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第23課時(shí)　多邊形與平行四邊形
【知識(shí)要點(diǎn)】 【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】
1.平行四邊形的概念及性質(zhì) (1)概念:兩組對(duì)邊分別 的四邊形. (2)性質(zhì) 邊:對(duì)邊 ;角:對(duì)角 ;對(duì)角線:對(duì)角線 1.如圖, ABCD的對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O,下列結(jié)論一定成立的是( ) A.OA=OB　　 B.OA⊥OB C.OA=OC D.∠OBA=∠OBC
2.平行四邊形的判定 (1)邊:(i)兩組對(duì)邊分別 的四邊形; (ii)兩組對(duì)邊分別 的四邊形; (iii)一組對(duì)邊 的四邊形. (2)角:兩組對(duì)角分別 的四邊形. (3)對(duì)角線:對(duì)角線 的四邊形. 2.下列不能判斷一個(gè)四邊形是平行四邊形的是( ) A.一組對(duì)邊平行且相等的四邊形 B.兩組對(duì)邊分別相等的四邊形 C.對(duì)角線互相平分的四邊形 D.一組對(duì)邊相等,且另一組對(duì)邊平行的四邊形
3.兩條平行線之間的距離 (1)如果兩條直線平行,那么一條直線上所有的點(diǎn)到另一條直線的距離都 . (2)兩條平行線中,一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的 ,叫做兩條平行線之間的距離. 3.如圖,AD,CE是△ABC的高,過點(diǎn)A作AF∥BC,則下列線段的長(zhǎng)可表示圖中兩條平行線之間的距離的是( ) A.AB　　B.AD　　C.CE　　D.AC
4.三角形的中位線 (1)定義:連接三角形兩邊 的線段叫做三角形的中位線. (2)性質(zhì): 三角形的中位線 于三角形的第三邊,且等于第三邊的 . 4.如圖,在△ABC中,BC=4,點(diǎn)D,E分別為AB,AC的中點(diǎn),則DE=( ) A. B. C.1 D.2
5.多邊形 (1)內(nèi)角和定理:n邊形的內(nèi)角和是 . (2)外角和定理:任意多邊形的外角和為 . (3)正多邊形:各個(gè)角 ,各條邊 的多邊形. 5.(1)(教材再開發(fā)·人教八上P25T4改編)正八邊形一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為 . (2)如果正n邊形的一個(gè)內(nèi)角與一個(gè)外角的比是3∶2,則n= .
考點(diǎn)1　平行四邊形的性質(zhì)
【示范題1】(2024·貴州中考)如圖, ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,則下列結(jié)論一定正確的是( )
A.AB=BC B.AD=BC
C.OA=OB D.AC⊥BD
【答題關(guān)鍵指導(dǎo)】
1.利用平行四邊形的性質(zhì)時(shí),可從三個(gè)方面去應(yīng)用:邊、角、對(duì)角線.
2.在解決平行四邊形中的線段和角相等的問題時(shí),常常利用平行四邊形的性質(zhì)證明三角形全等來解決.
【跟蹤訓(xùn)練】
1.(2024·河南中考)如圖,在 ABCD中,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E為OC的中點(diǎn),EF∥AB交BC于點(diǎn)F.若AB=4,則EF的長(zhǎng)為( )
A. B.1 C. D.2
2.(2024·眉山中考)如圖,在 ABCD中,點(diǎn)O是BD的中點(diǎn),EF過點(diǎn)O,下列結(jié)論:
①AB∥DC;②EO=ED;③∠A=∠C;④S四邊形ABOE=S四邊形CDOF,其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
考點(diǎn)2　平行四邊形的判定
【示范題2】(2024·樂山中考)如圖,下列條件中,不能判定四邊形ABCD為平行四邊形的是( )
A.AB∥DC,AD∥BC
B.AB=DC,AD=BC
C.AO=CO,BO=DO
D.AB∥DC,AD=BC
【答題關(guān)鍵指導(dǎo)】
判定平行四邊形的三種思路
(1)若已知一組對(duì)邊平行,可以證明這組對(duì)邊相等,或另一組對(duì)邊平行.
(2)若已知一組對(duì)邊相等,可以證明這組對(duì)邊平行,或另一組對(duì)邊相等.
(3)若已知條件與對(duì)角線有關(guān),可以證明對(duì)角線互相平分.
【跟蹤訓(xùn)練】
1.(2024·武漢中考)如圖,在 ABCD中,點(diǎn)E,F分別在邊BC,AD上,AF=CE.
(1)求證:△ABE≌△CDF;
(2)連接EF.請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)與線段相關(guān)的條件,使四邊形ABEF是平行四邊形.(不需要說明理由)
2.(2024·達(dá)州中考)如圖,線段AC,BD相交于點(diǎn)O,且AB∥CD,AE⊥BD于點(diǎn)E.
(1)尺規(guī)作圖:過點(diǎn)C作BD的垂線,垂足為點(diǎn)F,連接AF,CE;(不寫作法,保留作圖痕跡,并標(biāo)明相應(yīng)的字母)
(2)若AB=CD,請(qǐng)判斷四邊形AECF的形狀,并說明理由.(若前問未完成,可畫草圖完成此問)
考點(diǎn)3　三角形的中位線
【示范題3】(2024·廣安中考)如圖,在△ABC中,點(diǎn)D,E分別是AC,BC的中點(diǎn),若
∠A=45°, ∠CED=70°,則∠C的度數(shù)為( )
A.45° B.50° C.60° D.65°
【跟蹤訓(xùn)練】
(2024·重慶中考)如圖,在△ABC中,延長(zhǎng)AC至點(diǎn)D,使CD=CA,過點(diǎn)D作DE∥CB,且DE=DC,連接AE交BC于點(diǎn)F.若∠CAB=∠CFA,CF=1,則BF= .
考點(diǎn)4　多邊形的內(nèi)角和與外角和
【示范題4】(2024·云南中考)一個(gè)七邊形的內(nèi)角和等于( )
A.540° B.900° C.980° D.1080°
【答題關(guān)鍵指導(dǎo)】
1.多邊形內(nèi)角和為(n-2)·180°,外角和恒為360°,不隨邊數(shù)的變化而變化.
2.一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后,邊數(shù)可能減1,可能不變,可能加1,要分類討論.
【跟蹤訓(xùn)練】
1.(2024·樂山中考)下列多邊形中,內(nèi)角和最小的是( )
2.(2024·遂寧中考)佩佩在“黃峨古鎮(zhèn)”研學(xué)時(shí)學(xué)習(xí)扎染技術(shù),得到一個(gè)內(nèi)角和為
1 080°的正多邊形圖案,這個(gè)正多邊形的每個(gè)外角為( )
A.36° B.40° C.45° D.60°
1.(2022·福建中考)四邊形的外角和度數(shù)是 .
2.(2022·福建中考)如圖,在△ABC中,D,E分別是AB,AC的中點(diǎn).若BC=12,則DE的長(zhǎng)為 .
3.(2023·福建中考)如圖,在 ABCD中,O為BD的中點(diǎn),EF過點(diǎn)O且分別交AB,CD于點(diǎn)E,F.若AE=10,則CF的長(zhǎng)為 . 第23課時(shí)　多邊形與平行四邊形
【知識(shí)要點(diǎn)】 【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】
1.平行四邊形的概念及性質(zhì) (1)概念:兩組對(duì)邊分別　平行　的四邊形. (2)性質(zhì) 邊:對(duì)邊　平行且相等　;角:對(duì)角　相等　;對(duì)角線:對(duì)角線　互相平分　 1.如圖, ABCD的對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O,下列結(jié)論一定成立的是(C) A.OA=OB　　 B.OA⊥OB C.OA=OC D.∠OBA=∠OBC
2.平行四邊形的判定 (1)邊:(i)兩組對(duì)邊分別　平行　的四邊形; (ii)兩組對(duì)邊分別　相等　的四邊形; (iii)一組對(duì)邊　平行且相等　的四邊形. (2)角:兩組對(duì)角分別　相等　的四邊形. (3)對(duì)角線:對(duì)角線　互相平分　的四邊形. 2.下列不能判斷一個(gè)四邊形是平行四邊形的是(D) A.一組對(duì)邊平行且相等的四邊形 B.兩組對(duì)邊分別相等的四邊形 C.對(duì)角線互相平分的四邊形 D.一組對(duì)邊相等,且另一組對(duì)邊平行的四邊形
3.兩條平行線之間的距離 (1)如果兩條直線平行,那么一條直線上所有的點(diǎn)到另一條直線的距離都　相等　. (2)兩條平行線中,一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的　距離　,叫做兩條平行線之間的距離. 3.如圖,AD,CE是△ABC的高,過點(diǎn)A作AF∥BC,則下列線段的長(zhǎng)可表示圖中兩條平行線之間的距離的是(B) A.AB　　B.AD　　C.CE　　D.AC
4.三角形的中位線 (1)定義:連接三角形兩邊　中點(diǎn)　的線段叫做三角形的中位線. (2)性質(zhì): 三角形的中位線　平行　于三角形的第三邊,且等于第三邊的　一半　. 4.如圖,在△ABC中,BC=4,點(diǎn)D,E分別為AB,AC的中點(diǎn),則DE=(D) A. B. C.1 D.2
5.多邊形 (1)內(nèi)角和定理:n邊形的內(nèi)角和是　(n-2)×180°　. (2)外角和定理:任意多邊形的外角和為　360°　. (3)正多邊形:各個(gè)角　相等　,各條邊　相等　的多邊形. 5.(1)(教材再開發(fā)·人教八上P25T4改編)正八邊形一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為　135°　. (2)如果正n邊形的一個(gè)內(nèi)角與一個(gè)外角的比是3∶2,則n=　5　.
考點(diǎn)1　平行四邊形的性質(zhì)
【示范題1】(2024·貴州中考)如圖, ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,則下列結(jié)論一定正確的是(B)
A.AB=BC B.AD=BC
C.OA=OB D.AC⊥BD
【答題關(guān)鍵指導(dǎo)】
1.利用平行四邊形的性質(zhì)時(shí),可從三個(gè)方面去應(yīng)用:邊、角、對(duì)角線.
2.在解決平行四邊形中的線段和角相等的問題時(shí),常常利用平行四邊形的性質(zhì)證明三角形全等來解決.
【跟蹤訓(xùn)練】
1.(2024·河南中考)如圖,在 ABCD中,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E為OC的中點(diǎn),EF∥AB交BC于點(diǎn)F.若AB=4,則EF的長(zhǎng)為(B)
A. B.1 C. D.2
2.(2024·眉山中考)如圖,在 ABCD中,點(diǎn)O是BD的中點(diǎn),EF過點(diǎn)O,下列結(jié)論:
①AB∥DC;②EO=ED;③∠A=∠C;④S四邊形ABOE=S四邊形CDOF,其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為(C)
A.1 B.2 C.3 D.4
考點(diǎn)2　平行四邊形的判定
【示范題2】(2024·樂山中考)如圖,下列條件中,不能判定四邊形ABCD為平行四邊形的是(D)
A.AB∥DC,AD∥BC
B.AB=DC,AD=BC
C.AO=CO,BO=DO
D.AB∥DC,AD=BC
【答題關(guān)鍵指導(dǎo)】
判定平行四邊形的三種思路
(1)若已知一組對(duì)邊平行,可以證明這組對(duì)邊相等,或另一組對(duì)邊平行.
(2)若已知一組對(duì)邊相等,可以證明這組對(duì)邊平行,或另一組對(duì)邊相等.
(3)若已知條件與對(duì)角線有關(guān),可以證明對(duì)角線互相平分.
【跟蹤訓(xùn)練】
1.(2024·武漢中考)如圖,在 ABCD中,點(diǎn)E,F分別在邊BC,AD上,AF=CE.
(1)求證:△ABE≌△CDF;
(2)連接EF.請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)與線段相關(guān)的條件,使四邊形ABEF是平行四邊形.(不需要說明理由)
【解析】(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AB=CD,AD=BC,∠B=∠D.
∵AF=CE,∴AD-AF=BC-CE,
∴DF=BE,在△ABE與△CDF中,
,∴△ABE≌△CDF(SAS);
(2)(答案不唯一)添加BE=CE.理由如下:
∵AF=CE,BE=CE,∴AF=BE,
∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD∥BC,
∴四邊形ABEF是平行四邊形.
2.(2024·達(dá)州中考)如圖,線段AC,BD相交于點(diǎn)O,且AB∥CD,AE⊥BD于點(diǎn)E.
(1)尺規(guī)作圖:過點(diǎn)C作BD的垂線,垂足為點(diǎn)F,連接AF,CE;(不寫作法,保留作圖痕跡,并標(biāo)明相應(yīng)的字母)
(2)若AB=CD,請(qǐng)判斷四邊形AECF的形狀,并說明理由.(若前問未完成,可畫草圖完成此問)
【解析】(1)如圖,CF,AF,CE為所作;
(2)四邊形AECF為平行四邊形.
理由如下:
∵AB∥CD,∴∠B=∠D,∵AE⊥BD,CF⊥BD,∴AE∥CF,∠AEB=∠CFD=90°,
在△ABE和△CDF中,,
∴△ABE≌△CDF(AAS),∴AE=CF,
而AE∥CF,∴四邊形AECF為平行四邊形.
考點(diǎn)3　三角形的中位線
【示范題3】(2024·廣安中考)如圖,在△ABC中,點(diǎn)D,E分別是AC,BC的中點(diǎn),若
∠A=45°, ∠CED=70°,則∠C的度數(shù)為(D)
A.45° B.50° C.60° D.65°
【跟蹤訓(xùn)練】
(2024·重慶中考)如圖,在△ABC中,延長(zhǎng)AC至點(diǎn)D,使CD=CA,過點(diǎn)D作DE∥CB,且DE=DC,連接AE交BC于點(diǎn)F.若∠CAB=∠CFA,CF=1,則BF=　3　.
考點(diǎn)4　多邊形的內(nèi)角和與外角和
【示范題4】(2024·云南中考)一個(gè)七邊形的內(nèi)角和等于(B)
A.540° B.900° C.980° D.1080°
【答題關(guān)鍵指導(dǎo)】
1.多邊形內(nèi)角和為(n-2)·180°,外角和恒為360°,不隨邊數(shù)的變化而變化.
2.一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后,邊數(shù)可能減1,可能不變,可能加1,要分類討論.
【跟蹤訓(xùn)練】
1.(2024·樂山中考)下列多邊形中,內(nèi)角和最小的是(A)
2.(2024·遂寧中考)佩佩在“黃峨古鎮(zhèn)”研學(xué)時(shí)學(xué)習(xí)扎染技術(shù),得到一個(gè)內(nèi)角和為
1 080°的正多邊形圖案,這個(gè)正多邊形的每個(gè)外角為(C)
A.36° B.40° C.45° D.60°
1.(2022·福建中考)四邊形的外角和度數(shù)是　360°　.
2.(2022·福建中考)如圖,在△ABC中,D,E分別是AB,AC的中點(diǎn).若BC=12,則DE的長(zhǎng)為　6　.
3.(2023·福建中考)如圖,在 ABCD中,O為BD的中點(diǎn),EF過點(diǎn)O且分別交AB,CD于點(diǎn)E,F.若AE=10,則CF的長(zhǎng)為 　10　.

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