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10．1　相交線 第2課時　垂直
知識梳理
1．在兩條直線AB和CD相交所成的4個角中，如果有一個角是直角，就說這兩條直線互相__ __，記作“AB__ __CD”，讀作“AB__ __CD”，其中一條直線叫作另一條直線的__ __，它們的交點叫作__ __.
2．過一點__ __一條直線垂直于已知直線．
3．在連接直線外一點與直線上各點的線段中，__ __最短．
4．直線外一點到這條直線的__ __的長度叫作點到直線的距離．
垂線的性質與點到直線的距離容易混淆，必須細微體會定義與性質的區別．
重難突破
重難點　與垂直相關的角度計算
【典例】 如圖，直線AB，CD相交于點O，EO⊥AB，垂足為點O.
(1)直接寫出∠AOC的對頂角和鄰補角；
(2)若∠AOC∶∠COE＝3∶1，求∠COB的度數．
與垂直相關的角度的計算通常會借助于互余角、互補角之間的關系列式計算．
【對點訓練】
1．如圖所示，直線AB，CD相交于點O，射線OE平分∠AOD，OF⊥AB，∠BOD＝41°.
(1)求∠COE的度數．
(2)求∠EOF的度數．
2．如圖，直線AB，CD相交于點O，OC平分∠BOE，∠AOE＝2∠FOD.
(1)若∠FOD＝21°，求∠AOD的度數；
(2)猜想OE與OF之間的位置關系，并說明理由．
課堂10分鐘
1．下列四個圖形中，過點B作AC的垂線，正確的是(　　)
　
2．如圖，直線AB，CD相交于點O，OE⊥AB于點O，若∠1＝35°，則∠2的度數是(　　)
A.55° B．45°
C．35° D．30°
3．如圖，直線AB，CD相交于點O，OE⊥CD于點O，∠AOE＝60°，則∠BOC的度數為(　　)
A．135° B．145°
C．150° D．125°
4．如圖，某村莊要在河岸l上建一個水泵房引水到C處．他們的做法是：過點C作CD⊥l于點D，將水泵房建在了D處，這樣做最節省水管長度，其數學道理是(　　)
A.兩點確定一條直線
B．垂線段最短
C．兩點之間，線段最短
D．過一點有且僅有一條直線與已知直線垂直
5．如圖，AB⊥l1，AC⊥l2，已知AB＝12，BC＝5，AC＝13，則點A到直線l1的距離是__ __．
6．在圖1中，已知∠1和∠1內一點P，以P為頂點畫∠P，使∠P的兩邊分別和∠1的兩邊垂直．
　　
(1)按要求將圖1補充完整，則∠1與∠P之間的數量關系是__ __．
(2)若點P在∠1的外部，以P為頂點畫∠P，使∠P的兩邊分別和∠1的兩邊垂直．請分別在圖2和圖3中畫出符合要求的圖形，(1)中的結論還成立嗎？請給出證明．
(3)由以上三種情形可以得到一個結論：如果一個
角的兩邊分別與另一個角的兩邊垂直，那么這兩個角__ __．
(4)應用：如果一個角的兩邊分別垂直于另一個角的兩邊且這兩個角的差為50°，那么這兩個角的度數分別是__ __．10．1　相交線 第2課時　垂直
知識梳理
1．在兩條直線AB和CD相交所成的4個角中，如果有一個角是直角，就說這兩條直線互相__垂直__，記作“AB__⊥__CD”，讀作“AB__垂直于__CD”，其中一條直線叫作另一條直線的__垂線__，它們的交點叫作__垂足__.
2．過一點__有且只有__一條直線垂直于已知直線．
3．在連接直線外一點與直線上各點的線段中，__垂線段__最短．
4．直線外一點到這條直線的__垂線段__的長度叫作點到直線的距離．
垂線的性質與點到直線的距離容易混淆，必須細微體會定義與性質的區別．
重難突破
重難點　與垂直相關的角度計算
【典例】 如圖，直線AB，CD相交于點O，EO⊥AB，垂足為點O.
(1)直接寫出∠AOC的對頂角和鄰補角；
(2)若∠AOC∶∠COE＝3∶1，求∠COB的度數．
解：(1)∠AOC的對頂角是∠BOD，∠AOC的鄰補角是∠BOC和∠AOD；
(2)因為EO⊥AB，所以∠AOE＝90°.因為∠AOC∶∠COE＝3∶1，所以∠AOC＝∠AOE＝×90°＝67.5°，所以∠COB＝180°－∠AOC＝112.5°.
與垂直相關的角度的計算通常會借助于互余角、互補角之間的關系列式計算．
【對點訓練】
1．如圖所示，直線AB，CD相交于點O，射線OE平分∠AOD，OF⊥AB，∠BOD＝41°.
(1)求∠COE的度數．
(2)求∠EOF的度數．
(1)因為∠BOD＝41°，
所以∠AOD＝180°－∠BOD＝139°.
因為OE平分∠AOD，
所以∠DOE＝∠AOE＝∠AOD＝69.5°，所以∠COE＝180°－∠DOE＝180°－69.5°＝110.5°.
(2)因為OF⊥AB，
所以∠AOF＝90°.
因為∠AOE＝69.5°，
所以∠EOF＝90°－∠AOE＝90°－69.5°＝20.5°.
2．如圖，直線AB，CD相交于點O，OC平分∠BOE，∠AOE＝2∠FOD.
(1)若∠FOD＝21°，求∠AOD的度數；
(2)猜想OE與OF之間的位置關系，并說明理由．
(1)因為∠FOD＝21°，∠AOE＝2∠FOD，
所以∠AOE＝42°，
所以∠BOE＝180°－∠AOE＝180°－42°＝138°.
因為OC平分∠BOE，
所以∠COE＝∠BOE＝×138°＝69°，
所以∠AOD＝180°－∠AOE－∠COE＝180°－42°－69°＝180°－111°＝69°；
(2)OE⊥OF，理由如下：
設∠FOD＝x，∠COE＝y，則∠AOE＝2x，∠BOE＝2y.
因為∠AOE＋∠BOE＝180°，
所以2x＋2y＝180°，
所以x＋y＝90°，即∠DOF＋∠COE＝90°.
因為∠EOF＋∠DOF＋∠COE＝180°，
所以∠EOF＝90°，所以OE⊥OF.
課堂10分鐘
1．下列四個圖形中，過點B作AC的垂線，正確的是(　A　)
　
2．如圖，直線AB，CD相交于點O，OE⊥AB于點O，若∠1＝35°，則∠2的度數是(　A　)
A.55° B．45°
C．35° D．30°
3．如圖，直線AB，CD相交于點O，OE⊥CD于點O，∠AOE＝60°，則∠BOC的度數為(　C　)
A．135° B．145°
C．150° D．125°
因為OE⊥CD，所以∠DOE＝90°，因為∠AOE＝60°，所以∠AOD＝∠AOE＋∠DOE＝150°，所以∠BOC＝∠AOD＝150°.
4．如圖，某村莊要在河岸l上建一個水泵房引水到C處．他們的做法是：過點C作CD⊥l于點D，將水泵房建在了D處，這樣做最節省水管長度，其數學道理是(　B　)
A.兩點確定一條直線
B．垂線段最短
C．兩點之間，線段最短
D．過一點有且僅有一條直線與已知直線垂直
5．如圖，AB⊥l1，AC⊥l2，已知AB＝12，BC＝5，AC＝13，則點A到直線l1的距離是__12__．
6．在圖1中，已知∠1和∠1內一點P，以P為頂點畫∠P，使∠P的兩邊分別和∠1的兩邊垂直．
　　
(1)按要求將圖1補充完整，則∠1與∠P之間的數量關系是__互補__．
(2)若點P在∠1的外部，以P為頂點畫∠P，使∠P的兩邊分別和∠1的兩邊垂直．請分別在圖2和圖3中畫出符合要求的圖形，(1)中的結論還成立嗎？請給出證明．
(3)由以上三種情形可以得到一個結論：如果一個
角的兩邊分別與另一個角的兩邊垂直，那么這兩個角__相等或互補__．
(4)應用：如果一個角的兩邊分別垂直于另一個角的兩邊且這兩個角的差為50°，那么這兩個角的度數分別是__65°，115°__．
(1)補充圖形如圖1，
圖1
∠1與∠P之間的數量關系是∠1＋∠P＝360°－90°－90°＝180°；
即∠1與∠P互補；
(2)補充圖形如圖2，圖3，(1)中的結論不成立，選圖3證明如下.
　　　
如圖3，
因為∠CON＝∠POM，∠ONC＝90°，∠OMP＝90°，
所以∠1＝∠P(等角的余角相等)，
所以∠1與∠P的關系為∠1＝∠P；
(3)如果一個角的兩邊分別與另一個角的兩邊垂直，那么這兩個角相等或互補；
(4)不妨設∠P＞∠1.
根據題意，得∠1＋∠P＝180°，∠P－∠1＝50°，
解得∠P＝115°，∠1＝65°，
那么這兩個角的度數分別是65°，115°.

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