資源簡介

2 直角三角形
第2課時 直角三角形全等的判定
直角三角形全等的判定定理：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等.簡述為“斜邊、直角邊”或“HL”.
自測 在△ABC和△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AC=A′C′，若要用“HL”判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′，需要補充的一個條件是AB=A ′B ′.
知識點1 用“HL”判定直角三角形全等
1.如圖，BE=CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要用“HL”證明Rt△ABE≌Rt△DCF，則還需要添加的一個條件是
(D)
A.AE=DF B.∠A=∠D
C.∠B=∠C D.AB=DC
第1題圖 第2題圖
2.如圖，∠B=∠D=90°，BC=CD，若∠1=40°，則∠2的度數是 (B)
A.40° B.50° C.60° D.75°
3.如圖，AD為△ABC的高，E為AC上一點，BE交AD于點F，且BF=AC，FD=CD．求證：Rt△BFD≌Rt△ACD．
證明：∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=∠ADC=90 °．
在Rt△BFD和Rt△ACD中，
BF=AC,
FD=CD,
∴Rt△BFD≌Rt△ACD(HL)．
知識點2 直角三角形全等的綜合判定
4.使兩個直角三角形全等的條件可以是 (D)
A.一個銳角對應相等
B.兩個銳角對應相等
C.一條邊對應相等
D.任意兩邊對應相等
5.如圖，AB=AC，BE⊥AC于點E，CF⊥AB于點F，BE，CF相交于點D，則下列結論中不正確的是(D)
A.△ABE≌△ACF
B.點D在∠BAC的平分線上
C.△BDF≌△CDE
D.點D是BE的中點
［易錯提醒：對動點問題注意要考慮多種情況］
6.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=5，線段PQ=AB，P，Q兩點分別在AC和過點A且垂直于AC的射線AO上運動，當AP=5或10時，△ABC和△PQA全等．
A基礎過關
7.如圖，O是∠BAC內一點，且點O到AB，AC的距離相等，則判定△AEO≌△AFO的依據是 (A)
A.HL B.AAS C.SSS D.ASA
第7題圖 第8題圖
8.如圖，在△ABC中，∠C=90°,AD=AC, DE⊥AB交BC于點E.若∠B=28°,則∠AEC的度數是 (B)
A.28° B.59° C.60° D.62°
9.如圖，AD⊥BE于點C，且AB=DE，AC=DC，則BC與CE的關系是BC=CE.
第9題圖 第10題圖
10.如圖，AC⊥BC，AD⊥BD，要使△ABC≌△BAD，還需添加的條件：BC=AD(答案不唯一).
（任填一種）
11.如圖，∠A=∠B=90°，E是AB上的一點，且AD=BE，∠1=∠2.求證：Rt△ADE≌Rt△BEC．
證明：∵∠1=∠2，
∴DE=CE．
∵∠A=∠B=90 °，
∴△ADE和△BEC是直角三角形.
又∵AD=BE,
∴Rt△ADE≌Rt△BEC(HL).
B能力提升
12.如圖，BE,CF為△ABC的高，且BE=CF，BE，CF相交于點H，若BC=10，FC=8，則AE的長度為(B)
A.6 B. C.8 D.
第12題圖 第13題圖
13.如圖，過正方形ABCD的頂點B作直線l，過點A,C作l的垂線，垂足分別為E,F.若AE=1，CF=3，則AB的長為.
14.如圖，在△ABC中，D是BC的中點，DF⊥AB,DE⊥AC，垂足分別為F，E，AF=AE.
求證：AB=AC.
證明：如圖，連接AD.
∵DF⊥AB，DE⊥AC,
∴∠DFA=∠DEA=90 °.
在Rt△ADF和Rt△ADE中，
AF=AE,
AD=AD,
∴Rt△ADF≌Rt△ADE(HL).
∴DF=DE.
∵D是BC的中點，∴BD=CD.
在Rt△DBF和Rt△DCE中，
BD=CD,
DF=DE, 答圖
∴Rt△DBF≌Rt△DCE(HL).
∴∠B=∠C.
∴AB=AC.
C素養升華
15.如圖1，E，F分別為線段BC上兩個動點，AB=DC，AE⊥BC于點E，DF⊥BC于點F，AE=DF，AD交EF于點O．
（1）求證：BF=CE,OA=OD；
（2）當E,F兩點移動至圖2所示的位置時，其余條件不變，上述結論是否成立？請說明理由.
圖1 圖2
(1)證明：∵AE⊥BC于點E，DF⊥BC于點F，
∴∠AEB=90 °，∠DFC=90 °.
在Rt△ABE和Rt△DCF中,
AB=DC,
AE=DF,
∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL).
∴BE=CF.
∴BE-EF=CF-EF.
∴BF=CE.
在△AEO和△DFO中，
∠AOE=∠DOF,
∠AEO=∠DFO,
AE=DF,
∴△AEO≌△DFO(AAS).
∴OA=OD；
(2)解：成立，理由如下：
在Rt△ABE和Rt△DCF中,
AB=DC,
AE=DF,
∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL).
∴BE=CF.∴BE+EF=CF+EF.∴BF=CE.
在△AEO和△DFO中，
∠AOE=∠DOF，
∠AEO=∠DFO，
AE=DF，
∴△AEO≌△DFO(AAS).
∴OA=OD.2 直角三角形
第2課時 直角三角形全等的判定
直角三角形全等的判定定理：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形 .簡述為“斜邊、直角邊”或“ ”.
自測 在△ABC和△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AC=A′C′，若要用“HL”判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′，需要補充的一個條件是 .
知識點1 用“HL”判定直角三角形全等
1.如圖，BE=CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要用“HL”證明Rt△ABE≌Rt△DCF，則還需要添加的一個條件是
( )
A.AE=DF B.∠A=∠D
C.∠B=∠C D.AB=DC
第1題圖 第2題圖
2.如圖，∠B=∠D=90°，BC=CD，若∠1=40°，則∠2的度數是 ( )
A.40° B.50° C.60° D.75°
3.如圖，AD為△ABC的高，E為AC上一點，BE交AD于點F，且BF=AC，FD=CD．求證：Rt△BFD≌Rt△ACD．
知識點2 直角三角形全等的綜合判定
4.使兩個直角三角形全等的條件可以是 ( )
A.一個銳角對應相等
B.兩個銳角對應相等
C.一條邊對應相等
D.任意兩邊對應相等
5.如圖，AB=AC，BE⊥AC于點E，CF⊥AB于點F，BE，CF相交于點D，則下列結論中不正確的是( )
A.△ABE≌△ACF
B.點D在∠BAC的平分線上
C.△BDF≌△CDE
D.點D是BE的中點
［易錯提醒：對動點問題注意要考慮多種情況］
6.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=5，線段PQ=AB，P，Q兩點分別在AC和過點A且垂直于AC的射線AO上運動，當AP= 時，△ABC和△PQA全等．
A基礎過關
7.如圖，O是∠BAC內一點，且點O到AB，AC的距離相等，則判定△AEO≌△AFO的依據是 ( )
A.HL B.AAS C.SSS D.ASA
第7題圖 第8題圖
8.如圖，在△ABC中，∠C=90°,AD=AC, DE⊥AB交BC于點E.若∠B=28°,則∠AEC的度數是 ( )
A.28° B.59° C.60° D.62°
9.如圖，AD⊥BE于點C，且AB=DE，AC=DC，則BC與CE的關系是 .
第9題圖 第10題圖
10.如圖，AC⊥BC，AD⊥BD，要使△ABC≌△BAD，還需添加的條件： .
（任填一種）
11.如圖，∠A=∠B=90°，E是AB上的一點，且AD=BE，∠1=∠2.求證：Rt△ADE≌Rt△BEC．
B能力提升
12.如圖，BE,CF為△ABC的高，且BE=CF，BE，CF相交于點H，若BC=10，FC=8，則AE的長度為( )
A.6 B. C.8 D.
第12題圖 第13題圖
13.如圖，過正方形ABCD的頂點B作直線l，過點A,C作l的垂線，垂足分別為E,F.若AE=1，CF=3，則AB的長為 .
14.如圖，在△ABC中，D是BC的中點，DF⊥AB,DE⊥AC，垂足分別為F，E，AF=AE.
求證：AB=AC.
C素養升華
15.如圖1，E，F分別為線段BC上兩個動點，AB=DC，AE⊥BC于點E，DF⊥BC于點F，AE=DF，AD交EF于點O．
（1）求證：BF=CE,OA=OD；
（2）當E,F兩點移動至圖2所示的位置時，其余條件不變，上述結論是否成立？請說明理由.
圖1 圖22 直角三角形
第1課時 勾股定理及其逆定理
1.直角三角形的兩個銳角互余；有兩個角互余的三角形是直角三角形.
自測1 Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=54°，則∠A=36 °.
2.直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方；如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形.
自測2 已知△ABC的三邊長a,b,c分別為6,8,10，則△ABC是(填“是”或“不是”)直角三角形.
3.(1)如果兩個命題的題設和結論剛好相反，那么這兩個命題稱為互逆命題，其中一個命題稱為另一個命題的逆命題.(2)一個定理的逆命題經過證明是真命題，那么它也是一個定理,其中一個定理稱為另一個定理的逆定理.
自測3 “兩直線平行，內錯角相等”的逆定理是內錯角相等，兩直線平行.
知識點1 直角三角形的性質與判定
1.在△ABC中，若∠B=70°，∠C=20°，則△ABC是 (B)
A.銳角三角形 B.直角三角形
C.鈍角三角形 D.等腰三角形
2.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB邊上的高，若∠A=55°，則∠DCB的度數為 (A)
A.55°
B.45°
C.35°
D.25°
知識點2 勾股定理及其逆定理
3.下列長度的各組線段中，能夠組成直角三角形的一組是 (D)
A.1，2，3 B.2，3，4
C.4，5，6 D.1，，
4.如圖，一棵樹在離地面4.5 m處斷裂，樹的頂部落在離底部6 m處，則這棵樹折斷之前的高度是(C)
A.10.5 m
B.7.5 m
C.12 m
D.8 m
知識點3 互逆命題和互逆定理
5.下列命題的逆命題屬于真命題的是 (D)
A.若a=b，則|a|=|b|
B.同旁內角互補
C.如果兩個實數相等，那么它們的平方也相等
D.等腰三角形有兩邊相等
［易錯提醒：未對斜邊長分類討論而致錯］
6.在Rt△ABC中，AB=6,BC=8,則△ABC的面積為6或24.
A基礎過關
7.如圖，把一塊三角尺ABC的直角頂點B放在直線EF上，∠C=30°，AC∥EF，則∠1的度數是 (C)
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
8.命題“等邊三角形的三個角都相等”的逆命題是三個角都相等的三角形是等邊三角形．這個逆命題是真（填“真”或“假”）命題．
9.如果三角形的三邊長a,b,c滿足(a-5)2++|c-13|=0，那么這個三角形是直角三角形.
10.如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，分別以AB，BC，AC為邊向外作正方形，面積分別記為S1，S2，S3，若S2=4，S3=6，則S1=2.
第10題圖 第11題圖
11.某開發區有一塊四邊形的空地ABCD，現計劃在空地上種植草皮，如圖，已知AB=13 m，BC=9 m，CD=15 m，DA=5 m且DB⊥BC，若每平方米草皮需要200元，則需要投入16 800元.
B能力提升
12.對于下列四個條件：①∠A+∠B=∠C；②∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5；③∠A=90°-∠B；④∠A=∠B=∠C，其中能確定△ABC是直角三角形的條件有 (C)
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
13.如圖，李叔叔欲劃船渡河，由于水流的影響，實際靠岸地點C偏離欲到達的點B 200 m，若他在水中實際行駛了520 m，則該河流的寬度為480m.
第13題圖 第14題圖
14.對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形.如圖，在“垂美”四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O．若AD=3，BC=5，則AB2+CD2=34．
15.如圖，在△ACB中，∠ACB＝90°,CD⊥AB于點D.
（1）求證：∠ACD＝∠B；
（2）若AF平分∠CAB分別交CD，BC于點E，F，求證：∠CEF＝∠CFE.
證明：(1)∵∠ACB=90 °，CD⊥AB于點D，
∴∠ACD+∠BCD=90 °，∠B+∠BCD=90 °.
∴∠ACD=∠B；
(2)在Rt△AFC中，∠CFA=90 °-∠CAF，
在Rt△AED中，∠AED=90 °-∠DAE.
又∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠DAE.
∴∠AED=∠CFE.
∵∠CEF=∠AED，
∴∠CEF=∠CFE.
C素養升華
16.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5 cm，AC=3 cm，動點P從點B出發沿射線BC以1 cm/s的速度運動，設運動的時間為t s．
（1）求BC邊的長；
（2）當△ABP為直角三角形時，求t的值．
解：(1)在Rt△ABC中，由勾股定理,得BC===4(cm)；
(2)由題意，得BP=t cm，分兩種情況：
①當∠APB=90 °時，點P與點C重合，如圖1所示.
∴BP=BC=4 cm.
∴t=4；
圖1 圖2
②當∠BAP=90 °時，如圖2所示.
則CP=(t-4)cm，∠ACP=90 °，
在Rt△ACP中，由勾股定理，得AP2=AC2+CP2，
在Rt△ABP中，由勾股定理，得AP2=BP2-AB2，
∴AC2+CP2=BP2-AB2，即322+(t-4)2=t2-52，
解得t=.
綜上所述，當△ABP為直角三角形時，t的值為4或．2 直角三角形
第1課時 勾股定理及其逆定理
1.直角三角形的兩個銳角 ；有兩個角互余的三角形是 .
自測1 Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=54°，則∠A= .
2.直角三角形兩條直角邊的平方和等于 ；如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是 .
自測2 已知△ABC的三邊長a,b,c分別為6,8,10，則△ABC (填“是”或“不是”)直角三角形.
3.(1)如果兩個命題的題設和結論剛好相反，那么這兩個命題稱為 ，其中一個命題稱為另一個命題的 .(2)一個定理的逆命題經過證明是真命題，那么它也是一個定理,其中一個定理稱為另一個定理的 .
自測3 “兩直線平行，內錯角相等”的逆定理是 .
知識點1 直角三角形的性質與判定
1.在△ABC中，若∠B=70°，∠C=20°，則△ABC是 ( )
A.銳角三角形 B.直角三角形
C.鈍角三角形 D.等腰三角形
2.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB邊上的高，若∠A=55°，則∠DCB的度數為 ( )
A.55°
B.45°
C.35°
D.25°
知識點2 勾股定理及其逆定理
3.下列長度的各組線段中，能夠組成直角三角形的一組是 ( )
A.1，2，3 B.2，3，4
C.4，5，6 D.1，，
4.如圖，一棵樹在離地面4.5 m處斷裂，樹的頂部落在離底部6 m處，則這棵樹折斷之前的高度是( )
A.10.5 m
B.7.5 m
C.12 m
D.8 m
知識點3 互逆命題和互逆定理
5.下列命題的逆命題屬于真命題的是 ( )
A.若a=b，則|a|=|b|
B.同旁內角互補
C.如果兩個實數相等，那么它們的平方也相等
D.等腰三角形有兩邊相等
［易錯提醒：未對斜邊長分類討論而致錯］
6.在Rt△ABC中，AB=6,BC=8,則△ABC的面積為 .
A基礎過關
7.如圖，把一塊三角尺ABC的直角頂點B放在直線EF上，∠C=30°，AC∥EF，則∠1的度數是 ( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
8.命題“等邊三角形的三個角都相等”的逆命題是 ．這個逆命題是 （填“真”或“假”）命題．
9.如果三角形的三邊長a,b,c滿足(a-5)2++|c-13|=0，那么這個三角形是 .
10.如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，分別以AB，BC，AC為邊向外作正方形，面積分別記為S1，S2，S3，若S2=4，S3=6，則S1= .
第10題圖 第11題圖
11.某開發區有一塊四邊形的空地ABCD，現計劃在空地上種植草皮，如圖，已知AB=13 m，BC=9 m，CD=15 m，DA=5 m且DB⊥BC，若每平方米草皮需要200元，則需要投入 元.
B能力提升
12.對于下列四個條件：①∠A+∠B=∠C；②∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5；③∠A=90°-∠B；④∠A=∠B=∠C，其中能確定△ABC是直角三角形的條件有 ( )
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
13.如圖，李叔叔欲劃船渡河，由于水流的影響，實際靠岸地點C偏離欲到達的點B 200 m，若他在水中實際行駛了520 m，則該河流的寬度為 m.
第13題圖 第14題圖
14.對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形.如圖，在“垂美”四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O．若AD=3，BC=5，則AB2+CD2= ．
15.如圖，在△ACB中，∠ACB＝90°,CD⊥AB于點D.
（1）求證：∠ACD＝∠B；
（2）若AF平分∠CAB分別交CD，BC于點E，F，求證：∠CEF＝∠CFE.
C素養升華
16.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5 cm，AC=3 cm，動點P從點B出發沿射線BC以1 cm/s的速度運動，設運動的時間為t s．
（1）求BC邊的長；
（2）當△ABP為直角三角形時，求t的值．

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