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第25課時　正方形
【知識要點】 【對點練習】
1.正方形的判定 (1)有一組鄰邊　相等　并且有一個角是　直角　的平行四邊形(定義); (2)一組鄰邊　相等　的矩形; (3)一個角是　直角　的菱形; (4)對角線相等且垂直的平行四邊形. 1.下列命題為真命題的是(B) A.四邊相等的四邊形是正方形 B.有一組鄰邊相等的矩形是正方形 C.對角線相等的四邊形是正方形 D.對角線互相垂直且平分的四邊形是正方形
2.正方形的性質 (1)正方形的四個角都是　直角　; (2)正方形的四條邊都　相等　; (3)正方形的兩條對角線　相等　且互相　垂直平分　,每一條對角線平分一組對角; (4)既是　中心　對稱圖形,又是軸對稱圖形. 2.(1)正方形具有而矩形不一定具有的性質是(D) A.四個角都相等 B.對角線互相平分 C.對角線相等 D.對角線互相垂直 (2)正方形具有而菱形不一定具有的性質是(B) A.對角線互相垂直 B.對角線相等 C.對邊相等 D.鄰邊相等
考點1　正方形的性質
【示范題1】(2024·重慶中考)如圖,在邊長為4的正方形ABCD中,點E是BC上一點,點F是CD延長線上一點,連接AE,AF,AM平分∠EAF交CD于點M.若BE= DF=1,則DM的長度為(D)
A.2 B.
C. D.
【跟蹤訓練】
1.(2024·重慶中考)如圖,在正方形ABCD的邊CD上有一點E,連接AE,把AE繞點E逆時針旋轉90°,得到FE,連接CF并延長與AB的延長線交于點G.則的值為(A)
A. B. C. D.
2.(2024·煙臺中考)如圖,在正方形ABCD中,點E,F分別為對角線BD,AC的三等分點,連接AE并延長交CD于點G,連接EF,FG.若∠AGF=α,則∠FAG用含α的代數(shù)式表示為(B)
A. B.
C. D.
考點2　正方形的判定
【示范題2】(2024·莆田模擬)如圖,點E為正方形ABCD外一點,∠AEB=90°,將Rt△ABE繞A點逆時針方向旋轉90°得到△ADF,DF的延長線交BE于H點.
(1)試判定四邊形AFHE的形狀,并說明理由;
(2)已知BH=7,BC=13,求DH的長.
【自主解答】(1)四邊形AFHE是正方形.理由如下:
∵Rt△ABE繞A點逆時針方向旋轉90°得到△ADF,
∴Rt△ABE≌Rt△ADF,
∴∠AEB=∠AFD=90°,
∴∠AFH=90°,
∵Rt△ABE≌Rt△ADF,
∴∠DAF=∠BAE,
又∵∠DAF+∠FAB=90°,
∴∠BAE+∠FAB=90°,
∴∠FAE=90°,
在四邊形AFHE中,∠FAE=90°,∠AEB=90°,∠AFH=90°,
∴四邊形AFHE是矩形,
又∵AE=AF,
∴矩形AFHE是正方形;
(2)設AE=x.則由(1)以及題意可知:AE=EH=FH=AF=x,BH=7,BC=AB=13,
在Rt△AEB中,AB2=AE2+BE2,
即132=x2+(x+7)2,
解得x=5(負值已舍),
∴BE=BH+EH=5+7=12,
∴DF=BE=12,
又∵DH=DF+FH,
∴DH=12+5=17.
【答題關鍵指導】
判定一個四邊形是正方形的步驟
(1)先證它是平行四邊形.
(2)再證有一組鄰邊相等(或一個角是直角).
(3)最后證它有一個角是直角(或有一組鄰邊相等).
【跟蹤訓練】
(2024·龍巖二模)問題解決:如圖1,在矩形ABCD中,點E,F分別在AB,BC邊上,DE=AF,DE⊥AF于點G.
(1)求證:四邊形ABCD是正方形;
(2)延長CB到點H,使得BH=AE,判斷△AHF的形狀,并說明理由.
【類比遷移】(3)如圖2,在菱形ABCD中,點E,F分別在AB,BC邊上,DE與AF相交于點G,DE=AF,∠AED=60°,AE=6,BF=2,求DE的長.
【解析】(1)∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠DAB=∠ABC=90°,
∵DE⊥AF,
∴∠DAB=∠AGD=90°,
∴∠BAF+∠DAF=90°,∠ADE+∠DAF=90°,
∴∠ADE=∠BAF,
∵DE=AF,
∴△ADE≌△BAF(AAS),
∴AD=AB,
∵四邊形ABCD是矩形,
∴四邊形ABCD是正方形;
(2)△AHF是等腰三角形,
理由:由(1)知四邊形ABCD是正方形,
∴∠DAB=∠ABH=90°,AB=DA,
∵BH=AE,
∴△DAE≌△ABH(SAS),
∴AH=DE,
∵DE=AF,
∴AH=AF,
∴△AHF是等腰三角形;
(3)延長CB到點H,使BH=AE=6,連接AH,
∵四邊形ABCD是菱形,
∴AD∥BC,AB=AD,
∴∠ABH=∠BAD,
∵BH=AE,
∴△DAE≌△ABH(SAS),
∴AH=DE,∠AHB=∠DEA=60°,
∵DE=AF,
∴AH=AF,
∴△AHF是等邊三角形,
∴AH=HF=HB+BF=AE+BF=6+2=8,
∴DE=AH=8.
(2024·福建中考)如圖,正方形ABCD的面積為4,點E,F,G,H分別為邊AB,BC, CD,AD的中點,則四邊形EFGH的面積為　2　. 第25課時　正方形
【知識要點】 【對點練習】
1.正方形的判定 (1)有一組鄰邊 并且有一個角是 的平行四邊形(定義); (2)一組鄰邊 的矩形; (3)一個角是 的菱形; (4)對角線相等且垂直的平行四邊形. 1.下列命題為真命題的是( ) A.四邊相等的四邊形是正方形 B.有一組鄰邊相等的矩形是正方形 C.對角線相等的四邊形是正方形 D.對角線互相垂直且平分的四邊形是正方形
2.正方形的性質 (1)正方形的四個角都是 ; (2)正方形的四條邊都 ; (3)正方形的兩條對角線 且互相 ,每一條對角線平分一組對角; (4)既是 對稱圖形,又是軸對稱圖形. 2.(1)正方形具有而矩形不一定具有的性質是( ) A.四個角都相等 B.對角線互相平分 C.對角線相等 D.對角線互相垂直 (2)正方形具有而菱形不一定具有的性質是( ) A.對角線互相垂直 B.對角線相等 C.對邊相等 D.鄰邊相等
考點1　正方形的性質
【示范題1】(2024·重慶中考)如圖,在邊長為4的正方形ABCD中,點E是BC上一點,點F是CD延長線上一點,連接AE,AF,AM平分∠EAF交CD于點M.若BE= DF=1,則DM的長度為( )
A.2 B.
C. D.
【跟蹤訓練】
1.(2024·重慶中考)如圖,在正方形ABCD的邊CD上有一點E,連接AE,把AE繞點E逆時針旋轉90°,得到FE,連接CF并延長與AB的延長線交于點G.則的值為( )
A. B. C. D.
2.(2024·煙臺中考)如圖,在正方形ABCD中,點E,F分別為對角線BD,AC的三等分點,連接AE并延長交CD于點G,連接EF,FG.若∠AGF=α,則∠FAG用含α的代數(shù)式表示為( )
A. B.
C. D.
考點2　正方形的判定
【示范題2】(2024·莆田模擬)如圖,點E為正方形ABCD外一點,∠AEB=90°,將Rt△ABE繞A點逆時針方向旋轉90°得到△ADF,DF的延長線交BE于H點.
(1)試判定四邊形AFHE的形狀,并說明理由;
(2)已知BH=7,BC=13,求DH的長.
【答題關鍵指導】
判定一個四邊形是正方形的步驟
(1)先證它是平行四邊形.
(2)再證有一組鄰邊相等(或一個角是直角).
(3)最后證它有一個角是直角(或有一組鄰邊相等).
【跟蹤訓練】
(2024·龍巖二模)問題解決:如圖1,在矩形ABCD中,點E,F分別在AB,BC邊上,DE=AF,DE⊥AF于點G.
(1)求證:四邊形ABCD是正方形;
(2)延長CB到點H,使得BH=AE,判斷△AHF的形狀,并說明理由.
【類比遷移】(3)如圖2,在菱形ABCD中,點E,F分別在AB,BC邊上,DE與AF相交于點G,DE=AF,∠AED=60°,AE=6,BF=2,求DE的長.
(2024·福建中考)如圖,正方形ABCD的面積為4,點E,F,G,H分別為邊AB,BC, CD,AD的中點,則四邊形EFGH的面積為 .

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