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專題12
代數(shù)最值問題
專題12代數(shù)最值問題
【學(xué)習(xí)要點(diǎn)】
一定義：在代數(shù)式巾，伙某個(gè)代數(shù)式取得最人或最小位的數(shù)擬.
代數(shù)最俏定義
分類：絕對(duì)佰最人最小、平方最值、平方和最估等.
配方法：將代數(shù)式化簡(jiǎn)為完全平式，再進(jìn)彳訓(xùn)算
代數(shù)運(yùn)算：通過川算符馬對(duì)代數(shù)式逃行少形、以
代數(shù)最位
求代數(shù)最伯的
方法
求孫最伯，
圖像法：將代數(shù)式化為啊數(shù)形式，通過數(shù)圖像來
判斷最位
幾仙問題：利州代數(shù)最位解決幾何問題，三角形
代數(shù)最俏的
的最位、圓的最伯等
實(shí)際應(yīng)州
實(shí)應(yīng)州問題：利代數(shù)最伯解決最伯問題
【學(xué)習(xí)領(lǐng)航】
例1已知實(shí)數(shù)m,n滿足m2+n2=2+mn,則(2m一3n)2+(m+2n)(m一2n)的最大值為多
少？
考點(diǎn)追蹤：此題主要考查了完全平方公式、整式的乘法，化簡(jiǎn)(2m一3n)2十(m十2n)(m一2n)
以及求出n的范圍是解本題的關(guān)鍵，
試題精析：先化簡(jiǎn)(2m一3n)2十(m十2n)(m一2n)=10一7mn,再判斷出mn的范圍，即可求出
答案
解題邏輯：
化簡(jiǎn)〔2-3n）2+(m+2）〔-2n）10-7mn
代數(shù)式的最位
n2-2=21H1(1m-n)2=2-32m的范同
80
專題12
代數(shù)最值問題
例2若W=5.x2一4xy+y2-2y+8x十3(x,y為實(shí)數(shù))，則W的最小值為多少？
考點(diǎn)追蹤：本題考查配方法的應(yīng)用及偶次冪的非負(fù)性，利用配方法把原式整理為“平方十常數(shù)”
的形式是解題的關(guān)鍵
試題精析：將原式進(jìn)行配方，然后根據(jù)偶次冪的非負(fù)性即可求得答案，
解題邏輯：
解法一：
5.x2-4xy十y2-2y十8.x+3>乘積項(xiàng)：-4xy,-2y,8.x→
配方成(2x一y十1)2十(.x十2)2一2
解法二：
5x2-4+-2+8+3一主心法，養(yǎng)成是x的一心.次方刑
方行根(4≥0)52+(84y)x+〔-243-印）=0
專題12
代數(shù)最值問題
例3將邊長(zhǎng)均為6cm的等邊三角形紙片ABC,DEF疊放在一起，使點(diǎn)E,B分別在邊AC,
DF上（端點(diǎn)除外），邊AB,EF相交于點(diǎn)G,邊BC,DE相交于點(diǎn)H.
(1)如圖1，當(dāng)E是邊AC的中點(diǎn)時(shí)，兩張紙片重疊部分的形狀是
(2)如圖2，若EFBC,求兩張紙片重疊部分的面積的最大值：
圖1
圖2
考點(diǎn)追蹤：本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用、等邊三角形的性質(zhì)與判定、平行四邊形的性質(zhì)與
判定、等腰三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理、四點(diǎn)共圓，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵，
試題精析：(1)連接BE,CD,先證明四邊形BHEG是平行四邊形，再根據(jù)EH=BH,得出四
邊形BHEG是菱形.
(2)過，點(diǎn)E作ET⊥HC.設(shè)EH=CIH=2xcm,則BH=(6-2x)cm,HT=2CH=
xcm,ET=√EH-HT=V3xcm,S生疊=Sm形BHG-BH·ET=V3x(6-2x)=
-25(-8x+ 9)=-25-多》+99得出當(dāng)1-號(hào)時(shí)5有裝大值，大位為
9√3
2cm2.
解題邏輯：
(1)
∠1CB=∠EDF=60B,D,(,四點(diǎn)共因
B:為圓的古徑
點(diǎn)E定AC的中點(diǎn)一/BB:-0
D為崗的古徑
BC-DE
BGEI、B1H∥E;-∠GEB=∠EBH=∠CBE=∠BEH=-30
E=BHH為網(wǎng)心
四邊形BHEG是業(yè)行四邊形
四邊形BHh(G是菱形
bH=BH
82補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如下：
故答案為>
球類情況條形統(tǒng)計(jì)圖
例5解：(1)畫樹狀圖如下
開始
60
54
50
50
46
10
31.
20
20
內(nèi)」
10
共有12種等可能的結(jié)果，其中恰好是甲、乙的結(jié)果有
0
B
D
2種
(3)2000×200
46
460(名).
“恰好是甲，乙的概率=2=6
21
答：估計(jì)該校最喜歡“E乒乓球”的學(xué)生人數(shù)為460名。
(2)畫樹狀圖如下：
例2解：(1)，抽樣調(diào)查方式樣本的選取需要的是廣泛性和
川游
.--
可靠性，
.抽樣調(diào)查方式合理的是隨機(jī)抽取100個(gè)麥穗的長(zhǎng)度
內(nèi)
作為樣本.
故答案為③.
丁乙T之丁Ψ平內(nèi)乙4丁Ψ之乙：Ψ乙
(2)①頻率分布表中的m=1-(0.04十0.45+0.3+
共有24種等可能的結(jié)果，其中甲、乙在其中的結(jié)果有
12種
0.09)=0.12.
故答案為0.12
“甲，乙在其中的概率為242
,121
②麥穗長(zhǎng)度頻率分布在6.1≤x<6.8之間的頻數(shù)有：
100×0.3=30.
故答案為號(hào)
頻數(shù)分布直方圖補(bǔ)全如下：
學(xué)習(xí)實(shí)踐】
試驗(yàn)田100個(gè)麥穗長(zhǎng)度頻數(shù)分布直方圖
(2)3
十蚊
1C2.B3.號(hào)
3
50H
45
專題12
代數(shù)最值問題
40H
30
[學(xué)習(xí)領(lǐng)航
0
0
例1解：：m2+n2=2+mn,
12
10R
∴.(2n-3)2+(m+21)(m-2n》
=4m2+9n2-12m1n十m2-4n
4.04.75.46.16.87.5長(zhǎng)度m
=5m2+5n2-121n
(3)0.45+0.3+0.09=0.84.
=5(mn十2)-12m7
故長(zhǎng)度不小于5.4cm的麥穗在該試驗(yàn)田里所占比例
=10-7mn
為84%.
,m2十n2=2十mn,
例3解：①由統(tǒng)計(jì)表可知這20個(gè)充電寶的完全充放電次數(shù)
∴.(m十n)2=2+3≥0（當(dāng)m十n=0時(shí)，取等號(hào)），
都不低于300次，故正確：
2
②這20個(gè)充電寶的完全充放電次數(shù)t的中位數(shù)滿足
..1≥
3
500t<600,故正確：
∴.(m一n)2=2一n≥0（當(dāng)m一n=0時(shí)，取等號(hào)），
③這20個(gè)充電寶的完全充放電次數(shù)在300≤t<400
,.m12,
中只有2個(gè)，故平均數(shù)一定大于400，故不正確。
2
3
n2,
故答案為①②
例4解：由題意可得，前9次標(biāo)槍的平均數(shù)和10次投擲標(biāo)
÷-1<-7m<號(hào)
槍的平均數(shù)相同，均為20m.
,第10次投擲標(biāo)槍的落點(diǎn)恰好在20m線上，
-4長(zhǎng)10-7mm<號(hào)
-0i
即(2m-一3n)十(m十2n)m-2m)的最大值為號(hào)
>s.
例2解法一：W=5x2一4xy十y2一2y十8.x十3
22

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