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專題3分式運算與變形求值
專題3分式運算與變形求值
【學習要點】
知識點
名師點睛
若B≠0，則
有意義；若B=0,則
無意義；
分式的概念
整式A除以整式B,可以表示成會的形式。
A
如果除式B中含有字母，那么稱B為分式，
若A=0且B≠0則哈
=0.
AA·C
C≠0)
AA÷C
分式的基本性質
BB·C
BB÷C
(C≠0).
要熟練掌握，特別是乘或除以的數不能為0.
分式的基
分式的分子、分母與分式本身的符號，改變
本性質及
分式的變號法則
其中任何兩個，分式的值不變
應用
分式的約分、通分
通分與約分的依據都是分式的基本性質.
最簡分式
分子與分母公因式只有1.
分式的加減法
異分母的分式相加減，要先通分，然后再加減.
分式的乘除法、乘方
熟練應用法則進行計算.
分式的運算
應先算乘方，再將除法化為乘法，進行約分
化簡，最后進行加減運算.若有括號，先算括
分式的混合運算
號里面的.靈活運用運算律，運算結果必須
是最簡分式或整式.
【學習領航】
1十a11十a2
例1已知一列均不為1的數a1,a2a3,a,滿足如下關系：a:=-a
,a3=1-a2
1+a
1-a
1十a,若a1=2,則a2m的值是
,…,am+1=1一am
()
1
A.一2
C.-3
D.2
考點追蹤：此題考查了分式計算規律性問題的解決能力，關鍵是能通過計算結果發現α，的
規律，
試題精析：通過分別計算a1,a2,a3,a4,a5的值，歸納出am的值出現規律進行求解.
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專題3分式運算與變形求值
解題邏輯：
w,-2
4的位按2.3，
.…4次
1-3,=1+2
.1-,1-2
=-3
個不州期的規非出現
1+2
11(-3)
、1-還2
1--3)
-2
2023÷4=505…3
a41一：
內
1)
a2e的值是-之
1-3
a,1-u
1
例2
若a+日5，則a2+。
考點追蹤：本題考查了分式的混合運算，掌握完全平方公式是解題的關鍵，
試題精析：利用完全平方公式將a2+是變形為(a十)°
2,再將a十】=5代入計算即可.
a
a
解題邏輯：
ctg-(uta)2
+-(5-2-3
例3
化簡并求值：(。二）÷2
,其中a=-2.
考點追蹤：本題考查了分式的化簡求值，掌握分式的運算法則是解題的關鍵，
試題精析：先根據分式的運算法則進行化簡，再代入求值，
解題邏輯：
a-2
部2
原式：g11）-(-3),1-
、2
〔a11)〔a-1)2
-+
0=-2
原式=-
2+125+1=-.
解決問題
由上得：2(n-1)dk-2(k-1)dm=2ndk-2dk-2ndk+
解得一子4-2以含去
2dn=2d(n-k)>0
.方案1的路徑總長大于方案2的路徑總長；
∴No-8)
2k-10d-號×(2k-1Ddh-[2-2)k-2+
綜上N(0.15-5①)或N(0.15+5④)或
16
6
]
N0,-5或N0,5)減N(0,8)或No,-)
.'n>k≥3，
[學習實踐]
當k=3時，(2-2)X3-2+=4-5y>0,此時
1.A2.A3.10004.-25.6xy+18y
2
2
6.(1)(2×5+1)2=(6×10+1)2-(6×10)2:
2-1Ddn-
(2)第n個等式：(21+1)2=[(n+1)×2n+1]2-[(n十
2
X(2k-1)dn>0,
1)×2m]2.
方案3鏟籽路徑總長最短，銷售員的操作方法是選擇
最短的路徑，減少對波蘿的損耗.
證明：左邊=(2n十1)2=4n2十4n十1，
右邊=[(n+1)×2m+1]2-[(n+1)×2m]
專題3分式運算與變形求值
=[(n+1)×2n]+2×(n+1)×2m+12
[學習領航]
[(n+1)×2]2
例1解：由題意得
=4n2十4n十1，
a1=2,
∴.左邊=右邊，即原等式(2m十1)2=[(n十1)×2n十
_1+a1_1+2
-3,
1]2-[(n+1)×2n]2成立.
ag=1-a11-2
7.(1)由題圖可知：S1=(a十2)(a十1)=a2+3a十2，
_1a2=1+(-3=-1
ag=1-a1-(-3)
2
S2=(5a+1)×1=5a+1,
當a=2時，S1十S2=4+6+2+10+1=23.
1十a8
1+(2)
1
(2)S1>S2,理由如下：
3
,S1-S2=a2+3a+2-(5a+1)=a2-2a+1=(a
1)2,
1十a4
1+
3
=2,
又a>1,∴.(a-1)2>0,∴.S1-52>0,即S1>S2.
a5=1一a41一3
1
8.分析問題
方案1：根據題意，每行有個籽，行上相鄰兩籽的間距為
d,每行鏟的路徑長為(n一1)d.
二a。的值按2，一3，二號，3，…4次一個循環周期
:每列有k個籽，呈交錯規律排列，∴相當于有2行，
的規律出現
.鏟除全部籽的路徑總長為2(n一1)d
2023÷4=505…3,
故答案為：(n-1)d;2;2(n-1)dk.
1
方案2：根據題意，每列有k個籽，列上相鄰兩籽的間距為
∴a202的值是一2
d,.每列鏟的路徑長為（一1）d.
故選A
,每行有n個籽，呈交錯規律排列，∴相當于有2！列，
例2解：a十上=5，
∴.鏟除全部籽的路徑總長為2(k一1)dn
a
故答案為：2(k-1)dm.
+e+-2=5-2=8
方案3：由題圖得，斜著鏟每兩個點之間的距離為
故答案為3.
+d_2d
例3解：a=一2，
2
2
∴a一1=-30，
根據題意，得一共有2n列，2k行，斜著鏟相當于有n條線
段長，同時有(2k一1)個，
原式=a+1)a-3).1-4
(a+1)(a-1)
2
之全部仔的路徑總長為：號×(2-1d.
a+a-D號
4

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