資源簡介

4 角平分線
第2課時 三角形三個內角的平分線
三角形的三條角平分線總相交于一點，且這一點到三條邊的距離相等；到三角形三邊距離相等的點是三角形三條角平分線的交點.
自測 如圖，P為△ABC三條角平分線的交點，PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，則PD=PE=PF.(填“>”“<”或“=”)
知識點1 三角形角平分線的性質及應用
1.如圖，在△ABC中，∠B，∠C的平分線相交于點O，下列結論中正確的是 (B)
A.∠1＞∠2 B.∠1=∠2
C.∠1＜∠2 D.以上都有可能
第1題圖 第2題圖
2.如圖，△ABC的三邊AB，BC，AC的長分別為20，30，40，三條角平分線將△ABC分成三個三角形，則S△OAB∶S△OBC∶S△OAC為 (C)
A.1∶1∶1 B.6∶4∶3
C.2∶3∶4 D.4∶3∶2
3.如圖是用尺規作∠AOB的平分線的示意圖，根據作圖痕跡判斷，能說明射線OC是∠AOB的平分線的依據是 (B)
A.SAS B.SSS C.ASA D.AAS
第3題圖 第4題圖
4.如圖，在△ABC中，∠B=90°，點O到AB，BC，AC三邊的距離相等，則∠AOC的度數為135 °.
5.如圖，在△ABC中，∠CAB=60°，∠CAB的平分線AP與∠CBA的平分線BP相交于點P，連接CP．若AP=4，△ABC的周長為20，求△ABC的面積．
解：如圖，作PD⊥AB于點D.
∵∠CAB=60 °，
∴∠PAB=30 °，
在Rt△PAD中，PA=4，
∴PD=2.
∴S△ABC=S△APB+S△BPC+S△CPA
=AB·PD+BC·PD+CA·PD 答圖
=(AB+BC+CA)·PD
=×20×2
=20．
［易錯提醒：混淆三角形內角平分線交點與三邊垂直平分線交點的性質而致錯］
6.在銳角三角形ABC中，點M到三邊的距離都相等，點N到三個頂點的距離都相等，若∠A=80°，則∠BMC=130 °,∠BNC=160 °.
A基礎過關
7.某地為促進旅游業發展，要在三條公路圍成的一塊平地上修建一個度假村，如圖所示，若要使度假村到三條公路的距離相等，則這個度假村應修建在 (B)
A.△ABC三條高線的交點處
B.△ABC三條角平分線的交點處
C.△ABC三條中線的交點處
D.△ABC三邊垂直平分線的交點處
8.如圖，根據尺規作圖的痕跡，下列說法不正確的是 (D)
A.AE,BF是△ABC的內角平分線
B.CG是△ABC的一條內角平分線
C.點O到△ABC三邊的距離相等
D.AO=BO=CO
9.如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于點D，DE⊥AB于點E，AB=10 cm，求△DEB的周長.
解：∵∠C=90 °，DE⊥AB，AD平分∠BAC，
∴CD=DE.
在Rt△ACD和Rt△AED中，
AD=AD，
CD=DE，
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL).
∴AC=AE.
∴AE=AC=CB=CD+DB=DE+DB.
∴△DEB的周長為DE+EB+DB=AE+EB=AB=10 cm.
B能力提升
10.如圖，在△ABC中，∠C=90°，O為△ABC的三條角平分線的交點，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分別為D,E,F.若AB=20,BC=16,則點O到AB,AC,BC的距離為 (C)
A.2,2,2 B.3,3,3 C.4,4,4 D.2,3,5
第10題圖 第11題圖
11.如圖，P是∠BAC平分線上一點，∠MPA=15°，PM∥AC，PD⊥AC于點D，若PM=8 cm，則PD的長為4cm.
12.如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F．
（1）求證：BE=CF；
（2）若AB=5，AC=3，求AE，BE的長．
(1)證明：如圖，連接DB，DC，
∵DG⊥BC且平分BC，
∴DB=DC．
∵AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠BED=∠DFC=90 °.
在Rt△DBE和Rt△DCF中，
DB=DC，
DE=DF，
∴Rt△DBE≌Rt△DCF(HL).
∴BE=CF;
(2)解：在Rt△ADE和Rt△ADF中，
AD=AD，
DE=DF， 答圖
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL).
∴AE=AF．
∵AC+CF=AF，∴AE=AC+CF．
∵AE=AB-BE，∴AC+CF=AB-BE.
∵AB=5，AC=3，∴3+BE=5-BE.
∴BE=1.∴AE=AB-BE=4．
C素養升華
13.如圖，有三條鐵路a，b，c相互交叉，現在建一個貨物中轉站，要求到三條鐵路的距離相等，可供選擇的地址共有 4 處，請畫出來（無需寫作法，保留作圖痕跡）.
答圖
解：如圖所示，點A，B，C，D即為所求.4 角平分線
第1課時 角平分線
1.定理：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.
自測1 如圖，OP為∠AOB的平分線，PC⊥OB于點C，且PC=3，點P到OA的距離為3.
2.定理：在一個角的內部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上.
自測2 如圖，PC⊥OA于點C，PD⊥OB于點D，PC=PD，若∠COD=80°，則∠CPO=50 °.
知識點1 角平分線的性質
1.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分線AD交BC于點D，若CD=2，則點D到AB的距離是 (A)
A.2
B.3
C.4
D.1
2.在△ABC中，AD為角平分線，若AB∶AC=1∶2，則S△ABD∶S△ACD為 (B)
A.2∶3
B.1∶2
C.1∶4
D.無法確定
第2題圖 第3題圖
3.如圖，∠C=90°，∠1=∠2，若BC=10，BD=6，則點D到AB的距離為4.
知識點2 角平分線的判定
4.在△ABC內有一點P，PE⊥AC于點E，PF⊥BC于點F，量得PE=PF=2 cm，則點P一定在 (D)
A.∠A的平分線上 B.邊AB的中線上
C.邊AB的高上 D.∠C的平分線上
5.如圖，AB∥CD，點P到AB，BC，CD的距離相等，則∠BPC=90 °.
第5題圖 第6題圖
［易錯提醒：將任意長度當“距離”而致錯］
6.如圖，點P在∠AOB的平分線上，過點P的直線與OA，OB分別相交于D,E兩點,則 (D)
A.DP=PE B.DP＞PE
C.DP＜PE D.以上都有可能
A基礎過關
7.如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分線BD交AC于點D，若AD=3，BC=10，則△BDC的面積是 (B)
A.10 B.15 C.20 D.30
第7題圖 第8題圖
8.如圖，OP平分∠MON，PA⊥ON于點A，Q是射線OM上一個動點，若PA=3，則PQ的最小值為 (C)
A. B.2 C.3 D.2
9.如圖，CD⊥AB，BE⊥AC,垂足分別為D,E,BE,CD相交于點O，且OB=OC.求證：點O在∠BAC的平分線上.
證明：∵CD⊥AB，BE⊥AC,
∴∠ODB=∠OEC=90 °.
在△DOB和△EOC中，
∠ODB=∠OEC，
∠DOB=∠EOC，
OB=OC，
∴△DOB≌△EOC(AAS).
∴OD=OE.
∴點O在∠BAC的平分線上.
B能力提升
10.如圖，已知AB∥CD，OA，OC分別平分∠BAC和∠ACD，OM⊥AC于點M，且OM=3，則AB,CD之間的距離為 (C)
A.2
B.4
C.6
D.8
11.如圖，AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB于點F,DE=DG，△ADG和△AED的面積分別為20和8，則△EDF的面積為 (B)
A.4 B.6 C.8 D.12
第11題圖 第12題圖
12.如圖，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，S△ABC=7，DE=2，AB=4，則AC的長是3.
13.如圖，已知銳角三角形ABC的兩條高BD，CE相交于點O，且OB＝OC.
（1）求證：△ABC是等腰三角形；
（2）判斷點O是否在∠BAC的平分線上，并說明理由.
(1)證明：∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB.
又∵BD，CE是△ABC的兩條高，
∴∠CDB=∠BEC=90 °.
∴∠DCB=∠EBC.
∴△ABC是等腰三角形；
(2)解：點O在∠BAC的平分線上.理由如下：
∵S△ABC=AB·EC=AC·BD，AB=AC，∴EC=BD.
又∵OB=OC，∴OD=OE.
又∵OD⊥AC，OE⊥AB，
∴點O在∠BAC的平分線上.
C素養升華
14.如圖，AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，垂足分別為E，D，CF=CB．
（1）求證：BE=FD；
（2）若AC=10，AD=8，求四邊形ABCF的面積．
(1)證明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，
∴CD=CE.
在Rt△CBE和Rt△CFD中，
CB=CF，
CE=CD，
∴Rt△CBE≌Rt△CFD(HL).
∴BE=FD；
(2)解：在Rt△ACD中，
∵AC=10，AD=8，
∴CD==6.
∵AC=AC，CD=CE，
∴Rt△ACD≌Rt△ACE(HL).
∴S△ACD=S△ACE.
∵Rt△CBE≌Rt△CFD，
∴S△CBE=S△CFD.
∴S四邊形ABCF=S四邊形AECD=2S△ACD=2××6×8=48．4 角平分線
第1課時 角平分線
1.定理：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離 .
自測1 如圖，OP為∠AOB的平分線，PC⊥OB于點C，且PC=3，點P到OA的距離為 .
2.定理：在一個角的內部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的 上.
自測2 如圖，PC⊥OA于點C，PD⊥OB于點D，PC=PD，若∠COD=80°，則∠CPO= .
知識點1 角平分線的性質
1.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分線AD交BC于點D，若CD=2，則點D到AB的距離是 ( )
A.2
B.3
C.4
D.1
2.在△ABC中，AD為角平分線，若AB∶AC=1∶2，則S△ABD∶S△ACD為 ( )
A.2∶3
B.1∶2
C.1∶4
D.無法確定
第2題圖 第3題圖
3.如圖，∠C=90°，∠1=∠2，若BC=10，BD=6，則點D到AB的距離為 .
知識點2 角平分線的判定
4.在△ABC內有一點P，PE⊥AC于點E，PF⊥BC于點F，量得PE=PF=2 cm，則點P一定在 ( )
A.∠A的平分線上 B.邊AB的中線上
C.邊AB的高上 D.∠C的平分線上
5.如圖，AB∥CD，點P到AB，BC，CD的距離相等，則∠BPC= .
第5題圖 第6題圖
［易錯提醒：將任意長度當“距離”而致錯］
6.如圖，點P在∠AOB的平分線上，過點P的直線與OA，OB分別相交于D,E兩點,則 ( )
A.DP=PE B.DP＞PE
C.DP＜PE D.以上都有可能
A基礎過關
7.如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分線BD交AC于點D，若AD=3，BC=10，則△BDC的面積是 ( )
A.10 B.15 C.20 D.30
第7題圖 第8題圖
8.如圖，OP平分∠MON，PA⊥ON于點A，Q是射線OM上一個動點，若PA=3，則PQ的最小值為 ( )
A. B.2 C.3 D.2
9.如圖，CD⊥AB，BE⊥AC,垂足分別為D,E,BE,CD相交于點O，且OB=OC.求證：點O在∠BAC的平分線上.
B能力提升
10.如圖，已知AB∥CD，OA，OC分別平分∠BAC和∠ACD，OM⊥AC于點M，且OM=3，則AB,CD之間的距離為 ( )
A.2
B.4
C.6
D.8
11.如圖，AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB于點F,DE=DG，△ADG和△AED的面積分別為20和8，則△EDF的面積為 ( )
A.4 B.6 C.8 D.12
第11題圖 第12題圖
12.如圖，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，S△ABC=7，DE=2，AB=4，則AC的長是 .
13.如圖，已知銳角三角形ABC的兩條高BD，CE相交于點O，且OB＝OC.
（1）求證：△ABC是等腰三角形；
（2）判斷點O是否在∠BAC的平分線上，并說明理由.
C素養升華
14.如圖，AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，垂足分別為E，D，CF=CB．
（1）求證：BE=FD；
（2）若AC=10，AD=8，求四邊形ABCF的面積．4 角平分線
第2課時 三角形三個內角的平分線
三角形的三條角平分線總相交于一點，且這一點到三條邊的距離 ；到三角形三邊距離相等的點是三角形三條 的交點.
自測 如圖，P為△ABC三條角平分線的交點，PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，則PD PE PF.(填“>”“<”或“=”)
知識點1 三角形角平分線的性質及應用
1.如圖，在△ABC中，∠B，∠C的平分線相交于點O，下列結論中正確的是 ( )
A.∠1＞∠2 B.∠1=∠2
C.∠1＜∠2 D.以上都有可能
第1題圖 第2題圖
2.如圖，△ABC的三邊AB，BC，AC的長分別為20，30，40，三條角平分線將△ABC分成三個三角形，則S△OAB∶S△OBC∶S△OAC為 ( )
A.1∶1∶1 B.6∶4∶3
C.2∶3∶4 D.4∶3∶2
3.如圖是用尺規作∠AOB的平分線的示意圖，根據作圖痕跡判斷，能說明射線OC是∠AOB的平分線的依據是 ( )
A.SAS B.SSS C.ASA D.AAS
第3題圖 第4題圖
4.如圖，在△ABC中，∠B=90°，點O到AB，BC，AC三邊的距離相等，則∠AOC的度數為 .
5.如圖，在△ABC中，∠CAB=60°，∠CAB的平分線AP與∠CBA的平分線BP相交于點P，連接CP．若AP=4，△ABC的周長為20，求△ABC的面積．
［易錯提醒：混淆三角形內角平分線交點與三邊垂直平分線交點的性質而致錯］
6.在銳角三角形ABC中，點M到三邊的距離都相等，點N到三個頂點的距離都相等，若∠A=80°，則∠BMC= ,∠BNC= .
A基礎過關
7.某地為促進旅游業發展，要在三條公路圍成的一塊平地上修建一個度假村，如圖所示，若要使度假村到三條公路的距離相等，則這個度假村應修建在 ( )
A.△ABC三條高線的交點處
B.△ABC三條角平分線的交點處
C.△ABC三條中線的交點處
D.△ABC三邊垂直平分線的交點處
8.如圖，根據尺規作圖的痕跡，下列說法不正確的是 ( )
A.AE,BF是△ABC的內角平分線
B.CG是△ABC的一條內角平分線
C.點O到△ABC三邊的距離相等
D.AO=BO=CO
9.如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于點D，DE⊥AB于點E，AB=10 cm，求△DEB的周長.
B能力提升
10.如圖，在△ABC中，∠C=90°，O為△ABC的三條角平分線的交點，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分別為D,E,F.若AB=20,BC=16,則點O到AB,AC,BC的距離為 ( )
A.2,2,2 B.3,3,3 C.4,4,4 D.2,3,5
第10題圖 第11題圖
11.如圖，P是∠BAC平分線上一點，∠MPA=15°，PM∥AC，PD⊥AC于點D，若PM=8 cm，則PD的長為 cm.
12.如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F．
（1）求證：BE=CF；
（2）若AB=5，AC=3，求AE，BE的長．
C素養升華
13.如圖，有三條鐵路a，b，c相互交叉，現在建一個貨物中轉站，要求到三條鐵路的距離相等，可供選擇的地址共有 4 處，請畫出來（無需寫作法，保留作圖痕跡）.

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