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專題14
R規作圖
專題14尺規作圖
【學習要點】
作：·條線段等丁已知線段作法：
州點尺m射線：，州圓規正射線下.俄收B-a.
B C
作法：
作個角等于已知布
(1)以點()為圓心、任意長為半你瓶.分州交A,(B于
B
點，D:
D
(2)畫一條射線OA',以)為圓.心、0長為半徑畫弧.
交AJ點C":
(3)以點（為網心、(D長為半徑i弧.與j第2步中所的
D'
相交于點D:
（4)過.點)畫射線B.則∠AOB=∠)B.
作法：
作角平分線
(1)以點()為圓心：、適當長為半稱山弧.分別交于點過.
交OB于點：
(2)分別以點M,為圓心，大J與的長為水徑畫弧，兩
作
弧在∠AO的內部相交丁點(；
圖
(3》H時線O,線腳為所求
過·點作已知白線的線
作法：
〔1)過有線上.一點作已片線的華線，作法問“作Ψ角的
布半分線”.
、I)
〔2)過克線外一點作心知直線的垂線，作法下：
①任意取一點，使點K和點C在AB的兩方：
F
2:以點(：為同心、(K長為半徑州弧，交4B丁點D和E;
③分別以，點D和E為同心，人丁DE的長為半徑作[、
兩呱相交于點上；
作立線(F,直線("℉即為聽求
作線段的乖垂白平分線
c
作法：
(1)分別以點A利和點B為圓心、人于AB的長為半徑作城，
兩弧相交于(.L)兩.點
D
(2;作直線D),直線CD即為聽求
【學習領航】
例1如圖，在△ABC中，AB>AC.尺規作圖：作∠BAC的角平分線，在角平分線上確定點
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專題14
尺規作圖
D,使得DB=DC.(不寫作法，保留痕跡)
B
考點追蹤：本題主要考查角平分線以及垂直平分線的作法，
試題精析：作∠BAC的角平分線和線段BC的垂直平分線相交于點D,即為所求.
解題邏輯：
∠B1C的布火分線
兩線交，點即為點D
DB=1:
(的垂直平分線
例2如圖，已知線段AC和線段a.
(1)用直尺和圓規按下列要求作圖.（請保留作圖痕跡，并標明相應的字母，不寫作法）
①作線段AC的垂直平分線1，交線段AC于點O:
②以線段AC為對角線，作矩形ABCD,使得AB=a,并且點B在線段AC的上方.
(2)當AC=4,a=2時，求(1)中所作矩形ABCD的面積.
a
考點追蹤：本題考查作圖一復雜作圖、線段垂直平分線的性質、矩形的判定與性質、勾股定
理，熟練掌握線段垂直平分線的作圖方法以及矩形的判定與性質是解答本題的關鍵.
試題精析：(1)①按照線段垂直平分線的作圖步驟作圖即可.
②以，點O為圓心、OA的長為半徑畫弧，再以點A為圓心、線段α的長為半徑畫弧，兩孤在
線段AC上方交于點B.同理，以點O為圓心、OC的長為半徑畫孤，再以點C為圓心、線段a的
長為半徑畫孤，兩弧在線段AC下方交于點D.連接AD,CD,AB,BC,即可得矩形ABCD.
(2)利用勾股定理求出BC,再利用矩形的面積公式求解即可.
解題邏輯：(1)作AC的垂直平分線即可，
(2)
01=(0B
以.點)為圓心、（的
長為半徑而弧
兩孤在線段C
以，點A為同心，線段
上方父丁點B
矩形ABCD
才B=&
的長為半徑而弧
以，點(0為崗心、（的
兩弧在線段1C
0r-0D
長為半徑而狐
下方交十點D
連接AD,(,AB,B:
即可得炔形A)
93<號
..AD:=AP2-PD2=PE2+AE2-PF2-DF2=82-
52=39,
DF的最小值為
∴.AD=√39.
3.解：(1)如圖1.
(4)如圖4，將△BDC沿BC對折，D的對應點為D1,將
△AEC沿AC對折，E的對應點為E1,連接DE1.
..CD=CD.CE=CEL
圖1
:正方形ABCD,EFGH及圓為正方形ABCD的內切
圓，為正方形EFGH的外接正方形，
.AE=DE=DH=CH=CG=BG=AF=BF=m.
∠A=90°，
,∴.AB=AD=21,EF=√2m,
圖4
∴.S正方形D=4m2,S正方形cH=(W2m)2=2m2.
再將△ABE1沿AC方向平移，使A與D1重合，如圖5，
.大正方形面積是小正方形面積的2倍，
得△B:D1E2,連接E1E2,BE2.
故答案為：2.
(2)如圖2.
B
)
圖2
圖5
.EG⊥FH,
..a2=OF2+0E2.c2=0G2+0H2,d:=OE2+0H2,
由(2)可得：AE+BD=D1E2十BD1.
b2=0F2+OG,
∴當E2,D,B三點共線時，AE十BD=DE2十BD
,.a2十c2=b2十d2.
最短
結合圖形變換可得：PA2+PC2=PB2+PD2.
.AC十CD=5,BC+CE=8,
(3)如圖3，，將△PDC繞點P逆時針旋轉，
.E1E2=5,BE1=8
∴點D在以點P為圓心、PD為半徑的圓上運動.
∴BE2=√BE+E1E=√82+5=√89.
AE十BD的最小值為、89.
專題14
尺規作圖
學習領航]
例1解：如圖，AD即為所求.
圖3
A為圓外一個定點，
.當AD與⊙P相切時，∠DAP最大
.PD⊥AD,
∴.AD=AP2-PD2
由(2)可得：AE=DF
PE=8,PF=5,
例2解：(1)①如圖1，直線1即為所求.
27
(2)如圖，點B,M即為所求
(3)由作圖可知OA=OC=OB,
∴∠ACB=90°.
咖AG-
圖1
.可以假設BC=3k,AB=5k,則AC=4k.
,BM平分∠CBQ,MC⊥CB,MH⊥BQ,
②如圖2，矩形ABCD即為所求
∴.∠MBC=∠MBH,∠MCB=∠BHM=90.
.'BM=BM.
,∴.△MBC≌△MBH(AAS),
∴.BC=BH=3k,
∴.AH=AB+BH=8k.
圖2
“aA限
(2):四邊形ABCD為矩形，
,∴.AM=10k,MH=MC=6k,
∴.∠ABC=90.
∴.12=6k.
.a=2,
.k=2,
,.AB=CD=2,
∴.BH=6,MH=12,
∴.BC=AD=√AC2-AB2=2√3，
∴.BM=√BH+MH=65.
∴，矩形ABCD的面積為AB·BC=2X2√3=43.
例5解：(1)如圖，先作∠ABC的平分線交AC于點D,再
例3解：(1)如圖，點D即為所求.
過D點作AC的垂線交AB于O點，然后以O點為圓
心、OB為半徑作⊙O,則⊙O為所作
(2)如圖，過點A作AH⊥BC于點H,
在Rt△ABH中，AB=2,∠B=60°，
(2)⊙O交BC于E點，交AB于F點，連接OE
,∴.BH=AB·cos60°=1，AH=AB·sin60°=√3，
如圖.
設⊙O的半徑為r,則OB=r.
,∴.CH=BC-BH=2.
:∠DAC=∠ACB,
:AC為⊙O的切線，
∴.OD⊥AC,OD=r
.AD∥BC
AH⊥CB,CD⊥AD
∠C=90°，∠ABC=60,
∴∠A=30°，
..∠AHC=∠ADC=∠DCH=90°，
∴.OA=2r.
,.四邊形AHCD是矩形，
.AB=4,
,∴.AD=CH=2.
.2r+r=4,
∴s8m-2x2+3X5-昌5.
1
解得一專
放答案為：昌5
OB=OE,∠OBE=60°，
∴.△OBE為等邊三角形，
例4解：(1)如圖點O即為所求
∴.∠BOE=60°，
.∠E0F=120,
∴.⊙O與△ABC重疊部分的面積=S嘲形mF十S△OE
1x×傳-+
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