資源簡介

1 等腰三角形
第2課時 等邊三角形的性質
1.等腰三角形兩底角的平分線相等；兩腰上的高相等；兩腰上的中線相等.
自測1 如圖，在△ABC中，AB=AC，BD，CE是△ABC的角平分線.若BD=5 cm，則CE=5cm.
2.等邊三角形的三個內角都相等，并且每個角都等于60 °.
自測2 等邊三角形的兩底角平分線所夾鈍角的度數是 (D)
A.30° B.45° C.60° D.120°
知識點1 等腰三角形中的相等線段
1.如圖，在△ABC中，CA=CB，AD⊥BC，BE⊥AC，AB=5，AD=4，則AE的長為 (B)
A.2
B.3
C.4
D.5
2.如圖，在△ABC中，AB=AC，中線BD,CE相交于點O.求證：∠ECB=∠DBC.
證明：∵BD，CE是△ABC腰上的兩條中線，且AB=AC，
∴BD=CE，CD=AC，BE=AB.
∴CD=BE.
在△EBC和△DCB中，
BE=CD,
BD=CE，
BC=CB，
∴△EBC≌△DCB(SSS).
∴∠ECB=∠DBC.
知識點2 等邊三角形的相關性質
3.如圖，AD是等邊三角形ABC的中線，AE=AD，則∠DEC的度數為 (B)
A.100° B.105° C.110° D.115°
第3題圖 第4題圖
4.如圖，已知AB∥CD，△ACE為等邊三角形，∠DCE=40°，則∠EAB等于 (C)
A．40° B．30° C．20° D．10°
［易錯提醒：對三角形高線的位置考慮不全面而致錯］
5.等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為40°，這個三角形頂角的度數為50 °或130 °.
A基礎過關
6.如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD，CE分別平分∠ABC，∠ACB．若CD=5,則CE的長為(C)
A．4
B．4.5
C．5
D．5.5
7.如圖，等邊三角形ABC的角平分線AD，BE相交于點O，則∠BOD=60 °．
第7題圖 第8題圖
8.如圖，△ABC是等邊三角形，若BC=BD，∠BAD=20°，則∠BCD的度數為50 °.
9.如圖，△ABC是等邊三角形，BD平分∠ABC，延長BC到點E，使得CE=CD.
求證：BD=DE.
證明：∵△ABC是等邊三角形，BD平分∠ABC，
∴∠DBC=∠ABC=30 °，∠ACB=60 °.
∵CD=CE，∴∠CDE=∠E.
∵∠ACB=∠CDE+∠E,
∴∠E=1∠ACB=30 °.
∴∠E=∠DBC.
在△DBE和△DEB中，
∠BDE=∠EDB，
∠DBE=∠DEB，
BE=EB，
∴△DBE≌△DEB(AAS).∴BD=DE.
B能力提升
10.如圖，等腰三角形ABC兩腰上的高BD，CE相交于點O，且∠BOC=100°，則∠A的度數為 (B)
A.50°
B.80°
C.100°
D.130°
11.如圖，△ABC是等邊三角形，P是三角形內一點，且PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周長為24，則PD+PE+PF的值為 (A)
A．8 B．9 C．12 D．15
第11題圖 第12題圖
12.一個等邊三角形，一個直角三角形以及一個等腰三角形如圖放置，等腰三角形的底角∠3=80°，則∠1+∠2=130 °．
13.如圖，在等邊三角形ABC中，D是BC上一點，以AD為腰作等腰三角形ADE，使AD=AE，∠DAE=80°，若∠BAD=15°，求∠EDC的度數.
解：∵△ADE是等腰三角形，AD=AE，∠DAE=80 °，
∴∠ADE=(180 °-∠DAE)=×(180 °-80 °)=50 °.
∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=60 °.
∴∠ADC=∠B+∠BAD=60 °+15 °=75 °.
∵∠ADC=∠ADE+∠EDC,
∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=75 °-50 °=25 °.
C素養升華
14.如圖，△ABC是等邊三角形，D是邊BC上（除B，C外）的任意一點，∠ADE＝60°，且DE交△ABC外角∠ACF的平分線CE于點E.求證：
（1）∠1＝∠2；
（2）AD＝DE.
證明：(1)∵△ABC是等邊三角形，∠ADE=60 °，
∴∠ADE=∠B=60 °.
又∵∠ADC=∠2+∠ADE=∠1+∠B，
∴∠1=∠2；
(2)如圖，在AB上取一點M，使BM=BD，連接MD.
∵∠B=60 °,BM=BD,
∴∠BMD==60 °.∴∠AMD=120 °.
∵CE是△ABC外角∠ACF的平分線，△ABC是等邊三角形，
∴∠ECF=60 °.∴∠DCE=120 °.
∴∠AMD=∠DCE. 答圖
∵BA-BM=BC-BD，∴MA=CD.
在△AMD和△DCE中，∠1=∠2,AM=DC，∠AMD=∠DCE，
∴△AMD≌△DCE(ASA).
∴AD=DE.1 等腰三角形
第4課時 等邊三角形的判定
1.等邊三角形的判定定理：(1)三個角都相等的三角形是等邊三角形；(2)有一個角等于60 °的等腰三角形是等邊三角形.
自測1 在△ABC中，∠A=60°，要使△ABC是等邊三角形，需要添加的一個條件是AB=BC(答案不唯一).
2.在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.
自測2 如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，則BC=2.
知識點1 等邊三角形的判定
1.在△ABC中，∠B=60°，AB=AC，BC=3，則△ABC的周長為 (A)
A.9 B.8 C.6 D.12
2.等腰三角形在補充下列條件后，仍不一定成為等邊三角形的是 (C)
A.有一個內角是60°
B.有一個外角是120°
C.有兩個角相等
D.腰與底邊相等
3.已知線段OA=a，以點O為端點作射線ON，使得∠AON=60°，P是射線ON上一動點，當OP=a時，△AOP為等邊三角形.
知識點2 含30°角的直角三角形的性質
4.如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=6，則AC的長為 (C)
A.6 B.6 C.6 D.12
第4題圖 第5題圖
5.如圖，AC=BC=10 cm，∠B=15°，AD⊥BC交BC的延長線于點D，則AD的長為 (C)
A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm
6.如圖，在△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AD⊥BA交BC于點D.若CD=2 cm，則BD的長為4cm.
第6題圖 第7題圖
7.如圖，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=5 cm.以點A為圓心，AB長為半徑畫弧，交BC邊的延長線于點D，則AD長為10cm.
［易錯提醒：未對30°角所對的邊分類討論而漏解］
8.在△ABC中，AB=AC=6 cm,BD為AC邊上的高，∠ABD=30°，則線段CD的長為3或9cm.
A基礎過關
9.如圖，△ABC是等邊三角形，DE∥BC，若AB=7，BD=4，則△ADE的周長為 (A)
A．9 B．8 C．7 D．6
10.已知a,b，c是三角形的三邊長，且滿足(a-b)2+b-c=0，則這個三角形一定是 (B)
A.直角三角形
B.等邊三角形
C.鈍角三角形
D.等腰直角三角形
11.如圖，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=10，點D在BA的延長線上，CA=CD，若BD=6，則AD的長為
(B)
A．1 B．2 C．3 D．4
12.如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，∠B=2∠C.求證：AB+BD=CD．
證明：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90 °，∠B=2∠C，
∴∠B=60 °，∠C=30 °．
∴BC=2AB．
∵AD⊥BC，∴∠BAD=30 °．
∴AB=2BD．∴BC=4BD.
∴CD=3BD．∴AB+BD=CD．
B能力提升
13．如圖，E是等邊三角形ABC中AC邊上的點，若∠1=∠2，BE=CD，則△ADE的形狀是 (B)
A．等腰三角形
B．等邊三角形
C．不等邊三角形
D．不能確定形狀
14．如圖，在等邊三角形ABC中，BD平分∠ABC交AC于點D，過點D作DE⊥BC于點E，且CE=2，則AB的長為 (A)
A.8 B.4 C.6 D.7.5
第14題圖 第15題圖
15.如圖，在Rt△ABC中，BC⊥AC，∠A=30°，CB′⊥AB，B′C′⊥AC，若AB=2，則B′C′=.
16.如圖，在等邊三角形ABC中，點D，E分別在邊BC，AC上，且DE∥AB，過點E作EF⊥DE，交BC的延長線于點F.
(1)求∠F的度數；
(2)若CD=2， 求DF的長.
解：(1)∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=∠A=∠ACB=60 °.
∵DE∥AB,
∴∠EDC=∠B=60 °，∠DEC=∠A=60 °.
∵EF⊥DE，∴∠DEF=90 °.
∴∠F=180 °-∠DEF-∠EDC=180 °-90 °-60 °=30 °；
(2)∵∠DEC=∠EDC=∠ACB=60 °，
∴△DEC是等邊三角形.
∴DE=DC=2.
∵∠F=30 °，∠DEF=90 °，
∴DF=2DE=4.
C素養升華
17.如圖，在等邊三角形ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點O，D,E是BC上的兩點，且OD∥AB，OE∥AC.
（1）試判定△ODE的形狀，并說明理由；
（2）線段BD，DE，EC之間有什么關系？寫出你的判斷理由.
解：(1)△ODE是等邊三角形.理由如下：
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60 °.
∵OD∥AB，OE∥AC，
∴∠ODE=∠ABC=60 °，∠OED=∠ACB=60 °.
∴△ODE是等邊三角形；
(2)BD=DE=EC.理由如下：
∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO=∠OBD.
∵OD∥AB，∴∠BOD=∠ABO.
∴∠DBO=∠DOB.
∴BD=OD.
同理，EC=EO.
∵DE=OD=OE，∴BD=DE=EC.1 等腰三角形
第1課時 三角形的全等和等腰三角形的性質
1.兩角分別相等且其中一組等角的對邊 的兩個三角形全等，記為“ ”，全等三角形的性質：全等三角形的對應邊 、對應角 .
自測1 在△ABC和△A′B′C′中，已知AC=A′C′=5 cm，∠A=∠A′=80°，∠B=60°.再添加一個條件： 即可用“AAS”判定△ABC≌△A′B′C′，此時∠C′= .
2.等腰三角形的兩底角相等，簡單敘述為“等邊對 ”.
自測2 在△ABC中，AB=AC，∠B=70°，則∠A= .
3.等腰三角形性質的推論：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線及底邊上的 互相重合，簡稱為“ ”.
自測3 如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=80°，D是BC的中點，則∠DAC的度數是 .
知識點1 全等三角形的判定和性質
1.如圖，已知△ABC≌△CDA，AB=4，BC=5，AC=6，則AD的長為 ( )
A.4 B.5 C.6 D.不能確定
第1題圖 第2題圖
2.如圖，點F，C在線段BE上，且∠1=∠2，BC=EF，若要根據“AAS”使△ABC≌△DEF，還需要補充的條件是 .
知識點2 等邊對等角
3.若等腰三角形的頂角為40°，則它的底角度數為 ( )
A.40° B.50° C.60° D.70°
4.在△ABC中，若AB=AC，∠A的度數比∠B的2倍多20°，則∠C的度數是 ( )
A．30° B．40° C．50° D．60°
5.在△ABC中，已知AB=AC，∠C=65°，則∠A= .
知識點3 等腰三角形三線合一的性質
6.如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BC的中點，∠BAD=35°，則∠C的度數為 ( )
A.35°
B.45°
C.55°
D.60°
［易錯提醒：等腰三角形中頂角、底角不明確時，注意分類討論避免漏解］
7.等腰三角形的一個外角是140°，則其底角的度數是 .
A基礎過關
8.如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中點，下列結論中不正確的是 ( )
A.∠B=∠C
B.AD⊥BC
C.AD平分∠BAC
D.AB=2BD
9.如圖，已知△ABC≌△ADE，若AB=7，AC=3，則BE的值為 .
第9題圖 第10題圖
10.如圖，AC∥BD，AB與CD相交于點O，若AO=AC，∠A=48°，∠D= .
11.如圖，在△ABC中，AB=AC，D為邊BC的中點，∠BAC=110°，求∠B和∠BAD的度數.
B能力提升
12.如圖，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分別是PA，PB，AB上的點，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，則∠P的度數為 )
A．44° B．66° C．88° D．92°
第12題圖 第13題圖
13.如圖，△ABC是等腰三角形，AD是底邊BC上的高，若AB=5 cm，BD=3 cm，則△ABC的周長是 cm.
14.如圖，AB=AC=AD，且AD∥BC，∠BAC=28°，求∠D的度數．
C素養升華
15.如圖，在△ABC中，AB＝AC.
（1）如圖1,如果∠BAD＝30°，AD是BC上的高，AD＝AE，求∠EDC的度數；
（2）如圖2,如果∠BAD＝40°，AD是BC上的高，AD＝AE，求∠EDC的度數；
（3）思考：通過以上探究，你發現∠BAD與∠EDC之間有什么關系？請用式子表示.
圖1 圖21 等腰三角形
第1課時 三角形的全等和等腰三角形的性質
1.兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等，記為“AAS”，全等三角形的性質：全等三角形的對應邊相等、對應角相等.
自測1 在△ABC和△A′B′C′中，已知AC=A′C′=5 cm，∠A=∠A′=80°，∠B=60°.再添加一個條件：∠B ′=60 °即可用“AAS”判定△ABC≌△A′B′C′，此時∠C′=40 °.
2.等腰三角形的兩底角相等，簡單敘述為“等邊對等角”.
自測2 在△ABC中，AB=AC，∠B=70°，則∠A=40 °.
3.等腰三角形性質的推論：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線及底邊上的高線互相重合，簡稱為“三線合一”.
自測3 如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=80°，D是BC的中點，則∠DAC的度數是40 °.
知識點1 全等三角形的判定和性質
1.如圖，已知△ABC≌△CDA，AB=4，BC=5，AC=6，則AD的長為 (B)
A.4 B.5 C.6 D.不能確定
第1題圖 第2題圖
2.如圖，點F，C在線段BE上，且∠1=∠2，BC=EF，若要根據“AAS”使△ABC≌△DEF，還需要補充的條件是∠A=∠D.
知識點2 等邊對等角
3.若等腰三角形的頂角為40°，則它的底角度數為 (D)
A.40° B.50° C.60° D.70°
4.在△ABC中，若AB=AC，∠A的度數比∠B的2倍多20°，則∠C的度數是 (B)
A．30° B．40° C．50° D．60°
5.在△ABC中，已知AB=AC，∠C=65°，則∠A=50 °.
知識點3 等腰三角形三線合一的性質
6.如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BC的中點，∠BAD=35°，則∠C的度數為 (C)
A.35°
B.45°
C.55°
D.60°
［易錯提醒：等腰三角形中頂角、底角不明確時，注意分類討論避免漏解］
7.等腰三角形的一個外角是140°，則其底角的度數是40 °或70 °.
A基礎過關
8.如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中點，下列結論中不正確的是 (D)
A.∠B=∠C
B.AD⊥BC
C.AD平分∠BAC
D.AB=2BD
9.如圖，已知△ABC≌△ADE，若AB=7，AC=3，則BE的值為4.
第9題圖 第10題圖
10.如圖，AC∥BD，AB與CD相交于點O，若AO=AC，∠A=48°，∠D=66 °.
11.如圖，在△ABC中，AB=AC，D為邊BC的中點，∠BAC=110°，求∠B和∠BAD的度數.
解：∵AB=AC，
D為邊BC的中點，
∴∠BAD=∠BAC=×110 °=55 °，AD⊥BC.
∴∠ADB=90 °.
∴∠B+∠BAD=90 °.
∴∠B=90 °-55 °=35 °.
B能力提升
12.如圖，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分別是PA，PB，AB上的點，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，則∠P的度數為 (D)
A．44° B．66° C．88° D．92°
第12題圖 第13題圖
13.如圖，△ABC是等腰三角形，AD是底邊BC上的高，若AB=5 cm，BD=3 cm，則△ABC的周長是16cm.
14.如圖，AB=AC=AD，且AD∥BC，∠BAC=28°，求∠D的度數．
解：∵AB=AD，
∴∠ABD=∠D.
∵AD∥BC，∴∠DBC=∠D.∴∠ABC=2∠D.
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C.
∵∠BAC=28 °，
∴∠ABC=∠C=76 °.
∴∠D=38 °．
C素養升華
15.如圖，在△ABC中，AB＝AC.
（1）如圖1,如果∠BAD＝30°，AD是BC上的高，AD＝AE，求∠EDC的度數；
（2）如圖2,如果∠BAD＝40°，AD是BC上的高，AD＝AE，求∠EDC的度數；
（3）思考：通過以上探究，你發現∠BAD與∠EDC之間有什么關系？請用式子表示.
圖1 圖2
解：(1)∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC上的高，
∴∠BAD=∠CAD，∠ADC=90 °.
∵∠BAD=30 °，
∴∠BAD=∠CAD=30 °.
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED==75 °.
∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90 °-75 °=15 °；
(2)∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC上的高，
∴∠BAD=∠CAD，∠ADC=90 °.
∵∠BAD=40 °，
∴∠BAD=∠CAD=40 °.
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED==70 °.
∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90 °-70 °=20 °；
(3)∵∠ADC=90 °，∠ADE=,且∠CAD=∠BAD，
∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90 °-.
∴∠EDC=∠BAD.
∴∠BAD=2∠EDC.1 等腰三角形
第2課時 等腰三角形的判定與反證法
1.有兩個角相等的三角形是等腰三角形，可以簡述為“等角對等邊”.
自測1 如圖，在△ABC中，∠B=∠C，AB=5，則AC的長為5.
2.先假設命題的結論不成立，然后推導出與定義、基本事實、已有定理或已知條件相矛盾的結果，從而證明命題的結論一定成立，這種證明方法稱為反證法.
自測2 用反證法證明命題“在一個三角形中，至少有一個內角小于或等于60°”時，應先假設存在一個三角形，這個三角形中每個內角都大于60 °.
知識點1 腰三角形的判定
1.對“等角對等邊”理解正確的是 (C)
A．只要兩個角相等，那么它們所對的邊也相等
B．在兩個三角形中，如果有兩個角相等，那么它們所對的邊也相等
C．在一個三角形中，如果有兩個角相等，那么它們所對的邊也相等
D．以上說法都不正確
2.如圖所示，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD=3 cm，則CD等于 (C)
A.1.5 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm
第2題圖 第3題圖
3.如圖是一塊不完整的三角形木板，測得∠A=100°，∠B=40°，AB=23 cm，則這塊三角形木板另一邊AC的長是23cm.
4.如圖，已知AD=BC,∠DAB=∠CBA，AC與BD相交于點O.求證：△OAB是等腰三角形.
證明：在△ABD和△BAC中，
AD=BC,
∠DAB=∠CBA，
AB=BA，
∴△ABD≌△BAC(SAS).
∴∠ABD=∠BAC.
∴△OAB是等腰三角形.
知識點2 反證法
5.在△ABC中，已知∠B≠∠C，求證：AB≠AC.當用反證法證明時，第一步應假設 (B)
A.∠B=∠C B.AB=AC
C.AB=BC D.∠A=∠B
［易錯提醒：忽略三角形三邊關系導致多解］
6.在等腰三角形ABC中，若∠A=76°，AB=2 cm，BC=4 cm，則∠C=28 °.
A基礎過關
7.如圖，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，則圖中等腰三角形有 (D)
A．0個
B．1個
C．2個
D．3個
8.以下條件能判定△ABC為等腰三角形的是 (C)
A.∠A=40°，∠B=50°
B.∠A=40°，∠B=60°
C.∠A=20°，∠B=80°
D.∠A=40°，∠B=80°
9.在△ABC中，∠A=70°，當∠B=55 °或70 °時，△ABC是等腰三角形.
10.用反證法證明：等腰三角形的底角一定是銳角.
證明：假設等腰三角形的底角α不是銳角，則α≥90 °.
∵等腰三角形的兩個底角相等，且2α≥180 °，
∴該三角形兩個底角的和大于或等于180 °.
∴該三角形的三個內角的和一定大于180 °，與三角形的內角和定理相矛盾.
故假設不成立，所以等腰三角形的底角一定是銳角.
B能力提升
11.如圖，直線l分別與直線AB,CD相交于點E,F，EG平分∠BEF交CD于點G，若∠1=∠BEF，且EF=3，則FG的長為 (B)
A．4
B．3
C．5
D．1.5
12.如圖，一艘海輪位于燈塔P的南偏東70°方向的M處，它以40 n mile/h的速度向正北方向航行，2 h后到達位于燈塔P的北偏東40°的N處，則N處與燈塔P的距離為 (D)
A.40 n mile B.60 n mile
C.70 n mile D.80 n mile
第12題圖 第13題圖
13.如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點E，過點E作MN∥BC交AB于點M，交AC于點N，若BM+CN=9，則線段MN的長為9.
14.如圖所示，D為△ABC的邊AB的延長線上一點，過點D作DF⊥AC，垂足為F，交BC于點E，且BD=BE.求證：△ABC是等腰三角形.
證明：∵DF⊥AC，
∴∠DFA=∠EFC=90 °.
∴∠A+∠D=∠C+∠1=90 °.
又∵BD=BE，∴∠2=∠D.
又∵∠1=∠2，∴∠1=∠D.
∴∠A=∠C.
∴△ABC是等腰三角形.
C素養升華
15.如圖，在△ABC中，∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，AB=5，BE=3，求AC的長.
解：如圖，延長BE交AC于點M，
∵BE⊥AE，
∴∠AEB=∠AEM=90 °.
∴∠3=90 °-∠1，∠4=90 °-∠2.
∵∠1=∠2，
∴∠3=∠4.
∴AB=AM=5.
∵BE⊥AE，
∴BM=2BE=6.
∵∠4是△BCM的外角，
∴∠4=∠5+∠C.
∵∠ABC=3∠C，∠ABC=∠3+∠5=∠4+∠5，
∴3∠C=∠4+∠5=2∠5+∠C. 答圖
∴∠5=∠C.
∴CM=BM=6.
∴AC=AM+CM=AB+2BE=11．1 等腰三角形
第2課時 等腰三角形的判定與反證法
1.有 個角相等的三角形是等腰三角形，可以簡述為“ ”.
自測1 如圖，在△ABC中，∠B=∠C，AB=5，則AC的長為 .
2.先假設命題的 不成立，然后推導出與定義、基本事實、已有定理或已知條件相 的結果，從而證明命題的結論一定 ，這種證明方法稱為反證法.
自測2 用反證法證明命題“在一個三角形中，至少有一個內角小于或等于60°”時，應先假設 .
知識點1 腰三角形的判定
1.對“等角對等邊”理解正確的是 ( )
A．只要兩個角相等，那么它們所對的邊也相等
B．在兩個三角形中，如果有兩個角相等，那么它們所對的邊也相等
C．在一個三角形中，如果有兩個角相等，那么它們所對的邊也相等
D．以上說法都不正確
2.如圖所示，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD=3 cm，則CD等于 ( )
A.1.5 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm
第2題圖 第3題圖
3.如圖是一塊不完整的三角形木板，測得∠A=100°，∠B=40°，AB=23 cm，則這塊三角形木板另一邊AC的長是 cm.
4.如圖，已知AD=BC,∠DAB=∠CBA，AC與BD相交于點O.求證：△OAB是等腰三角形.
知識點2 反證法
5.在△ABC中，已知∠B≠∠C，求證：AB≠AC.當用反證法證明時，第一步應假設 ( )
A.∠B=∠C B.AB=AC
C.AB=BC D.∠A=∠B
［易錯提醒：忽略三角形三邊關系導致多解］
6.在等腰三角形ABC中，若∠A=76°，AB=2 cm，BC=4 cm，則∠C= .
A基礎過關
7.如圖，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，則圖中等腰三角形有 ( )
A．0個
B．1個
C．2個
D．3個
8.以下條件能判定△ABC為等腰三角形的是 ( )
A.∠A=40°，∠B=50°
B.∠A=40°，∠B=60°
C.∠A=20°，∠B=80°
D.∠A=40°，∠B=80°
9.在△ABC中，∠A=70°，當∠B= 時，△ABC是等腰三角形.
10.用反證法證明：等腰三角形的底角一定是銳角.
B能力提升
11.如圖，直線l分別與直線AB,CD相交于點E,F，EG平分∠BEF交CD于點G，若∠1=∠BEF，且EF=3，則FG的長為 ( )
A．4
B．3
C．5
D．1.5
12.如圖，一艘海輪位于燈塔P的南偏東70°方向的M處，它以40 n mile/h的速度向正北方向航行，2 h后到達位于燈塔P的北偏東40°的N處，則N處與燈塔P的距離為 ( )
A.40 n mile B.60 n mile
C.70 n mile D.80 n mile
第12題圖 第13題圖
13.如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點E，過點E作MN∥BC交AB于點M，交AC于點N，若BM+CN=9，則線段MN的長為 .
14.如圖所示，D為△ABC的邊AB的延長線上一點，過點D作DF⊥AC，垂足為F，交BC于點E，且BD=BE.求證：△ABC是等腰三角形.
C素養升華
15.如圖，在△ABC中，∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，AB=5，BE=3，求AC的長.1 等腰三角形
第2課時 等邊三角形的性質
1.等腰三角形兩底角的平分線 ；兩腰上的高 ；兩腰上的中線 .
自測1 如圖，在△ABC中，AB=AC，BD，CE是△ABC的角平分線.若BD=5 cm，則CE= cm.
2.等邊三角形的三個內角都 ，并且每個角都等于 .
自測2 等邊三角形的兩底角平分線所夾鈍角的度數是 ( )
A.30° B.45° C.60° D.120°
知識點1 等腰三角形中的相等線段
1.如圖，在△ABC中，CA=CB，AD⊥BC，BE⊥AC，AB=5，AD=4，則AE的長為 ( )
A.2
B.3
C.4
D.5
2.如圖，在△ABC中，AB=AC，中線BD,CE相交于點O.求證：∠ECB=∠DBC.
知識點2 等邊三角形的相關性質
3.如圖，AD是等邊三角形ABC的中線，AE=AD，則∠DEC的度數為 ( )
A.100° B.105° C.110° D.115°
第3題圖 第4題圖
4.如圖，已知AB∥CD，△ACE為等邊三角形，∠DCE=40°，則∠EAB等于 ( )
A．40° B．30° C．20° D．10°
［易錯提醒：對三角形高線的位置考慮不全面而致錯］
5.等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為40°，這個三角形頂角的度數為 .
A基礎過關
6.如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD，CE分別平分∠ABC，∠ACB．若CD=5,則CE的長為( )
A．4
B．4.5
C．5
D．5.5
7.如圖，等邊三角形ABC的角平分線AD，BE相交于點O，則∠BOD= ．
第7題圖 第8題圖
8.如圖，△ABC是等邊三角形，若BC=BD，∠BAD=20°，則∠BCD的度數為 .
9.如圖，△ABC是等邊三角形，BD平分∠ABC，延長BC到點E，使得CE=CD.
求證：BD=DE.
B能力提升
10.如圖，等腰三角形ABC兩腰上的高BD，CE相交于點O，且∠BOC=100°，則∠A的度數為 ( )
A.50°
B.80°
C.100°
D.130°
11.如圖，△ABC是等邊三角形，P是三角形內一點，且PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周長為24，則PD+PE+PF的值為 ( )
A．8 B．9 C．12 D．15
第11題圖 第12題圖
12.一個等邊三角形，一個直角三角形以及一個等腰三角形如圖放置，等腰三角形的底角∠3=80°，則∠1+∠2= ．
13.如圖，在等邊三角形ABC中，D是BC上一點，以AD為腰作等腰三角形ADE，使AD=AE，∠DAE=80°，若∠BAD=15°，求∠EDC的度數.
C素養升華
14.如圖，△ABC是等邊三角形，D是邊BC上（除B，C外）的任意一點，∠ADE＝60°，且DE交△ABC外角∠ACF的平分線CE于點E.求證：
（1）∠1＝∠2；
（2）AD＝DE.1 等腰三角形
第4課時 等邊三角形的判定
1.等邊三角形的判定定理：(1)三個角都 的三角形是等邊三角形；(2)有一個角等于 的等腰三角形是等邊三角形.
自測1 在△ABC中，∠A=60°，要使△ABC是等邊三角形，需要添加的一個條件是 .
2.在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的 .
自測2 如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，則BC= .
知識點1 等邊三角形的判定
1.在△ABC中，∠B=60°，AB=AC，BC=3，則△ABC的周長為 ( )
A.9 B.8 C.6 D.12
2.等腰三角形在補充下列條件后，仍不一定成為等邊三角形的是 ( )
A.有一個內角是60°
B.有一個外角是120°
C.有兩個角相等
D.腰與底邊相等
3.已知線段OA=a，以點O為端點作射線ON，使得∠AON=60°，P是射線ON上一動點，當OP= 時，△AOP為等邊三角形.
知識點2 含30°角的直角三角形的性質
4.如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=6，則AC的長為 ( )
A.6 B.6 C.6 D.12
第4題圖 第5題圖
5.如圖，AC=BC=10 cm，∠B=15°，AD⊥BC交BC的延長線于點D，則AD的長為 ( )
A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm
6.如圖，在△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AD⊥BA交BC于點D.若CD=2 cm，則BD的長為 cm.
第6題圖 第7題圖
7.如圖，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=5 cm.以點A為圓心，AB長為半徑畫弧，交BC邊的延長線于點D，則AD長為 cm.
［易錯提醒：未對30°角所對的邊分類討論而漏解］
8.在△ABC中，AB=AC=6 cm,BD為AC邊上的高，∠ABD=30°，則線段CD的長為 .
A基礎過關
9.如圖，△ABC是等邊三角形，DE∥BC，若AB=7，BD=4，則△ADE的周長為 ( )
A．9 B．8 C．7 D．6
10.已知a,b，c是三角形的三邊長，且滿足(a-b)2+b-c=0，則這個三角形一定是 ( )
A.直角三角形
B.等邊三角形
C.鈍角三角形
D.等腰直角三角形
11.如圖，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=10，點D在BA的延長線上，CA=CD，若BD=6，則AD的長為
( )
A．1 B．2 C．3 D．4
12.如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，∠B=2∠C.求證：AB+BD=CD．
B能力提升
13．如圖，E是等邊三角形ABC中AC邊上的點，若∠1=∠2，BE=CD，則△ADE的形狀是 ( )
A．等腰三角形
B．等邊三角形
C．不等邊三角形
D．不能確定形狀
14．如圖，在等邊三角形ABC中，BD平分∠ABC交AC于點D，過點D作DE⊥BC于點E，且CE=2，則AB的長為 ( )
A.8 B.4 C.6 D.7.5
第14題圖 第15題圖
15.如圖，在Rt△ABC中，BC⊥AC，∠A=30°，CB′⊥AB，B′C′⊥AC，若AB=2，則B′C′=.
16.如圖，在等邊三角形ABC中，點D，E分別在邊BC，AC上，且DE∥AB，過點E作EF⊥DE，交BC的延長線于點F.
(1)求∠F的度數；
(2)若CD=2， 求DF的長.
C素養升華
17.如圖，在等邊三角形ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點O，D,E是BC上的兩點，且OD∥AB，OE∥AC.
（1）試判定△ODE的形狀，并說明理由；
（2）線段BD，DE，EC之間有什么關系？寫出你的判斷理由.

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