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專題15
圖形變化
專題15
圖形變化
【學習要點】
釧對稱性質
①對應點的連線被對稱軸垂出平分；
②對應線段相等；
X對應線段或延長線的交點征刈稱軸上：
①成軌村稱的兩個圖形全等
圖形的對稱
廠成中心為的則個圖形中，利應點的連：
中心對標件質
線經過對稱中心，被刈稱中心平分；
②城中對稱的兩個圖形全等.
平移前后.對應線段平行（或在問一條古線上）且陽等，
圖形的平移
性質
對成布柑等；
②對成點所連的線段Ψ行〔或在問條古線上)且柑等；
平移前的圖形企等.
一對應點到誕轉中心的中離舊等；
格形的旋轉
性質
2刈應點與旋轉中心連線斯成的角郴等丁旋轉角；
3》旋轉前后的圖形全等。
【學習領航】
例1如圖，矩形ABCD是一張A4紙，其中AD=√2AB,小天用該A4紙玩折紙游戲.
游戲1折出對角線BD,將點B翻折到BD上的點E處，折痕AF交BD于點G.展開后
得到圖1，發現點F恰為BC的中點.
游戲2在游戲1的基礎上，將點C翻折到BD上，折痕為BP;展開后將點B沿過點F
的直線翻折到BP上的點H處；再展開并連接GH后得到圖2，發現∠AGH是一個特定
的角.
(1)請你證明游戲1中發現的結論；
(2)請你猜想游戲2中∠AGH的度數，并說明理由，
D
圖1
圖2
考點追蹤：本題考查矩形的性質、折疊的性質、勾股定理、銳角三角函數，熟練掌握以上知識是
100
專題15
圖形變化
解題關鍵.
試題精析：(1)由折疊的性質可得AF⊥BD,根據題意可得∠BAG=∠ADB=∠GBF.再設
AB=a,然后表示出AD,BD,再由銳角三角函求出BF即可
(2)由折疊的性質可知∠GBH=∠FBH,BF=HF,從而可得出∠GBH=∠BHF,進而
得到BD∥HF,∠DGH=∠GHF.由(1)知AF⊥BD,可得AF⊥HF.在Rt△GFH中求出
∠GHF的正切值即可解答，
解題邏輯：
(1)
設AB=
折徑
∠B1F=∠1DB
tan BAF-tan/ADB
a
點為
的中點
(2)
折疊
GBIE=/FBIL,
∠rBH=∠H3
∠GBH=∠FHB
BF=HK
BDHE
BC心3
設1B=u
。
F⊥Hh
AFLBD LDGII-LGIIF
la∠(GP=5
∠A(iH=1209
例2如圖1，矩形ABCD中，AB=5,AD=3,將△ABC繞點A旋轉到△AB'C'位置，設AC
交直線CD于點M.
(1)當點B'恰好落在DC邊上時，求△AB'C'與矩形ABCD重疊部分的面積：
(2)如圖2，當點C,B',C恰好在一直線上時，求DM的長度，
B
D
B
圖1
圖2
101[學習實踐]
專題15圖形變化
1.解：(1)如圖1，連接BD,過點D作DH⊥AB于點H.
[學習領航]
:∠A=45,∠AHD=90°，
例1(1)證明：由折疊的性質可得AF⊥BD,
.∴∠ADH=45°=∠A,
.∠AGB=90.
∴△ADH是等腰直角三角形，
:四邊形ABCD是矩形，
又'AD=3√2.
.∠BAD=∠ABC=90°，
..AH=DH=3,
∠BAF=∠ADB.
∴.BH=AB-AH=5-3=2.
AD=/2AB.
∴，R△BDH中，BD=√32+2=I3.
設AB=a,則AD=√2a,
.tan∠BAF=tan∠ADB
熙鋁
H
圖1
圖2
(2)如圖2，AG即為所求。
②a'
2.解：(1)如圖，⊙0為所作.
解得F
2a.
BC=AD=√2a,
BF-BC.
點F為BC的中點.
(2)PM和PN為⊙O的切線
(2)解：∠AGH=120°.理由如下：
∴.OM⊥PB,ON⊥PN,∠MPO=∠NPO=
連接HF,如圖.
∠APB-30.
1
∴.∠OMP=∠ONP=90°，
.∠MON=180°-∠APB=120.
在Rt△POM中，，∠MPO=30°，
由折疊的性質可知∠GBH=∠FBH,BF=HF
.OM-3
.∠GBH=∠FBH,∠FBH=∠BHF,
∴⊙O的劣弧MN與PM,PN所圍成圖形的面積
∠GBH=∠BHF,
=S因邊形N一S南形MN
.BD∥HF,
.∠DGH=∠GHF,
=2x號×3x月-120XW5)
360
由(1)知AF⊥BD,可得AF⊥HF,
=3√3-π
∴∠AGD=90°，∠GFH=90°.
3.解：【初步嘗試】如圖1，直線OP即為所求.
設AB=a,則AD=2a=BC,BF=HF=2。
24
【問題聯想】如圖2，三角形MNP即為所求。
【問題再解】如圖3中，DF即為所求
·BG=
3a,
.GF-/6
a.
6
GF
在Rt△GFH中，tan∠GHF=
6a3
HF
23
2
圖2
圖3
.∠GHF=30,
∠DGH=30,
..∠AGH=∠AGD+∠DGH=90°+30°=120°.
29
例2解：(1)過點M作MN⊥AB'于點N,如圖1.
例3(1)證明：如圖1，連接CD.
由題意得：BC=BD,∠CBD=180°-2a,
∴.∠BDC=∠BCD
,'∠BDC+∠BCD+∠CBD=180°，
∠BDC=180°-180-2a)=a.
2
∴.∠BDC=∠A,
圖1
∴.CA=CD
由旋轉的性質可知，∠C'AB'=∠CAB,AB'=AB=5,
,DE⊥AN,
tan∠C'AB'=tan∠CAB=AB-5
BC 3
∴.∠1+∠A=∠2+∠BDC=90°，
.∠1=∠2.
在Rt△ADB'中，DB'=√AB-AD=4,
..CD=CE,
tm∠ABD-子
..CA=CE.
.點C是AE的中點
設MN=3.x,則AN=5.x,B'N=4x,
AB'=9x=5,
=N=號
Sew-號MN·AB'-g
1
(2)設AB'交CD于點N,如圖2
圖1
由旋轉的性質可知，AC'=(,
(2)解：EF=2AC.
AC,∠C'AB'=∠CAB,
在射線AM上取點H,使得BH=BA,取EF的中點
∠AB'C'=∠B=90°，
D
G,連接DG,HD,如圖2.
∴△ACC為等腰三角形，
∠C'AB'=CAB'.
.CD∥AB,
∠DCA=∠CAB,
圖2
∠NAC=∠NCA,
∴.AN=CN
圖2
在Rt△ADN中，AD+DN=AN2,
.'BH=BA,
即9+DN=6-DN)2DN=g.
.∠BAH=∠BHA=a,
∴.∠ABH=180°-2a=∠CBD
,∠MNA=∠NAC+∠NCA,
,∴.∠ABC=∠HBD
∴·∠MAC=∠MNA.
.BC=BD,
:∠NMA=∠CMA,
∴.△ABC≌△HBD(SAS),
∴.△AMN∽△CMA,
∴.AC=DH,∠BHD=∠A=a,
出器
∴.∠FHD=∠BHA+∠BHD=2a
:DF∥AN,
∴.AM=MN·CM.
,∴.∠EFD=∠A=a,∠EDF=∠3=90°
在Rt△ADM中，AM2=MD2+AD2,
G是EF的中點，
∴.MN·CM=MD+AD2.
∴.GF=GD,EF=2GD
設DM=,則MN=x+號.CM=5+x
∴.∠GFD=∠GDF=&,
∴.∠HGD=2a,
(+)x+5)=+9,
∴.∠HGD=∠FHD,
解得-名即DM=
5
.'DG=DH
.AC=DH.
30

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