資源簡介

3 公式法
第1課時 用平方差公式因式分解
把乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2反過來，就得到平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b).運用這個公式可將兩個項的平方差分解因式.
自測 因式分解x2-4的結果是 (C)
A.x(x-4) B.x(x-2)2
C.(x-2)(x+2) D.x(x+2)2
知識點1 用平方差公式因式分解
1.下列各多項式中，能用平方差公式進行因式分解的是 (C)
A.a2+b2 B.y2+9
C.-25+a2 D.-x2-y2
2.分解因式16-x2的結果是 (A)
A.(4-x)(4+x) B.(x-4)(x+4)
C.(8+x)(8-x) D.(4-x)2
3.分解因式：a2-4b2=(a+2b)(a-2b).
4.把下列各式分解因式：
(1)(2a+b)2-(a+2b)2；
解：(2a+b)2-(a+2b)2
=(2a+b+a+2b)(2a+b-a-2b)
=(3a+3b)(a-b)
=3(a+b)(a-b)；
(2)2x3-8x；
解：2x3-8x
=2x(x2-4)
=2x(x+2)(x-2)；
(3)9(m+n)2-(m-n)2.
解：9(m+n)2-(m-n)2
=［3(m+n)］2-(m-n)2
=［3(m+n)+(m-n)］［3(m+n)-(m-n)］
=(4m+2n)(2m+4n)
=4(2m+n)(m+2n).
知識點2 用平方差公式因式分解的應用
5.若a+b=3，a-b=7，則b2-a2的值為(A)
A.-21 B.21 C.-10 D.10
6.已知長方形的面積是49a2-4b2，一邊長是7a-2b，則另一邊長是7a+2b.
7.某小區(qū)有一塊邊長為13.2 m的正方形空地，物業(yè)準備在四個角修建邊長為3.4 m的正方形噴水池，剩余部分鋪設草皮，需要準備多大面積的草皮？
解：13.22-4×3.42
=13.22-(2×3.4)2
=13.22-6.82
=(13.2+6.8)(13.2-6.8)
=20×6.4
=128(m2).
故需要準備128 m2的草皮.
［易錯提醒：對公式特點掌握不準確而導致因式分解不徹底］
8.因式分解：x4-y4=(x2+y2)(x+y)(x-y).
A基礎過關
9.下列各式中，能用平方差公式進行因式分解的是 (D)
A.x2+x B.x2-8x-16
C.x2+4 D.x2-1
10.分解因式(2x+3)2-x2的結果是 (D)
A.3(x2-4x-3) B.3(x2-2x-3)
C.3(x-1)(x-3) D.3(x+1)(x+3)
11.分解因式：a3b-9ab=ab(a+3)(a-3).
12.已知x-y+2+=0，則x2-y2的值為-4.
13.把下列各式分解因式：
(1)25a2-b2；
解：25a2-b2
=(5a)2-(b)2
=(5a+b)(5a-b)；
(2)a4-16；
解：a4-16
=(a2)2-42
=(a2+4)(a2-4)
=(a2+4)(a+2)(a-2)；
(3)-4(x-2y)2+9(x+y)2.
解：-4(x-2y)2+9(x+y)2
=(3x+3y)2-(2x-4y)2
=(3x+3y+2x-4y)(3x+3y-2x+4y)
=(5x-y)(x+7y).
B能力提升
14.已知a，b，c是△ABC的三條邊，則代數(shù)式(a-c)2-b2的值是 (C)
A.正數(shù) B.0
C.負數(shù) D.無法確定
15.計算101×1022-101×982的結果為 (D)
A.404 B.808
C.40 400 D.80 800
16.已知多項式A與多項式B相乘時能直接運用平方差公式進行運算，其中B=2x-3y,則當x+y=2時，多項式A的值是±4．
17.已知a≠b，若a2-a=b2-b，求a+b的值.
解：∵a2-a=b2-b，
∴a2-b2=a-b.(a-b)(a+b)=a-b.
∵a≠b,∴a+b=1.
18.已知n為整數(shù)，試說明(n+7)2-(n-3)2一定能被20整除.
解：(n+7)2-(n-3)2
=(n+7-n+3)(n+7+n-3)
=10(2n+4)
=20(n+2).
∵n是整數(shù)，
∴20(n+2)能被20整除.
∴原式能被20整除.
C素養(yǎng)升華
19.如果一個正整數(shù)能表示為兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個正整數(shù)為“奇巧數(shù)”．
如4=22-02，12=42-22，20=62-42，…，所以4，12，20都是“奇巧數(shù)”.
（1）小明同學在演算后發(fā)現(xiàn)，一個正奇數(shù)4倍的數(shù)一定是“奇巧數(shù)”，請你說明理由；
（2）2 020是“奇巧數(shù)”嗎？為什么？
解：(1)設兩個連續(xù)的偶數(shù)分別為2n,2n+2(n為整數(shù))，
則“奇巧數(shù)”a可表示為
a=|(2n+2)2-(2n)2|.
因式分解，得
a=|(2n+2-2n)(2n+2+2n)|,
a=|2(4n+2)|,a=4|2n+1|.
∵n為整數(shù)，
∴|2n+1|為正奇數(shù).
∴一個正奇數(shù)4倍的數(shù)一定是“奇巧數(shù)”；
(2)2 020是“奇巧數(shù)”．理由如下：
∵2 020=4×505，
即2 020是奇數(shù)505的4倍，
∴由(1)可知2 020是“奇巧數(shù)”．3 公式法
第1課時 用平方差公式因式分解
把乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2反過來，就得到平方差公式： .運用這個公式可將兩個項的平方差分解因式.
自測 因式分解x2-4的結果是 ( )
A.x(x-4) B.x(x-2)2
C.(x-2)(x+2) D.x(x+2)2
知識點1 用平方差公式因式分解
1.下列各多項式中，能用平方差公式進行因式分解的是 ( )
A.a2+b2 B.y2+9
C.-25+a2 D.-x2-y2
2.分解因式16-x2的結果是 ( )
A.(4-x)(4+x) B.(x-4)(x+4)
C.(8+x)(8-x) D.(4-x)2
3.分解因式：a2-4b2= .
4.把下列各式分解因式：
(1)(2a+b)2-(a+2b)2；
(2)2x3-8x；
(3)9(m+n)2-(m-n)2.
知識點2 用平方差公式因式分解的應用
5.若a+b=3，a-b=7，則b2-a2的值為( )
A.-21 B.21 C.-10 D.10
6.已知長方形的面積是49a2-4b2，一邊長是7a-2b，則另一邊長是 .
7.某小區(qū)有一塊邊長為13.2 m的正方形空地，物業(yè)準備在四個角修建邊長為3.4 m的正方形噴水池，剩余部分鋪設草皮，需要準備多大面積的草皮？
［易錯提醒：對公式特點掌握不準確而導致因式分解不徹底］
8.因式分解：x4-y4= .
A基礎過關
9.下列各式中，能用平方差公式進行因式分解的是 ( )
A.x2+x B.x2-8x-16
C.x2+4 D.x2-1
10.分解因式(2x+3)2-x2的結果是 ( )
A.3(x2-4x-3) B.3(x2-2x-3)
C.3(x-1)(x-3) D.3(x+1)(x+3)
11.分解因式：a3b-9ab= .
12.已知x-y+2+=0，則x2-y2的值為 .
13.把下列各式分解因式：
(1)25a2-b2；
(2)a4-16；
(3)-4(x-2y)2+9(x+y)2.
B能力提升
14.已知a，b，c是△ABC的三條邊，則代數(shù)式(a-c)2-b2的值是 ( )
A.正數(shù) B.0
C.負數(shù) D.無法確定
15.計算101×1022-101×982的結果為 ( )
A.404 B.808
C.40 400 D.80 800
16.已知多項式A與多項式B相乘時能直接運用平方差公式進行運算，其中B=2x-3y,則當x+y=2時，多項式A的值是 ．
17.已知a≠b，若a2-a=b2-b，求a+b的值.
18.已知n為整數(shù)，試說明(n+7)2-(n-3)2一定能被20整除.
C素養(yǎng)升華
19.如果一個正整數(shù)能表示為兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個正整數(shù)為“奇巧數(shù)”．
如4=22-02，12=42-22，20=62-42，…，所以4，12，20都是“奇巧數(shù)”.
（1）小明同學在演算后發(fā)現(xiàn)，一個正奇數(shù)4倍的數(shù)一定是“奇巧數(shù)”，請你說明理由；
（2）2 020是“奇巧數(shù)”嗎？為什么？3 公式法
第2課時 用完全平方公式因式分解
1.(1)完全平方公式：把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2反過來，就得到a2+2ab+b2=(a+b)2，a2-2ab+b2=(a-b)2.運用這兩個公式可將一個完全平方式分解因式；
(2)完全平方式：形如a2±2ab+b2的式子稱為完全平方式.
2.公式法：根據因式分解與整式乘法的關系，我們可以利用乘法公式把某些多項式因式分解，這種因式分解的方法叫做公式法.
自測 把多項式x2-6x+9分解因式，結果正確的是 (A)
A.(x-3)2 B.(x-9)2
C.(x+3)(x-3) D.(x+9)(x-9)
知識點1 用完全平方公式分解因式
1.下面各整式能直接運用完全平方公式分解因式的是 (C)
A.x2-x-1 B.x2-2x-1
C.-2x+x2+1 D.2x-x2+1
2.已知x2-12x+b是完全平方式，則常數(shù)b的值為36.
3.若a+b=2，則a2+ab+b2=2.
4.分解因式：
(1)x3+2x2y+xy2；
解：x3+2x2y+xy2
=x(x2+2xy+y2)
=x(x+y)2；
(2)4(x+y)2+25-20(x+y).
解：4(x+y)2+25-20(x+y)
=(2x+2y)2-2·(2x+2y)·5+52
=(2x+2y-5)2.
知識點2 用公式法分解因式的應用
5.下列因式分解錯誤的是 (B)
A.x2-y2=(x+y)(x-y)
B.x2+y2=(x-y)2
C.x2-xy=x(x-y)
D.x2+6x+9=(x+3)2
6.已知代數(shù)式-a2+2a-1，無論a取任何值，它的值一定是 (B)
A.正數(shù) B.非正數(shù) C.負數(shù) D.非負數(shù)
7.已知a，b，c是△ABC的三邊長，且滿足a2+b2-4a-8b+20=0，求△ABC的最大邊長c的取值范圍.
解：∵a2+b2-4a-8b+20=0,
∴a2-4a+4+b2-8b+16=0,
即(a-2)2+(b-4)2=0,
∴a=2,b=4.∴4-2∴2∵c為最大邊長，
∴4≤c<6.
［易錯提醒：忽略完全平方式中第二項系數(shù)為負的情況導致漏解］
8.多項式9x2+1加上一個單項式(x的一次式)后成為一個整式的完全平方式，那么加上的單項式可以是6x或-6x.
A基礎過關
9.分解因式2x2-4x+2的結果是 (C)
A.2x(x-2) B.2(x2-2x+1)
C.2(x-1)2 D.(2x-2)2
10.多項式x2-mxy+9y2能用完全平方公式進行因式分解，則m的值是 (D)
A.3 B.6 C.±3 D.±6
11.分解因式：3x2-6xy+3y2=3(x-y)2.
12.用因式分解的方法進行簡便計算：
(1)1772+232+46×177；
解：1772+232+46×177
=1772+232+2×23×177
=(177+23)2
=40 000；
(2)992+198+1.
解：992+198+1
=992+2×99×1+12
=(99+1)2
=10 000.
13.已知a+b=-，求代數(shù)式(a-1)2+b(2a+b)+2a的值.
解：原式=a2-2a+1+2ab+b2+2a
=(a+b)2+1，
將a+b=-代入，得
原式=(-)2+1=3.
B能力提升
14.若M=a2-a，N=a-2，則M,N的大小關系是 (A)
A.M＞N B.M＜N
C.M=N D.無法確定
15.已知m2=4n+a,n2=4m+a,m≠n，則m2+2mn+n2的值為 (A)
A.16 B.12
C.10 D.無法確定
16.已知x2-ax+4=（bx+2）2，其中a，b是常數(shù)，則a+b=±3.
17.已知xy-4+(x-2y-2)2=0，求x2+4xy+4y2的值.
解：由題意，得
xy-4=0,
x-2y-2=0,
即 xy=4,
x-2y=2.
x2+4xy+4y2=x2-4xy+4y2+8xy
=(x-2y)2+8xy
=22+8×4
=36.
C素養(yǎng)升華
18.小穎同學在對多項式（x2-6x+3）（x2-6x+15）+36進行因式分解的過程中發(fā)現(xiàn)，如果把x2-6x看成一個整體，用一個新的字母代替，此多項式就可以運用公式法進行因式分解，以下是她的做法：
設x2-6x=y，原式=（y+3）（y+15）+36=y2+18y+81=（y+9）2=（x2-6x+9）2．
（1）小穎同學進行因式分解所得到的最終結果是否分解徹底？如果不徹底，請直接寫出因式分解最終的結果；
（2）請你模仿以上方法嘗試對多項式（x2-2x）（x2-2x+2）+1進行因式分解．
解：(1)不徹底，因式分解的最終結果為(x-3)4；
(2)設x2-2x=y，
原式=y(y+2)+1
=y2+2y+1
=(y+1)2
=(x2-2x+1)2
=(x-1)4．3 公式法
第2課時 用完全平方公式因式分解
1.(1)完全平方公式：把乘法公式(a+b)2= ,(a-b)2= 反過來，就得到a2+2ab+b2= ，a2-2ab+b2= .運用這兩個公式可將一個完全平方式分解因式；
(2)完全平方式：形如 的式子稱為完全平方式.
2.公式法：根據因式分解與整式乘法的關系，我們可以利用乘法公式把某些多項式因式分解，這種因式分解的方法叫做 .
自測 把多項式x2-6x+9分解因式，結果正確的是 ( )
A.(x-3)2 B.(x-9)2
C.(x+3)(x-3) D.(x+9)(x-9)
知識點1 用完全平方公式分解因式
1.下面各整式能直接運用完全平方公式分解因式的是 ( )
A.x2-x-1 B.x2-2x-1
C.-2x+x2+1 D.2x-x2+1
2.已知x2-12x+b是完全平方式，則常數(shù)b的值為 .
3.若a+b=2，則a2+ab+b2= .
4.分解因式：
(1)x3+2x2y+xy2；
(2)4(x+y)2+25-20(x+y).
知識點2 用公式法分解因式的應用
5.下列因式分解錯誤的是 ( )
A.x2-y2=(x+y)(x-y)
B.x2+y2=(x-y)2
C.x2-xy=x(x-y)
D.x2+6x+9=(x+3)2
6.已知代數(shù)式-a2+2a-1，無論a取任何值，它的值一定是 ( )
A.正數(shù) B.非正數(shù) C.負數(shù) D.非負數(shù)
7.已知a，b，c是△ABC的三邊長，且滿足a2+b2-4a-8b+20=0，求△ABC的最大邊長c的取值范圍.
［易錯提醒：忽略完全平方式中第二項系數(shù)為負的情況導致漏解］
8.多項式9x2+1加上一個單項式(x的一次式)后成為一個整式的完全平方式，那么加上的單項式可以是 .
A基礎過關
9.分解因式2x2-4x+2的結果是 ( )
A.2x(x-2) B.2(x2-2x+1)
C.2(x-1)2 D.(2x-2)2
10.多項式x2-mxy+9y2能用完全平方公式進行因式分解，則m的值是 ( )
A.3 B.6 C.±3 D.±6
11.分解因式：3x2-6xy+3y2= .
12.用因式分解的方法進行簡便計算：
(1)1772+232+46×177；
(2)992+198+1.
13.已知a+b=-，求代數(shù)式(a-1)2+b(2a+b)+2a的值.
B能力提升
14.若M=a2-a，N=a-2，則M,N的大小關系是 ( )
A.M＞N B.M＜N
C.M=N D.無法確定
15.已知m2=4n+a,n2=4m+a,m≠n，則m2+2mn+n2的值為 ( )
A.16 B.12
C.10 D.無法確定
16.已知x2-ax+4=（bx+2）2，其中a，b是常數(shù)，則a+b= .
17.已知xy-4+(x-2y-2)2=0，求x2+4xy+4y2的值.
C素養(yǎng)升華
18.小穎同學在對多項式（x2-6x+3）（x2-6x+15）+36進行因式分解的過程中發(fā)現(xiàn)，如果把x2-6x看成一個整體，用一個新的字母代替，此多項式就可以運用公式法進行因式分解，以下是她的做法：
設x2-6x=y，原式=（y+3）（y+15）+36=y2+18y+81=（y+9）2=（x2-6x+9）2．
（1）小穎同學進行因式分解所得到的最終結果是否分解徹底？如果不徹底，請直接寫出因式分解最終的結果；
（2）請你模仿以上方法嘗試對多項式（x2-2x）（x2-2x+2）+1進行因式分解．

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