資源簡介

作業13　圓周運動的實例分析
　［分值：100分］
1~7題每題7分，共49分
考點一　汽車通過拱形橋問題
1.(多選)(2023·成都市高一期中)公路在通過小型水庫的泄洪閘的下游時，常常要修建凹形橋，也叫“過水路面”。如圖所示，汽車通過凹形橋的最低點時(　　)
A.汽車對凹形橋的壓力大于汽車的重力
B.汽車對凹形橋的壓力小于汽車的重力
C.汽車的向心加速度方向豎直向下
D.汽車的速度越大，對凹形橋面的壓力越大
2.(2023·遂寧市第二中學高一期中)如圖，一汽車過拱形橋，汽車質量為2×103 kg，拱形橋的半徑為100 m，當汽車行駛到拱形橋的最高點時速度為10 m/s，汽車對橋的壓力大小占自身重力的百分比為(重力加速度g取10 m/s2)(　　)
A.10% B.110% C.100% D.90%
考點二　圓錐擺問題
3.(2023·四川自貢市高一期末)如圖所示，不可伸長的輕繩一端固定在懸點A處，另一端與一小球相連。現使小球在水平面內繞O點做勻速圓周運動。測得A至小球球心的距離為L，A、O之間的距離為H。已知當地重力加速度為g，則小球的運動周期T為(　　)
A.2π B.2π
C.2π D.2π
4.(2024·內江市高一期中)鷹在高空中盤旋時，垂直于翼面的升力和其重力的合力提供向心力，如圖所示。當翼面與水平面成θ角并以速率v勻速水平盤旋時的半徑為(重力加速度為g)(　　)
A.R= B.R=
C.R= D.R=
考點三　交通工具轉彎問題
5.(2023·四川綿陽市高一期中)火車在鐵軌上轉彎可以看作是做勻速圓周運動，火車速度提高易使外軌受損。為解決火車高速轉彎時使外軌受損這一難題，你認為理論上可行的措施是(　　)
A.僅減小彎道半徑
B.僅增大彎道半徑
C.僅適當減小內外軌道的高度差
D.僅適當減小內外軌道平面的傾角
6.如圖所示，一汽艇轉彎時儀表盤上顯示速度為36 km/h。已知水面能對汽艇提供的徑向阻力最大為重力的0.2倍，重力加速度g取10 m/s2，若要使汽艇安全轉彎，則最小轉彎半徑為(　　)
A.50 m B.100 m
C.150 m D.200 m
考點四　離心運動
7.(多選)(2023·內江市高一月考)如圖所示，洗衣機的脫水筒采用帶動衣物旋轉的方式脫水，下列說法中正確的是(　　)
A.脫水過程中，衣物是緊貼筒壁的
B.水會從桶中甩出是因為水滴受到的向心力很大
C.加快脫水筒轉動角速度，脫水效果會更好
D.靠近中心的衣物脫水效果比四周的衣物脫水效果好
8~10題每題9分，11題13分，共40分
8.(多選)(2023·江西高一期中)周日，一同學和父母一起自駕外出游玩，途中某段路面由兩個半徑相同的圓弧相切組成，該同學乘坐的汽車(視為質點)以不變的速率通過這段路面，在通過凸形路面最高點B時，汽車對路面的壓力大小為其所受重力的。已知汽車及車上人的總質量為m，圓弧路面的半徑為R，重力加速度大小為g，下列說法正確的是(　　)
A.汽車的速率為
B.汽車的速率為
C.汽車通過凹形路面最低點A時，對路面的壓力大小為
D.汽車通過凹形路面最低點A時，對路面的壓力大小為
9.(2023·山東青島市高一期中)鐵路在彎道處的內外軌道高度是不同的，已知內外軌道平面與水平面的夾角為θ，如圖所示，彎道處的圓弧半徑為R，若質量為m的火車轉彎時速度大于，g為重力加速度，則(　　)
A.這時內軌對內側車輪輪緣有擠壓
B.這時鐵軌對火車的支持力等于
C.這時鐵軌對火車的支持力小于
D.這時鐵軌對火車的支持力大于
10.(2023·四川成都市高一期末)如圖所示，“旋轉秋千”中的兩個座椅A、B質量相等，通過相同長度的纜繩懸掛在旋轉圓盤上，不考慮空氣阻力的影響，當旋轉圓盤繞豎直的中心軸勻速轉動時，下列說法正確的是(　　)
A.A的線速度比B的大
B.A與B的向心加速度大小相等
C.懸掛A、B的纜繩與豎直方向的夾角相等
D.懸掛A的纜繩所受的拉力比懸掛B的小
11.(13分)(2023·成都市高一期中)在用高級瀝青鋪設的高速公路上，為了行駛安全，汽車的實際速度總是會根據路況來適當調整。已知汽車在這種水平路面上行駛時，它的輪胎與地面的最大靜摩擦力等于車重的，g取10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，試分析：
(1)(3分)若某段水平彎道的半徑為120 m，且彎道路面是水平的，求汽車過彎不發生側滑的最大速率；
(2)(5分)為減少事故發生，某水平彎道的路面設計為傾斜，其彎道半徑為120 m，彎道路面的傾斜角度為37°，要使汽車通過此水平傾斜彎道時不產生側向摩擦力，求汽車通過該彎道時的規定速度大小；
(3)(5分)現有一段在豎直面內的圓拱形路面，其半徑為120 m，要使汽車在通過最高點時不飛離路面，求汽車通過圓拱形路面最高點時的最大速率。
　(11分)
12.(多選)(2023·四川遂寧市高一期中)如圖所示，金屬塊Q放在帶光滑小孔的水平桌面上，一根穿過小孔的細線，上端固定在Q上，下端拴一個小球。小球在某一水平面內做勻速圓周運動(圓錐擺)，細線與豎直方向成30°角(圖中P位置)。現使小球在更高的水平面上做勻速圓周運動。細線與豎直方向成60°角(圖中P'位置)。兩種情況下，金屬塊Q都靜止在桌面上的同一點，則后一種情況與原來相比較，下列判斷正確的是(　　)
A.Q受到桌面的靜摩擦力大小不變
B.小球運動的角速度變大
C.細線所受的拉力之比為2∶1
D.小球向心力大小之比為3∶1
答案精析
1.AD　［汽車通過凹形橋的最低點時，汽車的向心加速度方向豎直向上，根據牛頓第二定律可得N-mg=m，解得N=mg+m，根據牛頓第三定律可知，汽車對凹形橋的壓力大于汽車的重力，汽車的速度越大，對凹形橋面的壓力越大，故選A、D。］
2.D　［在最高點對汽車受力分析有mg-N=m，解得N=18 000 N，汽車對橋的壓力大小占自身重力的百分比為×100%=90%，故A、B、C錯誤，D正確。］
3.A　［設輕繩與豎直方向的夾角為θ，根據牛頓第二定律得mgtan θ=mr，r=Htan θ，解得T=2π，故選A。］
4.B　［
鷹在高空中盤旋時，對其受力分析，如圖：
根據翼面的升力和其重力的合力提供向心力，得：
mgtan θ=m，化簡得：R=。故選B。］
5.B　［設軌道平面與水平面的夾角為θ，當內外軌均不受擠壓時，有mgtan θ=m，解得v=，故可知當速度增大時，應增大彎道半徑，A錯誤，B正確；根據前面分析，當速度增大時，應增大θ可避免外軌受損；而當減小內外軌道的高度差時，θ減小，減小內外軌道平面的傾角時，θ也減小，故不能達到避免轉彎時外軌受損效果，C、D錯誤。］
6.A　［汽艇轉彎時儀表盤上顯示速度為36 km/h，即10 m/s，徑向阻力最大為重力的0.2倍，則f=0.2mg，根據圓周運動公式，徑向阻力提供向心力，即f=，解得最小轉彎半徑為R==50 m，故選A。］
7.AC　［脫水過程中，衣物隨洗衣機一起轉動，開始時做離心運動隨后緊貼筒壁，A正確；水滴依附在衣服上的附著力是一定的，當水滴做圓周運動所需的向心力大于該附著力時，水滴被甩掉，B錯誤；由F=mω2R可知，加快脫水筒轉動角速度，水滴做圓周運動所需的向心力將增大，會使更多水滴被甩出去，脫水效果會更好，C正確；由F=mω2R可知，靠近中心的衣物與四周的衣物的角速度相同，靠近中心的衣物做圓周運動的半徑較小，所需的向心力更小，水滴更不容易被甩掉，脫水效果差，D錯誤。］
8.BC　［由受力分析可知汽車在B點時有mg-mg=，解得汽車的速率v=，A錯誤，B正確；汽車在A點時，有N-mg=，解得N=，由牛頓第三定律可知，汽車通過凹形路面最低點A時，對路面的壓力大小為，C正確，D錯誤。］
9.D　［火車的重力和軌道對火車的支持力的合力恰好提供需要的向心力時，有mgtan θ=m，解得此時火車的速度正好是v0=，當火車轉彎的速度大于，需要的向心力增大，而重力與支持力的合力不變，所以合力小于需要的向心力，外軌就要對火車產生一個向里的力，所以此時外軌對外側車輪輪緣有擠壓，選項A錯誤；當內外軌沒有擠壓力時，火車受重力和軌道的支持力，其中N=，當外軌對火車有沿軌道平面向下的作用力時，可以把這個力分解為水平和豎直向下兩個分力，相當于重力變大，所以支持力變大，即大于，選項D正確，B、C錯誤。］
10.D　［因為兩座椅A、B均繞著圓盤軸做圓周運動，故角速度ωA=ωB，假設圓盤轉動的角速度很大，則A、B均會被甩起來，由于繩長相等，可知A做圓周運動的半徑小于B的半徑，由v=ωr可知A的線速度比B的小，故A錯誤；又由a=ωr2知，A的向心加速度一定小于B的向心加速度，故B錯誤；由F向=ma向，可知<，對座椅進行受力分析，如圖所示，拉力和重力的合力提供A、B做圓周運動的向心力，則有F向=mgtan θ，可知懸掛A的纜繩與豎直方向的夾角比B小，故C錯誤；由T=，結合牛頓第三定律可知懸掛A的纜繩所受的拉力比懸掛B的小，故D正確。
］
11.(1)20 m/s　(2)30 m/s　(3)20 m/s
解析　(1)若過彎道不發生側滑，則路面對汽車的最大靜摩擦力提供向心力，根據題意有mg=m
解得v1=20 m/s
(2)若過彎道不產生側向摩擦力，則支持力沿水平方向的分力提供向心力
水平方向：Nsin 37°=m
豎直方向：Ncos 37°=mg
聯立解得v2=30 m/s
(3)要求汽車在最高點不飛離路面，則速度最大時應是重力恰好提供向心力，即mg=m
解得v3=20 m/s。
12.BD　［設細線與豎直方向的夾角為θ，細線的拉力大小為T，細線的長度為L，小球做勻速圓周運動時，由重力和細線的拉力的合力提供向心力，則有T=，向心力F=mgtan θ=mω2Lsin θ，得角速度ω=，使小球在一個更高的水平面上做勻速圓周運動時，θ增大，cos θ減小，則細線拉力T增大，角速度ω增大。對Q，由平衡條件得知，Q受到桌面的靜摩擦力等于細線的拉力，細線拉力T增大，則靜摩擦力變大，故A錯誤，B正確；開始時細線的拉力T1==，增大為60°后的拉力T2==2mg，所以=，故C錯誤；開始時小球的向心力F1=mgtan 30°=mg，θ增大為60°后的向心力F2=mgtan 60°=mg，所以=，故D正確。］4　圓周運動的實例分析
［學習目標］　1.會分析火車轉彎、汽車過拱形橋、旋轉秋千的運動及受力，會尋找實際問題中向心力的來源(重難點)。2.了解離心運動及物體做離心運動的條件，知道離心運動的應用及危害。
一、汽車通過拱形橋
汽車過拱形橋 汽車過凹形路面
受力分析
橋或路面 對汽車的 支持力 　　　　　=m，N=G-m 　　　　　=m，N=G+m
汽車對橋 或路面的 壓力 N'=N=G-mG
處于超重 還是失重 狀態 　　　　 　　　　
討論 v增大，N'　　　　　；當v增大到時，N'=0 v增大， N'　　　　
例1　(2023·四川綿陽市高一期中)某旅游景點新建的凹凸形“如意橋”的簡化圖如圖所示，該橋由一個凸弧和一個凹弧連接而成，凸弧的半徑R1=20 m，最高點為A點；凹弧的半徑R2=50 m，最低點為B點。現有一劇組進行拍攝取景，安排一位駕駛摩托車的特技演員駛過橋面，設特技演員與摩托車總質量為m=150 kg，行駛過程中可將車和演員視為質點，取g=10 m/s2，忽略空氣阻力。試求：
(1)當摩托車以v=10 m/s的速率到達凸弧最高點A時，橋面對車的支持力大小；
(2)當摩托車以v=10 m/s的速率到達凹弧最低點B時，車對橋面的壓力大小。
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二、“旋轉秋千”
“旋轉秋千”的運動可簡化為圓錐擺模型。如圖所示，在一根長為l的細線下端系一質量為m的小球，將小球拉離豎直位置，使懸線與豎直方向成α角，給小球一個初速度，使小球在水平面內做勻速圓周運動，懸線旋轉形成一個圓錐面，這種裝置叫作圓錐擺。
(1)小球做勻速圓周運動的向心力是由什么力提供的？
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(2)“旋轉秋千”細線與中心軸的夾角α與什么因素有關(設小球的質量為m，角速度為ω，線長為l)？
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例2　(多選)(2023·四川綿陽市高一期中)長度L=0.5 m的細線，拴一質量m=2 kg的小球(不計大小)，另一端固定于O點。讓小球在水平面內做勻速圓周運動，這種運動通常稱為圓錐擺運動。如圖所示，擺線與豎直方向的夾角α=37°，重力加速度g=10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，則下列說法正確的是 (　　)
A.細線的拉力大小為16 N
B.小球運動的角速度為5 rad/s
C.小球運動的線速度大小為1.2 m/s
D.小球的向心力大小為15 N
例3　(2023·四川自貢市高一期中)一個內壁光滑的圓錐筒的軸線是豎直的，圓錐固定，有質量相同的兩個小球A和B貼著筒的內壁在水平面內做勻速圓周運動，如圖所示，A的運動半徑較大，則下列說法正確的是 (　　)
A.A球的角速度大于B球的角速度
B.A球對筒壁的壓力大于B球對筒壁的壓力
C.A球運動的周期小于B球運動的周期
D.A球的線速度大于B球的線速度
三、火車轉彎
火車軌道和車輪輪緣以及火車轉彎的示意圖如圖甲、乙所示，
(1)如果鐵路彎道的內、外軌一樣高，火車在轉彎時的向心力由什么力提供？會導致怎樣的后果？
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(2)實際上在鐵路的彎道處外軌略高于內軌，如圖丙所示。試從向心力的來源角度分析為什么要這樣設計？
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1.鐵路彎道的特點
鐵路彎道處，外軌高于內軌，若火車按規定的速度v0行駛，轉彎所需的向心力完全由重力和支持力的合力提供，即mgtan θ=m，如圖所示，則v0=　　　　　，其中R為彎道半徑，θ為軌道平面與水平面間的夾角(θ很小的情況下，tan θ≈sin θ)。
2.若v0為火車不受軌道側壓力的臨界速度。
(1)當v=v0時，輪緣　　　　　側壓力。
(2)當v>v0時，輪緣受到　　　　　　　的擠壓力，　　　　　易損壞。
(3)當v1.汽車在水平彎道上轉彎時，由什么力提供向心力？在保證安全行駛的情況下，最大速度是多少？
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2.高速公路轉彎處和場地自行車比賽的賽道，路面往往有一定的傾斜度。說說這樣設計的原因。
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例4　如圖所示，在修筑鐵路時，彎道處的外軌會略高于內軌。當火車以規定的行駛速度轉彎時，內、外軌均不會受到輪緣的擠壓，設此時火車的速度大小為v，重力加速度為g，兩軌所在平面的傾角為θ，則下列說法不正確的是 (　　)
A.該彎道的半徑r=
B.當火車質量改變時，規定的行駛速度大小不變
C.當火車速率大于v時，內軌將受到輪緣的擠壓
D.當火車以規定的行駛速度轉彎時，向心加速度大小為an=gtan θ
四、離心運動
1.定義：做圓周運動的物體沿圓周運動的　　　　　方向飛出或　　　　　圓心而去的運動。
2.物體做離心運動的原因
合外力提供的向心力　　　　　　　或　　　　　　　。
3.離心運動、近心運動的判斷
物體做圓周運動時出現離心運動還是近心運動，由實際提供的合力F合和所需向心力(m或mω2r)的大小關系決定(如圖所示)。
(1)當F合=0時，物體沿　　　　　方向做　　　　　　　　　；
(2)當0(3)當F合=mω2r時，“提供”等于“需要”，物體做　　　　　　　；
(4)當F合>mω2r時，“提供”超過“需要”，物體做　　　　　。
4.離心運動的應用和防止
(1)應用：離心干燥器；洗衣機的　　　　　；離心制管技術；分離血漿和紅細胞的離心機。
(2)防止：轉動的砂輪、飛輪的轉速不能過高；在公路彎道，車輛不允許超過　　　　　。
例5　(2022·宜賓市高一期末)在水平公路上行駛的汽車，當汽車以一定速度運動時，車輪與路面間的最大靜摩擦力恰好等于汽車轉彎所需要的向心力，汽車沿如圖所示的圓形路徑(虛線)運動，當汽車行駛速度突然增大，則汽車的運動路徑可能是 (　　)
A.Ⅰ B.Ⅱ C.Ⅲ D.Ⅳ
答案精析
一、
G-N　N-G　失重　超重　減小　增大
例1　(1)750 N　(2)1 800 N
解析　(1)摩托車通過凸弧最高點A時，由牛頓第二定律有mg-N1=m，解得N1=mg-m=150×10 N-150× N=750 N
(2)摩托車通過凹弧最低點B時，由牛頓第二定律有N2-mg=m，解得N2=mg+m=150×10 N+150× N=1 800 N
由牛頓第三定律可知，車對橋面的壓力大小等于橋面對車的支持力大小，為1 800 N。
二、
(1)細線的拉力和重力的合力提供小球做勻速圓周運動的向心力。
(2)如圖所示，設勻速圓周運動的半徑為r
F合=mgtan α，r=l·sin α
由牛頓第二定律得mgtan α=mω2·l·sin α
則cos α=
由此可以看出，細線與中心軸的夾角與“旋轉秋千”的角速度和線長有關，而與小球的質量無關。
例2　BD　［細線的拉力大小為F==25 N，A錯誤；根據牛頓第二定律得mgtan 37°=mω2r，又r=Lsin 37°，得ω=5 rad/s，B正確；小球運動的線速度大小為v=ωr=1.5 m/s，C錯誤；向心力大小為Fn=mgtan 37°=15 N，D正確。］
例3　D　［以小球為研究對象，對小球受力分析，由牛頓第二定律有mgtan θ=mrω2，解得ω=，因A的半徑較大，則A的角速度較小，根據周期T=，可知A的周期較大，故A、C錯誤；小球受到的支持力N=，由于兩球的質量m與角度θ相同，可知筒壁對A、B兩球的支持力相等，由牛頓第三定律可知，兩球對筒壁的壓力相等，故B錯誤；根據牛頓第二定律可得mgtan θ=m，解得v=，因A的半徑較大，則A球的線速度大于B球的線速度，故D正確。］
三、
(1)如果鐵路彎道的內、外軌一樣高，火車在豎直方向所受重力與支持力平衡，其向心力由外側車輪的輪緣擠壓外軌，使外軌發生彈性形變，對輪緣產生的彈力來提供；由于火車的質量太大，輪緣與外軌間的相互作用力太大，會使軌道和車輪極易受損，還可能使火車側翻。
(2)如果彎道處外軌略高于內軌，火車在轉彎時鐵軌對火車的支持力N的方向不再是豎直的，而是斜向彎道的內側，它與重力G的合力指向圓心，為火車轉彎提供一部分向心力，從而減輕輪緣與外軌的擠壓。在修筑鐵路時，要根據彎道的半徑和設計的行駛速度，確定內外軌的高度差，使火車轉彎時所需的向心力幾乎完全由重力G和支持力N的合力來提供。
梳理與總結
1.
2.(1)不受　(2)外軌向內　外軌　(3)內軌向外　內軌
討論交流
1.汽車在水平彎道轉彎時，由靜摩擦力提供向心力。由μmg=m得vm=。
2.路面有一定的傾斜度，可以由重力和支持的合力提供部分向心力，減小車輛與路面間的摩擦力，避免轉彎速度較快時發生側滑。
例4　C　［依題意，當內、外軌均不會受到輪緣的擠壓時，由重力和支持力的合力提供向心力，
有mgtan θ=man=m
解得火車的向心加速度大小及該彎道的半徑為
an=gtan θ，r=
即v=
顯然規定的行駛速度與火車質量無關，故A、B、D正確；當火車速率大于v時，重力與支持力的合力不足以提供火車所需向心力，則外軌將受到輪緣的擠壓，故C錯誤。］
四、
1.切線　遠離
2.消失　不足
3.(1)切線　勻速直線運動　(2)離心運動
(3)勻速圓周運動　(4)近心運動
4.(1)脫水筒　(2)限定的值
例5　B　［當汽車行駛速度突然增大時，最大靜摩擦力不足以提供其需要的向心力，則汽車會做離心運動，即汽車的運動路徑可能沿著軌跡Ⅱ，故選B。］(共63張PPT)
DIERZHANG
第二章
4　圓周運動的實例分析
1.會分析火車轉彎、汽車過拱形橋、旋轉秋千的運動及受力，會尋找實際問題中向心力的來源(重難點)。
2.了解離心運動及物體做離心運動的條件，知道離心運動的應用及危害。
學習目標
一、汽車通過拱形橋
二、“旋轉秋千”
三、火車轉彎
課時對點練
四、離心運動
內容索引
汽車通過拱形橋
一
汽車過拱形橋 汽車過凹形路面
受力分析
橋或路面對汽車的支持力 =m，N=G-m =m，N=G+m
汽車對橋或路面的壓力 N'=N=G-mG
G-N
N-G
汽車過拱形橋 汽車過凹形路面
處于超重 還是失重 狀態 ______ ______
討論 v增大，N' ；當v增大到時，N'=0 v增大，N'_____
失重
超重
減小
增大
　(2023·四川綿陽市高一期中)某旅游景點新建的凹凸形“如意橋”的簡化圖如圖所示，該橋由一個凸弧和一個凹弧連接而成，凸弧的半徑R1=20 m，最高點為A點；凹弧的半徑R2=50 m，最低點為B點。現有一劇組進行拍攝取景，安排一位駕駛摩托車的特技演員駛過橋面，設特技演員與摩托車總質量為m=150 kg，行駛過程中可將車和演員視為質點，取g=10 m/s2，忽略空氣阻力。試求：
例1
(1)當摩托車以v=10 m/s的速率到達凸弧最高點A時，橋面對車的支持力大小；
答案　750 N
摩托車通過凸弧最高點A時，由牛頓第二定律有mg-N1=m，解得N1=mg-m=150×10 N-150× N=750 N
(2)當摩托車以v=10 m/s的速率到達凹弧最低點B時，車對橋面的壓力大小。
答案　1 800 N
摩托車通過凹弧最低點B時，由牛頓第二定律有N2-mg=m，解得N2=mg+m=150×10 N+150× N=1 800 N
由牛頓第三定律可知，車對橋面的壓力大小等于橋面對車的支持力大小，為1 800 N。
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“旋轉秋千”
二
“旋轉秋千”的運動可簡化為圓錐擺模型。如圖所示，在一根長為l的細線下端系一質量為m的小球，將小球拉離豎直位置，使懸線與豎直方向成α角，給小球一個初速度，使小球在水平面內做勻速圓周運動，懸線旋轉形成一個圓錐面，這種裝置叫作圓錐擺。
(1)小球做勻速圓周運動的向心力是由什么力提供的？
答案　細線的拉力和重力的合力提供小球做勻速圓周運動的向心力。
(2)“旋轉秋千”細線與中心軸的夾角α與什么因素有關(設小球的質量為m，角速度為ω，線長為l)？
答案　如圖所示，設勻速圓周運動的半徑為r
F合=mgtan α，r=l·sin α
由牛頓第二定律得mgtan α=mω2·l·sin α
則cos α=
由此可以看出，細線與中心軸的夾角與“旋轉秋千”的角速度和線長有關，而與小球的質量無關。
　(多選)(2023·四川綿陽市高一期中)長度L=0.5 m的細線，拴一質量m=2 kg的小球(不計大小)，另一端固定于O點。讓小球在水平面內做勻速圓周運動，這種運動通常稱為圓錐擺運動。如圖所示，擺線與豎直方向的夾角α=
37°，重力加速度g=10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，則下列說法正確的是
A.細線的拉力大小為16 N
B.小球運動的角速度為5 rad/s
C.小球運動的線速度大小為1.2 m/s
D.小球的向心力大小為15 N
例2
√
√
細線的拉力大小為F==25 N，A錯誤；
根據牛頓第二定律得mgtan 37°=mω2r，又r=Lsin 37°，得ω=5 rad/s，B正確；
小球運動的線速度大小為v=ωr=1.5 m/s，C錯誤；
向心力大小為Fn=mgtan 37°=15 N，D正確。
　(2023·四川自貢市高一期中)一個內壁光滑的圓錐筒的軸線是豎直的，圓錐固定，有質量相同的兩個小球A和B貼著筒的內壁在水平面內做勻速圓周運動，如圖所示，A的運動半徑較大，則下列說法正確的是
A.A球的角速度大于B球的角速度
B.A球對筒壁的壓力大于B球對筒壁的壓力
C.A球運動的周期小于B球運動的周期
D.A球的線速度大于B球的線速度
例3
√
以小球為研究對象，對小球受力分析，由牛頓第二定律
有mgtan θ=mrω2，解得ω=，因A的半徑較大，則A
的角速度較小，根據周期T=，可知A的周期較大，故A、C錯誤；
小球受到的支持力N=，由于兩球的質量m與角度θ相同，可知筒壁對A、B兩球的支持力相等，由牛頓第三定律可知，兩球對筒壁的壓力相等，故B錯誤；
根據牛頓第二定律可得mgtan θ=m，解得v=，因A的半徑較大，則A球的線速度大于B球的線速度，故D正確。
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火車轉彎
三
火車軌道和車輪輪緣以及火車轉彎的示意圖如圖甲、乙所示，
(1)如果鐵路彎道的內、外軌一樣高，火車在轉彎時的向心力由什么力提供？會導致怎樣的后果？
答案　如果鐵路彎道的內、外軌一樣高，火車在豎直方向所受重力與支持力平衡，其向心力由外側車輪的輪緣擠壓外軌，使外軌發生彈性形變，對輪緣產生的彈力來提供；由于火車的質量太大，輪緣與外軌間的相互作用力太大，會使軌道和車輪極易受損，還可能使火車側翻。
(2)實際上在鐵路的彎道處外軌略高于內軌，如圖丙所示。試從向心力的來源角度分析為什么要這樣設計？
答案　如果彎道處外軌略高于內軌，火車在轉彎時鐵軌對火車的支持力N的方向不再是豎直的，而是斜向彎道的內側，它與重力G的合力指向圓心，為火車轉彎提供一部分向心力，從而減輕輪緣與外軌的擠壓。在修筑鐵路時，要根據彎道的半徑和設計的行駛速度，確定內外軌的高度差，使火車轉彎時所需的向心力幾乎完全由重力G和支持力N的合力來提供。
1.鐵路彎道的特點
鐵路彎道處，外軌高于內軌，若火車按規定的速度v0行駛，轉彎所需的向心力完全由重力和支持力的合力提供，即mgtan θ=m，如圖所示，則v0=___________，其中R為彎道半徑，θ為軌道平面與水平面間的夾角(θ很小的情況下，tan θ≈sin θ)。
梳理與總結
2.若v0為火車不受軌道側壓力的臨界速度。
(1)當v=v0時，輪緣 側壓力。
(2)當v>v0時，輪緣受到 的擠壓力， 易損壞。
(3)當v不受
外軌向內
外軌
內軌向外
內軌
1.汽車在水平彎道上轉彎時，由什么力提供向心力？在保證安全行駛的情況下，最大速度是多少？
討論交流
答案　汽車在水平彎道轉彎時，由靜摩擦力提供向心力。由μmg=m得vm=。
2.高速公路轉彎處和場地自行車比賽的賽道，路面往往有一定的傾斜度。說說這樣設計的原因。
答案　路面有一定的傾斜度，可以由重力和支持的合力提供部分向心力，減小車輛與路面間的摩擦力，避免轉彎速度較快時發生側滑。
　如圖所示，在修筑鐵路時，彎道處的外軌會略高于內軌。當火車以規定的行駛速度轉彎時，內、外軌均不會受到輪緣的擠壓，設此時火車的速度大小為v，重力加速度為g，兩軌所在平面的傾角為θ，則下列說法不正確的是
A.該彎道的半徑r=
B.當火車質量改變時，規定的行駛速度大小不變
C.當火車速率大于v時，內軌將受到輪緣的擠壓
D.當火車以規定的行駛速度轉彎時，向心加速度大小為an=gtan θ
例4
√
依題意，當內、外軌均不會受到輪緣的擠壓時，由重力和支持力的合力提供向心力，有mgtan θ=man=m
解得火車的向心加速度大小及該彎道的半徑為
an=gtan θ，r=
即v=
顯然規定的行駛速度與火車質量無關，故A、B、D正確；
當火車速率大于v時，重力與支持力的合力不足以提供火車所需向心力，則外軌將受到輪緣的擠壓，故C錯誤。
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離心運動
四
1.定義：做圓周運動的物體沿圓周運動的 方向飛出或 圓心而去的運動。
2.物體做離心運動的原因
合外力提供的向心力 或 。
切線
遠離
消失
不足
3.離心運動、近心運動的判斷
物體做圓周運動時出現離心運動還是近心運動，由實際提供的合力F合和所需向心力(m或mω2r)的大小關系決定(如圖所示)。
(1)當F合=0時，物體沿 方向做 ；
(2)當0(3)當F合=mω2r時，“提供”等于“需要”，物體做 ；
(4)當F合>mω2r時，“提供”超過“需要”，物體做 。
切線
勻速直線運動
離心運動
勻速圓周運動
近心運動
4.離心運動的應用和防止
(1)應用：離心干燥器；洗衣機的 ；離心制管技術；分離血漿和紅細胞的離心機。
(2)防止：轉動的砂輪、飛輪的轉速不能過高；在公路彎道，車輛不允許超過 。
脫水筒
限定的值
　 (2022·宜賓市高一期末)在水平公路上行駛的汽車，當汽車以一定速度運動時，車輪與路面間的最大靜摩擦力恰好等于汽車轉彎所需要的向心力，汽車沿如圖所示的圓形路徑(虛線)運動，當汽車行駛速度突然增大，則汽車的運動路徑可能是
A.Ⅰ B.Ⅱ C.Ⅲ D.Ⅳ
例5
√
當汽車行駛速度突然增大時，最大靜摩擦力不足以提供其需要的向心力，則汽車會做離心運動，即汽車的運動路徑可能沿著軌跡Ⅱ，故選B。
返回
課時對點練
五
對一對
答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 AD D A B B A AC BC
題號 9 10 12
答案 D D BD
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答案
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12
11.
(1)20 m/s　(2)30 m/s　(3)20 m/s
考點一　汽車通過拱形橋問題
1.(多選)(2023·成都市高一期中)公路在通過小型水庫的泄洪閘的下游時，常常要修建凹形橋，也叫“過水路面”。如圖所示，汽車通過凹形橋的最低點時
A.汽車對凹形橋的壓力大于汽車的重力
B.汽車對凹形橋的壓力小于汽車的重力
C.汽車的向心加速度方向豎直向下
D.汽車的速度越大，對凹形橋面的壓力越大
1
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12
基礎對點練
√
√
答案
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汽車通過凹形橋的最低點時，汽車的向心加速度方向豎直向上，根據牛頓第二定律可得N-mg=m，解得N=mg+m，根據牛頓第三定律可知，汽車對凹形橋的壓力大于汽車的重力，汽車的速度越大，對凹形橋面的壓力越大，故選A、D。
答案
2.(2023·遂寧市第二中學高一期中)如圖，一汽車過拱形橋，汽車質量為2×103 kg，拱形橋的半徑為100 m，當汽車行駛到拱形橋的最高點時速度為10 m/s，汽車對橋的壓力大小占自身重力的百分比為(重力加速度g取10 m/s2)
A.10% B.110% C.100% D.90%
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12
在最高點對汽車受力分析有mg-N=m，解得N=18 000 N，汽車對橋的壓力大小占自身重力的百分比為×100%=90%，故A、B、C錯誤，D正確。
√
答案
考點二　圓錐擺問題
3.(2023·四川自貢市高一期末)如圖所示，不可伸長的輕繩一端固定在懸點A處，另一端與一小球相連。現使小球在水平面內繞O點做勻速圓周運動。測得A至小球球心的距離為L，A、O之間的距離為H。已知當地重力加速度為g，則小球的運動周期T為
A.2π B.2π
C.2π D.2π
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√
答案
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12
設輕繩與豎直方向的夾角為θ，根據牛頓第二定律得mgtan θ=mr，r=Htan θ，解得T=2π，故選A。
答案
4.(2024·內江市高一期中)鷹在高空中盤旋時，垂直于翼面的升力和其重力的合力提供向心力，如圖所示。當翼面與水平面成θ角并以速率v勻速水平盤旋時的半徑為(重力加速度為g)
A.R= B.R=
C.R= D.R=
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√
答案
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12
鷹在高空中盤旋時，對其受力分析，如圖：
根據翼面的升力和其重力的合力提供向心力，得：
mgtan θ=m，化簡得：R=。故選B。
答案
考點三　交通工具轉彎問題
5.(2023·四川綿陽市高一期中)火車在鐵軌上轉彎可以看作是做勻速圓周運動，火車速度提高易使外軌受損。為解決火車高速轉彎時使外軌受損這一難題，你認為理論上可行的措施是
A.僅減小彎道半徑
B.僅增大彎道半徑
C.僅適當減小內外軌道的高度差
D.僅適當減小內外軌道平面的傾角
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√
答案
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12
設軌道平面與水平面的夾角為θ，當內外軌均不受擠壓時，有mgtan θ
=m，解得v=，故可知當速度增大時，應增大彎道半徑，A錯誤，B正確；
根據前面分析，當速度增大時，應增大θ可避免外軌受損；而當減小內外軌道的高度差時，θ減小，減小內外軌道平面的傾角時，θ也減小，故不能達到避免轉彎時外軌受損效果，C、D錯誤。
答案
6.如圖所示，一汽艇轉彎時儀表盤上顯示速度為36 km/h。已知水面能對汽艇提供的徑向阻力最大為重力的0.2倍，重力加速度g取10 m/s2，若要使汽艇安全轉彎，則最小轉彎半徑為
A.50 m B.100 m
C.150 m D.200 m
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√
答案
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12
汽艇轉彎時儀表盤上顯示速度為36 km/h，即10 m/s，徑向阻力最大為重力的0.2倍，則f=0.2mg，根據圓周運動公式，徑向阻力提供向心力，即f=，解得最小轉彎半徑為R==50 m，故選A。
答案
考點四　離心運動
7.(多選)(2023·內江市高一月考)如圖所示，洗衣機的脫水筒采用帶動衣物旋轉的方式脫水，下列說法中正確的是
A.脫水過程中，衣物是緊貼筒壁的
B.水會從桶中甩出是因為水滴受到的向心力很大
C.加快脫水筒轉動角速度，脫水效果會更好
D.靠近中心的衣物脫水效果比四周的衣物脫水效果好
1
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√
√
答案
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12
脫水過程中，衣物隨洗衣機一起轉動，開始時做離心運
動隨后緊貼筒壁，A正確；
水滴依附在衣服上的附著力是一定的，當水滴做圓周運
動所需的向心力大于該附著力時，水滴被甩掉，B錯誤；
由F=mω2R可知，加快脫水筒轉動角速度，水滴做圓周運動所需的向心力將增大，會使更多水滴被甩出去，脫水效果會更好，C正確；
由F=mω2R可知，靠近中心的衣物與四周的衣物的角速度相同，靠近中心的衣物做圓周運動的半徑較小，所需的向心力更小，水滴更不容易被甩掉，脫水效果差，D錯誤。
答案
8.(多選)(2023·江西高一期中)周日，一同學和父母一起自駕外出游玩，途中某段路面由兩個半徑相同的圓弧相切組成，該同學乘坐的汽車(視為質點)以不變的速率通過這段路面，在通過凸形路面最高點B時，汽車對路面的壓力大小為其所受重力的。已知汽車及車上人的總質量為m，圓弧路面的半徑為R，重力加速度大小為g，下列說法正確的是
A.汽車的速率為
B.汽車的速率為
C.汽車通過凹形路面最低點A時，對路面的壓力大小為
D.汽車通過凹形路面最低點A時，對路面的壓力大小為
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能力綜合練
√
√
答案
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12
由受力分析可知汽車在B點時有mg-mg=，
解得汽車的速率v=，A錯誤，B正確；
汽車在A點時，有N-mg=，解得N=，由牛頓第三定律可知，汽車通過凹形路面最低點A時，對路面的壓力大小為，C正確，D錯誤。
答案
9.(2023·山東青島市高一期中)鐵路在彎道處的內外軌道高度是不同的，已知內外軌道平面與水平面的夾角為θ，如圖所示，彎道處的圓弧半徑為R，若質量為m的火車轉彎時速度大于，g為重力加速度，則
A.這時內軌對內側車輪輪緣有擠壓
B.這時鐵軌對火車的支持力等于
C.這時鐵軌對火車的支持力小于
D.這時鐵軌對火車的支持力大于
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√
答案
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12
火車的重力和軌道對火車的支持力的合力恰好提
供需要的向心力時，有mgtan θ=m，解得此時
火車的速度正好是v0=，當火車轉彎的速度大于，需要的向心力增大，而重力與支持力的合力不變，所以合力小于需要的向心力，外軌就要對火車產生一個向里的力，所以此時外軌對外側車輪輪緣有擠壓，選項A錯誤；
答案
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11
12
當內外軌沒有擠壓力時，火車受重力和軌道的支
持力，其中N=，當外軌對火車有沿軌道平面
向下的作用力時，可以把這個力分解為水平和豎直向下兩個分力，相當于重力變大，所以支持力變大，即大于，選項D正確，B、C錯誤。
答案
10.(2023·四川成都市高一期末)如圖所示，“旋轉秋千”中的兩個座椅A、B質量相等，通過相同長度的纜繩懸掛在旋轉圓盤上，不考慮空氣阻力的影響，當旋轉圓盤繞豎直的中心軸勻速轉動時，下列說法正確的是
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12
A.A的線速度比B的大
B.A與B的向心加速度大小相等
C.懸掛A、B的纜繩與豎直方向的夾角相等
D.懸掛A的纜繩所受的拉力比懸掛B的小
√
答案
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12
因為兩座椅A、B均繞著圓盤軸做圓周運動，故角速度ωA=ωB，
假設圓盤轉動的角速度很大，則A、B均會被甩起來，由于繩
長相等，可知A做圓周運動的半徑小于B的半徑，由v=ωr可知
A的線速度比B的小，故A錯誤；
又由a=ωr2知，A的向心加速度一定小于B的向心加速度，故B錯誤；
由F向=ma向，可知<，對座椅進行受力分析，如圖所示，拉力和重力的合力提供A、B做圓周運動的向心力，則有F向=mgtan θ，可知懸掛A的纜繩與豎直方向的夾角比B小，故C錯誤；
答案
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12
由T=，結合牛頓第三定律可知懸掛A的纜繩所受的拉力比懸掛B的小，故D正確。
答案
11.(2023·成都市高一期中)在用高級瀝青鋪設的高速公路上，為了行駛安全，汽車的實際速度總是會根據路況來適當調整。已知汽車在這種水平路面上行駛時，它的輪胎與地面的最大靜摩擦力等于車重的，g取10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，試分析：
(1)若某段水平彎道的半徑為120 m，且彎道路面是水平的，求汽車過彎不發生側滑的最大速率；
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12
答案　20 m/s
答案
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12
若過彎道不發生側滑，則路面對汽車的最大靜摩擦力提供向心力，根據題意有mg=m
解得v1=20 m/s
答案
(2)為減少事故發生，某水平彎道的路面設計為傾斜，其彎道半徑為120 m，彎道路面的傾斜角度為37°，要使汽車通過此水平傾斜彎道時不產生側向摩擦力，求汽車通過該彎道時的規定速度大小；
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答案　30 m/s
答案
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12
若過彎道不產生側向摩擦力，則支持力沿水平方向的分力提供向心力
水平方向：Nsin 37°=m
豎直方向：Ncos 37°=mg
聯立解得v2=30 m/s
答案
(3)現有一段在豎直面內的圓拱形路面，其半徑為120 m，要使汽車在通過最高點時不飛離路面，求汽車通過圓拱形路面最高點時的最大速率。
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12
答案　20 m/s
要求汽車在最高點不飛離路面，則速度最大時應是重力恰好提供向心力，即mg=m
解得v3=20 m/s。
答案
12.(多選)(2023·四川遂寧市高一期中)如圖所示，金屬塊Q放在帶光滑小孔的水平桌面上，一根穿過小孔的細線，上端固定在Q上，下端拴一個小球。小球在某一水平面內做勻速圓周運動(圓錐擺)，細線與豎直方向成30°角(圖中P位置)。現使小球在更高的水平面上做勻速圓周運動。細線與豎直方向成60°角(圖中P'位置)。兩種情況下，金屬塊Q都靜止在桌面上的同一點，則后一種情況與原來相比較，下列判斷正確的是
A.Q受到桌面的靜摩擦力大小不變
B.小球運動的角速度變大
C.細線所受的拉力之比為2∶1
D.小球向心力大小之比為3∶1
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12
尖子生選練
√
√
答案
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12
設細線與豎直方向的夾角為θ，細線的拉力大小為T，
細線的長度為L，小球做勻速圓周運動時，由重力和
細線的拉力的合力提供向心力，則有T=，向心力
F=mgtan θ=mω2Lsin θ，得角速度ω=，使小球在一個更高的水平面上做勻速圓周運動時，θ增大，cos θ減小，則細線拉力T增大，角速度ω增大。對Q，由平衡條件得知，Q受到桌面的靜摩擦力等于細線的拉力，細線拉力T增大，則靜摩擦力變大，故A錯誤，B正確；
答案
1
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3
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9
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11
12
開始時細線的拉力T1==，增大為60°
后的拉力T2==2mg，所以=，故C錯誤；
開始時小球的向心力F1=mgtan 30°=mg，θ增大為60°后的向心力F2=mgtan 60°=mg，所以=，故D正確。
返回
答案

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