資源簡(jiǎn)介

.'BC=AB=2.
13
當(dāng)BC=2W2時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H.
∴.SAAQ=26
如圖2：
同理Sam=}-
26
.兩塊三角板重疊部分圖形的面積為1
3
3
(3)連接AF,如圖5：
A
圖2
.AB=AC,
:.BH-CH
m∠BAH-
BH=亞，
圖5
:AB=AC,F為BC中點(diǎn)，
,.∠BAH=45,
∠AFB=90°，
,∴.∠BAC=2∠BAH=90
∴F的運(yùn)動(dòng)軌跡是以AB為直徑的圓，
a=120°-90°=30.
如圖3：
點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為2x×雪-江
故答案為2元
專題8四邊形
[學(xué)習(xí)領(lǐng)航]
例1證明：連接AC交BD于O.
:四邊形ABCD是平行四邊形，
..AO=OC.BO=DO.
AM//CN.
圖3
∴.∠EAC=∠FCA.
同理可得∠BAC=90.
在△AOE與△COF中，
a=60°+90°+60°=210.
∠EAC=∠FCO.
,.當(dāng)BC=22時(shí)，a=30°或210°.
AO-CO.
故答案為2,30或210.
∠AOE=∠COF,
(2)如圖4：
.△AOE≌△COF(ASA),
:∠ADB=90°，∠B=30°，AB=2,
..OE=OF.
AD=1.
..BO-OE=OD-OF
a=90°，
即BE=DF
.∠BAC=60°+60°-90°=30°，
例2證明：AMBN,
.∠QAD=∠BAD-∠BAC=30°
∴.∠DAC=∠BCA.
..DQ=AD_/3
圖4
AC平分∠BAM,
331
.∠DAC=∠BAC
So=號(hào)X1X9-5
1
.∠BCA=∠BAC,
361
∴.BA=BC
∠D'=∠D'AD=∠D=90°，AD=AD',
,BD⊥AC
.四邊形ADPD'是正方形，
.∠AOB=∠AOD=90°
..DP=AD=1,
:∠DAC=∠BAC,
SAam=號(hào)X1X1=2
1
.∠ABO=∠ADO
..AB=AD.
13
.'.AD=BC.
∠HAM=∠DAC,
.AD∥BC,
,∴.△HAM≌△DAC
,',四邊形ABCD是平行四邊形
∴.AM=AC
又，BD⊥AC,
∴.AH-AC=AD-AM.
.平行四邊形ABCD是菱形.
∴.CH=MD.
例3解：(1)點(diǎn)E,F,G,H分別是平行四邊形ABCD各
例5(1)證明：如題圖1中，
邊的中點(diǎn)，
四邊形ABCD是正方形，
..AH//CF,AH=CF.
.∠A=∠B=90°，
∴，四邊形AFCH是平行四邊形，
∴∠AEH+∠AHE=90.
∴.AMCN
,四邊形EFGH是正方形
同理可得，四邊形AECG是平行四邊形，
.EH=EF,∠HEF=90°，
.∴.AN/CM,
∠AEH+∠BEF=90°，
.四邊形AMCN是平行四邊形，
∴∠BEF=∠AHE.
(2)如圖所示，連接AC.
在△AEH和△BFE中，
,H,G分別是AD,CD的中點(diǎn)，
(∠A=∠B=90°，
∴點(diǎn)N是△ACD的重心，
∠AHE=∠BEF,
∴.CN=2HN,
EH-FE
Sw=號(hào)Saam
.△AEH≌△BFE(AAS),
∴.AH=BE,
又CH是△ACD的中線，
,'.AE+AH=AE十BE=AB.
1
SACH-2SAND
(2)解：當(dāng)AE=CF時(shí)，四邊形EFGH是矩形
理由：如題圖2中，
。1
SAACN-3SAAC.
,四邊形ABCD是正方形，
又'AC是□AMCN和□ABCD的對(duì)角線，
∴.AB=CD=AD=BC,∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
1
AE=AH.CF=CG.
∴BE=BF,DH=DG,
又□AMCN的面積為4，
∴.∠AEH=∠BEF=45°，
,.□ABCD的面積為12.
∴.∠HEF=90.
同法可證，∠EHG=90°，∠EFG=90°.
∴，四邊形EFGH是矩形.
故答案為AE=CF.
F
(3)解：結(jié)論：四邊形EFGH是平行四邊形
例4解：(1)四邊形AECF為矩形.理由如下：
理由：如圖，過(guò)點(diǎn)H作HM⊥BC于點(diǎn)M,交EG于
.AE⊥BC,CF⊥AD,
點(diǎn)N
∴.∠AEC=90°，∠AFC=90°，
,四邊形ABCD是正方形，
,四邊形ABCD為菱形，
..AB//CD.
..AD//BC.
.AE=DG,AE∥DG
.∠AFC+∠ECF=180°，∠ECF=180
.四邊形AEGD是平行四邊形，
-∠AFC=90°.
∴.ADEG,
∴，四邊形AECF為矩形
∴.EGBC,
(2)CH=MD.理由如下：
,四邊形ABCD為菱形，
器架
.AB=AD,∠B=∠D
,OE:OF=4:5,
,△ABE旋轉(zhuǎn)得到△AHG,
∴.AB=AH,∠B=∠H.
設(shè)OE=4x,OF=5x,HN=h,則=205
20
∴.AH=AD,∠H=∠D
∴.h=4(4-x)專題8
四邊形
專題8四邊形
【學(xué)習(xí)要點(diǎn)】
四邊形
兩紐對(duì)邊分別抑等的四兩對(duì)邊分別平行
邊形平行四邊形；
一平行川邊形的對(duì)邊陽(yáng)等：
2兩組襯角分別陽(yáng)等的四
判定
性質(zhì)2平行四邊形的對(duì)角柑等：
邊形是平行四邊形；
Ψ行四邊形前劉角線；
對(duì)角線萬(wàn).相平分的四邊
平行四邊形
-相Ψ分。
形兄平行四邊形；
一如邊平行川桿等的
四邊形足平行四邊形
個(gè)是直布
組鄰邊柑等
心菱形的四條邊都柑等：
心形訓(xùn)個(gè)角都是古角：質(zhì)
性質(zhì)②蔞形的兩條對(duì)角線.
②矩形的對(duì)布線柑等
相乖古，且每一條對(duì)
角線Ψ分一組對(duì)角.
對(duì)角線相等前半行叫
邊形是形：
判定
形
菱形
判定四條邊柑等的四邊形是
②有二個(gè)直角前四邊形
菱必.
是斯形.
止方形
【學(xué)習(xí)領(lǐng)航】
例1如圖，在□ABCD中，點(diǎn)M,N分別在邊BC,AD上，且AMCN,對(duì)角線BD分別交
AM,CN于點(diǎn)E,F.求證BE=DF.
考點(diǎn)追蹤：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，正確地找出輔助線是解
題的關(guān)鍵，
試題精析：連接AC交BD于點(diǎn)O,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AO=OC,BO=DO,根據(jù)全等
三角形的性質(zhì)得到OE=OF,于是得到結(jié)論，
48
專題8
四邊形
解題邏輯：
平四邊形.4BD
4(=(,
BO=DO
△A)E蘭△()F
()=(h
AM,特(V一∠EC=∠FC1
BE-DE
例2如圖，AM∥BN,AC平分∠BAM,交BN于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)B
作BD⊥AC,交AM于點(diǎn)D,垂足為O,連接CD.求證：四邊形
ABCD是菱形.
2
考點(diǎn)追蹤：本題考查了菱形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等
腰三角形的判定以及平行線的性質(zhì)等知識(shí)，掌握菱形的判定定理是解題的關(guān)鍵.
試題精析：由平行線的性質(zhì)和角平分線定義得∠BCA=∠BAC,則BA=BC,再證∠ABO=
∠ADO,則AB=AD,然后證四邊形ABCD是平行四邊形，即可得出結(jié)論.
解題邏輯：
AM//BN
+∠D=∠BtA
∠BA=∠B:
BA=B(:
1Ψ分∠B.1H
∠DiCr=∠BC
B1)⊥A(:
∠1C)B=∠1(0D=90
∠1BO=∠1DO
AB=AI)
平行四邊形
BD⊥(：四邊形BCID是
ADBC
AB(D是菱形
平年行四邊形
AD-BC
49
專題8
四邊形
例3如圖，點(diǎn)E,F,G,H分別是平行四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)，連接AF,CE相交于點(diǎn)M,
連接AG,CH相交于點(diǎn)N.
(1)求證：四邊形AMCN是平行四邊形；
(2)若□AMCN的面積為4，求□ABCD的面積.
考點(diǎn)追蹤：本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)以及三角形
重心性質(zhì)的運(yùn)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的判定方法以及三角形重心性質(zhì).
試題精析：(1)依據(jù)四邊形AFCH是平行四邊形，可得AMCN,依據(jù)四邊形AECG是平行
四邊形，可得ANCM,進(jìn)而得出四邊形AMCN是平行四邊形
(②》連接AC,依據(jù)三角形支心的性質(zhì)，即可得到S6=號(hào)s1再根據(jù)CH足△ACD
的中線，即可得出S△Cv=3S△aD,進(jìn)而得到SawN=3Sauw,依據(jù)□AMCN的面積為4，
即可得出結(jié)論.
解題邏輯：
(1點(diǎn)F,1為，AD中點(diǎn)
邊形FI
All/cF
是Ψ行四邊形
1:醇(
四邊，形1v
是半行四邊形
點(diǎn)E.G為1B,CD中點(diǎn)
四邊形CN
E接C好
是平行四邊形
A度(CH
(2)H,(分別是AD、
()的中點(diǎn)
(.-2HV
CH是△ACLD的小線
S4,-12
50

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