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專題9
圓
專題9
圓
【學習要點】
乖徑定理：乖有十垓的
點與圓：不在同條直線上的三個點確定·個圓-
直徑平分城，并且平分換
7
所對的兩條弧，
劃線判定：經過半徑的外洲幣
軸對稱
且垂古于這條半徑的古線
淮論：業分弦（不是古徑）
古線與側
的百徑乖直于駭.并且平
切線性質：的劃線乖古十過
分弦所對的兩條弧，
切點的半徑
圓心角定理：在問圓或等
角形的外心
圓巾，相等前圓心角所對
角形與圓
切線長定理
的弧相等，所對的弦也相
布形的內心
等
圓側周價定理：
條弧所對
四邊形與崗：內接四邊形對布三補
的圓周角等丁亡所對前圓
「心對稱
心角的一水
止多邊形與周
論：心同弧或等弧所對
的圓調布和等：②半圓
〔且徑)所對的網周角是
州形·錐
土角、90°的網周角所對
的弦是直徑.
【學習領航】
例1如圖，AB是圓的直徑，∠1，∠2，∠3，∠4的頂點均在AB上方的圓弧上，∠1，∠4的一
邊分別經過點A,B,則∠1十∠2十∠3十∠4=
考點追蹤：圓周角定理，半圓的度數為180°，同弧所對的圓周角是圓心角的一半，
試題精析：根據半圓的度數為180°，同孤所對的圓周角是圓心角的一半，即可得出結果.
解題邏輯：
同弧所對的角是廚心角的·
∠1+∠2+∠3+∠4=90
半網的度數為180
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專題9
圓
例2在同一平面內，已知⊙O的半徑為2，圓心O到直線1的距離為3，點P為圓上的一個動
點，則點P到直線（的最大距離是
()
A.2
B.5
C.6
D.8
考點追蹤：本題考查直線與圓的位置關系，掌握直線與圓的位置與圓心到直線的距離之間的關
系是解決問題的關鍵，
試題精析：根據圓心到直線（的距離為3，而圓的半徑為2，此時直線與圓相離，當點P在⊙O
上運動時，當點P在BO的延長線與⊙O的交點時，點P到直線1的距離最大，根據題意畫出
圖形進行解答即可
解題邏輯：
判斷.點P到白線的距離最大
白線j園的位置關系
刑P的位置
而出節解得距離
例3鐵藝花窗是園林設計中常見的裝飾元素.如圖是一個花瓣造型的花窗
示意圖，由六條等弧連接而成，六條弧所對應的弦構成一個正六邊形，中心為
點O,AB所在圓的圓心C恰好是△ABO的內心.若AB=2√3，則花窗的周
長（圖中實線部分的長度）=
(結果保留π)
考點追蹤：本題考查正多邊形和圓、弧長的計算，掌握正六邊形的性質、三角
形的內心的性質以及直角三角形的邊角關系、孤長的計算方法，是正確解答的關鍵
試題精析：根據正六邊形的性質、三角形內心的性質以及直角三角形的邊角關系求出AB所對
應的圓心角的度數及半徑，由孤長公式求出孤AB的長，再計算AB長的6倍即可.
解題邏輯：
根止入邊形的性質
保得B所對應的圓角的度數發平徑
解得：
根郴：三布形內心的性質以艾古布三價形的邊價關系
根據炫長公式一
【根化窗的周長與的關系求料卜[解得4B}
例4如圖，已知兩條平行線l1,l2,點A是11上的定點，AB⊥l2于點
B,點C,D分別是l1,l2上的動點，且滿足AC=BD,連接CD交線段
AB于點E,BH⊥CD于點H.則當∠BAH最大時，sin∠BAH的值為∴S=20E·HN-號X4xX4(4-x)=-8(x
,.∠1=30
專題9圓
2)2+32.
-8<0
[學習領航]
例1：AB是圓的直徑，
∴x=2時，△OEH的面積最大，
∴AB所對的弧是半圓，所對圓心角的度數為180°，
.0E=4x=8=7EG=0G.0F=5x=10
:∠1，∠2，∠3，∠4所對的弧的和為半圓.
2 HF=OH
六∠1+∠2+∠3+∠4=2×180°=90，
.四邊形EFGH是平行四邊形.
故答案為90.
[學習實踐」
例2解：如圖，由題意得，OA=2,OB=3.
1.證明：(1)：點O為對角線BD的中點，
當點P在B)的延長線與⊙O的交點時，點P到直線
∴OD=OB.
!的距離最大
:四邊形ABCD是平行四邊形，
此時，點P到直線1的最大距離是3+2=5.
∴.DF∥EB,
故選B.
∠DFE=∠BEF.
在△DOF和△BOE中，
I∠DFO=∠BEO,
∠DOF=∠BOE,
DO-BO,
,.△DOF≌△BOE(AAS).
(2),△DOF≌△BOE,
例3解：如圖，過點C作CM⊥AB于點M,則AM=BM=
∴.DF=EB
2AB=5.
.DF//EB.
.四邊形DFBE是平行四邊形，
.'.DE=BF.
2.解：(1)四邊形ABCD是菱形.理由如下：
如圖1，作CH⊥AB,垂足為點H,CG⊥AD,垂足為點G.
·兩個紙條為矩形，
..AB//CD.AD//BC.
六條等弧所對應的弦構成一個正六邊形，中心為
,四邊形ABCD是平行四邊形
點O,
SaAD=AB·CH=AD·CG,且CH=CG,
.∠AOB
360=60.
6
..AB=AD,
.OA=OB.
,四邊形ABCD是菱形
.△AOB是正三角形
:點C是△AOB的內心，
÷∠CaB=∠CBA=號X60=30,∠ACB
2∠AOB=120
在Rt△ACM中，AM=√3，∠CAM=30°，
圖1
圖2
AC=-
AM
830=2,
(2)如圖2，作AM⊥CD,垂足為點M
:S菱形Acw=CD·AM=8cm2,且AM=2cm,
∴AB的長為120X2-4
180
.'.CD=4 cm.
4
∴花窗的周長為3元×6=8元
∴.AD=CD=4cm
AM 1
故答案為8π
在R△ADM中，sin∠1=AD2·
例4解：AC∥BD,且AC=BD
15
,.四邊形ACBD是平行四邊形，
∴.OC⊥AB.
ME=BE=號AB
OA=OB,∠AOB=120,
,A為定點，且AB⊥12，
∴∠A0C=∠B0C=2∠A0B=60
AE為定值.
.OD=OC.OC=OE.
:BH⊥CD,
∴·△ODC和△OCE都是等邊三角形，
∠BHE=90°，
..OD=OC=DC.OC=OE=CE
點H在以BE為直徑的圓上運動（如圖，O為
∴.OD=CD=CE=OE,
圓心)，
.四邊形ODCE是菱形
(2)解：如圖2，連接DE交OC于點F.
D
此時0E=號BE-號aA。
圖2
四邊形ODCE是菱形，
:當AH與⊙O相切時∠BAH最大，
mBAH-8識-號
2OC=1,DE=2DF,∠OFD=90°.
3
在Rt△ODF中，OD=2,
故答案為行
.DF=√OD2-OF=√22-1平=√5，
例5(1)證明：如圖，連接OE.
∴.DE=2DF=23
.OA=OE
,∴，圖中陰影部分的面積=扇形ODE的面積一菱形
∴.∠OAE=∠OEA.
ODCE的面積
,∠EAB=∠EAD,
=120m×221
360
OC·DE
.∠EAD=∠OEA,
∴.OEAF.
=41
32X2X23
,EF⊥AD,
.EF⊥OE.
=-25.
:OE是⊙0的半徑，
∴EF是⊙O的切線.
即圖中陰影部分的面積為-23。
(2)解：如圖，連接OD
例7解：(1)CA=CB,∠ACB=60°，
.AB//DC.
.△ABC為等邊三角形，
.∠BAE=∠DEA.
,.∠BAC=60°
:∠EAB=∠EAD,
,AD為⊙O的直徑，
∴.∠EOB=∠EOD,
.∠ABD=∠ACD=90°，∠BAD=∠CAD=
∴∠EOB=∠EOD=∠DOA=60°.
.OE∥AF,ABDC
號∠BAc-30,
,.∠C=609
:.CD-BD-ZAD.
例6(1)證明：如圖1，連接O
.'.AD-BD=CD.
故答案為AD一BD=CD
(2)若∠ACB=60°，點C,D在AB同側，AD-BD與
CD的數量關系為AD-BD=CD.理由：
延長BD至點E使DE=CD,連接CE,如圖1.
圖1
.CA=CB,∠ACB=60°，
:⊙O和底邊AB相切于點C,
.△ABC為等邊三角形，

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