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專題18
新定義問題
專題18
新定義問題
【學習要點】
新定義問題常常是提供一段素材，定義一個新的概念，或一種新的運算，或一種新的變換
等.要求解題者在閱讀的基礎上理解新運算、定義，或相關概念及其性質，在此基礎上解決問
題.新定義問題的常見類型如下：
一新運算的定義
一新法則的定義
新定義
-新數的定義
-數與代數
題
一函數背錄的定義一
新圖形的定義
一冬形與幾利
一新變換的定義
例1如果一個四位自然數abcd的各數位上的數字互不相等且均不為0，滿足ab一bc=cd,
那么稱這個四位數為“遞減數”.例如四位數4129,41一12=29，.4129是“遞減數”；又如四
位數5324，，53-32=21≠24，∴.5324不是“遞減數”.若一個“遞減數”為a312,則這個數為
;若一個“遞減數”的前三個數字組成的三位數abc與后三個數字組成的三位數bcd
的和能被9整除，則滿足條件的數的最大值是
考點追蹤：本題考查學生的閱讀能力、運算能力、代數推理能力，理解定義、正確計算是關鍵
試題精析：第1空，根據遞減數滿足ab一bc=cd,所以，10a十3一31=12，解方程求出a的值.
第2空，涉及a,b,c,d四個字母，可根據遞減數的概念先求得10a一9b一11c=d,然后根
據題意列出兩個三位數字之和，結合能被9整除的數的特征分析滿足條件的最大值
解題邏輯：
ab-be-cd10a+b-(106+e;=10c+d
hc與c的和
為：1I0a-101b
ahe與c的為：
100a-10h+c+100+10c+d
能被9整除
11-2h被9格除
a=8,-lc-6,-5
最人值是8165
1123
專題18
新定義問題
例2在四邊形ABCD中，O是邊BC上的一點.若△OAB≌△OCD,則點O叫作該四邊形的
“等形點”
(1)正方形
“等形點”.（填“存在”或“不存在”）
(2)如圖1，在四邊形ABCD中，邊BC上的點O是四邊形ABCD的“等形點”.已知CD=
42,OA=5,BC=12,連接AC,求AC的長
(3)如圖2，在四邊形EFGH中，EH∥FG.若邊FG上的點O是四邊形EFGH的“等形
點”，求85的值
圖1
圖2
考點追蹤：本題考查了全等三角形的性質、正方形的性質、勾股定理、平行線的性質等知識，理
解新定義、并能熟練掌握全等三角形的性質是解題的關鍵
試題精析：(1)根據“等形點”的定義可知△OAB≌△OCD,則∠OAB=∠C=90°，而O是邊
BC上的一，點，從而得出正方形不存在“等形，點”
(2)作AH⊥BO于點H,由△OAB2△OCD,得AB=CD=42,OA=OC=5.設OH=
x,則BH=7一x,由勾股定理得，(4√2)2一(7一x)2=52一x2,求出x的值，再利用勾股定理
求出AC的長即可.
(3)根據“等形點”的定義可得△OEF≌△OGH,則∠EOF=∠HOG,OE=OG,
∠OEF=∠OGH.再由平行線性質得OE=OH,從而推出OE=OH=OG,進而解決問題.
解題邏輯：
(1)
等形點”
八(AB六CD
∠0AB=∠=90
定義
止方形不行
在“等形點”
O點在BC[止
(2)
“等形點”
△OB2色(OD
B=(D=42
定義
(4=f=5
4B2-BH2
=(24-(0H:
△ACH是直
AHLB()丁點
角三布形
OII-x
BH-7-x
c-45
OH-x-3
(42)2-(7-x)=5-x2
124.'.BH=CH,
11a+26
是整數，且a≠b≠c≠d,1≤a≤9,1≤b≤
,∴，△BHC是等腰直角三角形，
,∴.∠HCB=45°，即∠ACB=45
9,1≤c9,0d9
②點B在點C右側，如圖3.
a=9時，原四位數可得最大值，此時b只能取0，不符
過點B作BH⊥AC于點H.
合題意，舍去
當a=8時，b=1,此時71-11c=d,
c取9或8或7時，均不符合題意；
當c取6時，d=5.
,.滿足條件的數的最大值是8165
故答案為：4312：8165.
例2(1)，四邊形ABCD是正方形，
∴.∠C=90°
圖3
:△OAB2△OCD,
.BH=yc-yB=-m2-2n+3-(-m2-4m）=
∴.∠OAB=∠C=90°
2m+3,
,O是邊BC上的一點，
CH=xB-xc=(m十1)-(-2-m)=2m十3，
,正方形不存在“等形點”
,∴.BH=CH,.∠HCB=45°，即∠ACB=135
故答案為：不存在。
當m>一1，即點A在點C右側時，如圖4，
(2)如圖，作AH⊥BO于點H
邊BC上的點O是四邊形ABCD的“等形點”，
.△OAB≌△OCD,
∴.AB=CD=4√2，
0A=0C=5.
.BC=12,
.BO=7.
圖4
設OH=x,則BH=7一x.
同②得BH=CH,此時∠ACB=45
由勾股定理得，(42)2-(7一x)2=52一x2,
綜上所述，∠ACB的度數是45或135°.
解得，x=3,
[學習實踐]
∴OH=3,
1.-10122.B
∴.AH=4,
3.(1)①-2(-1,0)②-2∴.C0=8.
(2)1-12+6
21
4
(3)n=-5,6=-3,m≤
4
在Rt△CHA中，AC=AH+CH=√4+8=
專題18新定義問題
4/5.
(3),邊FG上的點O是四邊形EFGH的“等形點”，
[學習領航]
∴.△OEF≌△OGH,
例1第1空，由題意可得10a十3一31=12，
.'.∠EOF=∠HOG,OE=OG,∠OGH=∠OEF
解得a=4,.這個數為4312.
.EH∥FG,
第2空，由題意可得，10a+b一(10b十c)=10c+d,
'.∠HEO=∠EOF,∠EHO=∠HOG,
整理，可得10a一9b一11c=d.
.∠HEO=∠EHO,
一個“遞減數”的前三個數字組成的三位數ab與后三
..OE=OH.
個數字組成的三位數bcd的和為：
..OH=OG
100a+10b+c+100b+10c+d
..OE=OF
=100a+106+c+1006+10c+10a-9b-11c
=110a+1016
8腮1
=99(a+b)+11a+2b,
例3(1)如圖1，與二次函數y=2x2-4x一3有3個交點的
又，一個“遞減數”的前三個數字組成的三位數abc與
后三個數字組成的三位數bcd的和能被9整除，
是y=-3
40

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