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專題13
幾何最值問題
專題13幾何最值問題
【學習要點】
動點運動軌跡為直線
利州“形線短最短”
定點定長
中動點型
動.點運動軌跡為圓或圓弧
利用三點線
定弦定師
一條發段最伯
動點運動軌跡為出他出線
構造三角形
雙動點型
利州條件我出關系進行轉化
兩定·動一利州軸對稱變換
兩定兩動
利州平移變換
PAPB型
定兩動
利州“兩點之問線段最短”一“亞線段最短”
兩條線段最值
動點
P1-·PB型
二條線段最位如“費馬點”祺剛}
利州旋轉60變換成折線+“兩點之間線段最短”
【凈習領航】
例1如圖，在Rt△ABO中，∠OBA=90°，A(8,8),點C在邊AB上，
且S名點D為0B的中點，點P為邊QA上的動點，當點P在OA
上移動時，使四邊形PDBC周長最小的點P的坐標為
(
A.(2,2)》
B(》
c()
D.(
1616
33
考點追蹤：本題考查了最短路線問題以及坐標與圖形性質、待定系數法求一次函數解析式，利
用軸對稱進行線段的轉化是本題解題的關鍵.
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專題13
幾何最值問題
試題精析：根據已知條件得到AB=OB=8,∠AOB=45°，求得BC=6,OD=BD=4,得到
D(4,0),C(8,6).作，點D關于直線OA的對稱點E,連接EC交OA于，點P,則此時，四邊形
PDBC周長最小，E(0,4),求得直線EC的解析式為y=4x十4，解方程組即可得到結論.
解題邏輯：
寸3=(3=8
1(8,8)
∠A()B-45
D〔4,0)
E(0.4)
C〔8,6)
誓-}，點D為0B
的巾點
D關丁出線(A
白線衛的解析
的對稱點E
式為y-年4
v=x
交R為P9.總】
例2如圖，矩形ABCD中，AB=√3，BC=1,動點E,F分別從點A,C同
時出發，以每秒1個單位長度的速度沿AB,CD向終點B,D運動，過點
E,F作直線l,過點A作直線l的垂線，垂足為G,則AG的最大值為
(
A.√3
C.2
D.1
考點追蹤：本題考查了矩形的性質、圓的性質、全等三角形的判定與性質以及勾股定理，找到點
G的運動軌跡是本道題目解題的關鍵.
試題精析：連接AC,交EF于，點O,由勾股定理可求AC的長，由“AAS”可證△COF≌
△AOE,可得AO=CO=1.由AG⊥EF,可得，點G在以AO為直徑的圓上運動，則AG為直徑
時，AG有最大值為1，即可求解.
解題邏輯：
AB-百
CF-AE
1=2
B.-1
10-C0-1
1BCD∠ACD-LCAB
△COF2△OE(AAS
1G⊥EF
∠COF-∠A(OE
點G在以4(0為直徑的圓上運動
A最人值為1
871-6
其對稱軸為m=2
,且63
2≥2
①當<1片≤3時，即-5<-2
由圖2可知，
D
當a-與時取得最大值，
設直線EC的解析式為y=kx十b,
解得b=-3或6=5（舍去）.
6=4,
(8服+b=6,
1
k4
解得
b=4.
1
小直線BC的解析式為y=4x十4，
:直線OA的解析式為y=x,
圖2
y=x,
②當22>3時.得6<-5
聯立
解得
4x+4,
16
y=3
由圖3可知，
當m=3時，t取得最大值4，
P(傳)
解得6=9（舍去。
故選D.
例2解：如圖，連接AC,交EF于點O.
D、
13
y
,四邊形ABCD是矩形，
.ABCD,∠B=90.
圖3
.AB=√3，BC=1,
綜上所述，6的值為-3.
∴.AC=2.
[學習實踐]
動點E,F分別從點A,C同時出發，以每秒1個單
1.D2.B
位長度的速度沿AB,CD向終點B,D運動，
f-x十70(22≤x30)
∴.CF=AE
3.(1)y
(2)當銷售價格為35
-2x+100(30.AB//CD.
元/kg時，利潤最大為450元.
∴.∠ACD=∠CAB.
專題13幾何最值問題
又，∠COF=∠AOE,
[學習領航]
∴.△COF≌△AOE(AAS),
例1解：：在Rt△ABO中，∠OBA=90°，A(8,8),
.A0=C0=1.
∴.AB=OB=8,∠AOB=45.
AG⊥EF,
..AC1
∴.點G在以AO為直徑的圓上運動，
CB=3,點D為OB的中點，
∴.AG為直徑時，AG有最大值為1.
..BC=6.OD=BD=4,
故選D.
.D(4,0),C(8,6).
例3解：如圖，過點C作CK⊥1于點K,過點A作AH⊥
如圖，作點D關于直線OA的對稱點E,連接EC
BC于點H.
交OA于點P,則此時，四邊形PDBC周長最小，
在Rt△AHB中，
E(0,4).
:∠ABC=60°，AB=2,
24
.BH=1,AH=5
Di
,∴.△ABP≌△AHE,
.∠BAP=∠HAE,AP=AE,AB=AH=4,
在Rt△AHC中，∠ACB=45,
∠BAH=60°，
∴AC=√AH+C=vW3)2+(W3)2=√6.
∠HAB=∠EAP=60°，
:點D為BC中點，
∴△AEP是等邊三角形，
..BD=CD,
∴.AE=AP=EP,
在△BFD與△CKD中，
..AP+BP+PC=PC+EP+EH,
「∠BFD=∠CKD
當點H,E,P,C共線時，PA十PB十PC有最小
∠BDF=∠CDK,
值HC.
BD=CD.
:∠CAN=180°-∠BAH-∠BAC=60°，
.△BFD≌△CKD(AAS).
CN⊥AN,
..BF=CK.
.∠ACN=30,
延長AE,過點C作CN⊥AE于點N,
AN-AC-3.CN -AN -33.HN-
可得AE+BF=AE+CK=AE+EN=AN.
AH+AN=7.
在Rt△ACN中，AN∴.CH=√IN2+CNz=√/49+27=2W/19.
當直線1⊥AC時，AV有最大值為√6，
[學習實踐
綜上所述，AE十BF的最大值為W6,
1.2w/13
故選A.
2.(1)證明：如圖1中，作FM⊥AC,垂足為M.
例4解：如圖，過點P作PE⊥AD,交AD的延長線于
點E
圖1
,四邊形ABCD是矩形，
.AB//CD.
∴.∠B=90
∴∠EDP=∠DAB=60,
,FM⊥AC
∴.sin∠EDP=
P√3
DP 2'
∴∠B=∠AMF=90°
p-9n.
:∠BAC=∠EAF,
∴∠BAE=∠MAF.
在△ABE和△AMF中，
PB+PD=PB+PE
∠B=∠AMF,
∴當點B,P,E三點共線且BE⊥AD時，PB+PE有
∠BAE=∠MAF
最小值，即最小值為BE,
AE-AF,
A-脂-9E=3w.
∴.△ABE≌△AMF(AAS),
..AB=AM.
故答案為：33.
(2)解：當點E在BC上，在Rt△ABE中，AB=4,AE=
例5解：如圖，將△ABP繞著點A順時針旋轉60°，得到
3√2，
△AEH,連接EP,CH,過點C作CN⊥AH,交HA
∴BE=√AE-AB2=√(32)2-4=√2.
的延長線于點N.
△ABE≌△AMF,
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