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3 線段的垂直平分線
第2課時 三角形三邊的垂直平分線及作圖
到三角形三個頂點距離相等的點，是三角形三條邊的 的交點，即三角形三條邊的垂直平分線相交于 .
自測 直角三角形三邊的垂直平分線的交點位于斜邊的 .
知識點1 三角形三邊的垂直平分線
1.平面內到不在同一條直線的三個點A，B，C的距離相等的點有 ( )
A.0個 B.1個 C.2個 D.3個
2.如圖，MN為△ABC的邊BC上的垂直平分線，若AB，AC兩邊的垂直平分線相交于點O，當點A的位置改變時，點O的位置在 ( )
A.MN上
B.MN的左側
C.MN的右側
D.MN的左側或右側
3.如圖，在銳角三角形ABC中，∠BAC=60°，邊AC，AB的垂直平分線相交于點O，分別交AC，AB于點D，E，則∠BOC等于 ( )
A.100°
B.110°
C.120°
D.130°
知識點2 尺規作圖
4.如圖所示的尺規作圖是作 ( )
A.線段的垂直平分線
B.一個半徑為定值的圓
C.一條直線的平行線
D.一個角等于已知角
5.如圖，已知一條線段長為a，求作等腰直角三角形ABC，使它的斜邊長為a.(不要求寫作法，保留作圖痕跡)
［易錯提醒：圖形形狀未確定時，思考不全面而導致漏解］
6.在△ABC中，DE，MN分別垂直平分AB和AC，分別交AB，AC于點E，N，交BC于點D，M，若DM=2，BC=5，則AD+AM= ．
A基礎過關
7.在△ABC中，AB=AC，有一點P到A，B，C三點的距離相等，則點P一定在 ( )
A.AB邊的高上 B.AC邊的高上
C.BC邊的中線上 D.AB邊的中線上
8.在△ABC中，AB＜AC＜BC，如果要用尺規作圖的方法在BC上確定一點P，使得PA+PB=BC，那么下列符合要求的作圖痕跡是 ( )
A B
C D
9.如圖，為豐富A，B，C三個小區的文化生活，現準備新建一個影劇院，使它到三個小區的距離相等，試確定影劇院M的位置(無需寫作法，保留作圖痕跡).
B能力提升
10.如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分線交BC于點D，交AB于點E，DB=10，則AC的長為 ( )
A.10
B.6
C.5
D.2.5
11.如圖，在△ABC中，分別以點B和點C為圓心，大于BC的長為半徑畫弧，兩弧相交于點M，N．作直線MN交AC于點D，交BC于點E，連接BD．若AB=7，AC=12，BC=6，則△ABD的周長為 ( )
A．25 B．22 C．19 D．18
第11題圖 第12題圖
12.如圖，在銳角三角形ABC中，直線l為BC的垂直平分線，直線m為∠ABC的平分線，l與m相交于點P．若∠BAC=60°，∠ACP=24°，則∠ABP的度數為 ．
13.如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，分別以點A，C為圓心，大于AC長為半徑畫弧，兩弧相交于點M，N，連接MN，與AC，BC分別交于點D，E，連接AE.
（1）∠ADE= ；
(2)AE （填“＞”“＜”或“=”） CE；
（3）當 AB=3，AC=5 時，△ABE的周長是多少？
C素養升華
14.如圖，在△ABC中，邊AB，AC的垂直平分線相交于點D，垂足分別為E，F．∠BAC=100°，∠EDF=80°，∠ACB=30°，求∠ABD的度數．3 線段的垂直平分線
第2課時 三角形三邊的垂直平分線及作圖
到三角形三個頂點距離相等的點，是三角形三條邊的垂直平分線的交點，即三角形三條邊的垂直平分線相交于一點.
自測 直角三角形三邊的垂直平分線的交點位于斜邊的中點.
知識點1 三角形三邊的垂直平分線
1.平面內到不在同一條直線的三個點A，B，C的距離相等的點有 (B)
A.0個 B.1個 C.2個 D.3個
2.如圖，MN為△ABC的邊BC上的垂直平分線，若AB，AC兩邊的垂直平分線相交于點O，當點A的位置改變時，點O的位置在 (A)
A.MN上
B.MN的左側
C.MN的右側
D.MN的左側或右側
3.如圖，在銳角三角形ABC中，∠BAC=60°，邊AC，AB的垂直平分線相交于點O，分別交AC，AB于點D，E，則∠BOC等于 (C)
A.100°
B.110°
C.120°
D.130°
知識點2 尺規作圖
4.如圖所示的尺規作圖是作 (A)
A.線段的垂直平分線
B.一個半徑為定值的圓
C.一條直線的平行線
D.一個角等于已知角
5.如圖，已知一條線段長為a，求作等腰直角三角形ABC，使它的斜邊長為a.(不要求寫作法，保留作圖痕跡)
解：如圖所示，△ABC即為所求作的三角形.
［易錯提醒：圖形形狀未確定時，思考不全面而導致漏解］
6.在△ABC中，DE，MN分別垂直平分AB和AC，分別交AB，AC于點E，N，交BC于點D，M，若DM=2，BC=5，則AD+AM=7或3．
A基礎過關
7.在△ABC中，AB=AC，有一點P到A，B，C三點的距離相等，則點P一定在 (C)
A.AB邊的高上 B.AC邊的高上
C.BC邊的中線上 D.AB邊的中線上
8.在△ABC中，AB＜AC＜BC，如果要用尺規作圖的方法在BC上確定一點P，使得PA+PB=BC，那么下列符合要求的作圖痕跡是 (D)
A B
C D
9.如圖，為豐富A，B，C三個小區的文化生活，現準備新建一個影劇院，使它到三個小區的距離相等，試確定影劇院M的位置(無需寫作法，保留作圖痕跡).
答圖
解：如圖，連接AC，BC，分別作AC，BC的垂直平分線，相交于點M，則點M即滿足條件.
B能力提升
10.如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分線交BC于點D，交AB于點E，DB=10，則AC的長為 (C)
A.10
B.6
C.5
D.2.5
11.如圖，在△ABC中，分別以點B和點C為圓心，大于BC的長為半徑畫弧，兩弧相交于點M，N．作直線MN交AC于點D，交BC于點E，連接BD．若AB=7，AC=12，BC=6，則△ABD的周長為 (C)
A．25 B．22 C．19 D．18
第11題圖 第12題圖
12.如圖，在銳角三角形ABC中，直線l為BC的垂直平分線，直線m為∠ABC的平分線，l與m相交于點P．若∠BAC=60°，∠ACP=24°，則∠ABP的度數為32 °．
13.如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，分別以點A，C為圓心，大于AC長為半徑畫弧，兩弧相交于點M，N，連接MN，與AC，BC分別交于點D，E，連接AE.
（1）∠ADE= ；
(2)AE （填“＞”“＜”或“=”） CE；
（3）當 AB=3，AC=5 時，△ABE的周長是多少？
解：(1)由作法得DE垂直平分AC， 則∠ADE=90 °； 故答案為90 °；
(2)由作法得DE垂直平分AC， 則AE=CE； 故答案為=；
(3)∵Rt△ABC中，∠B=90 °，
∴BC==4.
∴△ABE的周長=AB+BE+AE=AB+BE+CE=AB+BC=3+4=7．
C素養升華
14.如圖，在△ABC中，邊AB，AC的垂直平分線相交于點D，垂足分別為E，F．∠BAC=100°，∠EDF=80°，∠ACB=30°，求∠ABD的度數．
解：如圖，連接AD，
∵邊AB，AC的垂直平分線相交于點D，
∴BD=AD=CD．
∴∠DBA=∠DAB，∠DCA=∠DAC,∠DBC=∠DCB．
設∠DBC=∠DCB=x °，
∵∠BAC=100 °，∠ACB=30 °，
∴∠ABC=50 °．
∵∠ADE=∠BDE，∠ADF=∠CDF，
∴∠BDC=∠ADE+∠BDE+∠ADF+∠CDF=2∠EDF=160 °.
∴在四邊形ABCD中，x+50+30+x+160+100=360．
解得x=10，即∠DBC=10 °．
∴∠ABD=10 °+50 °=60 °．
答圖3 線段的垂直平分線
第1課時 線段的垂直平分線
1.定理：線段的垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等.
自測1 若點P在線段AB的垂直平分線上，PA=5，則PB=5.
2.定理：到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.
自測2 如圖，已知PA=PB，AQ=BQ，PQ交AB于點C，若CA=6，PC=5，則S△PAB=30.
知識點1 線段的垂直平分線的性質
1.如圖，AO=OC，AC⊥BD，AD=10，BC=4，則四邊形ABCD的周長為 (C)
A.30
B.16
C.28
D.14
2.如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線交AC，AB于點D，E，如果AC=5 cm，BC=4 cm，那么△DBC的周長是 (D)
A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm
第2題圖 第3題圖
3.如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，AB的垂直平分線分別交AB，BC于點D，E，則∠BAE的度數為40 °.
知識點2 線段的垂直平分線的判定
4.下列條件中，不能判定直線CD是線段AB（點C,D不在線段AB上）的垂直平分線的是 (C)
A.CA=CB,DA=DB
B.CA=CB,CD⊥AB
C.CA=DA,CB=DB
D.CA=CB,CD平分AB
5.如圖，點D在△ABC的邊BC上，BC=BD+AD，則點D在線段 (B)
A.AB的垂直平分線上
B.AC的垂直平分線上
C.BC的垂直平分線上
D.不能確定
［易錯提醒：當位置關系不確定時，思考不全面而漏解］
6.在△ABC中，AB=AC，若AB邊上的垂直平分線與AC所在的直線相交所成的銳角為50°，則∠B=70 °或20 °．
A基礎過關
7.如圖，直線l與線段AB交于點O，點P在直線l上，且PA=PB，則下列結論：①AO=BO；②PO⊥AB；③∠APO=∠BPO；④點P在線段AB的垂直平分線上．其中正確的有 (A)
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
第7題圖 第8題圖
8.如圖，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分線交AB于點E，垂足為D，CE平分∠ACB.若BE=2，則AE的長為1.
9.如圖，在△ABC中，DE，FG分別垂直平分AB，AC，若△AEG的周長為8 cm，則BC=8cm.
10.如圖，AD與BC相交于點O，OA=OC，∠A=∠C，BE=DE.求證：OE垂直平分BD.
證明：在△AOB和△COD中，
∠A=∠C，
OA=OC，
∠AOB=∠COD，
∴△AOB≌△COD(ASA).
∴OB=OD.
∴點O在線段BD的垂直平分線上.
∵BE=DE，
∴點E在線段BD的垂直平分線上.
∴OE垂直平分BD.
B能力提升
11.如圖，在△ABC中，BC的垂直平分線DE交邊BC于點D，交邊AB于點E．若△EDC的周長為24，△ABC與四邊形AEDC的周長之差為12，則線段DE的長為 (C)
A.18 B.12 C.6 D.4
第11題圖 第12題圖
12.如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=3，若AC的垂直平分線DE分別交AB，AC于D，E兩點，則CD的長為.
13.如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線MN交AB于點D，交AC于點E，且AC=15 cm，△BCE的周長等于25 cm.
(1)求BC的長；
(2)若∠A=36°，AB=AC.求證：BC=BE.
(1)解：∵AB的垂直平分線MN交AB于點D，
∴AE=BE.
∴△BCE的周長為BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC=25 cm.
又∵AC=15 cm,
∴BC=25-15=10(cm)；
(2)證明：∵∠A=36 °，AB=AC，
∴∠C=(180 °-∠A)=(180 °-36 °)=72 °.
∵AB的垂直平分線MN交AB于點D，
∴AE=BE.∴∠ABE=∠A=36 °.
∵∠BEC=∠A+∠ABE=36 °+36 °=72 °，
∴∠BEC=∠C.∴BC=BE.
C素養升華
14.在△ABC中，DE垂直平分AB，分別交AB，BC于點D，E，MN垂直平分AC，分別交AC，BC于點M，N，連接AE，AN．
（1）如圖1，若∠BAC=100°，求∠EAN的度數；
（2）如圖2，若∠BAC=70°，求∠EAN的度數；
（3）若∠BAC=α（α≠90°），請直接寫出∠EAN的度數．（用含α的代數式表示）
圖1 圖2
解：(1)∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE. ∴∠BAE=∠B. 同理可得∠CAN=∠C.
∴∠EAN=∠BAC-∠BAE-∠CAN=∠BAC-(∠B+∠C).
在△ABC中，∠B+∠C=180 °-∠BAC=80 °，
∴∠EAN=∠BAC-(∠BAE+∠CAN)=100 °-80 °=20 °；
(2)∵DE垂直平分AB， ∴AE=BE.
∴∠BAE=∠B.
同理可得∠CAN=∠C.
∴∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC=(∠B+∠C)-∠BAC.
在△ABC中，∠B+∠C=180 °-∠BAC=110 °，
∴∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC=110 °-70 °=40 °；
(3)當0 °<α<90 °時，∠EAN=180 °-2α；
當180 °>α>90 °時，∠EAN=2α-180 °．
∴∠EAN=|180 °-2α|(α≠90 °).3 線段的垂直平分線
第1課時 線段的垂直平分線
1.定理：線段的垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離 .
自測1 若點P在線段AB的垂直平分線上，PA=5，則PB= .
2.定理：到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的 上.
自測2 如圖，已知PA=PB，AQ=BQ，PQ交AB于點C，若CA=6，PC=5，則S△PAB= .
知識點1 線段的垂直平分線的性質
1.如圖，AO=OC，AC⊥BD，AD=10，BC=4，則四邊形ABCD的周長為 ( )
A.30
B.16
C.28
D.14
2.如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線交AC，AB于點D，E，如果AC=5 cm，BC=4 cm，那么△DBC的周長是 ( )
A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm
第2題圖 第3題圖
3.如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，AB的垂直平分線分別交AB，BC于點D，E，則∠BAE的度數為 .
知識點2 線段的垂直平分線的判定
4.下列條件中，不能判定直線CD是線段AB（點C,D不在線段AB上）的垂直平分線的是 ( )
A.CA=CB,DA=DB
B.CA=CB,CD⊥AB
C.CA=DA,CB=DB
D.CA=CB,CD平分AB
5.如圖，點D在△ABC的邊BC上，BC=BD+AD，則點D在線段 ( )
A.AB的垂直平分線上
B.AC的垂直平分線上
C.BC的垂直平分線上
D.不能確定
［易錯提醒：當位置關系不確定時，思考不全面而漏解］
6.在△ABC中，AB=AC，若AB邊上的垂直平分線與AC所在的直線相交所成的銳角為50°，則∠B= ．
A基礎過關
7.如圖，直線l與線段AB交于點O，點P在直線l上，且PA=PB，則下列結論：①AO=BO；②PO⊥AB；③∠APO=∠BPO；④點P在線段AB的垂直平分線上．其中正確的有 ( )
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
第7題圖 第8題圖
8.如圖，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分線交AB于點E，垂足為D，CE平分∠ACB.若BE=2，則AE的長為 .
9.如圖，在△ABC中，DE，FG分別垂直平分AB，AC，若△AEG的周長為8 cm，則BC= cm.
10.如圖，AD與BC相交于點O，OA=OC，∠A=∠C，BE=DE.求證：OE垂直平分BD.
B能力提升
11.如圖，在△ABC中，BC的垂直平分線DE交邊BC于點D，交邊AB于點E．若△EDC的周長為24，△ABC與四邊形AEDC的周長之差為12，則線段DE的長為 ( )
A.18 B.12 C.6 D.4
第11題圖 第12題圖
12.如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=3，若AC的垂直平分線DE分別交AB，AC于D，E兩點，則CD的長為.
13.如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線MN交AB于點D，交AC于點E，且AC=15 cm，△BCE的周長等于25 cm.
(1)求BC的長；
(2)若∠A=36°，AB=AC.求證：BC=BE.
C素養升華
14.在△ABC中，DE垂直平分AB，分別交AB，BC于點D，E，MN垂直平分AC，分別交AC，BC于點M，N，連接AE，AN．
（1）如圖1，若∠BAC=100°，求∠EAN的度數；
（2）如圖2，若∠BAC=70°，求∠EAN的度數；
（3）若∠BAC=α（α≠90°），請直接寫出∠EAN的度數．（用含α的代數式表示）
圖1 圖2

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