資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
2025江蘇版數學中考專題
第一部分 考點突破
第一章 數與式
第1節 實數
目標領航
真題演練
命題點1 實數的分類★☆☆
1．[2023淮安]下列實數中，無理數是（ ）
A. B. 0 C. D. 5
【答案】C
2．下列數：6，，，0，，，， （每兩個9之間依次多一個0）中，屬于整數的是____，屬于負分數的是______________________，屬于無理數的是____________________________________________________________________.
【答案】6，0； ，； ， （每兩個9之間依次多一個0）
命題點2 相反數、絕對值、倒數★★★
3．[2024鹽城]2 024的相反數是（ ）
A. 2 024 B. C. D.
【答案】B
4．[2024常州]的絕對值是（ ）
A. B. C. D. 2 024
【答案】D
5．[2024揚州]實數2的倒數是（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】D
命題點3 實數與數軸★☆☆
6．[2024蘇州]用數軸上的點表示下列各數，其中與原點距離最近的是（ ）
A. B. 1 C. 2 D. 3
【答案】B
7．[2023淮安三模]如圖，數軸上點所表示的實數是（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
8．[2023南京模擬]若有理數，，在數軸上的位置如圖所示，則化簡的結果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
命題點4 科學記數法★★★
9．[2024蘇州]蘇州市統計局公布，2023年蘇州市全年實現地區生產總值約為2.47萬億元，被譽為“最強地級市”.數據“2 470 000 000 000”用科學記數法可表示為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
10．[2024常州]2024年5月10日，記者從中國科學院國家天文臺獲悉，“中國天眼”近期發現了6個距離地球約50億光年的中性氫星系，這是人類迄今直接探測到的最遠的一批中性氫星系.50億光年用科學記數法表示為 （ ）
A. 光年 B. 光年 C. 光年 D. 光年
【答案】C
11．[2023泰州]跨學科·化學 溶度積是化學中沉淀的溶解平衡常數.常溫下的溶度積約為，將數據用科學記數法表示為________________.
【答案】
命題點5 平方根、算術平方根、立方根★☆☆
12．[2023無錫]實數9的算術平方根是（ ）
A. 3 B. C. D.
【答案】A
13．下列說法正確的是（ ）
A. 是的平方根 B. 0.2是0.4的平方根
C. 是的平方根 D. 是的平方根
【答案】D
14． ______，的算術平方根是________，的立方根是______.
【答案】5； ； 2
15．[2023無錫模擬]一個正數的平方根分別是和，則的值為______.
【答案】4
命題點6 實數的大小比較及無理數的估值★☆☆
16．[2023南通]如圖，數軸上，，，，五個點分別表示數1，2，3，4，5，則表示數 的點應在 （ ）
A. 線段上 B. 線段上 C. 線段上 D. 線段上
【答案】C
17．[2024鹽城]矩形相鄰兩邊長分別為、,設其面積為，則在哪兩個連續整數之間（ ）
A. 1和2 B. 2和3 C. 3和4 D. 4和5
【答案】C
18．[2023揚州]已知，，，則、、的大小關系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
19．[2023揚州模擬]已知是的小數部分，則的值為（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D.
【答案】D
20．比較大小：-____.（填“ ”“ ”或“”）
【答案】
21．[2023揚州二模]根據表格估算 ____.（精確到）
2.3 2.4 2.5 2.6
12.167 13.824 15.625 17.576
【答案】2.4
命題點7 實數的運算★☆☆
22．[2023常州]計算：________.
【答案】
23．計算：
（1） [2024蘇州]；
（2） [2024揚州]；
（3） [2024鹽城] .
解：（1） 原式．
（2） 原式．
（3）原式．
24．[2023蘇州三模]若、互為相反數，、互為倒數，的絕對值為2.
（1） 直接寫出，，的值；
（2） 求的值.
解：（1） ，，.
（2） 當時，原式；
當時，原式.
綜上，原式的值為5或1．
25．[2023蘇州模擬]第十四屆國際數學教育大會會徽的主題圖案有著豐富的數學元素，展現了我國古代數學的文化魅力，其右下方的“卦”是用我國古代的計數符號寫出的八進制數3745.八進制是以8作為進位基數的數字系統，有共8個基本數字.八進制數3745換算成十進制數是，表示的舉辦年份.
（1） 八進制數3747換算成十進制數是________；
（2） 小華設計了一個進制數234，換算成十進制數是193，求的值.
解：（1） 2 023.
（2） 依題意得，
解得，（舍去）．
故的值是9．
第2節 代數式與整式
目標領航
真題演練
命題點1 代數式及代數式求值★☆☆
1．李奶奶買了一筐草莓，連筐共，其中筐.將草莓平均分給4位小朋友，每位小朋友可分得 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
2．[2023南通]若，則的值為（ ）
A. 24 B. 20 C. 18 D. 16
【答案】D
3．[2024蘇州]若,則______.
【答案】4
命題點2 規律探究★☆☆
4．[2023鹽城一模]如圖是三角形數陣，，，若，相等，則用含的式子表示為________.
【答案】
5．[2022宿遷]按規律排列的單項式：，，，，， ，則第20個單項式是____________.
【答案】
6．[2023徐州一模]用大小相同的圓點擺成如圖所示的圖案，按照這樣的規律擺放，第12個圖案中圓點的個數為__.
【答案】93
【解析】第1個圖案中圓點的個數是，第2個圖案中圓點的個數是，第3個圖案中圓點的個數是，第4個圖案中圓點的個數是， 以此類推，第個圖案中圓點的個數是， 第12個圖案中圓點的個數是．
命題點3 整式的相關概念★☆☆
7．[2023泰州二模]單項式的次數是______.
【答案】1
8．[2023揚州模擬]若與是同類項，則________.
【答案】
命題點4 冪的運算★★☆
9．[2024連云港]下列運算結果等于的是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
10．[2024揚州]下列運算中正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
11．[2023鎮江]如圖，在甲、乙、丙三只袋中分別裝有球29個、29個、5個，先從甲袋中取出個球放入乙袋，再從乙袋中取出個球放入丙袋，最后從丙袋中取出個球放入甲袋，此時三只袋中球的個數都相同，則的值等于（ ）
A. 128 B. 64 C. 32 D. 16
【答案】A
【解析】由題意，得，
即，
解得
．
12．已知，，則________.
【答案】
13．計算：________.
【答案】
14．[2023南京]計算的結果是________.
【答案】
命題點5 整式的運算★★☆
15．[2023南通模擬]若是關于的完全平方式，則____________.
【答案】或7
16．計算的結果是____.
【答案】400
【解析】．
17．[2023宿遷]若實數滿足，則______________.
【答案】
【解析】，
，即，
．
18．[2024無錫]計算：.
解：原式
．
19．[2024常州]先化簡，再求值：,其中.
解：原式.
當時，原式.
20．[2023鹽城]先化簡，再求值：，其中，.
解：
．
當，時，
原式．
21．[2023無錫一模]已知多項式，.
（1） 當時，求的值.
（2） 小華認為無論取何值，的值都無法確定.小明認為可以取到適當的值，使代數式的值是常數.你認為誰的說法正確？請說明理由.
解：（1） ， 當時，原式
.
（2） 小明的說法正確，理由如下：
，
當，即時，．
命題點6 因式分解★★☆
22．已知，，則的值為 （ ）
A. B. 2 C. D. 4
【答案】A
23．已知實數，同時滿足，，則的值是（ ）
A. 2或 B. 2 C. 或6 D.
【答案】B
【解析】，，，，，，或，由題意得,．
24．分解因式：
（1） [2024鹽城] ______________；
（2） [2023南通] ____________；
（3） [2023常州] ____________________；
（4） [2024揚州] ________________；
（5） [2023南京三模] __________________.
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
25．若，則的值為______.
【答案】1
【解析】，．
26．[2023南京三模]
（1） 已知，是實數，證明：.
（2） 在中， ，，為直角邊，斜邊，則的最大值是__________.
解：（1） 證明：
，
，，
即.
（2） .
詳解：中， ，，為直角邊，斜邊，由勾股定理得，由（1）知，，即，的最大值是．
命題點7 幾何圖形中的乘法公式★☆☆
27．數形結合是解決數學問題的一種重要的思想方法，借助圖形的直觀性，可以幫助理解數學問題.
圖1 圖2 圖3
（1） 圖1中陰影部分的面積能解釋的乘法公式是________________________________；
（2） 圖2中陰影部分的面積能解釋的因式分解的式子是________________________________；
（3） 用4個全等的長和寬分別為，的長方形拼擺成一個如圖3所示的正方形，請你通過計算陰影部分的面積，直接寫出代數式,，之間的等量關系:________________________________．
【答案】（1）
（2）
（3）
第3節 分式
目標領航
真題演練
命題點1 分式的相關概念與性質★☆☆
1．[2023泰州模擬]代數式，，，，，中，屬于分式的有（ ）
A. 2個 B. 3個 C. 4個 D. 5個
【答案】B
2．[2023無錫模擬]下列分式中，是最簡分式的是 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
3．[2023常州]若代數式的值是0，則實數的值是（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
【答案】B
4．[2023蘇州二模]根據分式的基本性質將分式變形，下列正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
5．[2023南通二模]如果把分式中的和都擴大到原來的20倍，那么分式的值（ ）
A. 擴大到原來的20倍 B. 縮小到原來的
C. 擴大到原來的2倍 D. 不變
【答案】D
6．[2024鹽城]若有意義，則的取值范圍是________.
【答案】
7．[2023常州模擬]若分式的值為負數，則的取值范圍是____________________.
【答案】且
8．[2023南京一模]已知：分式的值為整數，則整數為____________________.
【答案】，1，2，4，5，7
【解析】, 分式的值為整數且為整數，
或或，
，1，2，4，5，7.
命題點2 分式的運算★★★
9．[2023無錫一模]，則等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
10．已知兩個不等于0的實數、滿足，則等于（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】A
【解析】方法一：．
方法二：，，．
11．[2023揚州一模]對于任意的值都有，則，的值分別為__________.
【答案】，3
【解析】
，
解得
12．計算：
（1） [2024揚州]；
（2） [2023南京]；
（3） [2023南通].
解：（1） 原式．
（2） 原式
．
（3） 原式
．
13．[2024連云港]下面是某同學計算的解題過程:
解：
……①
……②
.……③
上述解題過程從第幾步開始出現錯誤 請寫出完整的正確解題過程.
解：從第②步開始出現錯誤.正確的解題過程為：
原式
.
14．[2024蘇州]先化簡，再求值：,其中.
解：原式
.
當時，原式．
15．[2023鹽城二模]先化簡，再求值：，其中滿足.
解：原式，
，，
原式．
16．[2023連云港三模]先化簡，再求值：，其中是方程的根.
解：原式
，
是方程的根，
，，
時，原式無意義，
當時，原式．
第4節 二次根式
目標領航
真題演練
命題點1 二次根式有意義的條件★☆☆
1．[2024連云港]若在實數范圍內有意義，則的取值范圍是________.
【答案】
2．[2023常州模擬]若式子在實數范圍內有意義，則的取值范圍是______________________.
【答案】且
3．[2023連云港模擬]若有意義，則的取值范圍是______________________.
【答案】且
命題點2 同類二次根式、最簡二次根式★☆☆
4．下列各組二次根式中，化簡后是同類二次根式的是（ ）
A. 與 B. 與 C. 與 D. 與
【答案】D
5．若最簡二次根式、是同類二次根式，則______.
【答案】5
命題點3 二次根式的性質★☆☆
6．當時，代數式的值為，則當時，代數式的值為（ ）
A. B. 1 C. 2 D. 3
【答案】D
【解析】 當時，代數式的值為，，，
，， 當時，
.
7．[2023揚州二模]若，則的取值范圍是________.
【答案】
8．[2023無錫模擬]已知，，為三角形的三邊長，則____________.
【答案】
9．[2023宿遷模擬]已知，則______.
【答案】2 023
【解析】有意義，，即，，，，
．
10．已知，，滿足等式.
（1） 求，，的值.
（2） 以，，為三邊長能否構成三角形？若能構成三角形，判斷此三角形的形狀，并求出此三角形的面積；若不能，請說明理由.
解：（1） ，
，，，
，
，，
，，．
（2） 能，此三角形是直角三角形.
，，，
，
以，，為三邊長能構成三角形，
，，， 此三角形是直角三角形，面積為．
命題點4 二次根式的運算★☆☆
11．[2023泰州]計算等于（ ）
A. B. 2 C. 4 D.
【答案】B
12．[2023揚州一模]下列計算正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
13．[2023常州模擬]已知，則化簡后為 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，，，， 原式．
14．中國南宋大數學家秦九韶提出了“三斜求積術”，即已知三角形三邊長求三角形面積的公式：設三角形的三邊長分別為、、，則此三角形的面積可由公式求得，其中為該三角形周長的一半，這個公式也被稱為海倫-秦九韶公式.現有一個三角形，其邊長滿足，，則此三角形面積的最大值為（ ）
A. B. 3 C. D.
【答案】B
【解析】，，，，
，
當時，取最大值,為．
15．[2023南通]計算________.
【答案】
16．[2023南京]計算的結果是________.
【答案】
17．[2023泰州模擬]已知為正整數，也是正整數，那么滿足條件的的最小值是______.
【答案】2
18．[2023常州模擬]若的積是有理數，則無理數的值為________.
【答案】
19．將根號外的因式移到根號內：__________.
【答案】
【解析】有意義，，．
20．[2022泰州]計算：.
解：原式.
21．計算：.
解：原式．
22．已知：，，求的值.
解：，，
，，.
原式
.
23．先化簡，再求值：，其中.
解：，，
原式．
24．[2023蘇州模擬]已知是的小數部分，求的值.
解：由題意得,
．
第二章 方程（組）與不等式（組）
第1節 一次方程（組）
目標領航
真題演練
命題點1 一元一次方程★☆☆
1．[2023無錫模擬]若關于的一元一次方程的解是，則的值是（ ）
A. B. C. 6 D. 10
【答案】A
2．已知是關于的方程的解，那么關于的方程的解是______.
【答案】4
3．[2023揚州三模]規定一種新的運算：，則*的解是__________.
【答案】
命題點2 二元一次方程（組）★★☆
4．[2023無錫]下面4組數值中，不是二元一次方程的解的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
5．[2023鹽城一模]二元一次方程中，與互為相反數，則，的值分別為（ ）
A. ，4 B. 4， C. 3， D. ，3
【答案】D
6．[2023南通]若實數，，滿足，，則代數式的值可以是 （ ）
A. 3 B. C. 2 D.
【答案】D
【解析】由題意可得
則
.
7．已知、滿足方程組則的值為________.
【答案】
8．[2023常州模擬]若關于，的二元一次方程組的解也是二元一次方程的一個解，則的值為________.
【答案】
【解析】得，將代入①得，
方程組的解為
，．
9．解方程組：
（1） [2024蘇州]
（2） [2024常州]
解：（1）
得，，解得，
將代入①得，
方程組的解是
（2）
得，解得，
把代入①得，
方程組的解為
10．已知方程組的解也是關于、的方程的一個解，求的值.
解：
把②代入①得，
解得，將代入①得，
把，代入方程得，解得．
命題點3 一次方程（組）的實際應用★★☆
11．[2022宿遷]我國古代《算法統宗》里有這樣一首詩：“我問開店李三公，眾客都來到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.”詩中后面兩句的意思是：如果一間客房住7人，那么有7人無房可住；如果一間客房住9人，那么就空出一間客房.若設該店有客房間，房客人，則列出關于、的二元一次方程組正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
12．[2024鹽城]中國古代數學著作《增刪算法統宗》中記載的“繩索量竿”問題，大意是：現有一根竿子和一條繩索，用繩索去量竿子，繩索比竿子長5尺；若將繩索對折去量竿子，繩索就比竿子短5尺，問繩索、竿子各有多長 該問題中的竿子長為__尺.
【答案】15
13．[2024揚州]《九章算術》是中國古代的數學專著,是《算經十書》中最重要的一部，書中第八章內容“方程”里記載了一個有趣的追及問題，可理解為：速度快的人每分鐘走100米，速度慢的人每分鐘走60米，現在速度慢的人先走100米，速度快的人去追他.則速度快的人追上他需要____分鐘.
【答案】2.5
14．[2022南京]某文印店用2 660元購進一批白色復印紙和彩色復印紙，白色復印紙每箱80元，彩色復印紙每箱180元，購買白色復印紙的箱數比彩色復印紙的箱數的5倍少3箱.求購買的白色復印紙的箱數和彩色復印紙的箱數.
解：設購買的白色復印紙的箱數為，彩色復印紙的箱數為，
由題意得
解得
答：購買的白色復印紙的箱數為22，彩色復印紙的箱數為5.
15．甲、乙兩工程隊共同修建長度為的公路，原計劃30個月完工.實際施工時，甲隊通過技術創新，施工效率提高了，乙隊施工效率不變，結果提前5個月完工.求甲、乙兩工程隊原計劃平均每月分別修建的長度.
解：設甲工程隊原計劃平均每月修建，乙工程隊原計劃平均每月修建，根據題意得，
解得
答：甲工程隊原計劃平均每月修建，乙工程隊原計劃平均每月修建．
16．[2024蘇州]某條城際鐵路線共有A,B,C三個車站，每日上午均有兩班次列車從A站駛往C站，其中次列車從A站始發，經停B站后到達C站，次列車從A站始發，直達C站，兩個車次的列車在行駛過程中保持各自的行駛速度不變.某校數學學習小組對列車運行情況進行研究，收集到列車運行信息如下表所示.
列車運行時刻表
車次 A站 B站 C站
發車時刻 到站時刻 發車時刻 到站時刻
8:00 9:30 9:50 10:50
8:25 途經B站，不停車 10:30
請根據表格中的信息，解答下列問題：
（1） 次列車從A站到B站行駛了__分鐘，從B站到C站行駛了__分鐘.
（2） 記次列車的行駛速度為,離A 站的路程為;次列車的行駛速度為，離A站的路程為.
① ________；
② 從上午8:00開始計時，時長記為分鐘（如：上午,則）,已知千米/小時（可換算為4千米/分鐘）,在次列車的行駛過程中,若,求的值.
解：（1） 90；60.
① .
詳解：根據題意得次列車從站到站共需行駛分鐘，次列車從站到站共需125分鐘，，.
② 千米/分鐘，，
千米/分鐘，
（千米），
站與B站之間的路程為360千米，
（分鐘），
當時，次列車經過B站，
由題意可知，當時，次列車在B站停車，
次列車經過B站時，次列車正在B站停車，
．當時，，
，
，解得；
．當時，，
，
，解得，不合題意，舍去；
．當時，，
，
，解得，不合題意，舍去；
．當時，，
，
，解得.
綜上所述，當或125時，．
第2節 分式方程
目標領航
真題演練
命題點1 分式方程的解法★★☆
1．[2024無錫]分式方程的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
2．如果分式方程有增根，那么的值是 （ ）
A. 3 B. C. 6 D.
【答案】D
3．[2023南通一模]關于的方程的解是正數，則的取值范圍是（ ）
A. B.
C. 且 D. 且
【答案】D
4．[2023宿遷一模]若關于的分式方程的解大于1，則的取值范圍是____________________.
【答案】且
【解析】解分式方程得，當且，即且時，是原分式方程的解，根據題意可得，，且．
5．若關于的方程無解，則的值是____________________.
【答案】或
【解析】去分母，整理得， 分式方程無解， 分兩種情況討論：（1）整式方程無解，即，解得.
（2）分式方程有增根，或，即或，當時，整式方程無解；當時，，解得.綜上，或.
6．解方程：
（1） [2023泰州]；
（2） [2023連云港];
（3） .
解：（1） 方程兩邊同乘，
得，解得.
檢驗：當時，，
故原分式方程的解是．
（2） 方程兩邊同乘,
得，解得，
檢驗：當時，，
故原分式方程的解為．
（3） 方程兩邊同乘，
得，
整理得，解得．
檢驗：當時，，
故原分式方程無解．
命題點2 分式方程的實際應用★★☆
7．[2024揚州]為了提高垃圾處理效率，某垃圾處理廠購進A、B兩種機器，A型機器比B型機器每天多處理40噸垃圾，A型機器處理500噸垃圾所用天數與B型機器處理300噸垃圾所用天數相等.B型機器每天處理多少噸垃圾
解：設B型機器每天處理噸垃圾，則A型機器每天處理噸垃圾，
根據題意得，解得，
經檢驗，是原方程的解，且符合題意．
答：B型機器每天處理60噸垃圾．
8．[2023揚州]甲、乙兩名學生到離校的“人民公園”參加志愿者活動，甲同學步行，乙同學騎自行車，騎自行車速度是步行速度的4倍，甲出發后乙同學出發，兩名同學同時到達，求乙同學騎自行車的速度.
解：設甲同學步行的速度為，則乙同學騎自行車的速度為，
由題意得，解得，
經檢驗，是所列方程的解，且符合題意..
答：乙同學騎自行車的速度為.
9．[2024常州]書畫裝裱，是指為書畫配上襯紙、卷軸以便張貼、欣賞和收藏，是我國具有民族傳統的一門特殊藝術.如圖，一幅書畫在裝裱前的大小是.裝裱后，上、下、左、右邊襯的寬度分別是、、、.若裝裱后與的比是,且,,,求四周邊襯的寬度.
解：,,，
，，
由裝裱后與的比是得，解得，經檢驗，是原分式方程的解.
，.
答：上、下、左、右邊襯的寬度分別為、、、.
10．[2023南通]為推進全民健身設施建設，某體育中心準備改擴建一塊運動場地.現有甲、乙兩個工程隊參與施工，具體信息如下：
信息一
工程隊 每天施工面積（單位：） 每天施工費用（單位：元）
甲 3 600
乙 2 200
信息二
甲工程隊施工所需天數與乙工程隊施工所需天數相等．
（1） 求的值.
（2） 該工程計劃先由甲工程隊單獨施工若干天，再由乙工程隊單獨繼續施工，兩隊共施工22天，且完成的施工面積不少于.該段時間內體育中心至少需要支付多少施工費用？
解：（1） 根據題意得，
解得，經檢驗，是所列方程的解，且符合題意．
答：的值為600.
（2） 設甲工程隊施工天，則乙工程隊單獨施工天，根據題意得，
解得，
設該段時間內體育中心需要支付元施工費用，則，
即，
，隨的增大而增大，
當時，取得最小值，最小值．
答：該段時間內體育中心至少需要支付56 800元施工費用．
第3節 一元二次方程
目標領航
真題演練
命題點1 一元二次方程的概念與解法★★★
1．[2023常州模擬]關于的一元二次方程有一個根是0，則的值是（ ）
A. B. 2 C. 0 D. 或2
【答案】A
2．[2023鎮江]若是關于的一元二次方程的一個根，則的值為______.
【答案】5
3．解方程：
（1） [2024無錫];
（2） [2022徐州]；
（3） [2023無錫]；
（4） [2023蘇州模擬].
解：（1） ，
，
或，
解得,．
（2） ，
，
，
，.
（3） ，
，，，
，
，
，.
（4） ,
，
，
或，
，.
命題點2 一元二次方程根的判別式★★☆
4．[2024連云港]關于的一元二次方程有兩個相等的實數根，則的值為________.
【答案】
5．[2023揚州]若關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則實數的取值范圍為________.
【答案】
6．[2023常州一模]若關于的一元二次方程有實數根，則實數的取值范圍是________________________.
【答案】且
7．[2023揚州一模]已知關于的方程.
（1） 求證：無論取何值，此方程總有實數根；
（2） 若等腰的三邊長，，中，，、恰好是這個方程的兩個根，求的值.
解：（1） 證明：，
無論取何值，原方程總有實數根.
（2） 解方程，
得，，，
、、為等腰三角形的三邊長，
或，或4．
命題點3 一元二次方程根與系數的關系★☆☆
8．關于的方程（為常數）的根的情況，下列結論中正確的是（ ）
A. 有兩個正根 B. 有兩個負根
C. 有一個正根，一個負根 D. 無實數根
【答案】C
【解析】整理得，
，
方程有兩個不相等的實數根.
根據根與系數的關系，方程的兩個根的積為， 有一個正根，一個負根.
9．[2023泰州]關于的一元二次方程的兩根之和為________.
【答案】
10．若，是一元二次方程的兩個實數根，則的值為______.
【答案】3
【解析】，是一元二次方程的兩個實數根，，，，．
11．[2023無錫四模]已知： ，是一元二次方程的兩個實數根， ，， ，.
（1） 直接寫出，的值：______，______；
（2） 經計算可得，，，當時，請猜想，，之間滿足的數量關系，并給出證明.
解：（1） 1；3.
（2） 猜想：．
證明：根據根的定義，，
兩邊都乘，得，
同理，，
得，
，即．
命題點4 一元二次方程的實際應用★★★
12．[2023無錫]國家統計局統計數據顯示，2020年至2022年無錫居民人均可支配收入由5.76萬元增長到6.58萬元.設平均每年人均可支配收入增長的百分率為，下列方程正確的是 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
13．[2023蘇州模擬]某商店經銷一批小家電，每個小家電的成本是40元，經市場預測，定價為50元時，可銷售200個，定價每增加1元，銷售量將減少10個，如果商店進貨后全部銷售完，賺了2 160元，則該小家電的定價是____________.
【答案】52元或58元
【解析】設該小家電的定價是元，則每個小家電的利潤為元，可銷售個，根據題意得，整理得，解得，，即該小家電的定價是52元或58元．
14．[2023淮安]為了便于勞動課程的開展，學校打算建一個矩形生態園（如圖），生態園一面靠墻（墻足夠長），另外三面用的籬笆圍成.生態園的面積能否為？如果能，請求出的長；如果不能，請說明理由.
解：生態園的面積能為.
四邊形是矩形，
，，
設的長度為，則的長度為，由題意得，
整理得，
解得，，
生態園的面積能為，的長為或．
15．[2023鹽城模擬]某服裝銷售商用48 000元購進了一批時尚新款服裝，通過網絡平臺進行銷售，由于行情較好，第二次又用100 000元購進了同種服裝，第二次購進數量是第一次購進數量的2倍，每件的進價高了10元.
（1） 該銷售商第一次購進了這種服裝多少件？每件的進價是多少元？
（2） 該銷售商賣出第一批服裝后，統計發現：若按每件300元銷售，平均每天能賣出80件，銷售價每降低10元，則多賣出20件.依此行情，賣第二批服裝時，讓利促銷，并使一天的利潤恰好為3 600元，銷售價應為多少？
解：（1） 設第一次購進了這種服裝件，由題意得，
解得，經檢驗，是方程的解，且符合題意．
則．
答：第一次購進了這種服裝200件，每件的進價是240元.
（2） 設銷售價為元/件，則每天的銷售量為件．
由題意得，
整理得，
解得，．
讓利促銷， 取．
答：銷售價應為280元/件．
16．[2023蘇州模擬]某社區利用一塊長方形空地建了一個小型惠民停車場，其布局如圖所示，已知停車場的長為52米，寬為28米，陰影部分設計為停車位，其余部分是等寬的通道，已知停車位占地面積為640平方米.
（1） 求通道的寬.
（2） 該停車場共有64個車位，據調查發現：當每個車位的月租金為400元時，可全部租出；每個車位的月租金每上漲10元，就會少租出1個車位.當每個車位的月租金上漲時，停車場的月租金收入會超過27 000元嗎？
解：（1） 設通道的寬是米，則陰影部分可拼成長為米，寬為米的長方形，
依題意得，
整理得，
解得，．
又，，．
答：通道的寬是6米．
（2） 設當每個車位的月租金上漲（是10的整數倍）元時，停車場的月租金收入為元，則可租出個車位，
依題意得，
， 當時，取得最大值，最大值為27 040．
又， 停車場的月租金收入會超過27 000元．
第4節 一元一次不等式（組）
目標領航
真題演練
命題點1 不等式的基本性質★☆☆
1．[2024蘇州]若,則下列結論一定正確的是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
2．[2023南通一模]實數，，在數軸上的對應點的位置如圖所示，若，則下列結論中一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
命題點2 一元一次不等式（組）的解法★★☆
3．[2023南京一模]不等式的解集是__________.
【答案】
4．[2023宿遷]不等式的最大整數解是______.
【答案】3
5．已知關于的不等式的解集為，則的取值范圍為__________.
【答案】
6．已知,且,那么的取值范圍為____________.
【答案】
7．[2023南通二模]若關于的不等式組恰好有三個整數解，則的取值范圍是____________.
【答案】
【解析】解不等式組得， 不等式組只有三個整數解，
，解得．
8．[2024連云港]解不等式,并把解集在數軸上表示出來.
解：去分母，得，
去括號，得，
移項，得,
解得.
這個不等式的解集在數軸上表示如下：
9．[2024揚州]解不等式組并求出它的所有整數解的和.
解：解不等式，得，
解不等式，得，
則不等式組的解集為，
不等式組的所有整數解為1，2，3，所有整數解的和為．
10．[2023常州]解不等式組把解集在數軸上表示出來，并寫出整數解.
解：
解不等式①得，
解不等式②得，
不等式組的解集是，
在數軸上表示為：
整數解是0，1，2.
11．[2023揚州一模]已知關于的不等式組無解，求的取值范圍.
解：解不等式得，
解不等式得，
不等式組無解，，
．
命題點3 一元一次不等式（組）的實際應用★★☆
12．專賣店以元/件的價格購進一批防曬衣后，提價貼上標價牌，要保證不虧損，出售時可按標價最多打（取整數）（ ）
A. 5折 B. 6折 C. 7折 D. 8折
【答案】C
【解析】設可以打折銷售，依題意得，解得．
最多打7折．
13．[2023蘇州二模]新修訂的《中華人民共和國森林法》明確了每年3月12日為植樹節.2023年植樹節，某班開展植樹活動，欲購買甲、乙兩種樹苗.已知購買25棵甲種樹苗和10棵乙種樹苗共需1 250元，購買15棵甲種樹苗和5棵乙種樹苗共需700元.
（1） 求購買的甲、乙兩種樹苗的單價；
（2） 經商量，該班決定用不超過1 300元的費用購買甲、乙兩種樹苗共30棵，其中乙種樹苗的棵數不少于甲種樹苗棵數的，求購買的甲種樹苗棵數的取值范圍.
解：（1） 設甲，乙兩種樹苗的單價分別為元，元，
根據題意，得
解方程組，得
答：甲種樹苗的單價為30元，乙種樹苗的單價為50元．
（2） 設購買甲種樹苗棵，則購買乙種樹苗棵，根據題意，
得
解不等式組，得，
購買的甲種樹苗棵數．
14．[2022宿遷]某單位準備購買文化用品，現有甲、乙兩家超市進行促銷活動.兩家超市該文化用品的標價均為10元/件，甲超市一次性購買金額不超過400元的不優惠，超過400元的部分按標價的6折售賣；乙超市全部按標價的8折售賣.
（1） 若該單位需要購買30件這種文化用品，則在甲超市的購物金額為____元，在乙超市的購物金額為____元；
（2） 假如你是該單位的采購員，你認為選擇哪家超市支付的費用較少？
解：（1） 300；240.
（2） 設購買件這種文化用品．
當時，在甲超市的購物金額為元，在乙超市的購物金額為元，，
選擇乙超市支付的費用較少.
當時，在甲超市的購物金額為元，在乙超市的購物金額為元，
若，則；
若，則；
若，則．
綜上，當購買數量不足80件時，選擇乙超市支付的費用較少；當購買數量為80件時，選擇兩超市支付的費用相同；當購買數量超過80件時，選擇甲超市支付的費用較少．
15．[2023蘇州模擬]為迎接五一假期，某景區一商戶準備了兩種當地特產禮盒，按成本價1件種禮盒和2件種禮盒共需320元，2件種禮盒和3件種禮盒共需540元.
（1） 求、兩種禮盒每件的成本價分別是多少元.
（2） 已知種禮盒的售價為每件150元，種禮盒的售價為每件120元.商戶原計劃在五一當天將現有的、兩種禮盒共56件按售價全部售出，但在實際銷售過程中沒有全部售完，兩種禮盒的實際銷售利潤總和為1 320元.五一當天商戶最多賣出種禮盒多少件？
解：（1） 設種禮盒每件的成本價是元，種禮盒每件的成本價是元，
根據題意得
解得
答：種禮盒每件的成本價是120元，種禮盒每件的成本價是100元.
（2） 設五一當天商戶賣出件種禮盒，則售出件種禮盒，
根據題意得，
解得，又為正整數，
的最大值為33．
答：五一當天商戶最多賣出種禮盒33件．
16．[2023鹽城]某校舉行“二十大知識學習競賽”活動，老師讓班長小華到商店購買筆記本作為獎品.甲、乙兩家商店每本硬面筆記本比軟面筆記本都貴3元（單價均為整數）.
（1） 若班長小華在甲商店購買，他發現用240元購買硬面筆記本與用195元購買軟面筆記本的數量相同，求甲商店硬面筆記本的單價.
（2） 若班長小華在乙商店購買硬面筆記本，乙商店給出了硬面筆記本的優惠條件（軟面筆記本單價不變）一次購買的數量少于30本，按原價售出；不少于30本按軟面筆記本的單價售出.班長小華打算購買本硬面筆記本（為正整數），他發現再多購買5本的費用恰好與按原價購買的費用相同，求乙商店硬面筆記本的原價.
解：（1） 設甲商店硬面筆記本的單價為元，則甲商店軟面筆記本的單價為元，根據題意得，
解得，經檢驗，是所列方程的解，且符合題意．
答：甲商店硬面筆記本的單價為16元.
（2） 設乙商店硬面筆記本的原價為每本元，則乙商店軟面筆記本的原價為每本元，
根據題意得，
整理得，．
且，均為正整數，
，．
答：乙商店硬面筆記本的原價為每本18元．
微專題1 方程（組）與不等式（組）的含參問題
類型1 一次方程（組）中的含參問題
一、整數解
1．關于的方程的解為正整數，則整數________.
【答案】2，3，4，7
【解析】解方程得，
方程的解為正整數，,2,3,6， 整數，3，4，7.
2．若關于、的二元一次方程組有整數解，則負整數的值為________.
【答案】
【解析】解方程組可得 方程組有整數解，為10和15的公約數，又為負整數，，解得．
二、整體求解
3．已知關于的一元一次方程的解為，則關于的一元一次方程的解為________.
【答案】
【解析】 關于的一元一次方程的解為， 關于的一元一次方程中，解得．
4．已知的解是則的解為________________________________________.
【答案】
【解析】的解是,，
的解為
三、恒有固定解
5．已知，為定值，關于的方程，無論為何值，它的解總是，則______.
【答案】0
【解析】把代入方程，得，整理得，，，解得，,則．
6．已知關于，的二元一次方程，不論取何值，方程總有一個固定不變的解，這個解是________________________________________.
【答案】
【解析】方法1：把、分別代入原方程，可得方程組解得
方法 不論取何值，方程總有一個固定不變的解，解得
四、無數解
7．已知關于的方程有無數個解，則的值為________.
【答案】
【解析】，， 方程有無數個解，，，，，．
8．在關于、的方程組中，當________，________時，這個方程組有無數個解.
【答案】；
【解析】根據題意得，，解得，．
五、求參數的取值范圍
9．若關于的方程的解是負數，則的取值范圍是____________.
【答案】
【解析】解方程得，，.
10．若方程組的解，滿足，則的取值范圍是____________.
【答案】
【解析】
得，即，
，
11．若關于、的二元一次方程組的解滿足,,則實數的取值范圍是________________.
【答案】
【解析】解方程組得,，.
方法解讀
一次方程（組）中含參問題的解題方法
類別 方法
一、整數解 分式（、是整數）的值為整數，則 是 的約數
二、整體求解 若方程 的解為，則方程 的解滿足
三、恒有固定解 不論 取何值，方程總有一個固定不變的解，說明這個解與 的取值無關. 方法 任取兩個數值代入到原方程中，得到兩個方程，組成方程組即可求解； 方法2：將含 的項合并同類項，令其系數為0，得到兩個方程，組成方程組即可求解
四、無數解 關于 的方程 有無數解，則，
五、求參數的取值范圍 先解方程，再根據解的情況列不等式（組）
類型2 一次不等式（組）中的含參問題
一、已知解集求參數的值
12．若關于的兩個不等式與的解集相同，則的值為______.
【答案】1
13．已知關于的不等式組的解集為，則的值為________.
【答案】
二、已知解集求參數的取值范圍
14．[2023南通二模]若關于的不等式組的解集為，則的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】不等式組整理得由不等式組的解集為，得到，．
15．已知關于的不等式的解也是不等式的解，則常數的取值范圍是________________.
【答案】
【解析】解不等式得， 關于的不等式的解也是不等式的解，故， 不等式的解集是，，解得，，．
三、有解
16．若不等式組有解，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
17．若關于的不等式組有解，則的取值范圍是________.
【答案】
四、無解
18．關于的不等式組無解，則的取值范圍是________.
【答案】
19．已知關于的不等式組無實數解，則的取值范圍是__________.
【答案】
【解析】
解不等式①得，解不等式②得， 不等式組無實數解，
，解得．
五、整數解
20．[2023南通一模]若關于的不等式恰有3個正整數解，則的取值范圍是____________.
【答案】
【解析】，， 關于的不等式恰有3個正整數解， 正整數解為1，2，3，
，解得．
21．若關于的不等式組有且只有三個整數解，則實數的取值范圍是______________.
【答案】
【解析】不等式組整理得即，由不等式組有且只有三個整數解，得整數解為3，4，5，
，解得．
方法解讀
一次不等式（組）中含參問題的解題方法
類別 方法
一、已知解集求參數的值 先解不等式（組），再根據解集（或解集相關條件）列方程（組）
二、已知解集求參數的取值范圍 解不等式（組） 由解集情況，借助數軸或口訣判斷參數的取值范圍 驗證端點值是否符合題意 寫出正確答案
三、有解
四、無解
五、整數解
第三章 函數
第1節 平面直角坐標系與函數
目標領航
真題演練
命題點1 點的坐標特征★☆☆
1．[2023鹽城]在平面直角坐標系中，點在 （ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
2．在平面直角坐標系中，若點在第二象限，則整數的值為______.
【答案】2
3．[2023常州模擬]如圖，在軸，軸上分別截取，，使，再分別以點，為圓心，以大于長為半徑畫弧，兩弧交于點．若點的坐標為，則的值為______．
【答案】3
4．[2023泰州模擬]中國象棋是中華民族的文化瑰寶，因趣味性強，深受大眾喜愛.如圖，若在象棋棋盤上建立平面直角坐標系，使“帥”位于點，“馬”位于點，則“兵”位于點____________.
【答案】
【解析】如圖所示，“兵”位于點．
5．[2022南京]在平面直角坐標系中，正方形如圖所示，點的坐標是，點的坐標是，則點的坐標是____________.
【答案】
6．[2023連云港]畫一條水平數軸，以原點為圓心，過數軸上的每一刻度點畫同心圓，過原點按逆時針方向依次畫出與正半軸的角度分別為 、 、 、 、…、 的射線，這樣就建立了“圓”坐標系.如圖，在建立的“圓”坐標系內，我們可以將點、、的坐標分別表示為、、，則點的坐標可以表示為________________.
【答案】
7．[2022南京]如圖，在平面直角坐標系中，橫、縱坐標均為整數的點按如下規律依序排列：，，，，，，，，，，，，，， ，按這個規律，則是第__個點.
【答案】99
【解析】橫、縱坐標和是0的有1個點，橫、縱坐標和是1的有2個點，橫、縱坐標和是2的有3個點，橫、縱坐標和是3的有4個點， ，橫、縱坐標和是的有個點，， 橫、縱坐標和是13的14個點分別為、、、、、、、、、、、、、，，是第99個點．
命題點2 點的坐標變換★☆☆
8．[2023常州]在平面直角坐標系中，若點的坐標為，則點關于軸對稱的點的坐標為 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
9．[2024揚州]在平面直角坐標系中，點關于坐標原點的對稱點的坐標為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
10．[2022常州]在平面直角坐標系中，點與點關于軸對稱，點與點關于軸對稱．已知點，則點的坐標是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
11．如圖，平面直角坐標系中，點在第一象限，點在軸的正半軸上， ，.將繞點逆時針旋轉 ，點的對應點的坐標是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
12．[2023常州一模]在平面直角坐標系中，線段的端點坐標分別是，.平移得到線段，若點的對應點的坐標為，則點的對應點的坐標是____________.
【答案】
命題點3 函數自變量取值范圍的確定★☆☆
13．[2023無錫]函數中自變量的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
14．[2023揚州四模]函數的自變量的取值范圍是____________________.
【答案】且
命題點4 函數圖像的辨析★★☆
15．[2023常州]折返跑是一種跑步的形式.如圖，在一定距離的兩個標志物①、②之間，從①開始，沿直線跑至②處，用手碰到②后立即轉身沿直線跑至①處，用手碰到①后繼續轉身跑至②處，循環進行，全程無需繞過標志物.小華練習了一次的折返跑，用時.在整個過程中，他的速度大小隨時間變化的圖像可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由于體力原因，第一個速度快，用的時間少，第二個速度慢，用的時間多．
16．[2023鹽城]如圖，關于的函數的圖像與軸有且僅有三個交點，分別是，，，對此，小華認為：①當時，；②當時，有最小值；③點在函數的圖像上，符合要求的點只有1個；④將函數的圖像向右平移1個或3個單位長度經過原點.其中正確的結論有（ ）
A. 4個 B. 3個 C. 2個 D. 1個
【答案】C
【解析】①當時，或，不正確．②由圖像可知，當時，有最小值，正確．③令，，， 點在直線上．如圖，由圖像可以看出符合要求的點有3個，不正確．④將函數的圖像向右平移1個單位長度時，原圖像上坐標為的點在原點處；將函數的圖像向右平移3個單位長度時，原圖像上坐標為的點在原點處，正確．綜上，只有②④正確．
17．[2023南通]如圖1，中， ，，.點從點出發沿折線運動到點停止，過點作，垂足為.設點運動的路徑長為，的面積為，若與的對應關系如圖2所示，則的值為 （ ）
圖1 圖2
A. 54 B. 52 C. 50 D. 48
【答案】B
【解析】 ，，，.
①當時，點D在邊上，如圖1，此時，，，，，，，，，，當時，，.
②當時，點D在邊上，如圖2，此時，，，，，，，，，當時，，，．
圖1 圖2
18．[2023蘇州三模]如圖①，為矩形的邊上一點，點從點出發沿折線運動到點停止，點從點出發沿運動到點停止，它們的運動速度都是.現，兩點同時出發，設運動時間為，的面積為，若與的對應關系如圖②所示，則矩形的面積是________________.
圖① 圖②
【答案】
【解析】從函數的圖像和運動的過程可以得出：當點運動到點時，，，過點作于，由三角形面積公式得，，又,，由題圖可知當時，點與點重合，， 矩形的面積為．
第2節 一次函數的圖像與性質
目標領航
真題演練
命題點1 一次函數的圖像與性質★★☆
1．已知點,在一次函數的圖像上，則與的大小關系是 （ ）
A. B. C. D. 無法確定
【答案】C
2．[2023無錫一模]正比例函數的圖像過第二、四象限，則一次函數的圖像大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
3．[2023南通]已知一次函數，若對于范圍內任意自變量的值，其對應的函數值都小于，則的取值范圍是________.
【答案】
【解析】由題意得，
解得．
4．[2023泰州二模]關于的一次函數的圖像過點，，，若，則的取值范圍是____________________________.
【答案】或
【解析】， 一次函數的圖像過定點， 一次函數的圖像過點，，，且，，
或
或
或．
5．[2023南京一模]如圖，一次函數的圖像分別與軸、軸交于點，.
（1） 用“ ”“”或“ ”填空：____0，________0.
（2） 用直尺和圓規作出下列函數的圖像.（保留作圖痕跡）
；；.
解：（1） ； .
（2） 如圖.
提示：①如圖，截取,,則直線即為的圖像；
②如圖，截取,則直線即為的圖像；
③如圖，截取,則直線即為的圖像.
命題點2 一次函數圖像的平移★★☆
6．[2023無錫]將函數的圖像向下平移2個單位長度，所得圖像對應的函數表達式為 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
7．[2023南通一模]將一次函數的圖像向下平移2個單位長度后經過點，則的值為______.
【答案】4
命題點3 一次函數與方程（組）、不等式的關系★★☆
8．[2024揚州]如圖，已知一次函數的圖像分別與、軸交于、兩點，若,,則關于的方程的解為__________.
【答案】
9．[2022揚州]如圖，函數的圖像經過點，則關于的不等式的解集為__________.
【答案】
10．若函數的圖像如圖所示，則關于的不等式的解集是________.
【答案】
【解析】把代入得，則，所以可化為，即，因為，所以．
命題點4 一次函數解析式的確定★★☆
11．[2023揚州二模]如圖是某臺階的一部分，每一級臺階的寬度和高度之比為，在如圖所示的平面直角坐標系中，點的坐標是，若直線同時經過點，，，，，則與的乘積為（ ）
A. B. 3 C. D. 5
【答案】B
【解析】如圖所示，設直線與，軸的交點分別為，，于點，，，依題意得，，， ,, 每一級臺階的寬度和高度之比為，，，即， 直線解析式為，將代入得，解得，．
12．[2023鎮江模擬]如圖，點的坐標為，直線與軸交于點，與軸交于點，點在直線上運動.當線段最短時，點的坐標為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】當線段最短時，， 設直線的解析式為， 點A的坐標為，，， 直線的解析式為，聯立得解得
13．[2023無錫]請寫出一個函數，使得它的圖像經過點____________________________.
【答案】（答案不唯一）
14．[2023蘇州]已知一次函數的圖像經過點和,則________.
【答案】
15．[2024蘇州]直線與軸交于點,將直線繞點逆時針旋轉 ，得到直線,則直線對應的函數表達式是____________.
【答案】
【解析】如圖所示，
將代入，得，
點坐標為．
將代入，得，
點的坐標為，
，
，
．
由旋轉可知， ，
．
在中，
，
，
則點的坐標為．
設直線的函數表達式為，
則解得
直線的函數表達式為．
16．[2023蘇州模擬]如圖，直線與軸，軸分別交于點，，直線經過點，與軸負半軸交于點，且 ，則直線的函數表達式為________________.
【答案】
【解析】過點作交于點，過點作軸于， ，是等腰直角三角形，，
，，在和中，
，，， 直線與軸，軸分別交于點，， 點、，，，，設直線的函數表達式為，代入，得解得 直線的解析式為．
17．[2023泰州模擬]已知直線過點且平行于軸，點的坐標為，將直線繞點逆時針旋轉 ，則旋轉后的直線對應的函數表達式為____________.
【答案】
【解析】設繞點逆時針旋轉 的對應點為，旋轉后的直線交直線于，連接,,過作 直線于，如圖， ，，是等邊三角形， ， ，，，，，，， ，，，，設直線的解析式為，將，代入得解得
直線的解析式為．
18．[2023宿遷模擬]如圖，已知直線與軸交于點，與軸交于點，與直線交于點，直線與軸交于點.
（1） 求直線的解析式；
（2） 求四邊形的面積.
解：（1） 直線過，，，
把代入得，解得，
直線的解析式為．
（2） 把代入，得，解得，，
把代入得，，，，
把代入得，，，，
過點作軸于，
四邊形的面積為．
第3節 一次函數的實際應用
真題演練
命題點1 注水問題★★☆
1．[2022蘇州]一個裝有進水管和出水管的容器，開始時，先打開進水管注水，3分鐘時，再打開出水管排水，8分鐘時，關閉進水管，直至容器中的水全部排完.在整個過程中，容器中的水量（升）與時間（分鐘）之間的函數關系如圖所示，則圖中的值為________.
【答案】
【解析】設出水管每分鐘排水升.由題意知進水管每分鐘進水10升，且，，.
2．[2022南京]某蔬菜基地有甲，乙兩個用于灌溉的水池，它們的最大容量均為，原有水量分別為，，現向甲、乙同時注水，直至兩水池均注滿為止.已知每分鐘向甲、乙的注水量之和恒定為，若其中某一水池注滿，則停止向該水池注水，改為向另一水池單獨注水.設注水第時，甲、乙水池中的水量分別為，.
（1） 若每分鐘向甲注水，分別寫出、與之間的函數表達式；
（2） 若每分鐘向甲注水，畫出與之間的函數圖像；
（3） 若每分鐘向甲注水，則甲比乙提前注滿，求的值.
解：（1） 若每分鐘向甲注水，則每分鐘向乙注水， 注滿甲需要，注滿乙需要， 甲、乙同時注滿，
，.
（2） 若每分鐘向甲注水，則每分鐘向乙注水， 注滿甲需要，
注滿乙需要， 甲在時注滿，之后每分鐘向乙注水，
，，
與之間的函數圖像如下.
（3） 由題意得，解得，經檢驗，是原方程的解，且符合題意，
的值為.
命題點2 行程問題★★★
3．[2023鎮江]小明從家出發到商場購物后返回，如圖表示的是小明離家的路程與時間之間的函數關系，已知小明購物用時，返回速度是去商場的速度的1.2倍，則的值為（ ）
A. 46 B. 48 C. 50 D. 52
【答案】D
4．[2023淮安]快車和慢車同時從甲地出發，以各自的速度勻速向乙地行駛，快車到達乙地卸裝貨物用時，結束后，立即按原路以另一速度勻速返回，直至與慢車相遇，已知慢車的速度為.兩車之間的距離與慢車行駛的時間的函數圖像如圖所示.
（1） 請解釋圖中點的實際意義；
（2） 求出圖中線段所表示的函數表達式；
（3） 兩車相遇后，如果快車以返回的速度繼續向甲地行駛，求到達甲地還需多長時間.
解：（1） 點的實際意義是：出發時，快車到達乙地，此時快車與慢車相距.
（2） 點的橫坐標為，點的縱坐標為，
點的坐標為，
設直線所表示的函數表達式為，將，代入得解得
線段所表示的函數表達式為.
（3） ，
快車從乙地返回甲地的速度為，
.
答：快車到達甲地還需.
5．[2023南京一模]如圖①，小明家，媽媽的單位和超市在一條直線上，一天傍晚，小明從家步行去超市，與此同時媽媽從單位騎行回家拿東西，再以相同的速度騎行去超市，如圖②，線段和折線分別表示小明和媽媽離家的距離與出發時間的關系.
圖① 圖②
（1） 小明步行的速度是____，媽媽的單位距離超市____;
（2） 求線段所表示的與之間的函數表達式；
（3） 當__________________時，小明與媽媽相距.
解：（1） 100；800
（2） 由圖像知，媽媽的速度為，媽媽從家到超市所用時間為， 媽媽在家拿東西的時間為，，
設直線所表示的函數表達式為，
把，代入得解得
線段所表示的函數表達式為.
（3） 或4或10.
詳解：①當小明媽媽從單位騎行回家時，由題意得，解得；②當時，小明走了，當時，媽媽在家停留，小明又走了， 當時，小明與媽媽相距；③當小明媽媽回家后再以相同的速度騎行去超市時，由題意得，解得.綜上，當或4或10時，小明與媽媽相距.
6．[2023蘇州]某動力科學研究院實驗基地內裝有一段筆直的軌道，長度為的金屬滑塊在上面做往返滑動.如圖，滑塊首先沿方向從左向右勻速滑動，滑動速度為，滑動開始前滑塊左端與點重合，當滑塊右端到達點時，滑塊停頓，然后再以小于的速度勻速返回，直到滑塊的左端與點重合，滑動停止.設時間為時，滑塊左端離點的距離為，右端離點的距離為，記，與具有函數關系.已知滑塊在從左向右滑動過程中，當和時，與之對應的的兩個值互為相反數；滑塊從點出發到最后返回點，整個過程總用時（含停頓時間）.請你根據所給條件解決下列問題：
（1） 滑塊從點到點的滑動過程中，的值____________；（填“由負到正”或“由正到負”）
（2） 滑塊從點到點的滑動過程中，求與的函數表達式；
（3） 在整個往返過程中，若，求的值.
解：（1） 由負到正.
（2） 設軌道的長為，當滑塊從左向右滑動時，,
,，
是的一次函數,
當和時，與之對應的的兩個值互為相反數,
當時，,
,，
滑塊從點到點所用的時間為，
整個過程總用時 （含停頓時間）,當滑塊右端到達點時，滑塊停頓, 滑塊從點到點所用的時間為,
滑塊返回的速度為，
當時，,,,
與的函數表達式為.
（3） 當時，有兩種情況：
①當時，,
;
②當時，,
.
綜上所述，當或18時，.
命題點3 階段收費問題★★★
7．[2023連云港]目前，我市對市區居民用氣戶的燃氣收費，以戶為基礎、年為計算周期設定了如下表的三個氣量階梯：
階梯 年用氣量 銷售價格 備注
第一階梯 （含400）的部分 2.67元/ 若家庭人口超過4人，每增加1人，第一、二階梯年用氣量的上限分別增加、
第二階梯 （含）的部分 3.15元/
第三階梯 以上的部分 3.63元/
（1） 一戶家庭人口為3人，年用氣量為，則該年此戶需繳納燃氣費用為____元；
（2） 一戶家庭人口不超過4人，年用氣量為，該年此戶需繳納燃氣費用為元，求與的函數表達式；
（3） 甲戶家庭人口為3人，乙戶家庭人口為5人，某年甲戶、乙戶繳納的燃氣費用均為3 855元，求該年乙戶比甲戶多用多少立方米的燃氣.（結果精確到）
解：（1） 534.
（2） 根據題意得，
關于的函數表達式為.
（3） ， 甲戶該年的用氣量達到了第三階梯，
由（2）知，當時，，解得.
又，且， 乙戶該年的用氣量達到第二階梯，但未達到第三階梯，設乙戶年用氣量為，則有，解得，
.
答：該年乙戶比甲戶多用約26立方米的燃氣.
命題點4 銷售問題★★★
8．[2023揚州]近年來，市民交通安全意識逐步增強，頭盔需求量增大.某商店購進甲、乙兩種頭盔，已知購買甲種頭盔20只，乙種頭盔30只，共花費2 920元，甲種頭盔的單價比乙種頭盔的單價高11元.
（1） 甲、乙兩種頭盔的單價各是多少元
（2） 商店決定再次購進甲、乙兩種頭盔共40只，正好趕上廠家進行促銷活動，促銷方式如下：甲種頭盔按單價的八折出售，乙種頭盔每只降價6元出售.如果此次購買甲種頭盔的數量不低于乙種頭盔數量的一半，那么應購買多少只甲種頭盔，使此次購買頭盔的總費用最小 最小費用是多少元
解：（1） 設甲種頭盔的單價為元，乙種頭盔的單價為元，
根據題意，得
解得
答：甲種頭盔的單價是65元，乙種頭盔的單價是54元.
（2） 設再次購進甲種頭盔只，則購進乙種頭盔只，總費用為元，根據題意，得，
解得.
，，
隨著的增大而增大，
為正整數， 當時，取得最小值，最小值為.
答：購買14只甲種頭盔時，總費用最小，最小費用為1 976元.
9．[2022南通]某水果店購進甲、乙兩種蘋果的進價分別為8元/、12元/,這兩種蘋果的銷售額（單位:元）與銷售量（單位:）之間的關系如圖所示.
（1） 寫出圖中點表示的實際意義.
（2） 分別求甲、乙兩種蘋果銷售額（單位:元）與銷售量（單位:）之間的函數解析式，并寫出的取值范圍.
（3） 若不計損耗等因素，當甲、乙兩種蘋果的銷售量均為時，它們的利潤和為1 500元.求的值.
解：（1） 兩種蘋果銷售量都是時，銷售額相同，均為1 200元.
（2） 設甲種蘋果銷售額與銷售量之間的函數解析式為.
的圖像過點，
，解得.
甲種蘋果銷售額與銷售量的函數解析式為.
當時，設乙種蘋果銷售額與銷售量之間的函數解析式為.
的圖像過點,
，解得.
.
當時，設乙種蘋果銷售額與銷售量之間的函數解析式為.
的圖像過點，，
解得
.
乙種蘋果銷售額與銷售量之間的函數解析式為
（3） ①當時，由題意得，
解得，不合題意，舍去.
②當時，由題意得，
解得的值為80.
第4節 反比例函數
目標領航
真題演練
命題點1 反比例函數的圖像與性質★☆☆
1．[2022南京]反比例函數為常數，的圖像位于（ ）
A. 第一、三象限 B. 第二、四象限
C. 第一、二象限 D. 第三、四象限
【答案】A
2．[2024揚州]在平面直角坐標系中，函數的圖像與坐標軸的交點個數是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
【答案】B
3．[2023鎮江]點、在反比例函數的圖像上，則____（用“ ”“ ”或“”填空）.
【答案】
4．原創題 已知反比例函數.
（1） 當時，的取值范圍是____________；
（2） 當時，的取值范圍是______________________；
（3） 當時，的取值范圍是______________________；
（4） 當時，的取值范圍是____________.
【答案】（1）
（2） 或
（3） 或
（4）
5．原創題 已知點、在反比例函數的圖像上.
（1） 若，則的取值范圍是____________；
（2） 若，則的取值范圍是______________________.
【答案】（1）
（2） 或
【解析】（1） 在反比例函數中，， 在同一象限內隨的增大而減小，，， 這兩個點不會在同一象限，，解得.
（2） 在反比例函數中，， 在同一象限內隨的增大而減小，，， 這兩個點在同一象限，或，解得或.
命題點2 反比例函數解析式的確定★☆☆
6．[2022淮安]在平面直角坐標系中，將點向下平移5個單位長度得到點，若點恰好在反比例函數的圖像上，則的值是________．
【答案】
7．[2023徐州]如圖，點在反比例函數的圖像上，軸于點，軸于點，.一次函數的圖像與交于點，若為的中點，則的值為______.
【答案】4
【解析】設一次函數圖像與軸的交點為，與軸的交點為，則，，，軸于點，軸于點，， 四邊形是正方形，軸，，，，，為的中點，為的中點，，，，.
8．[2024揚州]如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標為,點在反比例函數的圖像上，軸于點, ,將沿翻折，若點的對應點落在該反比例函數的圖像上，則的值為________.
【答案】
【解析】如圖,過點作軸于點，設.
由翻折可知, , ,
,又軸，
,
,,
點的坐標為,,
,,
點與點在反比例函數的圖像上,
,
解得,（舍），
.
命題點3 反比例函數系數的幾何意義★★☆
9．[2024蘇州]如圖，點為反比例函數圖像上的一點，連接,過點作的垂線與反比例函數的圖像交于點,則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如圖，作軸，垂足為，軸，垂足為，
點A在反比例函數的圖像上，點B在反比例函數的圖像上，
，，
， ，
， ，，
又，
，
，
．
10．[2023連云港]如圖，矩形的頂點在反比例函數
的圖像上，頂點、在第一象限，對角線軸，交軸于點.若矩形的面積是6，，則________.
【答案】
【解析】作軸于，
矩形的面積是6，的面積是3， ，，， 對角線軸，， ，，，，，，，.
11．[2022南通]平面直角坐標系中，已知點，，是函數圖像上的三點.若,則的值為________.
【答案】
【解析】不妨設.如圖，連接.
,, 點、點關于原點對稱，， 點,在的圖像上，,,.過點作軸的垂線，過點作軸的垂線，垂足分別為、，直線與直線交于點， 點坐標為,點坐標為,點坐標為,,.
命題點4 一次函數與反比例函數★☆☆
12．[2023鎮江二模]在平面直角坐標系中，若雙曲線與直線恰有1個公共點，則的值是________．
【答案】
13．[2023宿遷模擬]如圖，直線與軸交于點，與雙曲線交于點，過點作軸的垂線，與雙曲線交于點，且，則的值為______.
【答案】4
【解析】 直線與軸交于點， 點的坐標為，又 過點作軸的垂線，與雙曲線交于點， 點的坐標為，， 點在線段的垂直平分線上， 點的縱坐標為， 點在雙曲線上， 點的坐標為，又 點在直線上，，解得.
14．[2024蘇州]如圖，中，, ，,,反比例函數的圖像與交于點,與交于點.
（1） 求,的值；
（2） 點為反比例函數圖像上一動點（點在,之間運動，不與,重合），過點作,交軸于點,過點作軸，交于點,連接,求面積的最大值，并求出此時點的坐標.
解：（1） ，，
．又，．
， 點．
設直線的函數表達式為，將，代入，得解得
直線的函數表達式為．
將代入，得．
.
將代入，得，
解得．
（2） 延長交軸于點，交于點．
， ，
，軸，
， ，
， ，
，，
設點的坐標為,則，，，
， 當時，有最大值，最大值為，此時．
命題點5 反比例函數的實際應用★☆☆
15．[2023南京]甲、乙兩地相距，汽車從甲地勻速行駛到乙地，則汽車行駛的時間（單位：）與行駛速度（單位：）之間的函數圖像是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
16．[2024連云港]跨學科·物理 杠桿平衡時，“阻力×阻力臂動力×動力臂”.已知阻力和阻力臂分別為和,動力為,動力臂為.則動力關于動力臂的函數表達式為____________.
【答案】
17．[2023揚州]跨學科·物理 某氣球內充滿了一定質量的氣體，在溫度不變的條件下，氣球內氣體的壓強是氣球體積的反比例函數，且當時，.當氣球內的氣體壓強大于時，氣球將爆炸，為確保氣球不爆炸，氣球的體積應不小于____.
【答案】0.6
微專題2 反比例函數與一次函數的綜合應用
類型1 交點問題
1．[2023鹽城一模]方程的根可以視為函數的圖像與函數的圖像交點的橫坐標，那么用此方法可推斷出方程的實數根所在的范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由可得， 方程的根可視為和圖像的交點的橫坐標，當時，，，，當時，，，，.
思路提示
兩個函數圖像的交點左、右兩側函數值的相對大小不同，據此可估計交點的橫坐標的取值范圍.
2．[2023連云港三模]如圖，已知直線與雙曲線的一個交點坐標為，則它們的另一個交點坐標是____________.
【答案】
3．在平面直角坐標系中，直線與雙曲線交于，兩點，若點，的縱坐標分別為，，則的值為______.
【答案】0
、思路提示
正比例函數 與反比例函數，當、同號時，兩函數圖像有兩個交點，這兩個交點關于原點對稱.
4．在平面直角坐標系中，函數與的圖像交于點，則代數式的值是______.
【答案】6
思路提示
將點的坐標代入兩個函數解析式中，求出相應代數式的值，再整體代入，可以化繁為簡.
5．[2024連云港]如圖1,在平面直角坐標系中，一次函數的圖像與反比例函數的圖像交于點、,與軸交于點,點的橫坐標為2.
圖1 圖2
（1） 求的值；
（2） 利用圖像直接寫出時的取值范圍；
（3） 如圖2,將直線沿軸向下平移4個單位，與函數的圖像交于點,與軸交于點,再將函數的圖像沿平移，使點、分別平移到點、處，求圖中陰影部分的面積.
解：（1） 點在 的圖像上，
當時，.
將代入，得.
（2） 或.
詳解：由（1）可知一次函數解析式為，
聯立得解得或
，
根據圖像可知不等式的解集為或.
（3） 由題意可知，.
如圖，過點作，垂足為，可求得.
又，，，
由平移的性質可知，陰影部分的面積就是的面積，即.
類型2 線段問題
6．[2023淮安]如圖，在平面直角坐標系中，一次函數的圖像分別與軸、軸交于、兩點，且與反比例函數在第一象限內的圖像交于點.若點坐標為，，則的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】過點C作軸于點D，則，,
,,，
,，，
點在的圖像上，
，解得， 直線的解析式為，當時，，即，.
方法解讀
“反比例函數與一次函數圖像中的線段成比例”常用解題方法
（1）過交點向 軸或 軸作垂線;
（2）通過構造全等三角形或相似三角形，表示出線段之間的關系;
（3）設出線段的長度，表示出點的坐標;
（4）求解.
7．[2023蘇州]如圖，一次函數的圖像與反比例函數的圖像交于點.將點沿軸正方向平移個單位長度得到點,為軸正半軸上的點,點的橫坐標大于點的橫坐標,連接,的中點在反比例函數的圖像上.
（1） 求,的值.
（2） 當為何值時,的值最大 最大值是多少
解：（1） 把代入，得.
把代入，得.
（2） 點的橫坐標大于點的橫坐標, 點在點的右側.
如圖,過點作軸的垂線,分別交,軸于點，.
，.
在和中，
，
，.
，，.
點沿軸正方向平移個單位長度得到點，，
，，
，
當時，取得最大值，最大值為36.
8．[2023泰州二模]在平面直角坐標系中，函數的圖像和直線為常數，且如圖所示，若函數與的圖像有一個交點.
（1） 求，的值.
（2） 過動點作平行于軸的直線，分別交函數和的圖像于點、.在點運動的過程中，、、三點中的一點是另外兩點所連線段的中點，求此時的值.
解：（1） 把代入得，，把代入，
得，解得.
（2） 由題意得，.
①當點是線段的中點時，根據題意，得，整理得，，
方程無解，此情況不符合題意；
②當點是線段的中點時，根據題意，得，整理得，；
③當點是線段的中點時，根據題意，得，整理得，或（負值舍去）.
綜上所述，或.
思路提示
未確定、、的相對位置時，需分類討論.
類型3 面積問題
9．如圖，一次函數的圖像與反比例函數的圖像在第一象限內交于點、，與軸交于點，．若的面積為8，則的值為（ ）
A. 2 B. C. D. 4
【答案】C
【解析】分別過點A、B作軸于D、軸于，如圖所示，，，是的中位線，，設，則，對于，當時，，當時，， 點，點，的面積為8,，，，．
方法解讀
求不規則三角形面積的常用方法
方法1：
圖① 圖②
圖①:;
圖②:.
方法2：
.
方法3：
.
10．[2023鹽城]如圖，在平面直角坐標系中，點，都在反比例函數的圖像上，延長交軸于點，過點作軸于點，連接并延長，交軸于點，連接．若，的面積是，則的值為______．
【答案】6
【解析】過點分別作于點，于點，設點，則，，
，，即，，
，，
，，
由點、的坐標得直線的表達式為， 點，
由點、的坐標得直線的表達式為，
點，，
，
.
11．[2023無錫模擬]如圖，在平面直角坐標系中,直線與軸相交于點，與反比例函數在第一象限內的圖像相交于點．直線向上平移后與反比例函數圖像在第一象限內交于點，且的面積為18，則平移后的直線的解析式是____________．
【答案】
【解析】過點作軸于，過點作軸于，對于，令，則，，將代入中得，解得，則，即，，設反比例函數解析式為，將代入反比例函數解析式得，則.
設平移后的直線解析式為，點的橫坐標為，則，將代入反比例函數解析式得，，，解得，則平移后的直線解析式為.
12．[2023蘇州一模]如圖，一次函數的圖像與反比例函數的圖像交于點和點，與軸交于點.
（1） 求一次函數和反比例函數的表達式.
（2） 連接，，在直線上是否存在點，使的面積是面積解：（1） 由題意得，
解得，
點的坐標為，點的坐標為，，
將和代入中，得解得
一次函數表達式為，反比例函數表達式為.
（2） 存在.
一次函數的圖像與軸交于點， 點坐標為，
，
，
的面積為，
設點縱坐標為，
，解得或，
點在直線上，
或，
解得或，
點坐標為或.
第5節 二次函數的圖像與性質
目標領航
真題演練
命題點1 二次函數的圖像與性質★★★
1．[2022泰州]已知點、、在下列某一函數圖像上，且，那么這個函數是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
2．[2023揚州]已知二次函數為常數，且,下列結論：
①函數圖像一定經過第一、二、四象限；②函數圖像一定不經過第三象限；③當時，隨的增大而減小；④當時，隨的增大而增大.其中所有正確結論的序號是（ ）
A. ①② B. ②③ C. ② D. ③④
【答案】B
【解析】， 拋物線開口向上，對稱軸為直線， 當時，隨的增大而減小，當時，隨的增大而增大，故③正確，④錯誤；由題意得拋物線與軸的交點為，, 對稱軸在軸右側， 函數圖像一定不經過第三象限，可能經過第一、二、四象限，故①錯誤，②正確.
3．[2023揚州一模]已知，則的最小值是（ ）
A. 8 B. C. D. 9
【答案】A
【解析】，，，， 當時，取最小值，最小值是8.
4．[2023鎮江]二次函數的最大值等于______.
【答案】9
5．[2022徐州]若二次函數的圖像上有且只有三個點到軸的距離等于，則的值為______．
【答案】4
【解析】， 拋物線開口向上，對稱軸為直線，頂點為， 頂點到軸的距離為4， 拋物線上有且只有三個點到軸的距離為， 這三個點中有一個點為頂點，．
6．[2022鹽城]若點在二次函數的圖像上，且點到軸的距離小于2，則的取值范圍是____________.
【答案】
【解析】， 二次函數的圖像開口向上，對稱軸是直線，時，隨的增大而減小，時，隨的增大而增大，到軸的距離小于2，，而，當時，，當時，，當時，，的取值范圍是.
7．[2023南京模擬]已知點、、在二次函數的圖像上，且為拋物線的頂點.若，則的取值范圍是__________.
【答案】
【解析】， 拋物線的對稱軸為直線 點為拋物線頂點，且， 拋物線開口向下，，、，，解得.
命題點2 二次函數圖像的平移、對稱★★☆
8．[2023徐州]在平面直角坐標系中，將二次函數的圖像向右平移2個單位長度，再向下平移1個單位長度，所得拋物線對應的函數表達式為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
9．已知拋物線的對稱軸在軸右側，將該拋物線先向右平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度，得到的拋物線恰好經過坐標原點，則的值是（ ）
A. 或2 B. C. 2 D.
【答案】B
【解析】 拋物線的對稱軸在軸右側，， 拋物線， 平移后的拋物線表達式是，將代入，得，解得（舍去），的值是.
10．[2023常州模擬]拋物線關于軸對稱的拋物線解析式為____________________.
【答案】
命題點3 求二次函數解析式★★★
11．[2024蘇州]二次函數的圖像過點,,,，其中,為常數，則的值為________.
【答案】
【解析】將，，代入，
得
，
把代入，
得，
，．
12．[2024揚州]如圖，已知二次函數的圖像與軸交于、兩點.
（1） 求、的值；
（2） 若點在該二次函數的圖像上，且的面積為6,求點的坐標.
解：（1） 把，代入得
解得
（2） 由（1）知，二次函數解析式為，
設點坐標為，
的面積為6，，
，，
即或，
或，
或．
命題點4 二次函數與一元二次方程★★★
13．[2023淮安二模]關于的方程的兩根分別是，3，若點是二次函數的圖像與軸的交點，過作軸交拋物線于另一點，則的長為（ ）
A. B. C. 2 D. 3
【答案】C
14．[2023泰州]二次函數的圖像與軸有一個交點在軸右側,則的值可以是________________________.（填一個值即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】設二次函數的圖像與軸的兩個交點的橫坐標為、，即一元二次方程的根為、，由根與系數的關系得，， 二次函數的圖像與軸有一個交點在軸右側，，異號，，即填任意負數均可.
15．[2022無錫]把二次函數的圖像向上平移1個單位長度，再向右平移3個單位長度，如果平移后所得拋物線與坐標軸有且只有一個公共點，那么應滿足條件：________.
【答案】
【解析】拋物線，平移后得到的拋物線所對應的解析式為，即， 平移后所得拋物線與坐標軸有且只有一個公共點， 拋物線與軸無公共點，與軸有一個公共點，，．
16．[2023南京]已知二次函數為常數，.
（1） 若，求證：該函數的圖像與軸有兩個公共點；
（2） 若，求證：當時，；
（3） 若該函數的圖像與軸有兩個公共點，，且，則的取值范圍是________________________.
證明：（1） ，，
，，，
該函數的圖像與軸有兩個公共點.
（2） 將代入函數解析式，
得，
拋物線開口向下，對稱軸為直線，當時，隨的增大而增大， 當時，，
當時，.
（3） 或.
詳解： 易知拋物線過定點、，對稱軸為直線， 該函數的圖像與軸有兩個公共點，，且， 當時，令，則，解得，故；當時，令，則，解得，故.綜上所述，或.
命題點5 二次函數與不等式★★☆
17．如圖，拋物線與直線交于，兩點，則不等式的解集是______________________.
【答案】或
18．若二次函數（、、為常數）的圖像如圖所示，則關于的不等式的解集為______________________.
【答案】或
【解析】由圖像可得或時， 當時，或，或.
命題點6 二次函數圖像與系數的關系★★☆
19．[2023蘇州模擬]在同一平面直角坐標系中，函數與的圖像可能是 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
20．已知二次函數的圖像如圖所示，有以下結論：;;;④不等式的解集為.其中，正確結論的個數是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】由題圖可知，拋物線開口向上，則，故①正確；由題圖可知，拋物線與軸無公共點，，故②錯誤；由題圖可知，拋物線過點，，即當時，，當時，，兩式作差得，即，故③正確；，即，而點，在直線上，由圖像可知，當時，拋物線在直線的下方，的解集為，故④正確.
21．[2024連云港]已知拋物線、、是常數，的頂點為.
小燁同學得出以下結論：;②當時，隨的增大而減小；③若的一個根為3,則;④拋物線是由拋物線向左平移1個單位，再向下平移2個單位得到的.其中一定正確的是 （ ）
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④
【答案】B
【解析】①由題意得，.當時，，，，,但的正負不確定，故的正負不確定，故①錯誤；
②拋物線，，為常數，的頂點為， 當時，隨的增大而減小，故②正確；
③當時，，又，，，解得，故③正確；
④根據頂點坐標可知原拋物線表達式可改寫為，將拋物線向左平移1個單位，再向下平移2個單位可得，故④錯誤.
第6節 二次函數的實際應用
真題演練
命題點1 面積問題★★☆
1．[2022無錫]某農場計劃建造一個矩形養殖場，為充分利用現有資源，該矩形養殖場一面靠墻（墻的長度為），另外三面用柵欄圍成，中間再用柵欄把它分成兩個面積為的矩形，已知柵欄的總長度為，設較小矩形的寬為（如圖）.
（1） 若矩形養殖場的總面積為，求此時的值.
（2） 當為多少時，矩形養殖場的總面積最大？最大值為多少？
解：（1） 根據題意知矩形養殖場的兩鄰邊長分別為，，
，解得或，
當時，，不符合題意，故舍去， 此時的值為2.
（2） 設矩形養殖場的總面積是，
墻的長度為，，
根據題意得，，,
當時，取最大值，最大值為.
答：當時，矩形養殖場的總面積最大，最大值為.
2．[2023無錫一模]有一塊形狀如圖的五邊形余料，，， ， ， ，要在這塊余料中截取一塊矩形材料，使其一條邊在上，并使所截矩形材料的面積盡可能大.
（1） 若所截矩形材料的一條邊是或，求矩形材料的面積.
（2） 能否截出比（1）中面積更大的矩形材料？如果能，求出該矩形材料面積的最大值；如果不能，說明理由.
解：（1） ①若所截矩形材料的一條邊是，如圖1所示，過點作于點，又 ，
四邊形為矩形，
圖1
，，
.
②若所截矩形材料的一條邊是，如圖2所示，過點作交于點，過點作于點，過點作于點，
圖2
則四邊形為矩形，四邊形為矩形，，，
， ，
為等腰直角三角形，
，
，
.
（2） 能，如圖3，在上取點，過點作于點，于點，過點作于點，
圖3
則四邊形為矩形，四邊形為矩形，，，
， ，
為等腰直角三角形，
，設，則，
，
，
由題意可知，,又, 當時，取最大值，為30.25.
命題點2 利潤問題★★★
3．[2023宿遷]某商場銷售、兩種商品，每件進價均為20元.調查發現，如果售出種20件，種10件，銷售總額為840元；如果售出種10件，種15件，銷售總額為660元.
（1） 求、兩種商品的銷售單價.
（2） 經市場調研，種商品按原售價銷售，可售出40件，原售價每降價1元，銷售量可增加10件；種商品的售價不變，種商品售價不低于種商品售價.設種商品降價元，如果、兩種商品銷售量相同，取何值時，商場銷售、兩種商品可獲得總利潤最大？最大利潤是多少？
解：（1） 設種商品的銷售單價為元，種商品的銷售單價為元，
由題意可得
解得
答：種商品的銷售單價為30元，種商品的銷售單價為24元.
（2） 設總利潤為元，由題意可得，
種商品售價不低于種商品售價，，解得，
又， 當時，取得最大值，此時.
答：取5時，商場銷售、兩種商品可獲得總利潤最大，最大利潤是810元.
4．[2023無錫]某景區旅游商店以20元/的價格采購一款旅游食品加工后出售，銷售價格不低于22元/，不高于45元/．經市場調查發現，每天的銷售量與銷售價格（元/）之間的函數圖像如圖所示．
（1） 求關于的函數表達式.
（2） 當銷售價格定為多少時，該商店銷售這款食品每天獲得的銷售利潤最大？最大銷售利潤是多少？
注：銷售利潤（銷售價格-采購價格） 銷售量.
解：（1） 當時，設函數表達式為，
分別將，代入得解得
.
當時，設函數表達式為，
分別將，代入得解得
.
綜上，關于的函數表達式為
（2） 設每天獲得的銷售利潤為元，當時，
，
, 當時，隨的增大而增大， 當時，取得最大值,為400.
當時，，
, 當時，取得最大值,為，
當銷售價格定為35元/時，每天獲得的銷售利潤最大，最大銷售利潤是450元．
5．[2024鹽城]請根據以下素材，完成探究任務.
制定加工方案
生產背景 背景1 ◆某民族服裝廠安排70名工人加工一批夏季服裝，有“風”“雅”“正”三種樣式. ◆因工藝需要，每位工人每天可加工且只能加工“風”服裝2件，或“雅”服裝1件，或“正”服裝1件. ◆要求全廠每天加工“雅”服裝至少10件，“正”服裝總件數和“風”服裝相等
背景2 每天加工的服裝都能銷售出去，扣除各種成本，服裝廠的獲利情況為： ①“風”服裝：24元/件； ②“正”服裝：48元/件； ③“雅”服裝：當每天加工10件時，每件獲利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件獲利將減少2元
信息整理 現安排名工人加工“雅”服裝，名工人加工“風”服裝，列表如下：
探究任務
任務1．探尋變量關系
求、之間的數量關系.
任務2．建立數學模型
設該工廠每天的總利潤為元，求關于的函數表達式.
任務3．擬定加工方案
制定使每天總利潤最大的加工方案.
解：任務1 ： 安排名工人加工“雅”服裝，名工人加工“風”服裝，
加工“正”服裝的有人，
根據“正”服裝總件數和“風”服裝相等，可得，
整理得.
任務2 ： 根據題意，知，且“雅”服裝每天的獲利為元，
，
整理得，
.
任務3： ，,均為整數，
， 拋物線開口向下，
當時，，不符合題意；
當時，，不符合題意；
當時，，符合題意.
當時，取得最大值.
此時.
答：安排19名工人加工“雅”服裝，17名工人加工“風”服裝，34名工人加工“正”服裝，可獲得最大利潤．
命題點3 拋物線形問題★★☆
6．[2022連云港]如圖，一位籃球運動員投籃，球沿拋物線運行，然后準確落入籃筐內，已知籃筐的中心離地面的高度為，則他距籃筐中心的水平距離是______.
【答案】4
7．跳臺滑雪是冬季奧運會的比賽項目.如圖，運動員通過助滑道后在點處騰空，在空中沿拋物線飛行，直至落在著陸坡上的點處.騰空點到地面的距離為，坡高為，著陸坡的坡度（即）為.以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標系.已知這段拋物線經過點，.
（1） 求這段拋物線對應的二次函數表達式；
（2） 在空中飛行的過程中，求運動員到坡面豎直方向上的最大距離；
（3） 落點與坡頂之間的距離為__.
解：（1） 為，，
設二次函數表達式為，把、、代入得
解得
二次函數的表達式為.
（2） 作軸分別交拋物線和于、，
坡高為，著陸坡的坡度為，，，
，，
設直線的解析式為，
則解得
直線的解析式為，
設，
則，
，
令,解得,,,,
當時，取最大值，為.
答：運動員到坡面豎直方向上的最大距離是.
（3） 50.
8．[2023鎮江模擬]如圖，某跳水運動員進行10米跳臺跳水訓練，水面邊緣點的坐標為，運動員（將運動員看成一點）在空中運動的路線是經過原點的拋物線，在跳某個規定動作時，運動員在空中最高處點的坐標為，正常情況下，運動員下落至距水面高度5米之前，必須完成規定的翻騰、打開等動作，并調整好入水姿勢，否則就會失誤，運動員入水后，運動路線為另一條拋物線.
（1） 求運動員在空中運動時對應的拋物線的解析式，并求出入水處點的坐標.
（2） 運動員某次在空中調整好入水姿勢時，距點的水平距離恰好為5米，問該運動員此次跳水會不會失誤？通過計算說明理由.
（3） 在該運動員入水點的正前方有，兩點，且米，米，該運動員入水后運動路線對應的拋物線解析式為，且頂點距水面4米，若該運動員出水點在之間（包括，兩點），求的取值范圍.
解：（1） 設該拋物線的解析式為，
把代入解析式得，
解析式為，
令，則，
解得，，
點在軸右側，
入水處點的坐標為.
（2） 該運動員此次跳水失誤了.
理由：運動員距點的水平距離為5米時，對應的橫坐標為，
將代入解析式得，
，
該運動員此次跳水失誤了.
（3） 米，米，點的坐標為， 點，的坐標分別為，，
當該運動員入水后運動路線對應的拋物線過點時，其對稱軸為直線， 點，故該解析式為，
把代入，得.
當該拋物線過點時，
同理可得.
的取值范圍為.
微專題3 二次函數的定點、定值、最值問題
類型1 定點、定值問題
1．已知拋物線（是常數）.
（1） 無論取何值，該拋物線都經過定點，求點的坐標；
（2） 若在的范圍內，至少存在一個的值，使，求的取值范圍.
解：（1） ， 當時，無論為何值，一定等于0，
拋物線經過定點，即.
（2） 由（1）可知，該拋物線與軸的一個交點為.
拋物線的對稱軸為直線.
當時，拋物線的開口向上，且，如圖1，設拋物線交軸于點，
，
圖1
由圖像可知，只需滿足點在軸的上方即可，，；
當時，拋物線開口向下，且，如圖2， 拋物線與軸的另一個交點在點的右側，由圖像可知，在的范圍內，不存在使的的值.
圖2
綜上所述，的取值范圍是.
2．如圖，已知拋物線經過點和點，其對稱軸交軸于點，點是直線上方的拋物線上一動點（不含，兩點）.
（1） 求、的值.
（2） 若直線、分別交該拋物線的對稱軸于點、，試問是不是定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由.
解：（1） 將代入拋物線表達式得，解得，
拋物線的表達式為，
當時，，，即.
（2） 是定值.
拋物線的對稱軸為直線, 點的坐標為，
設點，則，
點的坐標為，
易得直線的表達式為，
當時，，即點，
易得直線的表達式為，
當時，，即點，，，
，為定值.
方法解讀
定點問題的解題方法
問題 無論 取何值，拋物線 都經過定點，求該定點的坐標
方法1 （1）找出所有含 的項，再提公因式； （2）令與 相乘的因式為0：令，即，此時； （3）得定點坐標
方法2 任取兩個 值代入函數解析式： 分別令，， 得 解得 所以拋物線經過定點
方法提示
二次函數中求線段相關代數式的定值問題
屬于定量問題，采用參數計算法，即選取其中的變量（如線段長，點坐標）作為參數，將所求用含參數的式子表示出來，然后消去參數，即得定值.
類型2 對稱性、增減性及最值問題
3．[2023揚州二模]函數在內有最大值6，則實數的值是__________________.
【答案】或
【解析】拋物線的對稱軸為直線，由題意，分以下三種情況：
（1）當時，在內，隨的增大而增大，則當時，取得最大值，最大值為，，解得；
（2）當時，在內，當時，隨的增大而減小，當時，隨的增大而增大，則當或時，取得最大值，因此有或，解得或 （均舍去）；
（3）當時，在內，隨的增大而減小，則當時，取得最大值，最大值為，因此有，解得.
綜上，或.
4．已知二次函數.
（1） 當時，
① 頂點坐標為____________；
② 當時，該函數的最大值為__；
③ 當時，該函數的最小值是3，求的值.
（2） 當時，函數圖像上有且只有2個點到軸的距離為2，直接寫出的取值范圍.
解：（1）① .
② 10.
③ 當時，二次函數解析式為,當，即時，
在內，隨的增大而減小，則當時，取得最小值，，
解得（舍去）或，
；
當，即時，
在內，隨的增大而減小，在內，隨的增大而增大，
則當時，取得最小值，
時,， 這種情況不存在；
當時，
在內，隨的增大而增大，則當時，取得最小值，，
解得或（舍去），
.
綜上所述，的值為或.
（2） 或或.
詳解： ，，頂點坐標為.
①當，即時，如圖1，當時，， 當時，函數圖像上有且只有2個點到軸的距離為2，，；
圖1
②當頂點在直線上時，函數圖像上有且只有2個點到軸的距離為2，如圖2，此時，解得；
圖2
③當，即時，如圖3，
圖3
根據當時，函數圖像上有且只有2個點到軸的距離為2可知，解得.綜上所述，或或.
5．[2023鹽城二模改編]已知點，在二次函數的圖像上，且滿足.
（1） 如圖，若二次函數的圖像經過點.
① 求這個二次函數的表達式；
② 若，此時二次函數圖像的頂點為點，求的正切值.
（2） 當時，二次函數的最大值與最小值的差為3，點，在對稱軸的異側，則的取值范圍為______________________.
解：（1）① 二次函數的圖像經過點，
，， 二次函數的表達式為.
② ，
，關于拋物線的對稱軸對稱，
對稱軸是直線，頂點為，
，又，
解得
，，
如圖1，連接，設直線與拋物線的對稱軸交于點，則,
在中，，
，，
.
圖1
（2） .
詳解：，頂點為，函數的最大值為2.當時，如圖2，
圖2
最大值與最小值的差為3，，設的對稱點為，，，，根據題意得解得，，，，，，.當時，如圖3，
圖3
同理可得.綜上，的取值范圍為.
方法解讀
二次函數 在 內的最值問題，分三種情況討論
（1）若,則當 時，隨 的增大而減小
圖示
結論 當 時,函數取得最大值;當 時,函數取得最小值
（2）若,則當 時，隨 的增大而增大
圖示
結論 當 時,函數取得最大值;當 時,函數取得最小值
（3）若
圖示
結論 當 時,函數取得最小值；比較 和 時的 值，較大的 值為函數的最大值
類型3 線段最值問題
6．[2023連云港二模]在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點.
（1） 求拋物線對應的函數表達式；
（2） 如圖，點為直線下方拋物線上的一個動點，于點，軸交于點，求的最大值和此時點的坐標.
解：（1）把、代入得解得
拋物線對應的函數表達式為.
（2） 在中，令,得，，由，易得直線的解析式為，
設，其中,則，
，
，
是等腰直角三角形，
，
， ，
是等腰直角三角形，
，
，,
當時，取最大值，為，此時點的坐標為.
7．[2024連云港]在平面直角坐標系中，已知拋物線、為常數，.
（1） 若拋物線與軸交于、兩點，求拋物線對應的函數表達式.
（2） 如圖，當時，過點、分別作軸的平行線，交拋物線于點、,連接、.求證：平分.
（3） 當,時，過直線上一點作軸的平行線，交拋物線于點.若的最大值為4,求的值.
解：（1）分別將、代入，得
解得
函數表達式為.
（2） 證明：連接，
，
，
當時，，
即點，
當時，，
即點.
，，
，，，
在中，
.
，
，
.
，
，
，
平分.
（3） 設，則，.
當時，.
令，
解得，.
，
，
點在的上方，如圖1，
圖1
設，則，
其圖像的對稱軸為，且.
①當時，，
圖2
由圖2可知當時，取得最大值，
解得或（舍去）.
②當時，得，
圖3
由圖3可知當時，取得最大值，
解得（舍去）.
綜上所述，的值為.
方法解讀中小學教育資源及組卷應用平臺
2025江蘇版數學中考專題
第一部分 考點突破
第一章 數與式
第1節 實數
目標領航
真題演練
命題點1 實數的分類★☆☆
1．[2023淮安]下列實數中，無理數是（ ）
A． B．0 C． D．5
2．下列數：6，，，0，，，， （每兩個9之間依次多一個0）中，屬于整數的是____，屬于負分數的是______________________，屬于無理數的是____________________________________________________________________.
命題點2 相反數、絕對值、倒數★★★
3．[2024鹽城]2 024的相反數是（ ）
A．2 024 B． C． D．
4．[2024常州]的絕對值是（ ）
A． B． C． D．2 024
5．[2024揚州]實數2的倒數是（ ）
A． B．2 C． D．
命題點3 實數與數軸★☆☆
6．[2024蘇州]用數軸上的點表示下列各數，其中與原點距離最近的是（ ）
A． B．1 C．2 D．3
7．[2023淮安三模]如圖，數軸上點所表示的實數是（ ）
A． B． C． D．2
8．[2023南京模擬]若有理數，，在數軸上的位置如圖所示，則化簡的結果是（ ）
A． B． C． D．
命題點4 科學記數法★★★
9．[2024蘇州]蘇州市統計局公布，2023年蘇州市全年實現地區生產總值約為2.47萬億元，被譽為“最強地級市”.數據“2 470 000 000 000”用科學記數法可表示為（ ）
A． B． C． D．
10．[2024常州]2024年5月10日，記者從中國科學院國家天文臺獲悉，“中國天眼”近期發現了6個距離地球約50億光年的中性氫星系，這是人類迄今直接探測到的最遠的一批中性氫星系.50億光年用科學記數法表示為 （ ）
A．光年 B．光年
C．光年 D．光年
11．[2023泰州]跨學科·化學 溶度積是化學中沉淀的溶解平衡常數.常溫下的溶度積約為，將數據用科學記數法表示為________________.
命題點5 平方根、算術平方根、立方根★☆☆
12．[2023無錫]實數9的算術平方根是（ ）
A．3 B． C． D．
13．下列說法正確的是（ ）
A．是的平方根 B．0.2是0.4的平方根
C．是的平方根 D．是的平方根
14． ______，的算術平方根是________，的立方根是______.
15．[2023無錫模擬]一個正數的平方根分別是和，則的值為______.
命題點6 實數的大小比較及無理數的估值★☆☆
16．[2023南通]如圖，數軸上，，，，五個點分別表示數1，2，3，4，5，則表示數 的點應在 （ ）
A．線段上 B．線段上 C．線段上 D．線段上
17．[2024鹽城]矩形相鄰兩邊長分別為、,設其面積為，則在哪兩個連續整數之間（ ）
A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5
18．[2023揚州]已知，，，則、、的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
19．[2023揚州模擬]已知是的小數部分，則的值為（ ）
A．5 B．6 C．7 D．
20．比較大小：-____.（填“ ”“ ”或“”）
21．[2023揚州二模]根據表格估算 ____.（精確到）
2.3 2.4 2.5 2.6
12.167 13.824 15.625 17.576
命題點7 實數的運算★☆☆
22．[2023常州]計算：________.
23．計算：
（1） [2024蘇州]；
（2） [2024揚州]；
（3） [2024鹽城] .
24．[2023蘇州三模]若、互為相反數，、互為倒數，的絕對值為2.
（1） 直接寫出，，的值；
（2） 求的值.
25．[2023蘇州模擬]第十四屆國際數學教育大會會徽的主題圖案有著豐富的數學元素，展現了我國古代數學的文化魅力，其右下方的“卦”是用我國古代的計數符號寫出的八進制數3745.八進制是以8作為進位基數的數字系統，有共8個基本數字.八進制數3745換算成十進制數是，表示的舉辦年份.
（1） 八進制數3747換算成十進制數是________；
（2） 小華設計了一個進制數234，換算成十進制數是193，求的值.
第2節 代數式與整式
目標領航
真題演練
命題點1 代數式及代數式求值★☆☆
1．李奶奶買了一筐草莓，連筐共，其中筐.將草莓平均分給4位小朋友，每位小朋友可分得 （ ）
A． B． C． D．
2．[2023南通]若，則的值為（ ）
A．24 B．20 C．18 D．16
3．[2024蘇州]若,則______.
命題點2 規律探究★☆☆
4．[2023鹽城一模]如圖是三角形數陣，，，若，相等，則用含的式子表示為________.
5．[2022宿遷]按規律排列的單項式：，，，，， ，則第20個單項式是____________.
6．[2023徐州一模]用大小相同的圓點擺成如圖所示的圖案，按照這樣的規律擺放，第12個圖案中圓點的個數為__.
命題點3 整式的相關概念★☆☆
7．[2023泰州二模]單項式的次數是______.
8．[2023揚州模擬]若與是同類項，則________.
命題點4 冪的運算★★☆
9．[2024連云港]下列運算結果等于的是 （ ）
A． B． C． D．
10．[2024揚州]下列運算中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
11．[2023鎮江]如圖，在甲、乙、丙三只袋中分別裝有球29個、29個、5個，先從甲袋中取出個球放入乙袋，再從乙袋中取出個球放入丙袋，最后從丙袋中取出個球放入甲袋，此時三只袋中球的個數都相同，則的值等于（ ）
A．128 B．64 C．32 D．16
12．已知，，則________.
13．計算：________.
14．[2023南京]計算的結果是________.
命題點5 整式的運算★★☆
15．[2023南通模擬]若是關于的完全平方式，則____________.
16．計算的結果是____.
17．[2023宿遷]若實數滿足，則______________.
18．[2024無錫]計算：.
19．[2024常州]先化簡，再求值：,其中.
20．[2023鹽城]先化簡，再求值：，其中，.
21．[2023無錫一模]已知多項式，.
（1） 當時，求的值.
（2） 小華認為無論取何值，的值都無法確定.小明認為可以取到適當的值，使代數式的值是常數.你認為誰的說法正確？請說明理由.
命題點6 因式分解★★☆
22．已知，，則的值為 （ ）
A． B．2 C． D．4
23．已知實數，同時滿足，，則的值是（ ）
A．2或 B．2 C．或6 D．
24．分解因式：
（1） [2024鹽城] ______________；
（2） [2023南通] ____________；
（3） [2023常州] ____________________；
（4） [2024揚州] ________________；
（5） [2023南京三模] __________________.
25．若，則的值為______.
26．[2023南京三模]
（1） 已知，是實數，證明：.
（2） 在中， ，，為直角邊，斜邊，則的最大值是__________.
命題點7 幾何圖形中的乘法公式★☆☆
27．數形結合是解決數學問題的一種重要的思想方法，借助圖形的直觀性，可以幫助理解數學問題
圖1 圖2 圖3
（1） 圖1中陰影部分的面積能解釋的乘法公式是________________________________；
（2） 圖2中陰影部分的面積能解釋的因式分解的式子是________________________________；
（3） 用4個全等的長和寬分別為，的長方形拼擺成一個如圖3所示的正方形，請你通過計算陰影部分的面積，直接寫出代數式,，之間的等量關系:________________________________．
目標領航
真題演練
命題點1 分式的相關概念與性質★☆☆
1．[2023泰州模擬]代數式，，，，，中，屬于分式的有（ ）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
2．[2023無錫模擬]下列分式中，是最簡分式的是 （ ）
A． B．
C． D．
3．[2023常州]若代數式的值是0，則實數的值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
4．[2023蘇州二模]根據分式的基本性質將分式變形，下列正確的是（ ）
A． B．
C． D．
5．[2023南通二模]如果把分式中的和都擴大到原來的20倍，那么分式的值（ ）
A．擴大到原來的20倍 B．縮小到原來的
C．擴大到原來的2倍 D．不變
6．[2024鹽城]若有意義，則的取值范圍是________.
7．[2023常州模擬]若分式的值為負數，則的取值范圍是____________________.
8．[2023南京一模]已知：分式的值為整數，則整數為____________________.
命題點2 分式的運算★★★
9．[2023無錫一模]，則等于（ ）
A． B． C． D．
10．已知兩個不等于0的實數、滿足，則等于（ ）
A． B． C．1 D．2
11．[2023揚州一模]對于任意的值都有，則，的值分別為__________.
12．計算：
（1） [2024揚州]；
（2） [2023南京]；
（3） [2023南通].
13．[2024連云港]下面是某同學計算的解題過程:
13.解：
……①
……②
.……③
上述解題過程從第幾步開始出現錯誤 請寫出完整的正確解題過程.
14．[2024蘇州]先化簡，再求值：,其中.
15．[2023鹽城二模]先化簡，再求值：，其中滿足.
16．[2023連云港三模]先化簡，再求值：，其中是方程的根.
第4節 二次根式
目標領航
真題演練
命題點1 二次根式有意義的條件★☆☆
1．[2024連云港]若在實數范圍內有意義，則的取值范圍是________.
2．[2023常州模擬]若式子在實數范圍內有意義，則的取值范圍是______________________.
3．[2023連云港模擬]若有意義，則的取值范圍是______________________.
命題點2 同類二次根式、最簡二次根式★☆☆
4．下列各組二次根式中，化簡后是同類二次根式的是（ ）
A．與 B．與 C．與 D．與
5．若最簡二次根式、是同類二次根式，則______.
命題點3 二次根式的性質★☆☆
6．當時，代數式的值為，則當時，代數式的值為（ ）
A． B．1 C．2 D．3
7．[2023揚州二模]若，則的取值范圍是________.
8．[2023無錫模擬]已知，，為三角形的三邊長，則____________.
9．[2023宿遷模擬]已知，則______.
10．已知，，滿足等式.
（1） 求，，的值.
（2） 以，，為三邊長能否構成三角形？若能構成三角形，判斷此三角形的形狀，并求出此三角形的面積；若不能，請說明理由.
命題點4 二次根式的運算★☆☆
11．[2023泰州]計算等于（ ）
A． B．2 C．4 D．
12．[2023揚州一模]下列計算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
13．[2023常州模擬]已知，則化簡后為 （ ）
A． B． C． D．
14．中國南宋大數學家秦九韶提出了“三斜求積術”，即已知三角形三邊長求三角形面積的公式：設三角形的三邊長分別為、、，則此三角形的面積可由公式求得，其中為該三角形周長的一半，這個公式也被稱為海倫-秦九韶公式.現有一個三角形，其邊長滿足，，則此三角形面積的最大值為（ ）
A． B．3 C． D．
15．[2023南通]計算________.
16．[2023南京]計算的結果是________.
17．[2023泰州模擬]已知為正整數，也是正整數，那么滿足條件的的最小值是______.
18．[2023常州模擬]若的積是有理數，則無理數的值為________.
19．將根號外的因式移到根號內：__________.
20．[2022泰州]計算：.
21．計算：.
22．已知：，，求的值.
23．先化簡，再求值：，其中.
24．[2023蘇州模擬]已知是的小數部分，求的值.
第二章 方程（組）與不等式（組）
第1節 一次方程（組）
目標領航
真題演練
命題點1 一元一次方程★☆☆
1．[2023無錫模擬]若關于的一元一次方程的解是，則的值是（ ）
A． B． C．6 D．10
2．已知是關于的方程的解，那么關于的方程的解是______.
3．[2023揚州三模]規定一種新的運算：，則*的解是__________.
命題點2 二元一次方程（組）★★☆
4．[2023無錫]下面4組數值中，不是二元一次方程的解的是（ ）
A． B． C． D．
5．[2023鹽城一模]二元一次方程中，與互為相反數，則，的值分別為（ ）
A．，4 B．4， C．3， D．，3
6．[2023南通]若實數，，滿足，，則代數式的值可以是 （ ）
A．3 B． C．2 D．
7．已知、滿足方程組則的值為________.
8．[2023常州模擬]若關于，的二元一次方程組的解也是二元一次方程的一個解，則的值為________.
9．解方程組：
（1） [2024蘇州]
（2） [2024常州]
10．已知方程組的解也是關于、的方程的一個解，求的值.
命題點3 一次方程（組）的實際應用★★☆
11．[2022宿遷]我國古代《算法統宗》里有這樣一首詩：“我問開店李三公，眾客都來到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.”詩中后面兩句的意思是：如果一間客房住7人，那么有7人無房可住；如果一間客房住9人，那么就空出一間客房.若設該店有客房間，房客人，則列出關于、的二元一次方程組正確的是（ ）
A． B．
C． D．
12．[2024鹽城]中國古代數學著作《增刪算法統宗》中記載的“繩索量竿”問題，大意是：現有一根竿子和一條繩索，用繩索去量竿子，繩索比竿子長5尺；若將繩索對折去量竿子，繩索就比竿子短5尺，問繩索、竿子各有多長 該問題中的竿子長為__尺.
13．[2024揚州]《九章算術》是中國古代的數學專著,是《算經十書》中最重要的一部，書中第八章內容“方程”里記載了一個有趣的追及問題，可理解為：速度快的人每分鐘走100米，速度慢的人每分鐘走60米，現在速度慢的人先走100米，速度快的人去追他.則速度快的人追上他需要____分鐘.
14．[2022南京]某文印店用2 660元購進一批白色復印紙和彩色復印紙，白色復印紙每箱80元，彩色復印紙每箱180元，購買白色復印紙的箱數比彩色復印紙的箱數的5倍少3箱.求購買的白色復印紙的箱數和彩色復印紙的箱數.
15．甲、乙兩工程隊共同修建長度為的公路，原計劃30個月完工.實際施工時，甲隊通過技術創新，施工效率提高了，乙隊施工效率不變，結果提前5個月完工.求甲、乙兩工程隊原計劃平均每月分別修建的長度.
16．[2024蘇州]某條城際鐵路線共有A,B,C三個車站，每日上午均有兩班次列車從A站駛往C站，其中次列車從A站始發，經停B站后到達C站，次列車從A站始發，直達C站，兩個車次的列車在行駛過程中保持各自的行駛速度不變.某校數學學習小組對列車運行情況進行研究，收集到列車運行信息如下表所示.
列車運行時刻表
車次 A站 B站 C站
發車時刻 到站時刻 發車時刻 到站時刻
8:00 9:30 9:50 10:50
8:25 途經B站，不停車 10:30
請根據表格中的信息，解答下列問題：
（1） 次列車從A站到B站行駛了__分鐘，從B站到C站行駛了__分鐘.
（2） 記次列車的行駛速度為,離A站的路程為;次列車的行駛速度為，離A站的路程為.
① ________；
② 從上午8:00開始計時，時長記為分鐘（如：上午,則）,已知千米/小時（可換算為4千米/分鐘）,在次列車的行駛過程中,若,求的值.
第2節 分式方程
目標領航
真題演練
命題點1 分式方程的解法★★☆
1．[2024無錫]分式方程的解是（ ）
A． B． C． D．
2．如果分式方程有增根，那么的值是 （ ）
A．3 B． C．6 D．
3．[2023南通一模]關于的方程的解是正數，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C．且 D．且
4．[2023宿遷一模]若關于的分式方程的解大于1，則的取值范圍是____________________.
5．若關于的方程無解，則的值是____________________.
6．解方程：
（1） [2023泰州]；
（2） [2023連云港];
（3） .
命題點2 分式方程的實際應用★★☆
7．[2024揚州]為了提高垃圾處理效率，某垃圾處理廠購進A、B兩種機器，A型機器比B型機器每天多處理40噸垃圾，A型機器處理500噸垃圾所用天數與B型機器處理300噸垃圾所用天數相等.B型機器每天處理多少噸垃圾
8．[2023揚州]甲、乙兩名學生到離校的“人民公園”參加志愿者活動，甲同學步行，乙同學騎自行車，騎自行車速度是步行速度的4倍，甲出發后乙同學出發，兩名同學同時到達，求乙同學騎自行車的速度.
9．[2024常州]書畫裝裱，是指為書畫配上襯紙、卷軸以便張貼、欣賞和收藏，是我國具有民族傳統的一門特殊藝術.如圖，一幅書畫在裝裱前的大小是.裝裱后，上、下、左、右邊襯的寬度分別是、、、.若裝裱后與的比是,且,,,求四周邊襯的寬度.
10．[2023南通]為推進全民健身設施建設，某體育中心準備改擴建一塊運動場地.現有甲、乙兩個工程隊參與施工，具體信息如下：
信息一
工程隊 每天施工面積（單位：） 每天施工費用（單位：元）
甲 3 600
乙 2 200
信息二
甲工程隊施工所需天數與乙工程隊施工所需天數相等．
（1） 求的值.
（2） 該工程計劃先由甲工程隊單獨施工若干天，再由乙工程隊單獨繼續施工，兩隊共施工22天，且完成的施工面積不少于.該段時間內體育中心至少需要支付多少施工費用？
第3節 一元二次方程
目標領航
真題演練
命題點1 一元二次方程的概念與解法★★★
1．[2023常州模擬]關于的一元二次方程有一個根是0，則的值是（ ）
A． B．2 C．0 D．或2
2．[2023鎮江]若是關于的一元二次方程的一個根，則的值為______.
3．解方程：
（1） [2024無錫];
（2） [2022徐州]；
（3） [2023無錫]；
（4） [2023蘇州模擬].
命題點2 一元二次方程根的判別式★★☆
4．[2024連云港]關于的一元二次方程有兩個相等的實數根，則的值為________.
5．[2023揚州]若關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則實數的取值范圍為________.
6．[2023常州一模]若關于的一元二次方程有實數根，則實數的取值范圍是________________________.
7．[2023揚州一模]已知關于的方程.
（1） 求證：無論取何值，此方程總有實數根；
（2） 若等腰的三邊長，，中，，、恰好是這個方程的兩個根，求的值.
命題點3 一元二次方程根與系數的關系★☆☆
8．關于的方程（為常數）的根的情況，下列結論中正確的是（ ）
A．有兩個正根 B．有兩個負根
C．有一個正根，一個負根 D．無實數根
9．[2023泰州]關于的一元二次方程的兩根之和為________.
10．若，是一元二次方程的兩個實數根，則的值為______.
11．[2023無錫四模]已知： ，是一元二次方程的兩個實數根， ，， ，.
（1） 直接寫出，的值：______，______；
（2） 經計算可得，，，當時，請猜想，，之間滿足的數量關系，并給出證明.
命題點4 一元二次方程的實際應用★★★
12．[2023無錫]國家統計局統計數據顯示，2020年至2022年無錫居民人均可支配收入由5.76萬元增長到6.58萬元.設平均每年人均可支配收入增長的百分率為，下列方程正確的是 （ ）
A． B．
C． D．
13．[2023蘇州模擬]某商店經銷一批小家電，每個小家電的成本是40元，經市場預測，定價為50元時，可銷售200個，定價每增加1元，銷售量將減少10個，如果商店進貨后全部銷售完，賺了2 160元，則該小家電的定價是____________.
14．[2023淮安]為了便于勞動課程的開展，學校打算建一個矩形生態園（如圖），生態園一面靠墻（墻足夠長），另外三面用的籬笆圍成.生態園的面積能否為？如果能，請求出的長；如果不能，請說明理由.
15．[2023鹽城模擬]某服裝銷售商用48 000元購進了一批時尚新款服裝，通過網絡平臺進行銷售，由于行情較好，第二次又用100 000元購進了同種服裝，第二次購進數量是第一次購進數量的2倍，每件的進價高了10元.
（1） 該銷售商第一次購進了這種服裝多少件？每件的進價是多少元？
（2） 該銷售商賣出第一批服裝后，統計發現：若按每件300元銷售，平均每天能賣出80件，銷售價每降低10元，則多賣出20件.依此行情，賣第二批服裝時，讓利促銷，并使一天的利潤恰好為3 600元，銷售價應為多少？
16．[2023蘇州模擬]某社區利用一塊長方形空地建了一個小型惠民停車場，其布局如圖所示，已知停車場的長為52米，寬為28米，陰影部分設計為停車位，其余部分是等寬的通道，已知停車位占地面積為640平方米.
（1） 求通道的寬.
（2） 該停車場共有64個車位，據調查發現：當每個車位的月租金為400元時，可全部租出；每個車位的月租金每上漲10元，就會少租出1個車位.當每個車位的月租金上漲時，停車場的月租金收入會超過27 000元嗎？
第4節 一元一次不等式（組）
目標領航
真題演練
命題點1 不等式的基本性質★☆☆
1．[2024蘇州]若,則下列結論一定正確的是 （ ）
A． B． C． D．
2．[2023南通一模]實數，，在數軸上的對應點的位置如圖所示，若，則下列結論中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
命題點2 一元一次不等式（組）的解法★★☆
3．[2023南京一模]不等式的解集是__________.
4．[2023宿遷]不等式的最大整數解是______.
5．已知關于的不等式的解集為，則的取值范圍為__________.
6．已知,且,那么的取值范圍為____________.
7．[2023南通二模]若關于的不等式組恰好有三個整數解，則的取值范圍是____________.
8．[2024連云港]解不等式,并把解集在數軸上表示出來.
9．[2024揚州]解不等式組并求出它的所有整數解的和.
10．[2023常州]解不等式組把解集在數軸上表示出來，并寫出整數解.
11．[2023揚州一模]已知關于的不等式組無解，求的取值范圍.
命題點3 一元一次不等式（組）的實際應用★★☆
12．專賣店以元/件的價格購進一批防曬衣后，提價貼上標價牌，要保證不虧損，出售時可按標價最多打（取整數）（ ）
A．5折 B．6折 C．7折 D．8折
13．[2023蘇州二模]新修訂的《中華人民共和國森林法》明確了每年3月12日為植樹節.2023年植樹節，某班開展植樹活動，欲購買甲、乙兩種樹苗.已知購買25棵甲種樹苗和10棵乙種樹苗共需1 250元，購買15棵甲種樹苗和5棵乙種樹苗共需700元.
（1） 求購買的甲、乙兩種樹苗的單價；
（2） 經商量，該班決定用不超過1 300元的費用購買甲、乙兩種樹苗共30棵，其中乙種樹苗的棵數不少于甲種樹苗棵數的，求購買的甲種樹苗棵數的取值范圍.
14．[2022宿遷]某單位準備購買文化用品，現有甲、乙兩家超市進行促銷活動.兩家超市該文化用品的標價均為10元/件，甲超市一次性購買金額不超過400元的不優惠，超過400元的部分按標價的6折售賣；乙超市全部按標價的8折售賣.
（1） 若該單位需要購買30件這種文化用品，則在甲超市的購物金額為____元，在乙超市的購物金額為____元；
（2） 假如你是該單位的采購員，你認為選擇哪家超市支付的費用較少？
15．[2023蘇州模擬]為迎接五一假期，某景區一商戶準備了兩種當地特產禮盒，按成本價1件種禮盒和2件種禮盒共需320元，2件種禮盒和3件種禮盒共需540元.
（1） 求、兩種禮盒每件的成本價分別是多少元.
（2） 已知種禮盒的售價為每件150元，種禮盒的售價為每件120元.商戶原計劃在五一當天將現有的、兩種禮盒共56件按售價全部售出，但在實際銷售過程中沒有全部售完，兩種禮盒的實際銷售利潤總和為1 320元.五一當天商戶最多賣出種禮盒多少件？
16．[2023鹽城]某校舉行“二十大知識學習競賽”活動，老師讓班長小華到商店購買筆記本作為獎品.甲、乙兩家商店每本硬面筆記本比軟面筆記本都貴3元（單價均為整數）.
（1） 若班長小華在甲商店購買，他發現用240元購買硬面筆記本與用195元購買軟面筆記本的數量相同，求甲商店硬面筆記本的單價.
（2） 若班長小華在乙商店購買硬面筆記本，乙商店給出了硬面筆記本的優惠條件（軟面筆記本單價不變）一次購買的數量少于30本，按原價售出；不少于30本按軟面筆記本的單價售出.班長小華打算購買本硬面筆記本（為正整數），他發現再多購買5本的費用恰好與按原價購買的費用相同，求乙商店硬面筆記本的原價.
微專題1 方程（組）與不等式（組）的含參問題
類型1 一次方程（組）中的含參問題
一、整數解
1．關于的方程的解為正整數，則整數________.
2．若關于、的二元一次方程組有整數解，則負整數的值為________.
二、整體求解
3．已知關于的一元一次方程的解為，則關于的一元一次方程的解為________.
4．已知的解是則的解為________________________________________.
三、恒有固定解
5．已知，為定值，關于的方程，無論為何值，它的解總是，則______.
6．已知關于，的二元一次方程，不論取何值，方程總有一個固定不變的解，這個解是________________________________________.
四、無數解
7．已知關于的方程有無數個解，則的值為________.
8．在關于、的方程組中，當________，________時，這個方程組有無數個解.
五、求參數的取值范圍
9．若關于的方程的解是負數，則的取值范圍是____________.
10．若方程組的解，滿足，則的取值范圍是____________.
11．若關于、的二元一次方程組的解滿足,,則實數的取值范圍是________________.
方法解讀
一次方程（組）中含參問題的解題方法
類別 方法
一、整數解 分式（、是整數）的值為整數，則 是 的約數
二、整體求解 若方程 的解為，則方程 的解滿足
三、恒有固定解 不論 取何值，方程總有一個固定不變的解，說明這個解與 的取值無關. 方法 任取兩個數值代入到原方程中，得到兩個方程，組成方程組即可求解； 方法2：將含 的項合并同類項，令其系數為0，得到兩個方程，組成方程組即可求解
四、無數解 關于 的方程 有無數解，則，
五、求參數的取值范圍 先解方程，再根據解的情況列不等式（組）
類型2 一次不等式（組）中的含參問題
一、已知解集求參數的值
12．若關于的兩個不等式與的解集相同，則的值為______.
13．已知關于的不等式組的解集為，則的值為________.
二、已知解集求參數的取值范圍
14．[2023南通二模]若關于的不等式組的解集為，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
15．已知關于的不等式的解也是不等式的解，則常數的取值范圍是________________.
三、有解
16．若不等式組有解，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
17．若關于的不等式組有解，則的取值范圍是________.
四、無解
18．關于的不等式組無解，則的取值范圍是________.
19．已知關于的不等式組無實數解，則的取值范圍是__________.
五、整數解
20．[2023南通一模]若關于的不等式恰有3個正整數解，則的取值范圍是____________.
21．若關于的不等式組有且只有三個整數解，則實數的取值范圍是______________.
方法解讀
一次不等式（組）中含參問題的解題方法
類別 方法
一、已知解集求參數的值 先解不等式（組），再根據解集（或解集相關條件）列方程（組）
二、已知解集求參數的取值范圍 解不等式（組） 由解集情況，借助數軸或口訣判斷參數的取值范圍 驗證端點值是否符合題意 寫出正確答案
三、有解
四、無解
五、整數解
第三章 函數
第1節 平面直角坐標系與函數
目標領航
真題演練
命題點1 點的坐標特征★☆☆
1．[2023鹽城]在平面直角坐標系中，點在 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．在平面直角坐標系中，若點在第二象限，則整數的值為______.
3．[2023常州模擬]如圖，在軸，軸上分別截取，，使，再分別以點，為圓心，以大于長為半徑畫弧，兩弧交于點．若點的坐標為，則的值為______．
4．[2023泰州模擬]中國象棋是中華民族的文化瑰寶，因趣味性強，深受大眾喜愛.如圖，若在象棋棋盤上建立平面直角坐標系，使“帥”位于點，“馬”位于點，則“兵”位于點____________.
5．[2022南京]在平面直角坐標系中，正方形如圖所示，點的坐標是，點的坐標是，則點的坐標是____________.
6．[2023連云港]畫一條水平數軸，以原點為圓心，過數軸上的每一刻度點畫同心圓，過原點按逆時針方向依次畫出與正半軸的角度分別為 、 、 、 、…、 的射線，這樣就建立了“圓”坐標系.如圖，在建立的“圓”坐標系內，我們可以將點、、的坐標分別表示為、、，則點的坐標可以表示為________________.
7．[2022南京]如圖，在平面直角坐標系中，橫、縱坐標均為整數的點按如下規律依序排列：，，，，，，，，，，，，，， ，按這個規律，則是第__個點.
命題點2 點的坐標變換★☆☆
8．[2023常州]在平面直角坐標系中，若點的坐標為，則點關于軸對稱的點的坐標為 （ ）
A． B． C． D．
9．[2024揚州]在平面直角坐標系中，點關于坐標原點的對稱點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
10．[2022常州]在平面直角坐標系中，點與點關于軸對稱，點與點關于軸對稱．已知點，則點的坐標是（ ）
A． B． C． D．
11．如圖，平面直角坐標系中，點在第一象限，點在軸的正半軸上， ，.將繞點逆時針旋轉 ，點的對應點的坐標是（ ）
A． B．
C． D．
12．[2023常州一模]在平面直角坐標系中，線段的端點坐標分別是，.平移得到線段，若點的對應點的坐標為，則點的對應點的坐標是____________.
命題點3 函數自變量取值范圍的確定★☆☆
13．[2023無錫]函數中自變量的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
14．[2023揚州四模]函數的自變量的取值范圍是____________________.
命題點4 函數圖像的辨析★★☆
15．[2023常州]折返跑是一種跑步的形式.如圖，在一定距離的兩個標志物①、②之間，從①開始，沿直線跑至②處，用手碰到②后立即轉身沿直線跑至①處，用手碰到①后繼續轉身跑至②處，循環進行，全程無需繞過標志物.小華練習了一次的折返跑，用時.在整個過程中，他的速度大小隨時間變化的圖像可能是（ ）
A． B．
C． D．
16．[2023鹽城]如圖，關于的函數的圖像與軸有且僅有三個交點，分別是，，，對此，小華認為：①當時，；②當時，有最小值；③點在函數的圖像上，符合要求的點只有1個；④將函數的圖像向右平移1個或3個單位長度經過原點.其中正確的結論有（ ）
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
17．[2023南通]如圖1，中， ，，.點從點出發沿折線運動到點停止，過點作，垂足為.設點運動的路徑長為，的面積為，若與的對應關系如圖2所示，則的值為 （ ）
圖1 圖2
A．54 B．52 C．50 D．48
18．[2023蘇州三模]如圖①，為矩形的邊上一點，點從點出發沿折線運動到點停止，點從點出發沿運動到點停止，它們的運動速度都是.現，兩點同時出發，設運動時間為，的面積為，若與的對應關系如圖②所示，則矩形的面積是________________.
圖① 圖②
第2節 一次函數的圖像與性質
目標領航
真題演練
命題點1 一次函數的圖像與性質★★☆
1．已知點,在一次函數的圖像上，則與的大小關系是 （ ）
A． B． C． D．無法確定
2．[2023無錫一模]正比例函數的圖像過第二、四象限，則一次函數的圖像大致是（ ）
A． B．
C． D．
3．[2023南通]已知一次函數，若對于范圍內任意自變量的值，其對應的函數值都小于，則的取值范圍是________.
4．[2023泰州二模]關于的一次函數的圖像過點，，，若，則的取值范圍是____________________________.
5．[2023南京一模]如圖，一次函數的圖像分別與軸、軸交于點，.
（1） 用“ ”“”或“ ”填空：____0，________0.
（2） 用直尺和圓規作出下列函數的圖像.（保留作圖痕跡）
；；.
命題點2 一次函數圖像的平移★★☆
6．[2023無錫]將函數的圖像向下平移2個單位長度，所得圖像對應的函數表達式為 （ ）
A． B． C． D．
7．[2023南通一模]將一次函數的圖像向下平移2個單位長度后經過點，則的值為______.
命題點3 一次函數與方程（組）、不等式的關系★★☆
8．[2024揚州]如圖，已知一次函數的圖像分別與、軸交于、兩點，若,,則關于的方程的解為__________.
9．[2022揚州]如圖，函數的圖像經過點，則關于的不等式的解集為__________.
10．若函數的圖像如圖所示，則關于的不等式的解集是________.
命題點4 一次函數解析式的確定★★☆
11．[2023揚州二模]如圖是某臺階的一部分，每一級臺階的寬度和高度之比為，在如圖所示的平面直角坐標系中，點的坐標是，若直線同時經過點，，，，，則與的乘積為（ ）
A． B．3 C． D．5
12．[2023鎮江模擬]如圖，點的坐標為，直線與軸交于點，與軸交于點，點在直線上運動.當線段最短時，點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
13．[2023無錫]請寫出一個函數，使得它的圖像經過點____________________________.
14．[2023蘇州]已知一次函數的圖像經過點和,則________.
15．[2024蘇州]直線與軸交于點,將直線繞點逆時針旋轉 ，得到直線,則直線對應的函數表達式是____________.
16．[2023蘇州模擬]如圖，直線與軸，軸分別交于點，，直線經過點，與軸負半軸交于點，且 ，則直線的函數表達式為________________.
17．[2023泰州模擬]已知直線過點且平行于軸，點的坐標為，將直線繞點逆時針旋轉 ，則旋轉后的直線對應的函數表達式為____________.
18．[2023宿遷模擬]如圖，已知直線與軸交于點，與軸交于點，與直線交于點，直線與軸交于點.
（1） 求直線的解析式；
（2） 求四邊形的面積.
第3節 一次函數的實際應用
真題演練
命題點1 注水問題★★☆
1．[2022蘇州]一個裝有進水管和出水管的容器，開始時，先打開進水管注水，3分鐘時，再打開出水管排水，8分鐘時，關閉進水管，直至容器中的水全部排完.在整個過程中，容器中的水量（升）與時間（分鐘）之間的函數關系如圖所示，則圖中的值為________.
2．[2022南京]某蔬菜基地有甲，乙兩個用于灌溉的水池，它們的最大容量均為，原有水量分別為，，現向甲、乙同時注水，直至兩水池均注滿為止.已知每分鐘向甲、乙的注水量之和恒定為，若其中某一水池注滿，則停止向該水池注水，改為向另一水池單獨注水.設注水第時，甲、乙水池中的水量分別為，.
（1） 若每分鐘向甲注水，分別寫出、與之間的函數表達式；
（2） 若每分鐘向甲注水，畫出與之間的函數圖像；
（3） 若每分鐘向甲注水，則甲比乙提前注滿，求的值.
命題點2 行程問題★★★
3．[2023鎮江]小明從家出發到商場購物后返回，如圖表示的是小明離家的路程與時間之間的函數關系，已知小明購物用時，返回速度是去商場的速度的1.2倍，則的值為（ ）
A．46 B．48 C．50 D．52
4．[2023淮安]快車和慢車同時從甲地出發，以各自的速度勻速向乙地行駛，快車到達乙地卸裝貨物用時，結束后，立即按原路以另一速度勻速返回，直至與慢車相遇，已知慢車的速度為.兩車之間的距離與慢車行駛的時間的函數圖像如圖所示.
（1） 請解釋圖中點的實際意義；
（2） 求出圖中線段所表示的函數表達式；
（3） 兩車相遇后，如果快車以返回的速度繼續向甲地行駛，求到達甲地還需多長時間.
5．[2023南京一模]如圖①，小明家，媽媽的單位和超市在一條直線上，一天傍晚，小明從家步行去超市，與此同時媽媽從單位騎行回家拿東西，再以相同的速度騎行去超市，如圖②，線段和折線分別表示小明和媽媽離家的距離與出發時間的關系.
圖① 圖②
（1） 小明步行的速度是____，媽媽的單位距離超市____;
（2） 求線段所表示的與之間的函數表達式；
（3） 當__________________時，小明與媽媽相距.
6．[2023蘇州]某動力科學研究院實驗基地內裝有一段筆直的軌道，長度為的金屬滑塊在上面做往返滑動.如圖，滑塊首先沿方向從左向右勻速滑動，滑動速度為，滑動開始前滑塊左端與點重合，當滑塊右端到達點時，滑塊停頓，然后再以小于的速度勻速返回，直到滑塊的左端與點重合，滑動停止.設時間為時，滑塊左端離點的距離為，右端離點的距離為，記，與具有函數關系.已知滑塊在從左向右滑動過程中，當和時，與之對應的的兩個值互為相反數；滑塊從點出發到最后返回點，整個過程總用時（含停頓時間）.請你根據所給條件解決下列問題：
（1） 滑塊從點到點的滑動過程中，的值____________；（填“由負到正”或“由正到負”）
（2） 滑塊從點到點的滑動過程中，求與的函數表達式；
（3） 在整個往返過程中，若，求的值.
命題點3 階段收費問題★★★
7．[2023連云港]目前，我市對市區居民用氣戶的燃氣收費，以戶為基礎、年為計算周期設定了如下表的三個氣量階梯：
階梯 年用氣量 銷售價格 備注
第一階梯 （含400）的部分 2.67元/ 若家庭人口超過4人，每增加1人，第一、二階梯年用氣量的上限分別增加、
第二階梯 （含）的部分 3.15元/
第三階梯 以上的部分 3.63元/
（1） 一戶家庭人口為3人，年用氣量為，則該年此戶需繳納燃氣費用為____元；
（2） 一戶家庭人口不超過4人，年用氣量為，該年此戶需繳納燃氣費用為元，求與的函數表達式；
（3） 甲戶家庭人口為3人，乙戶家庭人口為5人，某年甲戶、乙戶繳納的燃氣費用均為3 855元，求該年乙戶比甲戶多用多少立方米的燃氣.（結果精確到）
命題點4 銷售問題★★★
8．[2023揚州]近年來，市民交通安全意識逐步增強，頭盔需求量增大.某商店購進甲、乙兩種頭盔，已知購買甲種頭盔20只，乙種頭盔30只，共花費2 920元，甲種頭盔的單價比乙種頭盔的單價高11元.
（1） 甲、乙兩種頭盔的單價各是多少元
（2） 商店決定再次購進甲、乙兩種頭盔共40只，正好趕上廠家進行促銷活動，促銷方式如下：甲種頭盔按單價的八折出售，乙種頭盔每只降價6元出售.如果此次購買甲種頭盔的數量不低于乙種頭盔數量的一半，那么應購買多少只甲種頭盔，使此次購買頭盔的總費用最小 最小費用是多少元
9．[2022南通]某水果店購進甲、乙兩種蘋果的進價分別為8元/、12元/,這兩種蘋果的銷售額（單位:元）與銷售量（單位:）之間的關系如圖所示.
（1） 寫出圖中點表示的實際意義.
（2） 分別求甲、乙兩種蘋果銷售額（單位:元）與銷售量（單位:）之間的函數解析式，并寫出的取值范圍.
（3） 若不計損耗等因素，當甲、乙兩種蘋果的銷售量均為時，它們的利潤和為1 500元.求的值.
第4節 反比例函數
目標領航
真題演練
命題點1 反比例函數的圖像與性質★☆☆
1．[2022南京]反比例函數為常數，的圖像位于（ ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第一、二象限 D．第三、四象限
2．[2024揚州]在平面直角坐標系中，函數的圖像與坐標軸的交點個數是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
3．[2023鎮江]點、在反比例函數的圖像上，則____（用“ ”“ ”或“”填空）.
4．原創題 已知反比例函數.
（1） 當時，的取值范圍是____________；
（2） 當時，的取值范圍是______________________；
（3） 當時，的取值范圍是______________________；
（4） 當時，的取值范圍是____________.
5．原創題 已知點、在反比例函數的圖像上.
（1） 若，則的取值范圍是____________；
（2） 若，則的取值范圍是______________________.
命題點2 反比例函數解析式的確定★☆☆
6．[2022淮安]在平面直角坐標系中，將點向下平移5個單位長度得到點，若點恰好在反比例函數的圖像上，則的值是________．
7．[2023徐州]如圖，點在反比例函數的圖像上，軸于點，軸于點，.一次函數的圖像與交于點，若為的中點，則的值為______.
8．[2024揚州]如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標為,點在反比例函數的圖像上，軸于點, ,將沿翻折，若點的對應點落在該反比例函數的圖像上，則的值為________.
命題點3 反比例函數系數的幾何意義★★☆
9．[2024蘇州]如圖，點為反比例函數圖像上的一點，連接,過點作的垂線與反比例函數的圖像交于點,則的值為（ ）
A． B． C． D．
10．[2023連云港]如圖，矩形的頂點在反比例函數
的圖像上，頂點、在第一象限，對角線軸，交軸于點.若矩形的面積是6，，則________.
11．[2022南通]平面直角坐標系中，已知點，，是函數圖像上的三點.若,則的值為________.
命題點4 一次函數與反比例函數★☆☆
12．[2023鎮江二模]在平面直角坐標系中，若雙曲線與直線恰有1個公共點，則的值是________．
13．[2023宿遷模擬]如圖，直線與軸交于點，與雙曲線交于點，過點作軸的垂線，與雙曲線交于點，且，則的值為______.
14．[2024蘇州]如圖，中，, ，,,反比例函數的圖像與交于點,與交于點.
（1） 求,的值；
（2） 點為反比例函數圖像上一動點（點在,之間運動，不與,重合），過點作,交軸于點,過點作軸，交于點,連接,求面積的最大值，并求出此時點的坐標.
命題點5 反比例函數的實際應用★☆☆
15．[2023南京]甲、乙兩地相距，汽車從甲地勻速行駛到乙地，則汽車行駛的時間（單位：）與行駛速度（單位：）之間的函數圖像是（ ）
A． B．
C． D．
16．[2024連云港]跨學科·物理 杠桿平衡時，“阻力×阻力臂動力×動力臂”.已知阻力和阻力臂分別為和,動力為,動力臂為.則動力關于動力臂的函數表達式為____________.
17．[2023揚州]跨學科·物理 某氣球內充滿了一定質量的氣體，在溫度不變的條件下，氣球內氣體的壓強是氣球體積的反比例函數，且當時，.當氣球內的氣體壓強大于時，氣球將爆炸，為確保氣球不爆炸，氣球的體積應不小于____.
微專題2 反比例函數與一次函數的綜合應用
類型1 交點問題
1．[2023鹽城一模]方程的根可以視為函數的圖像與函數的圖像交點的橫坐標，那么用此方法可推斷出方程的實數根所在的范圍是（ ）
A． B． C． D．
思路提示
兩個函數圖像的交點左、右兩側函數值的相對大小不同，據此可估計交點的橫坐標的取值范圍.
2．[2023連云港三模]如圖，已知直線與雙曲線的一個交點坐標為，則它們的另一個交點坐標是____________.
3．在平面直角坐標系中，直線與雙曲線交于，兩點，若點，的縱坐標分別為，，則的值為______.
、思路提示
正比例函數 與反比例函數，當、同號時，兩函數圖像有兩個交點，這兩個交點關于原點對稱.
4．在平面直角坐標系中，函數與的圖像交于點，則代數式的值是______.
思路提示
將點的坐標代入兩個函數解析式中，求出相應代數式的值，再整體代入，可以化繁為簡.
5．[2024連云港]如圖1,在平面直角坐標系中，一次函數的圖像與反比例函數的圖像交于點、,與軸交于點,點的橫坐標為2.
圖1 圖2
（1） 求的值；
（2） 利用圖像直接寫出時的取值范圍；
（3） 如圖2,將直線沿軸向下平移4個單位，與函數的圖像交于點,與軸交于點,再將函數的圖像沿平移，使點、分別平移到點、處，求圖中陰影部分的面積.
類型2 線段問題
6．[2023淮安]如圖，在平面直角坐標系中，一次函數的圖像分別與軸、軸交于、兩點，且與反比例函數在第一象限內的圖像交于點.若點坐標為，，則的值是（ ）
A． B． C． D．
方法解讀
“反比例函數與一次函數圖像中的線段成比例”常用解題方法
（1）過交點向 軸或 軸作垂線;
（2）通過構造全等三角形或相似三角形，表示出線段之間的關系;
（3）設出線段的長度，表示出點的坐標;
（4）求解.
7．[2023蘇州]如圖，一次函數的圖像與反比例函數的圖像交于點.將點沿軸正方向平移個單位長度得到點,為軸正半軸上的點,點的橫坐標大于點的橫坐標,連接,的中點在反比例函數的圖像上.
（1） 求,的值.
（2） 當為何值時,的值最大 最大值是多少
8．[2023泰州二模]在平面直角坐標系中，函數的圖像和直線為常數，且如圖所示，若函數與的圖像有一個交點.
（1） 求，的值.
（2） 過動點作平行于軸的直線，分別交函數和的圖像于點、.在點運動的過程中，、、三點中的一點是另外兩點所連線段的中點，求此時的值.
思路提示
未確定、、的相對位置時，需分類討論.
類型3 面積問題
9．如圖，一次函數的圖像與反比例函數的圖像在第一象限內交于點、，與軸交于點，．若的面積為8，則的值為（ ）
A．2 B． C． D．4
方法解讀
求不規則三角形面積的常用方法
方法1：
圖① 圖②
圖①:;
圖②:.
方法2：
.
方法3：
.
10．[2023鹽城]如圖，在平面直角坐標系中，點，都在反比例函數的圖像上，延長交軸于點，過點作軸于點，連接并延長，交軸于點，連接．若，的面積是，則的值為______．
11．[2023無錫模擬]如圖，在平面直角坐標系中,直線與軸相交于點，與反比例函數在第一象限內的圖像相交于點．直線向上平移后與反比例函數圖像在第一象限內交于點，且的面積為18，則平移后的直線的解析式是____________．
12．[2023蘇州一模]如圖，一次函數的圖像與反比例函數的圖像交于點和點，與軸交于點.
（1） 求一次函數和反比例函數的表達式.
（2） 連接，，在直線上是否存在點，使的面積是面積的？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
第5節 二次函數的圖像與性質
目標領航
真題演練
命題點1 二次函數的圖像與性質★★★
1．[2022泰州]已知點、、在下列某一函數圖像上，且，那么這個函數是（ ）
A． B． C． D．
2．[2023揚州]已知二次函數為常數，且,下列結論：
①函數圖像一定經過第一、二、四象限；②函數圖像一定不經過第三象限；③當時，隨的增大而減小；④當時，隨的增大而增大.其中所有正確結論的序號是（ ）
A．①② B．②③ C．② D．③④
3．[2023揚州一模]已知，則的最小值是（ ）
A．8 B． C． D．9
4．[2023鎮江]二次函數的最大值等于______.
5．[2022徐州]若二次函數的圖像上有且只有三個點到軸的距離等于，則的值為______．
6．[2022鹽城]若點在二次函數的圖像上，且點到軸的距離小于2，則的取值范圍是____________.
7．[2023南京模擬]已知點、、在二次函數的圖像上，且為拋物線的頂點.若，則的取值范圍是__________.
命題點2 二次函數圖像的平移、對稱★★☆
8．[2023徐州]在平面直角坐標系中，將二次函數的圖像向右平移2個單位長度，再向下平移1個單位長度，所得拋物線對應的函數表達式為（ ）
A． B．
C． D．
9．已知拋物線的對稱軸在軸右側，將該拋物線先向右平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度，得到的拋物線恰好經過坐標原點，則的值是（ ）
A．或2 B． C．2 D．
10．[2023常州模擬]拋物線關于軸對稱的拋物線解析式為____________________.
命題點3 求二次函數解析式★★★
11．[2024蘇州]二次函數的圖像過點,,,，其中,為常數，則的值為________.
12．[2024揚州]如圖，已知二次函數的圖像與軸交于、兩點.
（1） 求、的值；
（2） 若點在該二次函數的圖像上，且的面積為6,求點的坐標.
命題點4 二次函數與一元二次方程★★★
13．[2023淮安二模]關于的方程的兩根分別是，3，若點是二次函數的圖像與軸的交點，過作軸交拋物線于另一點，則的長為（ ）
A． B． C．2 D．3
14．[2023泰州]二次函數的圖像與軸有一個交點在軸右側,則的值可以是________________________.（填一個值即可）
15．[2022無錫]把二次函數的圖像向上平移1個單位長度，再向右平移3個單位長度，如果平移后所得拋物線與坐標軸有且只有一個公共點，那么應滿足條件：________.
16．[2023南京]已知二次函數為常數，.
（1） 若，求證：該函數的圖像與軸有兩個公共點；
（2） 若，求證：當時，；
（3） 若該函數的圖像與軸有兩個公共點，，且，則的取值范圍是________________________.
命題點5 二次函數與不等式★★☆
17．如圖，拋物線與直線交于，兩點，則不等式的解集是______________________.
18．若二次函數（、、為常數）的圖像如圖所示，則關于的不等式的解集為______________________.
命題點6 二次函數圖像與系數的關系★★☆
19．[2023蘇州模擬]在同一平面直角坐標系中，函數與的圖像可能是 （ ）
A． B．
C． D．
20．已知二次函數的圖像如圖所示，有以下結論：;;;④不等式的解集為.其中，正確結論的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
21．[2024連云港]已知拋物線、、是常數，的頂點為.
小燁同學得出以下結論：;②當時，隨的增大而減小；③若的一個根為3,則;④拋物線是由拋物線向左平移1個單位，再向下平移2個單位得到的.其中一定正確的是 （ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
第6節 二次函數的實際應用
真題演練
命題點1 面積問題★★☆
1．[2022無錫]某農場計劃建造一個矩形養殖場，為充分利用現有資源，該矩形養殖場一面靠墻（墻的長度為），另外三面用柵欄圍成，中間再用柵欄把它分成兩個面積為的矩形，已知柵欄的總長度為，設較小矩形的寬為（如圖）.
（1） 若矩形養殖場的總面積為，求此時的值.
（2） 當為多少時，矩形養殖場的總面積最大？最大值為多少？
2．[2023無錫一模]有一塊形狀如圖的五邊形余料，，， ， ， ，要在這塊余料中截取一塊矩形材料，使其一條邊在上，并使所截矩形材料的面積盡可能大.
（1） 若所截矩形材料的一條邊是或，求矩形材料的面積.
（2） 能否截出比（1）中面積更大的矩形材料？如果能，求出該矩形材料面積的最大值；如果不能，說明理由.
命題點2 利潤問題★★★
3．[2023宿遷]某商場銷售、兩種商品，每件進價均為20元.調查發現，如果售出種20件，種10件，銷售總額為840元；如果售出種10件，種15件，銷售總額為660元.
（1） 求、兩種商品的銷售單價.
（2） 經市場調研，種商品按原售價銷售，可售出40件，原售價每降價1元，銷售量可增加10件；種商品的售價不變，種商品售價不低于種商品售價.設種商品降價元，如果、兩種商品銷售量相同，取何值時，商場銷售、兩種商品可獲得總利潤最大？最大利潤是多少？
4．[2023無錫]某景區旅游商店以20元/的價格采購一款旅游食品加工后出售，銷售價格不低于22元/，不高于45元/．經市場調查發現，每天的銷售量與銷售價格（元/）之間的函數圖像如圖所示．
（1） 求關于的函數表達式.
（2） 當銷售價格定為多少時，該商店銷售這款食品每天獲得的銷售利潤最大？最大銷售利潤是多少？
注：銷售利潤（銷售價格-采購價格） 銷售量.
5．[2024鹽城]請根據以下素材，完成探究任務.
信息整理
制定加工方案
生產背景 背景1 ◆某民族服裝廠安排70名工人加工一批夏季服裝，有“風”“雅”“正”三種樣式. ◆因工藝需要，每位工人每天可加工且只能加工“風”服裝2件，或“雅”服裝1件，或“正”服裝1件. ◆要求全廠每天加工“雅”服裝至少10件，“正”服裝總件數和“風”服裝相等
背景2 每天加工的服裝都能銷售出去，扣除各種成本，服裝廠的獲利情況為： ①“風”服裝：24元/件； ②“正”服裝：48元/件； ③“雅”服裝：當每天加工10件時，每件獲利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件獲利將減少2元
信息整理 現安排名工人加工“雅”服裝，名工人加工“風”服裝，列表如下：
探究任務
任務1．探尋變量關系
求、之間的數量關系
任務2．建立數學模型
設該工廠每天的總利潤為元，求關于的函數表達式
任務3．擬定加工方案
制定使每天總利潤最大的加工方案
命題點3 拋物線形問題★★☆
6．[2022連云港]如圖，一位籃球運動員投籃，球沿拋物線運行，然后準確落入籃筐內，已知籃筐的中心離地面的高度為，則他距籃筐中心的水平距離是______.
7．跳臺滑雪是冬季奧運會的比賽項目.如圖，運動員通過助滑道后在點處騰空，在空中沿拋物線飛行，直至落在著陸坡上的點處.騰空點到地面的距離為，坡高為，著陸坡的坡度（即）為.以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標系.已知這段拋物線經過點，.
（1） 求這段拋物線對應的二次函數表達式；
（2） 在空中飛行的過程中，求運動員到坡面豎直方向上的最大距離；
（3） 落點與坡頂之間的距離為__.
8．[2023鎮江模擬]如圖，某跳水運動員進行10米跳臺跳水訓練，水面邊緣點的坐標為，運動員（將運動員看成一點）在空中運動的路線是經過原點的拋物線，在跳某個規定動作時，運動員在空中最高處點的坐標為，正常情況下，運動員下落至距水面高度5米之前，必須完成規定的翻騰、打開等動作，并調整好入水姿勢，否則就會失誤，運動員入水后，運動路線為另一條拋物線.
（1） 求運動員在空中運動時對應的拋物線的解析式，并求出入水處點的坐標.
（2） 運動員某次在空中調整好入水姿勢時，距點的水平距離恰好為5米，問該運動員此次跳水會不會失誤？通過計算說明理由.
（3） 在該運動員入水點的正前方有，兩點，且米，米，該運動員入水后運動路線對應的拋物線解析式為，且頂點距水面4米，若該運動員出水點在之間（包括，兩點），求的取值范圍.
微專題3 二次函數的定點、定值、最值問題
類型1 定點、定值問題
1．已知拋物線（是常數）.
（1） 無論取何值，該拋物線都經過定點，求點的坐標；
（2） 若在的范圍內，至少存在一個的值，使，求的取值范圍.
2．如圖，已知拋物線經過點和點，其對稱軸交軸于點，點是直線上方的拋物線上一動點（不含，兩點）.
（1） 求、的值.
（2） 若直線、分別交該拋物線的對稱軸于點、，試問是不是定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由.
方法解讀
定點問題的解題方法
問題 無論 取何值，拋物線 都經過定點，求該定點的坐標
方法1 （1）找出所有含 的項，再提公因式； （2）令與 相乘的因式為0：令，即，此時； （3）得定點坐標
方法2 任取兩個 值代入函數解析式： 分別令，， 得 解得 所以拋物線經過定點
方法提示
二次函數中求線段相關代數式的定值問題
屬于定量問題，采用參數計算法，即選取其中的變量（如線段長，點坐標）作為參數，將所求用含參數的式子表示出來，然后消去參數，即得定值.
類型2 對稱性、增減性及最值問題
3．[2023揚州二模]函數在內有最大值6，則實數的值是__________________.
4．已知二次函數.
（1） 當時，
① 頂點坐標為____________；
② 當時，該函數的最大值為__；
③ 當時，該函數的最小值是3，求的值.
（2） 當時，函數圖像上有且只有2個點到軸的距離為2，直接寫出的取值范圍.
5．[2023鹽城二模改編]已知點，在二次函數的圖像上，且滿足.
（1） 如圖，若二次函數的圖像經過點.
① 求這個二次函數的表達式；
② 若，此時二次函數圖像的頂點為點，求的正切值.
（2） 當時，二次函數的最大值與最小值的差為3，點，在對稱軸的異側，則的取值范圍為______________________.
方法解讀
二次函數 在 內的最值問題，分三種情況討論
（1）若,則當 時，隨 的增大而減小
圖示
結論 當 時,函數取得最大值;當 時,函數取得最小值
（2）若,則當 時，隨 的增大而增大
圖示
結論 當 時,函數取得最大值;當 時,函數取得最小值
（3）若
圖示
結論 當 時,函數取得最小值；比較 和 時的 值，較大的 值為函數的最大值
類型3 線段最值問題
6．[2023連云港二模]在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點.
（1） 求拋物線對應的函數表達式；
（2） 如圖，點為直線下方拋物線上的一個動點，于點，軸交于點，求的最大值和此時點的坐標.
7．[2024連云港]在平面直角坐標系中，已知拋物線、為常數，.
（1） 若拋物線與軸交于、兩點，求拋物線對應的函數表達式.
（2） 如圖，當時，過點、分別作軸的平行線，交拋物線于點、,連接、.求證：平分.
（3） 當,時，過直線上一點作軸的平行線，交拋物線于點.若的最大值為4,求的值.
方法解讀
二次函數中求線段最值的方法
問題1 點 為直線 上方拋物線上的一個動點，線段 軸交 于點，求 的最大值
圖示
方法 設，則, ，得到關于 的二次函數，從而得到 的最大值
問題2 點 為直線 上方拋物線上的一個動點，線段 交 于點，線段 軸交 于點，求 的最大值
圖示
方法 先求出線段 的長度，再利用相似或三角函數把 用 表示出來：
類型4 面積問題
8．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數的圖像與軸交于，兩點，與軸交于點，點在原點的左側，點的坐標為，點是拋物線上一動點，且在直線的上方.
（1） 求這個二次函數的解析式.
（2） 當點運動到什么位置時，的面積最大？請求出此時點的坐標和面積的最大值.
9．[2023無錫模擬]如圖，二次函數的圖像與軸交于點、，與軸交于點.連接、，已知.
（1） 求直線的函數表達式；
（2） 為拋物線上一點（異于點），若，求點的坐標.
方法解讀
一、二次函數中求面積最值的方法
（1）三角形
圖示
方法 鉛垂高×水平寬
（2）四邊形
圖示 或
方法
二、同底等高的兩個三角形面積相等
已知 ，點 與點 關于 對稱
圖示
結論
微專題4 與二次函數有關的幾何圖形存在性問題
類型1 三角形存在性問題
一、等腰三角形
1．如圖，一次函數的圖像與軸，軸分別交于、兩點，二次函數的圖像經過、兩點，與軸交于另一點，其對稱軸為直線.
（1） 求該二次函數的表達式.
（2） 在對稱軸上是否存在點，使為等腰三角形？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.
二、直角三角形
2．如圖，一次函數的圖像與軸交于點，與軸交于點，二次函數的圖像與一次函數的圖像交于、兩點，與軸交于、兩點，且點的坐標為.
（1） 求二次函數的解析式.
（2） 在軸上是否存在點，使得是直角三角形？若存在，求出所有滿足條件的點的坐標；若不存在，請說明理由.
方法解讀
一、等腰三角形存在性的解題方法
問題 已知點，和直線，在 上找點，使 為等腰三角形
解題方法 （1）含參設點，用參數表示未知點的坐標. （2）表示出線段、、的長度. （3）分三種情況討論： ； ；
二、直角三角形存在性的解題方法
問題 已知點，和直線，在 上找點，使 是直角三角形
解題方法 （1）含參設點，用參數表示未知點的坐標. （2）表示出線段、、的長度. （3）分三種情況討論： ，； ，； ，
三、相似三角形
3．如圖，二次函數的圖像經過點、，點是軸正半軸上一動點，過點作垂直于軸的直線分別交拋物線和直線于點和點.設點的橫坐標為.
（1） 求二次函數的表達式；
（2） 點在線段上時（不含、兩點），若以、、為頂點的三角形與相似，求的值.
類型2 平行四邊形存在性問題
4．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經過點、、，其對稱軸交軸于點，交直線于點，交拋物線于點.
（1） 求拋物線的解析式.
（2） 點為直線上的動點，求周長的最小值.
（3） 點為直線上一點（點不與點重合），在拋物線上是否存在一點，使以點、、、為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由.
5．如圖，矩形在平面直角坐標系中，點在軸正半軸上，點在軸正半軸上，，，拋物線經過，兩點且頂點在邊上，與直線交于另一點.
（1） 求拋物線的解析式.
（2） 求點的坐標.
（3） 若點在拋物線上，點在軸上，是否存在點，使以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.
三、相似三角形存在性的解題方法
已知條件 題目一般會給出已知三角形與未知三角形的一組角相等
解題方法 （1）先分析已知三角形的邊、角的特點，進而得出已知三角形是不是特殊三角形； （2）含參設點，用參數表示未知點的坐標（根據題目需要）； （3）表示出已知三角形兩邊或三邊長度（根據題目需要）、未知三角形兩邊長度； （4）分類討論，根據相似三角形的對應邊成比例求解
思路提示
平行四邊形存在性的解題思路1
已知條件 已知兩個定點
解題思路 若能表示出平行四邊形的四個頂點的坐標，則可利用對邊平行且相等或對邊水平寬相等、鉛垂高相等列方程求解
平行四邊形存在性的解題思路2
已知條件 已知兩個定點
解題思路 若平行四邊形的四個頂點中某些點的坐標不易表示，則可過平行四邊形的頂點作坐標軸的垂線，構造直角三角形，利用全等求出第三個點的橫坐標或縱坐標，然后代入函數解析式求解
第四章 三角形
第1節 基本平面圖形、相交線與平行線
目標領航
真題演練
命題點1 線與角★☆☆
1．互不重合的、、三點在同一條直線上，已知，，，則這三點的位置關系是 （ ）
A．點在、兩點之間 B．點在、兩點之間
C．點在、兩點之間 D．無法確定
2．[2022連云港]已知的補角為 ，則____ .
命題點2 相交線與平行線★☆☆
3．[2022蘇州]如圖，直線與相交于點， ， ，則的度數是（ ）
A． B． C． D．
4．[2022常州]如圖，斑馬線的作用是引導行人安全地通過馬路．小麗覺得行人沿垂直于馬路的方向走過斑馬線更為合理，這一想法體現的數學依據是（ ）
A．垂線段最短
B．兩點確定一條直線
C．過一點有且只有一條直線與已知直線垂直
D．過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行
5．如圖，在同一平面內，經過直線外一點的4條直線中，與直線相交的直線至少有（ ）
A．4條 B．3條 C．2條 D．1條
6．[2023蘇州]如圖，在正方形網格內,線段的兩個端點都在格點上,網格內另有,,,四個格點，下面四個結論中,正確的是（ ）
A．連接,則 B．連接,則
C．連接,則 D．連接,則
命題點3 平行線的性質與判定★★☆
7．[2023宿遷一模]如圖，直線、被直線所截，下列條件不能判定直線與平行的是（ ）
A． B．
C． D．
8．[2024鹽城]小明將一塊直角三角板擺放在直尺上，如圖，若 ,則的度數為（ ）
A． B． C． D．
9．[2024蘇州]如圖，,若 , ,則的度數為（ ）
A． B． C． D．
10．[2022鹽城]小明將一塊直角三角板擺放在直尺上，如圖所示，則與的關系是 （ ）
A．互余 B．互補 C．同位角 D．同旁內角
11．如圖，木棒、與分別在、處用鉚釘鉚住（可旋轉）， ， ，將木棒繞點逆時針旋轉到與木棒平行的位置，則至少要旋轉__ .
12．如圖，， ，那么，，的關系是________________.
命題點4 命題與證明★☆☆
13．下列命題是假命題的是（ ）
A．一組對邊相等，一組對角相等的四邊形是平行四邊形
B．對角線互相平分且相等的四邊形是矩形
C．對角線互相垂直平分的四邊形是菱形
D．對角線相等的菱形是正方形
14．[2023無錫]下列命題：①各邊相等的多邊形是正多邊形；②正多邊形是中心對稱圖形；③正六邊形的外接圓半徑與邊長相等；④正邊形共有條對稱軸.其中真命題的個數是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
15．用反證法證明“是無理數”時，最恰當的證法是先假設（ ）
A．是分數 B．是整數
C．是有理數 D．是實數
16．[2022無錫]請寫出命題“如果，那么”的逆命題：________________________________.
17．用一個的值說明命題“如果，那么”是假命題，則的值可以是________________________.
第2節 三角形與多邊形
目標領航
真題演練
命題點1 三角形三邊關系★★☆
1．[2023鹽城]下列每組數分別表示3根小木棒的長度（單位：），其中能搭成一個三角形的是 （ ）
A．5，7，12 B．7，7，15 C．6，9，16 D．6，8，12
2．[2023徐州]若一個三角形的邊長均為整數，且兩邊長分別為3和5，則第三邊的長可以為________________（寫出一個即可）.
3．[2023鹽城模擬]已知、、為的三邊長，且、滿足，為奇數，則的值為____.
4．[2022蘇州]定義：一個三角形的一邊長是另一邊長的2倍，這樣的三角形叫作“倍長三角形”.若等腰是“倍長三角形”，底邊的長為3，則腰的長為______.
5．[2023揚州二模]若等腰三角形的周長為4，則腰長的取值范圍是____________.
命題點2 三角形的內角與外角★★☆
6．[2023淮安]將直角三角板和直尺按照圖中位置擺放，若 ，則的度數是（ ）
A． B． C． D．
7．[2023鹽城]小華將一副三角板按如圖所示的方式擺放，其中，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
8．[2024連云港]如圖，直線,直線, ,則__ .
9．[2023徐州]如圖，在中，若，， ， ，則__ .
10．三角形紙片中， ， ，將紙片折疊，使點落在內（如圖），若 ，則的度數為________.
命題點3 三角形中的重要線段★☆☆
11．[2023連云港模擬]如圖，，分別為的中線和高線，的面積為5，，則的長為（ ）
A．5 B．3 C．4 D．6
12．[2023鹽城一模]等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為 ，則它的頂角為______________________.
13．如圖，在中，的平分線與的平分線交于點，若 ，則________.
14．[2023泰州二模]如圖，，的平分線交于點，若 ， ，則的度數為________.
命題點4 三角形的重心★☆☆
15．[2023泰州模擬]如圖，已知在中， ，點是的重心，，，那么________.
16．[2023泰州三模]如圖，平面直角坐標系中，點，點在軸負半軸上，，點為的重心，若將繞點旋轉 ，則旋轉后三角形的重心的坐標為____________________________.
命題點5 三角形的中位線★★☆
17．[2023鹽城]在中，，分別為邊，的中點，，則的長為______.
18．[2024無錫]在中，，，，，，分別是，，的中點，則的周長為______.
19．[2022鎮江]如圖,在和中, ,、、分別為、、的中點,若,則______.
20．[2023徐州模擬]如圖1，在中， ， ，點、分別在邊、上，且.連接，點、、分別為、、的中點.連接，，.
圖1 圖2
（1） 觀察猜想：圖1中，線段與的數量關系是____________，位置關系是____________；
（2） 探究證明：把繞點按逆時針方向旋轉到圖2的位置，證明（1）中的結論仍然成立；
（3） 拓展延伸：把繞點在平面內自由旋轉，若，，求面積的最大值.
命題點6 多邊形的內角與外角★☆☆
21．[2023無錫三模]正八邊形的每一個內角的度數都是 （ ）
A． B． C． D．
22．[2024無錫]正十二邊形的內角和等于______度.
23．[2023揚州]如果一個多邊形每一個外角都是 ,那么這個多邊形的邊數為______.
第3節 全等三角形
目標領航
真題演練
命題點1 全等三角形的性質與判定★★★
1．[2022揚州]如圖，小明家仿古家具中的一塊三角形形狀的玻璃壞了，需要重新配一塊.小明通過電話給玻璃店老板提供相關數據，為了方便表述，將該三角形記為，提供下列各組元素的數據，配出來的玻璃不一定符合要求的是（ ）
A．,, B．,,
C．,, D．,,
2．[2022南通]如圖，點，,,在一條直線上，,,要使,只需添加一個條件，則這個條件可以是____________________________.
3．[2023淮安]已知：如圖，點為線段上一點，，，.
求證：.
4．[2024鹽城]已知：如圖，點、、、在同一條直線上，,.
若________，則.
請從；；這3個選項中選擇一個作為條件（寫序號）,使結論成立，并說明理由.
5．[2024蘇州]如圖，中，,分別以,為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧交于點,連接,,,與交于點.
（1） 求證：;
（2） 若, ,求的長.
6．[2022常州]在四邊形中，是邊上的一點．若，則點叫作該四邊形的“等形點”．
（1） 正方形________“等形點”.（填“存在”或“不存在”）
（2） 如圖，在四邊形中，邊上的點是四邊形的“等形點”．已知，，，連接，求的長.
（3） 在四邊形中，．若邊上的點是四邊形的“等形點”，求的值．
命題點2 垂直平分線的性質與判定★★☆
7．[2023蘇州模擬]如圖，在中，分別以點和點為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧相交于點，.作直線，交于點，交于點，連接.若，，，則的周長為（ ）
A．25 B．22 C．19 D．18
8．[2023宿遷四模]如圖，在中，和的垂直平分線和分別交于點、，若，，，則等于（ ）
A．36 B．24 C．18 D．12
命題點3 角平分線的性質與判定★★☆
9．[2023鹽城模擬]如圖，，、分別平分、，過點且與垂直.若，，則的面積為（ ）
A．20 B．16 C．40 D．32
10．[2023揚州二模]如圖，已知四邊形的對角互補，且，，.過頂點作于，則的值為（ ）
A．9 B． C．7.2 D．6
11．[2023常州二模]如圖，平分，點是上一點，點是上一點，，若，，則點到的距離是________.
微專題5 全等三角形模型
類型1 “手拉手”型
1．在學習全等三角形知識時，數學興趣小組發現：若有兩個頂角相等且有公共頂角頂點的等腰三角形，如果把它們的底角頂點連接起來，則在相對位置變化的過程中，始終存在一對全等三角形，我們把這種模型稱為“手拉手”模型.
（1） 如圖1，和是兩個等腰直角三角形，，， ，連接，，兩線交于點，和全等的三角形是__________，和的數量關系是____________.
圖1
（2） 如圖2，點是線段上的動點，分別以，為邊在的同側作正方形與正方形，連接分別交線段，于點，.
圖2
① 求的度數；
② 連接交于點，直接寫出的值.
（3） 如圖3，已知點為線段上一點，，和為同側的兩個等邊三角形，連接交于，連接交于，連接，線段長度的最大值是__.
圖3
模型分析
“手拉手”型
模型特點 由兩個等頂角的等腰三角形組成，且頂角頂點為公共點（在 和 中，,，）
模型展示 （1）“等腰三角形”型
（2）“等邊三角形”型
（3）“等腰直角三角形”型
結論 ； （2）直線 與 所夾的銳角或直角等于
類型2 “一線三等角”型
2．“一線三垂直”模型是“一線三等角”模型的特殊情況，即三個等角的角度為 ，于是有三組邊相互垂直，所以稱為“一線三垂直”模型.當模型中有一組邊長對應相等時，模型中必定存在全等三角形.
（1） 如圖1，在等腰直角中， ，，過點作直線，過點作于點，過點作于點，求證：；
圖1
（2） 如圖2，在等腰直角中， ，，且在平面直角坐標系中，點在軸正半軸上，點的坐標為，點是第一、三象限的角平分線上的一個點，求點的坐標.
圖2 備用圖
模型分析
“一線三等角”型
模型特點 三個相等的角的頂點在一條線上，且有一組相等的邊（在 和 中，,）
模型展示 （1）“直角三角形”型
（2）“銳角三角形”型
（3）“鈍角三角形”型
結論
類型3 “半角”型
3．半角模型的圖形中含有兩個共頂點的角，其中，銳角等于較大角的一半，且已知這個較大角的兩邊（取線段）相等.通過翻折或旋轉，將角的倍分關系轉化為角的相等關系，即可構造出全等三角形.
（1） 如圖1，在四邊形中，， ， ，、分別是邊、上的點，且 .探究圖中線段，，之間的數量關系.
圖1
（2） 在中， ，，點在線段上，點在射線上， .
① 如圖2，當點在線段上時，若，，求的面積；
圖2
② 如圖3，當點在的延長線上時，若，，求的長.
圖3
模型分析
“半角”型
模型特點 角內部有半角，且有一組相等的邊
（1）一般型 特點：,， . 方法：截長補短（延長線段 至點，使）. 結論：；
（2）“正方形”型 特點：,. 方法：截長補短（延長線段 至點，使）. 結論：；
（3）“等腰直角三角形”型 特點：，. 方法：旋轉（將 繞點 逆時針旋轉 ，使 與 重合）. 結論：；
微專題6 與角平分線有關的添加輔助線的方法
方法1 向角的兩邊作垂線
1．如圖，的外角的平分線與的平分線相交于點.求證：點在與相鄰的外角的平分線上.
2．已知 ，是的平分線，點是邊上一點，直角頂點在射線上移動，使一直角邊經過點，另一直角邊與邊交于點.
（1） 如圖①所示，求證：.
①
（2） 若另一直角邊與邊的反向延長線相交于點（如圖②所示），則與還相等嗎？若相等，請予以證明；若不相等，請說明理由.
②
方法解讀
向角的兩邊作垂線
特征 已知角平分線 平分
方法 過點 作 于點，于點
圖示
結論 ，
方法2 截長補短
3．如圖，在中， ，、是的角平分線，且交于點.求證：.
方法解讀
截長補短
特征 已知角平分線但無垂直，求（證）線段的數量關系（ 平分，點 是射線 上任意一點）
方法 在 上截取，使，連接
圖示
結論
方法3 延長垂線段
4．如圖所示，在中，平分交于點，若 ，是的中點，，，則的長為________.
5．如圖，已知 ，，平分，交的延長線于點.
（1） 若，求的長；
（2） 求證：.
方法解讀
延長垂線段
特征 已知角平分線和垂直于角平分線的線段 平分，
方法 延長 交 于點
圖示
結論 ，是等腰三角形
方法4 作平行線
6．如圖，在中， ，平分，為上一點，于點，若，則的長為__________.
7．如圖，在中，，，，平分，則的長為________.
方法解讀
作平行線
條件 點 在 的平分線上
方法 過點 作 交 于點
圖示
結論 ，是等腰三角形
第4節 等腰三角形與直角三角形
目標領航
真題演練
命題點1 等腰三角形的性質與判定★★★
1．[2023宿遷]若等腰三角形有一個內角為 ，則這個等腰三角形的底角是（ ）
A． B． C． D．
2．[2022淮安]如圖，在中，，的平分線交于點，為的中點，若，則的長是（ ）
A．8 B．6 C．5 D．4
3．[2023南京三模]如圖，在中，是上一點，.若 ，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
4．[2023蘇州一模]如圖，在中，、的平分線相交于點，過點，且.求證：.
5．[2023南京一模]如圖，在中，,的頂點，，分別在，，上運動，且，.
（1） 求證：；
（2） 若，，則的取值范圍是________________；
（3） 已知，，直接寫出的取值范圍（用含，的式子表示）.
命題點2 等邊三角形的性質與判定★★★
6．[2023鹽城二模]如圖，，為等邊三角形，若 ，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
7．[2023徐州一模]如圖，是等邊三角形，延長到點，使，連接.若，則的長為________.
8．已知：如圖，點為線段上一點，和都是等邊三角形，交于點，交于點.
（1） 求證：；
（2） 求證：為等邊三角形.
命題點3 勾股定理及其逆定理★★★
9．[2023南京]我國南宋數學家秦九韶的著作《數書九章》中有一道問題：“問沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步，欲知為田幾何？”問題大意：如圖，在中，里，里，里，則的面積是（ ）
A．80平方里 B．82平方里 C．84平方里 D．86平方里
10．[2023揚州]我國漢代數學家趙爽證明勾股定理時創制了一幅“勾股圓方圖”,后人稱之為“趙爽弦圖”,它是由4個全等的直角三角形和一個小正方形組成的.如圖，直角三角形的直角邊長為、,斜邊長為,若,,則每個直角三角形的面積為__.
11．[2023南通]勾股數是指能成為直角三角形三條邊長的三個正整數，世界上第一次給出勾股數公式的是中國古代數學著作《九章算術》.現有勾股數，，，其中，均小于，，，是大于1的奇數，則______（用含的式子表示）.
12．[2023揚州模擬]如圖，圓柱形玻璃杯高為，底面周長為，在杯內壁離杯底的點處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁離杯上沿且與蜂蜜相對的點處，則螞蟻從外壁處爬到內壁處的最短路程為__（杯壁厚度不計）.
命題點4 直角三角形的性質★★★
13．如圖，在中， ，是邊上的一點，，、分別是、的中點，，則的長是（ ）
A． B． C．3 D．4
14．已知中， ， ，，則______.
15．[2023蘇州一模]如圖，，是的邊上的兩個點， ，，.若邊上有且只有1個點，滿足是等腰三角形，則的取值范圍是__________.
16．[2024連云港]如圖，在中， , ,.點在邊上，過點作,垂足為,過點作,垂足為.連接,取的中點.在點從點到點的運動過程中，點所經過的路徑長為________.
17．[2023泰州一模]如圖，在中， ，高、交于點，點、分別為、的中點，連接.
（1） 求證：；
（2） 若，求的長.
微專題7 與中點有關的添加輔助線的方法
方法1 構造“中線”法——直角中點
1．如圖，，，，.
（1） 求證：；
（2） 若點為的中點，連接，試判斷與的位置關系，并說明理由.
方法解讀
構造“中線”法——直角 中點
已知 中，，為 的中點
方法 連接，運用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質
圖示
結論
方法2 構造“中位線”法——多個中點
2．如圖所示，在中， ，、分別在、上，，、的中點分別是、，直線分別交、于點、.求的度數.
方法解讀
構造“中位線”法——多個中點
已知 D、分別為、的中點
方法 構造中位線：連接
圖示
結論 ，，
方法3 “倍長中線”法——單一中點
3．如圖，是的中線，點在的延長線上，，.若，則的長為______.
4．如圖，是直角三角形， ，是斜邊的中點，、分別是邊、上的點，且.求證：.
方法解讀
“倍長中線”法——單一中點
已知 中，點 是 的中點
方法 延長 至點，使，連接 或，構造“8”字型全等
圖示
結論
方法4 等腰三角形的“三線合一”法 等腰中點
5．如圖，在中，，點為的中點，直線垂直平分，點為線段上一動點，若，等腰的面積為21，求周長的最小值.
方法解讀
等腰三角形的“三線合一”法——等腰 中點
已知 ，點 為 的中點
方法 連接，即可運用等腰三角形的“三線合一”性質
圖示
結論 ，，
方法5 構造“全等三角形”法——平行線間夾中點
6．如圖，的頂點在等邊的邊上，點在的延長線上，為的中點，連接.若，，則的長為________.
7．如圖，在中，，平分交于點，作，垂足在線段上，
連接.
求證：
（1） 點是的中點；
（2） .
方法解讀
構造“全等三角形”法——平行線間夾中點
已知 ，點 是 的中點
方法 延長 交 于點，構造“8”字型全等
圖示
結論
方法6 構造“等腰三角形” 法 垂直平分線
8．如圖，在中，為鈍角，邊、的垂直平分線分別交于點、.
（1） 若，則____ .
（2） 若的平分線和邊的垂直平分線相交于點，過點作垂直于的延長線于點.求證：.
方法解讀
構造“等腰三角形”法——垂直平分線
已知 中，，且 為 的中點
方法 連接，運用垂直平分線的性質
圖示
結論
第5節 相似三角形
目標領航
真題演練
命題點1 黃金分割★☆☆
1．[2023泰州二模]如圖，已知點是線段的黃金分割點，且.若表示以為邊的正方形的面積，表示長為、寬為的矩形的面積，則與的大小關系為______________.
2．[2023連云港一模]如圖，已知上海東方明珠電視塔塔尖到底部的距離是468米，第二球體點處恰好是整個塔高的一個黃金分割點（點、、在同一條直線上），且，那么底部到球體之間的距離是__________________米（結果保留根號）.
命題點2 相似三角形的性質與判定★★★
3．[2022連云港]的三邊長分別為2，3，4，另有一個與它相似的三角形，其最長邊為12，則的周長是（ ）
A．54 B．36 C．27 D．21
4．[2022徐州]如圖，若方格紙中每個小正方形的邊長均為1，則陰影部分的面積為（ ）
A．5 B．6 C． D．
5．[2023徐州]如圖，在中， ， ，，為的中點.若點在邊上，且，則的長為（ ）
A．1 B．2 C．1或 D．1或2
6．[2024鹽城]兩個相似多邊形的相似比為,則它們的周長的比為________.
7．[2024無錫]如圖,在中,,,直線,是上的動點（端點除外）,射線交于點,在射線上取一點,使得,作,交射線于點,設,,當時,______;在點運動的過程中，關于的函數表達式為____________________.
8．[2024蘇州]如圖，中， ,,,點,分別在,邊上，,連接,將沿翻折，得到，連接,.若的面積是面積的2倍，則________.
9．[2023蘇州]如圖,是的內接三角形,是的直徑,,,點在上，連接并延長,交于點,連接,作,垂足為.
（1） 求證:；
（2） 若,求的長.
命題點3 圖形的位似★☆☆
10．[2023無錫四模]《墨子·天志》記載：“執規矩，以度天下之方圓.”度方知圓，感悟數學之美.如圖，正方形的面積為4，以它的對角線的交點為位似中心，作它的位似圖形，若，則四邊形的外接圓的半徑為（ ）
A． B．2 C． D．4
11．[2023泰州二模]如圖，與關于點位似，其中，，若，則______.
12．[2023常州模擬]如圖，在的正方形網格中，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點，的頂點均在格點上，按要求畫圖.（要求僅用無刻度的直尺，且保留必要的畫圖痕跡）
（1） 在圖1中，以為邊，畫出，使，為格點；
圖1
（2） 在圖2中，以點為位似中心.畫出，使與位似，且位似比，點、為格點；
圖2
（3） 在圖3中，在邊上找一個點，滿足.
圖3
命題點4 相似三角形的應用★★☆
13．[2023南京]如圖，不等臂蹺蹺板的一端碰到地面時，另一端到地面的高度為，當的一端碰到地面時，另一端到地面的高度為，則蹺蹺板的支撐點到地面的高度是（ ）
A． B． C． D．
14．[2024揚州]跨學科·物理 物理課上學過小孔成像的原理，它是一種利用光的直線傳播特性實現圖像投影的方法.如圖，燃燒的蠟燭（豎直放置）經小孔在屏幕（豎直放置）上成像.設,，小孔到的距離為,則小孔到的距離為__.
15．[2023南京]如圖，玻璃桌面與地面平行，桌面上有一盞臺燈和一支鉛筆，點光源與鉛筆所確定的平面垂直于桌面.在燈光照射下，在地面上形成的影子為（不計折射），.
（1） 在桌面上沿著方向平移鉛筆，試說明的長度不變.
（2） 桌面上一點恰在點的正下方，且，，，桌面的高度為.在點與所確定的平面內，將繞點旋轉，使得的長度最大.
① 畫出此時所在位置的示意圖；
② 的長度的最大值為__.
微專題8 相似三角形模型
類型1 “A”字型
1．如圖，在中， ，，，動點從點開始沿著邊向點以的速度移動，動點從點開始沿著邊向點以的速度移動.若、兩點同時開始運動，點運動到點時停止，點也隨之停止.運動過程中，若以、、為頂點的三角形與相似，則運動時間為____________.
2．如圖，在三角形紙板中，，，，是上一點，過點沿直線剪下一個與相似的小三角形紙板，如果有4種不同的剪法，那么長的取值范圍是____________．
3．如圖，中，，在邊上移動（不與，重合），交于點，連接，設，.
（1） 當為中點時，求的值；
（2） 若，，求關于的函數關系式及自變量的取值范圍.
模型分析
1.“ ”字型
條件
圖示
結論
2.反“ ”字型
條件
圖示
結論
類型2 “8”字型
4．[2023鎮江二模]如圖，在矩形中，若，，，則的長為______.
5．如圖，在中，弦、交于點,.若，，，則______.
模型分析
1.“8”字型
條件
圖示
結論
2.反“8”字型
條件
圖示
結論
類型3 “母子”型
6．如圖，在中， ，，垂足為，若，，則________.
7．如圖，中， ， ，交的延長線于點，若，則______.
8．如圖，在中，是邊上的一點，以點為圓心，的長為半徑作圓，恰好與邊相切于點，與邊交于點，連接.
（1） 求證：；
（2） 若，，求的半徑.
模型分析
“母子”型
（1）一般“母子”型
條件
圖示
結論 ，
（2）垂直“母子”型
條件 ，
圖示
結論 ，，，
類型4 “一線三等角”型
9．如圖,的頂點與坐標原點重合, ,,當點在反比例函數的圖像上移動時,點坐標滿足的函數解析式為____________.
10．[2023南京三模]已知，點為矩形的邊上的一個動點，連接，過點作的垂線，交于點，連接,，，在點運動的過程中，的最大值為________.
模型分析
“一線三等角”型
條件
圖示 （1）“銳角三角形”型
（2）“直角三角形”型
（3）“鈍角三角形”型
結論
類型5 “手拉手”型
11．在中，，將繞點逆時針旋轉得到，且，的延長線與交于點，若，.
（1） 求證：；
（2） 求的長.
12．如圖1，在中， ， ，，點，分別為，的中點.繞點順時針旋轉，設旋轉角為，記直線與直線的交點為點.
圖1 圖2 備用圖
（1） 如圖1，當 時，與的數量關系為____________，與的位置關系為____________.
（2） 當 時，上述結論是否成立？若成立，請僅就圖2的情形進行證明；若不成立，請說明理由.
（3） 繞點順時針旋轉一周，求點運動軌跡的長度和點到直線距離的最大值.
模型分析
“手拉手”型
（1）“任意三角形”型
條件 ，
圖示
結論 ， ，
（2）“直角三角形”型
條件 ，
圖示
結論 ， ， ，
第6節 銳角三角函數
目標領航
真題演練
命題點1 根據定義求銳角三角函數值★★☆
1．[2024無錫]如圖，在菱形中， ,是的中點,則的值為（ ）
A． B． C． D．
2．[2023宿遷]如圖,在網格中，每個小正方形的邊長均為1,每個小正方形的頂點稱為格點.、、三點都在格點上,則________.
3．[2023常州]如圖，在中， ，點在邊上，連接.若，，則________.
4．[2023淮安]如圖，3個大小完全相同的正六邊形無縫隙、不重疊地拼在一起，連接正六邊形的三個頂點得到，則的值是________.
5．[2022揚州]在中， ，、、分別為、、的對邊，若，則的值為__________.
命題點2 特殊角的三角函數值★★☆
6．的值為（ ）
A． B． C． D．
7．[2023淮安一模]如圖，以為圓心，適當長為半徑畫弧，與射線交于點，再以為圓心，長為半徑畫弧，兩弧交于點，畫射線，則的值為（ ）
A． B． C． D．
8．[2023揚州模擬]在中，若，則的度數是（ ）
A． B． C． D．
9．[2023鹽城]計算：.
10．計算： .
11．[2023南京二模]規定：，，.據此回答下列問題.
（1） 下列等式成立的是____（填序號）.
①；
②；
③.
（2） 利用上面的規定求：
① 的值；
② 的值.
命題點3 解直角三角形★★☆
12．[2023宿遷模擬]在中， ，，，則的長為（ ）
A．6 B． C． D．
13．[2023徐州一模]如圖，是的高.若，，則邊的長為（ ）
A． B． C． D．
14．[2023蘇州]如圖,是半圓的直徑，點,在半圓上,,連接,，,過點作,交的延長線于點.設的面積為,的面積為,若,則的值為（ ）
A． B． C． D．
15．[2023鹽城一模]已知中，，， ，則__________________.
16．[2023南通一模]如圖，在中， ，.延長到，使，連接，則________.
17．[2023鹽城二模]已知為鈍角三角形，其中 ，有下列條件：
①；②；
③；④.
（1） 你認為從中至少選擇______個條件，可以求出邊的長；
（2） 你選擇的條件是______________（直接填寫序號），并寫出求長的解答過程.
第7節 解直角三角形的實際應用
真題演練
命題點1 仰角、俯角問題★★★
1．[2024鹽城]如圖，小明用無人機測量教學樓的高度，將無人機垂直上升至距地面的點處，測得教學樓底端點的俯角為 ,再將無人機沿教學樓方向水平飛行至點處，測得教學樓頂端點的俯角為 ,則教學樓的高度約為__.（精確到,參考數據：,,）
2．[2023南京]如圖，為了測量無人機的飛行高度，在水平地面上選擇觀測點，.無人機懸停在處，此時在處測得的仰角為；無人機垂直上升懸停在處，此時在處測得的仰角為，點，，，在同一平面內，，兩點在的同側.求無人機在處時離地面的高度.（參考數據：，.）
命題點2 坡度、坡角問題★★★
3．[2023連云港]漁灣是國家“”級風景區，圖1是景區游覽的部分示意圖.如圖2，小卓從九孔橋處出發，沿著坡角為 的山坡

展開更多......

收起↑