC,
∴AE===,
∴sin ∠DAE===.
【答題關鍵指導】
1.解直角三角形時,要盡量用到已知條件的數據,防止“積累誤差”.
2.遵守“有弦(斜邊)用弦(正弦、余弦),無弦用切(正切),寧乘勿除”的原則,提高解題的正確性.
3.必要時,畫出圖形幫助分析.
【跟蹤訓練】
(2024·內江中考)如圖,在矩形ABCD中,AB=3,AD=5,點E在DC上,將矩形ABCD沿AE折疊,點D恰好落在BC邊上的點F處,那么tan ∠EFC= 　.
考點3　解直角三角形的應用
【示范題3】(2024·德陽中考)某校學生開展綜合實踐活動,測量一建筑物CD的高度,在建筑物旁邊有一高度為10米的小樓房AB,小李同學在小樓房樓底B處測得C處的仰角為60°,在小樓房樓頂A處測得C處的仰角為30°(AB,CD在同一平面內,B,D在同一水平面上),則建筑物CD的高為　　　　米.(B)
A.20 B.15
C.12 D.10+5
【答題關鍵指導】
1.審題,通過圖形,弄清已知和未知.
2.通過作輔助線構造直角三角形,把問題轉化為解直角三角形的問題.
3.根據直角三角形元素(邊、角)之間關系解有關的直角三角形.
【跟蹤訓練】
1.(2024·鹽城中考)如圖,小明用無人機測量教學樓的高度,將無人機垂直上升至距地面30 m的點P處,測得教學樓底端點A的俯角為37°,再將無人機沿教學樓方向水平飛行26.6 m至點Q處,測得教學樓頂端點B的俯角為45°,則教學樓AB的高度約為　17　m.(精確到1 m,參考數據:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75)
2.(2024·眉山中考)如圖,斜坡CD的坡度i=1∶2,在斜坡上有一棵垂直于水平面的大樹AB,當太陽光與水平面的夾角為60°時,大樹在斜坡上的影子BE長為10米,則大樹AB的高為　(4-2)　米.
3.(2024·重慶中考A卷)如圖,甲、乙兩艘貨輪同時從A港出發,分別向B,D兩港運送物資,最后到達A港正東方向的C港裝運新的物資.甲貨輪沿A港的東南方向航行40海里后到達B港,再沿北偏東60°方向航行一定距離到達C港.乙貨輪沿A港的北偏東60°方向航行一定距離到達D港,再沿南偏東30°方向航行一定距離到達C港.
(參考數據:≈1.41,≈1.73,≈2.45)
(1)求A,C兩港之間的距離(結果保留小數點后一位);
(2)若甲、乙兩艘貨輪的速度相同(停靠B,D兩港的時間相同),哪艘貨輪先到達C港 請通過計算說明.
【解析】(1)過點B作BE⊥AC,垂足為E,
在Rt△ABE中,∠BAE=90°-45°=45°,
AB=40海里,
∴AE=AB·cos 45°=40×=20(海里),
BE=AB·sin 45°=40×=20(海里),
在Rt△BCE中,∠CBE=60°,
∴CE=BE·tan 60°=20×=20(海里),
∴AC=AE+CE=20+20≈77.2(海里),
∴A,C兩港之間的距離約為77.2海里;
(2)甲貨輪先到達C港,
理由:如圖,
由題意得∠CDF=30°,DF∥AG,
∴∠GAD=∠ADF=60°,
∴∠ADC=∠ADF+∠CDF=90°,
在Rt△ACD中,∠CAD=90°-∠GAD=30°,∴CD=AC=(10+10)海里,
AD=CD=(10+30)海里,
在Rt△BCE中,∠CBE=60°,BE=20海里,
∴BC===40(海里),
∴甲貨輪航行的路程=AB+BC=40+40≈96.4(海里),
乙貨輪航行的路程=AD+CD
=10+30+10+10
=20+40≈105.4(海里),
∵96.4海里<105.4海里,
∴甲貨輪先到達C港.
(2024·福建中考)無動力帆船是借助風力前行的.如圖是帆船借助風力航行的平面示意圖,已知帆船航行方向與風向所在直線的夾角∠PDA為70°,帆與航行方向的夾角∠PDQ為30°,風對帆的作用力F為400 N.根據物理知識,F可以分解為兩個力F1與F2,其中與帆平行的力F1不起作用,與帆垂直的力F2又可以分解為兩個力f1與f2,f1與航行方向垂直,被舵的阻力抵消;f2與航行方向一致,是真正推動帆船前行的動力.在物理學上常用線段的長度表示力的大小,據此,建立數學模型:F=AD=400,則f2=CD=　128　.(單位:N)(參考數據:sin 40°≈0.64,cos 40°≈0.77)

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