資源簡介

10．3　平行線的性質
知識梳理
1．兩直線平行，同位角__相等__．
2．兩直線平行，內錯角__相等__．
3．兩直線平行，同旁內角__互補__．
平行線的性質與判定極其容易混淆，應用時需要細心體會．
重難突破
重難點　平行線的性質與判定的應用
【典例】 一盞可調節臺燈的示意圖如圖所示．固定支撐桿AO垂直底座MN于點O，AB與BC是分別可繞點A和B旋轉的調節桿，臺燈燈罩可繞點C旋轉調節光線角度，在調節過程中，最外側光線CD，CE組成的∠DCE始終保持不變．現調節臺燈，使外側光線CD∥MN，CE∥BA，若∠BAO＝158°，求∠DCE的度數.
解：如圖所示，過點A作AG∥MN，過點B作BH∥CD.因為CD∥MN，
所以AG∥MN∥BH∥CD.
因為OA⊥MN，所以AG⊥OA，
即∠OAG＝90°.因為∠BAO＝158°，
所以∠BAG＝∠BAO－∠OAG＝68°，
所以∠ABH＝∠BAG＝68°.因為CE∥AB，BH∥CD，
所以∠ABC＋∠BCE＝180°＝∠CBH＋∠BCD，
所以∠ABH＋∠CBH＋∠BCE＝180°＝∠CBH＋∠BCE＋∠DCE，所以∠DCE＝∠ABH＝68°.
對于含有折線的幾何題，通常是過折點添加平行線，作為溝通條件和結論的橋梁．
【對點訓練】
1．如圖，AB∥CD，BE⊥EF，DF⊥CD，∠B＝40°，則∠EFD的度數是__140°__．
　
如圖，過點E作EM∥AB，過點F作FN∥AB.
因為AB∥CD，
所以FN∥EM∥CD，
所以∠MEB＝∠B＝40°，∠EFN＝∠MEF.
因為BE⊥EF，DF⊥CD，所以∠BEF＝90°，DF⊥FN，所以∠MEF＝90°－40°＝50°，所以∠EFN＝50°，所以∠EFD＝∠EFN＋∠DFN＝50°＋90°＝140°.
2．將一個含有45°的三角板按如圖所示擺放在一組平行線內，∠1＝20°，求∠2的度數.
　
如圖，過直角頂點作直線l∥a.因為a∥b，所以l∥a∥b，所以∠1＝∠3，∠2＝∠4，所以∠1＋∠2＝∠3＋∠4＝90°，所以∠2＝90°－∠1＝70°.
課堂10分鐘
1．如圖，已知∠1＋∠2＋∠3＝232°，AB∥DF，則∠2的度數為(　B　)
A.58° B．52°
C.75° D．62°
因為AB∥DF，所以∠1＋∠3＝180°，所以∠2＝232°－180°＝52°.
　　　
2．如圖，AB∥CD，∠A＝130°，∠CED＝80°，則∠D的度數為(　D　)
A．70° B．65°
C．60° D．50°
因為AB∥CD，所以∠A＋∠C＝180°.因為∠A＝130°，所以∠C＝50°，所以∠D＝180°－∠CED－∠C＝180°－80°－50°＝50°.
3．如圖，已知：AB∥CD，CD∥EF，AE平分∠BAC，AC⊥CE，有下列結論：①AB∥EF；②2∠1－∠4＝90°；③2∠3－∠2＝180°；④∠3＋∠4＝135°.結論正確的有(　C　)
A．1個 B．2個
C．3個 D．4個
因為AB∥CD，CD∥EF，所以AB∥EF，故①正確，符合題意；因為AE平分∠BAC，所以∠BAC＝2∠1.因為AB∥CD，所以∠BAC＋∠2＝180°，所以2∠1＋∠2＝180°(1).因為AC⊥CE，所以∠2＋∠4＝90°(2)，(1)－(2)，得2∠1－∠4＝90°，故②正確，符合題意；因為AB∥EF，所以∠BAE＋∠3＝180°.因為AE平分∠BAC，所以∠1＝∠BAE，所以∠1＋∠3＝180°，所以2∠1＋2∠3＝360°(3).因為2∠1＋∠2＝180°(1)，(3)－(1)，得2∠3－∠2＝180°，故③正確，符合題意；因為CD∥EF，所以∠CEF＋∠4＝180°，所以∠3＋∠AEC＋∠4＝180°.因為AC⊥CE，所以∠1＋∠AEC＝90°，所以∠AEC＝90°－∠1，所以∠3＋∠4－∠1＝90°.因為2∠1－∠4＝90°，所以∠1＝45°＋∠4，所以∠3＋∠4＝135°，故④錯誤，不符合題意，故符合題意的有①②③.
4．如圖，直線l分別與直線a，b相交，a∥b，若∠1＝71°，則∠2的度數為__109°__.
　　　
因為∠1＝71°，所以∠3＝180°－71°＝109°.因為a∥b，所以∠2＝∠3＝109°.
5．如圖，在△ABC中，D為AC邊上一點，過D作DE∥AB，交BC于點E；F為AB邊上一點，連接DF并延長，交CB的延長線于點G，∠DFA＝∠A.試說明：DE平分∠CDF.
因為DE∥AB，
所以∠A＝∠CDE，∠BFG＝∠EDG.
因為∠DFA＝∠A，∠DFA＝∠BFG，
所以∠CDE＝∠EDG，所以DE平分∠CDF.
6．已知：如圖，直線AB∥CD∥EF，根據圖形直接寫出∠ABD，∠BDE，∠DEF之間滿足的等量關系并說明理由．
∠ABD＋∠DEF－∠BDE＝180°.理由如下：
因為AB∥CD∥EF，
所以∠ABD＋∠CDB＝180°，
∠DEF＝∠CDE，
所以∠CDB＝180°－∠ABD.
因為∠CDB＋∠BDE＝∠CDE，
所以180°－∠ABD＋∠BDE＝∠DEF，
所以∠ABD＋∠DEF－∠BDE＝180°.10．3　平行線的性質
知識梳理
1．兩直線平行，同位角__ __．
2．兩直線平行，內錯角__ __．
3．兩直線平行，同旁內角__ __．
平行線的性質與判定極其容易混淆，應用時需要細心體會．
重難突破
重難點　平行線的性質與判定的應用
【典例】 一盞可調節臺燈的示意圖如圖所示．固定支撐桿AO垂直底座MN于點O，AB與BC是分別可繞點A和B旋轉的調節桿，臺燈燈罩可繞點C旋轉調節光線角度，在調節過程中，最外側光線CD，CE組成的∠DCE始終保持不變．現調節臺燈，使外側光線CD∥MN，CE∥BA，若∠BAO＝158°，求∠DCE的度數.
對于含有折線的幾何題，通常是過折點添加平行線，作為溝通條件和結論的橋梁．
【對點訓練】
1．如圖，AB∥CD，BE⊥EF，DF⊥CD，∠B＝40°，則∠EFD的度數是__ __．
　
2．將一個含有45°的三角板按如圖所示擺放在一組平行線內，∠1＝20°，求∠2的度數.
　
課堂10分鐘
1．如圖，已知∠1＋∠2＋∠3＝232°，AB∥DF，則∠2的度數為(　　)
A.58° B．52°
C.75° D．62°
　　　
2．如圖，AB∥CD，∠A＝130°，∠CED＝80°，則∠D的度數為(　　)
A．70° B．65°
C．60° D．50°
3．如圖，已知：AB∥CD，CD∥EF，AE平分∠BAC，AC⊥CE，有下列結論：①AB∥EF；②2∠1－∠4＝90°；③2∠3－∠2＝180°；④∠3＋∠4＝135°.結論正確的有(　　)
A．1個 B．2個
C．3個 D．4個
4．如圖，直線l分別與直線a，b相交，a∥b，若∠1＝71°，則∠2的度數為__ __.
　　
5．如圖，在△ABC中，D為AC邊上一點，過D作DE∥AB，交BC于點E；F為AB邊上一點，連接DF并延長，交CB的延長線于點G，∠DFA＝∠A.試說明：DE平分∠CDF.
6．已知：如圖，直線AB∥CD∥EF，根據圖形直接寫出∠ABD，∠BDE，∠DEF之間滿足的等量關系并說明理由．

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