資源簡介

7.1.2　全概率公式
學習任務 1．了解利用概率的加法公式和乘法公式推導全概率公式．(數學抽象) 2．理解全概率公式，會用全概率公式計算概率．(數學運算) 3．了解貝葉斯公式，并會簡單應用．(數學抽象、數學運算)
學校的“我為祖國獻計獻策”演講比賽共有20名同學參加，學校決定讓參賽選手通過抽簽決定出場順序．不過，張明對抽簽的公平性提出了質疑，他的理由是，如果第一個人抽的出場順序是1號，那么其他人就抽不到1號了，所以每個人抽到1號的概率不一樣．張明的想法正確嗎？特別地，第一個抽簽的人抽到1號的概率與第二個抽簽的人抽到1號的概率是否相等？為什么？
知識點1　全概率公式
一般地，設A1，A2，…，An是一組________的事件＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，3，…，n，則對任意的事件B Ω，有P(B)＝________．
(1)全概率公式體現了轉化與化歸的數學思想，即采用化整為零的方式，把各塊的概率分別求出，再相加求和．
(2)全概率公式實質上是條件概率性質的推廣形式：P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＋…＋P(AnB)＝P(A1)·P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋…＋P(An)P(B|An)．
*知識點2　貝葉斯公式
設A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，則對任意的事件B Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)＝＝________，i＝1，2，…，n．
1．已知P(BA)＝0.4，P(B)＝0.2，則P(B)的值為________．
2．已知P(B1)＝0.4，P(B2)＝0.4，P(B3)＝0.2，且B1，B2，B3互斥，P(A|B1)＝0.9，P(A|B2)＝0.8，P(A|B3)＝0.7，則P(A)＝________．
3．設某公路上經過的貨車與客車的數量之比為2∶1，貨車中途停車修理的概率為0.02，客車為0.01，今有一輛汽車中途停車修理，則該汽車是貨車的概率為________．
類型1　兩個事件的全概率問題
【例1】　(源自人教B版教材)某次社會實踐活動中，甲、乙兩個班的同學共同在一個社區進行民意調查．參加活動的甲、乙兩班的人數之比為5∶3，其中甲班中女生占，乙班中女生占．求該社區居民遇到一位進行民意調查的同學恰好是女生的概率．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　兩個事件的全概率問題求解策略
(1)拆分：將樣本空間拆分成對立的兩部分如A1，A2(或A與)；
(2)計算：利用乘法公式計算每一部分的概率；
(3)求和：所求事件的概率P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)．
[跟進訓練]
1．(源自北師大版教材)采購員要購買某種電器元件一包(10個)．他的采購方法是：從一包中隨機抽查3個，如這3個元件都是好的，他才買下這一包．假定含有4個次品的包數占30%，而其余包中各含1個次品，求采購員隨機挑選一包拒絕購買的概率．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型2　多個事件的全概率問題
【例2】　甲、乙、丙三人同時對飛機進行射擊，三人擊中的概率分別為0.4，0.5，0.7．飛機被一人擊中且擊落的概率為0.2，被兩人擊中且擊落的概率為0.6，若三人都擊中，飛機必定被擊落，求飛機被擊落的概率．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　“化整為零”求多事件的全概率問題
(2)已知事件B的發生有各種可能的情形Ai(i＝1，2，…，n)，事件B發生的可能性，就是各種可能情形Ai發生的可能性與已知在Ai發生的條件下事件B發生的可能性的乘積之和．
[跟進訓練]
2．如圖所示，有三個箱子，分別編號為1，2，3，其中1號箱裝有1個紅球和4個白球，2號箱裝有2個紅球和3個白球，3號箱裝有3個紅球，這些球除顏色外完全相同．某人先從三箱中任取一箱，再從中任意摸出一球，發現是紅球，求該球是取自1號箱的概率以及該球取自幾號箱的可能性最大．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型3　全概率公式與貝葉斯公式的綜合應用
【例3】　某電子設備制造廠所用的元件是由三家元件制造廠提供的．根據以往的記錄有以下的數據：
元件制造廠 次品率 提供元件的份額
Ⅰ 0.02 0.15
Ⅱ 0.01 0.80
Ⅲ 0.03 0.05
設這三家工廠的產品在倉庫中是均勻混合的，且無區別的標志．
(1)在倉庫中隨機地取一只元件，求它是次品的概率；
(2)在倉庫中隨機地取一只元件，若已知取到的是次品，求此次品由三家工廠生產的概率分別是多少．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　若隨機試驗可以看成分兩個階段進行，且第一階段的各試驗具體結果未知，那么：(1)如果要求的是第二階段某一個結果發生的概率，則用全概率公式．
(2)如果第二個階段的某一個結果是已知的，要求的是此結果為第一階段某一個結果所引起的概率，一般用貝葉斯公式，類似于求條件概率．熟記這個特征，在遇到相關的題目時，可以準確地選擇方法進行計算，保證解題的正確高效．
[跟進訓練]
3．同一種產品由甲、乙、丙三個廠供應．由長期的經驗知，三家的正品率分別為0.95，0.90，0.80，三家產品數所占比例為2∶3∶5，現有三家的產品混合在一起．
(1)從中任取一件，求此產品為正品的概率；
(2)現取到一件產品為正品，問它是由甲、乙、丙三個廠中哪個廠生產的可能性最大？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．有朋自遠方來，乘火車、船、汽車、飛機來的概率分別為0.3，0.2，0.1，0.4，遲到的概率分別為0.25，0.3，0.1，0．則他遲到的概率為(　　)
A．0.65　　B．0.075　　C．0.145　　D．0
2．兩臺機床加工同樣的零件，第一臺的廢品率為0.04，第二臺的廢品率為0.07，加工出來的零件混放，并設第一臺加工的零件是第二臺加工零件的2倍，現任取一零件，則它是合格品的概率為(　　)
A．0.21 B．0.06
C．0.94 D．0.95
3．(多選)若0A．P(A|B)＝
B．P(AB)＝P(A)P(B|A)
C．P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)
D．P(A|B)＝
4．甲袋中有3個白球和2個黑球，乙袋中有4個白球和4個黑球，今從甲袋中任取2球放入乙袋，再從乙袋中任取一球，則該球是白球的概率為________．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．你能寫出全概率公式嗎？
2．什么情況下使用全概率公式？
3．你能寫出貝葉斯公式嗎？
7.1.2　全概率公式
[必備知識·情境導學探新知]
知識點1　兩兩互斥　
知識點2　
課前自主體驗
1．0.6　[由P(BA)＝P(A)P(B|A)，P(B)＝P()·P(B|)，
得P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝P(BA)＋P(B)＝0.4＋0.2＝0.6．]
2．0.82　[P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)·P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＝0.4×0.9＋0.4×0.8＋0.2×0.7＝0.82．]
3．0.8　[設公路上經過的車為貨車是事件A，經過的車是客車為事件B，車需要修理為事件C，且P(A)＝，P(B)＝，P(C|A)＝0.02，P(C|B)＝0.01，
所以P(A|C)＝＝＝0.8．]
[關鍵能力·合作探究釋疑難]
例1　解：如果用A與分別表示居民所遇到的一位同學是甲班的與乙班的，B表示是女生．則根據已知，有P(A)＝，P()＝，
而且P(B|A)＝，P(B|)＝．
題目所要求的是P(B)．
由全概率公式可知P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝××．
跟進訓練
1．解：設事件B1表示“取到的是含有4個次品的包”，事件B2表示“取到的是含有1個次品的包”，事件A表示“采購員拒絕購買”，則P(B1)＝，P(B2)＝．又由古典概型計算概率的公式，可知P(A|B1)＝1－，
P(A|B2)＝1－．
從而由全概率公式，可知
P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＝××＝．
因此，采購員隨機挑選一包拒絕購買的概率為．
例2　解：設事件A表示“飛機被擊落”，事件Bi表示“飛機被i人擊中”(i＝0，1，2，3)，依題意，P(A|B0)＝0，P(A|B1)＝0.2，P(A|B2)＝0.6，P(A|B3)＝1．再設事件Hi表示“飛機被第i人擊中”(i＝1，2，3)．
則P(B1)＝P(H1∪H2∪H3)
＝0.4×0.5×0.3＋0.6×0.5×0.3＋0.6×0.5×0.7＝0.36．
同理P(B2)＝P(H1H2∪H1H3∪H2H3)＝0.41，
P(B3)＝P(H1H2H3)＝0.14，
P(B0)＝P()＝0.09．
由全概率公式，可知
P(A)＝P(B0)P(A|B0)＋P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)
＝0.09×0＋0.36×0.2＋0.41×0.6＋0.14×1
＝0.458．
因此，飛機被擊落的概率為0.458．
跟進訓練
2．解：設事件Bi表示“球取自i號箱”(i＝1，2，3)，事件A表示“取得紅球”．
由全概率公式，可得
P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＝×××．
再由條件概率知，
P(B1|A)＝，
P(B2|A)＝，
P(B3|A)＝．
因此，該球是取自1號箱的概率為，該球取自3號箱的可能性最大．
例3　解：設A表示取到的是一只次品，Bi(i＝1，2，3)表示所取到的產品是由第i家工廠提供的．
本題的概率樹形圖如下：
易知P(B1)＝0.15，P(B2)＝0.80，P(B3)＝0.05，
P(A|B1)＝0.02，P(A|B2)＝0.01，P(A|B3)＝0.03．
(1)由全概率公式得P(A)＝P(A|B1)·P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)P(B3)＝0.0125．
(2)由貝葉斯公式得P(B1|A)＝＝0.24．
同理可得P(B2|A)＝0.64，P(B3|A)＝0.12．
跟進訓練
3．解：設事件A表示取到的產品為正品，B1，B2，B3分別表示產品由甲、乙、丙廠生產．則Ω＝B1∪B2∪B3，且B1，B2，B3兩兩互斥，
由已知P(B1)＝0.2，P(B2)＝0.3，P(B3)＝0.5，
P(A|B1)＝0.95，P(A|B2)＝0.9，P(A|B3)＝0.8．
＝0.2×0.95＋0.3×0.9＋0.5×0.8＝0.86．
(2)由貝葉斯公式得
P(B1|A)＝，
P(B2|A)＝，
P(B3|A)＝．
由以上3個數作比較，可知這件產品由丙廠生產的可能性最大．
[學習效果·課堂評估夯基礎]
1．C　[設A1＝他乘火車來，A2＝他乘船來，A3＝他乘汽車來，A4＝他乘飛機來，B＝他遲到．易知A1，A2，A3，A4兩兩互斥，由全概率公式得P(B)＝
2．D　[令B＝取到的零件為合格品，Ai＝零件為第i臺機床的產品，i＝1，2．由全概率公式得：P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝×0.96＋×0.93＝0.95．故選D．]
3．BCD　[由條件概率的計算公式知A錯誤；由乘法公式知B正確；由全概率公式知C正確；P(B)P(A|B)＝P(AB)，P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)，故D正確．故選BCD．]
4．　[設A＝“從乙袋中取出的是白球”，Bi＝“從甲袋中取出的2球恰有i個白球”，i＝0，1，2．由全概率公式P(A)＝P(B0)P(A|B0)＋P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＝···．]
課堂小結
1．提示：全概率公式
P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋…＋P(Bn)P(A|Bn)．
2．提示：若某一事件的發生可能是由多種情況(原因)引起，那么求此事件的概率，用全概率公式．
3．提示：貝葉斯公式7.2　離散型隨機變量及其分布列
學習任務 1．借助教材實例，了解離散型隨機變量及其分布列．(數學抽象) 2．了解離散型隨機變量的性質、兩點分布的概念．(數學抽象) 3．會求簡單的離散型隨機變量的分布列．(數學建模、數據分析)
在拋擲一枚骰子的試驗中，正面向上的點數可以為“1，2，3，4，5，6”六種情況，每種情況的概率均為．為了用數學語言來清晰描述每個隨機現象的規律，我們可以用“1”表示擲出1點，用“2”表示擲出2點……以此類推．那么所有隨機現象的結果都可以用數字表示嗎？這些數字又能否用一個變量來表示呢？
知識點1　隨機變量
(1)隨機變量的概念
一般地，對于隨機試驗樣本空間Ω中的每個樣本點ω，都有________的實數________與之對應，我們稱X為隨機變量．
(2)隨機變量的特點
①取值依賴于樣本點．
②所有可能取值是明確的．
(3)隨機變量的表示
通常用大寫英文字母表示隨機變量，例如X，Y，Z；用小寫英文字母表示隨機變量的取值，例如x，y，z．
(4)離散型隨機變量
可能取值為________或可以________的隨機變量，稱為離散型隨機變量．
(5)離散型隨機變量的特征
①可用數值表示；
②試驗之前可以判斷其出現的所有值；
③在試驗之前不能確定取何值；
④試驗結果能一一列出．
(1)所謂隨機變量，就是隨機試驗的試驗結果與實數之間的一種對應關系，這種對應關系是人為建立起來，但又是客觀存在的．
(2)隨機試驗的結果可用數量來表示，有些隨機試驗的結果雖然不是數量，但可以將它數量化，如拋一枚硬幣，所有可能的結果是“正面向上”“反面向上”，在數學中可以用“1”代表正面向上，用“0”代表反面向上．
1．隨機變量與函數有類似的地方嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點2　概率分布列
(1)概念
一般地，設離散型隨機變量X的可能取值為x1，x2，…，xn，我們稱X取每一個值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n為X的概率分布列，簡稱分布列．
(2)表示
離散型隨機變量的分布列可以用________或圖形表示．
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
(3)性質
①pi________0，i＝1，2，…，n．
②p1＋p2＋…＋pn＝________．
對分布列的理解應注意的問題
(1)離散型隨機變量的分布列描述了由這個隨機變量所刻畫的隨機現象，與函數的表示法一樣，離散型隨機變量的分布列也可以用表格、等式P(X＝xi)＝pi和圖象表示．
(2)離散型隨機變量的分布列不僅能清楚地反映其所取的一切可能的值，而且也能清楚地看到取每一個值的概率的大小，從而反映了隨機變量在隨機試驗中取值的分布狀況，是進一步研究隨機變量數字特征的基礎．
2．求離散型隨機變量的分布列的步驟是什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點3　兩點分布
對于只有兩個可能結果的隨機試驗，用A表示“成功”，表示“失敗”，定義X＝
如果P(A)＝p，則P()＝1－p，那么X的分布列如表所示．
X 0 1
P 1－p p
我們稱X服從________或0—1分布．
1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)隨機變量的取值可以是有限個，也可以是無限個． (　　)
(2)在拋擲一枚質地均勻的硬幣試驗中，“出現正面的次數”為隨機變量．
(　　)
(3)試驗之前可以判斷離散型隨機變量的所有值． (　　)
(4)兩點分布中只有兩個結果，且兩個結果是對立的． (　　)
2．甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，共下三局．用X表示甲的得分，則{X＝3}表示(　　)
A．甲贏三局
B．甲贏一局
C．甲、乙平局三次
D．甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次
3．下列四個選項：
①某機場候機室中一天的旅客數量X；
②連續投擲一枚均勻硬幣4次，正面向上的次數X；
③某籃球下降過程中離地面的距離X；
④某道路斑馬線一天經過的人數X．
其中不是離散型隨機變量的是(　　)
A．①中的X B．②中的X
C．③中的X D．④中的X
4．若P(X>0)＝0.3，則P(X≤0)＝________．
類型1　隨機變量的概念
【例1】　(1)10件產品中有3件次品，從中任取2件，可作為隨機變量的是(　　)
A．取到產品的件數　　 B．取到正品的概率
C．取到次品的件數 D．取到次品的概率
(2)下列隨機變量中不是離散型隨機變量的是________．(填序號)
①某賓館每天入住的旅客的數量X；
②某水文站觀測到一天中珠江的水位X；
③深圳歡樂谷一天接待游客的數量X；
④虎門大橋一天經過的車輛數量X．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　判斷一個隨機變量X是否為離散型隨機變量的具體方法
(1)明確隨機試驗的所有可能結果．
(2)將隨機試驗的試驗結果數量化．
(3)確定試驗結果所對應的實數是否可按一定次序一一列出，如果能一一列出，則該隨機變量是離散型隨機變量，否則不是．
[跟進訓練]
1．指出下列隨機變量是不是離散型隨機變量，并說明理由．
(1)某座大橋一天經過的車輛數X；
(2)某超市5月份每天的銷售額；
(3)某加工廠加工的一批某種鋼管的外徑與規定的外徑尺寸之差ξ；
(4)某水位監測站所測水位在(0，29]這一范圍內變化，該水位站所測水位ξ．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型2　隨機變量的可能取值及試驗結果
【例2】　寫出下列隨機變量可能取的值，并說明隨機變量所取的值表示的隨機試驗的結果．
(1)一個袋中裝有8個紅球，3個白球，從中任取5個球，其中所含白球的個數為X．
(2)一個袋中有5個同樣大小的黑球，編號為1，2，3，4，5，從中任取3個球，取出的球的最大號碼記為X．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母題探究]
1．(變條件、變設問)在本例(1)條件下，規定每取出一個紅球贏2元，而每取出一個白球輸1元，以ξ表示贏得的錢數，結果如何？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．(變設問)本例(2)中，“最大”改為“最小”，其他條件不變，應如何解答？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　用隨機變量表示隨機試驗的結果的關鍵點和注意點
(1)關鍵點：解決此類問題的關鍵是明確隨機變量的所有可能取值，以及取每一個值對應的意義，即一個隨機變量的取值對應一個或多個隨機試驗的結果．
(2)注意點：解答過程中不要漏掉某些試驗結果．
[跟進訓練]
2．寫出下列各隨機變量可能取的值，并說明隨機變量所取的值表示的隨機試驗的結果．
(1)在2023年北京大學的自主招生中，參與面試的5名考生中，通過面試的考生人數X；
(2)射手對目標進行射擊，擊中目標得1分，未擊中目標得0分，該射手在一次射擊中的得分用ξ表示．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型3　分布列及其性質的應用
【例3】　(源自湘教版教材)設隨機變量X的分布列為P(X＝k)＝，k＝1，2，3，4，其中c為常數，求P的值．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　離散型隨機變量分布列的性質的應用
(1)利用離散型隨機變量的分布列的性質可以求與概率有關的參數的取值或范圍，還可以檢驗所求分布列是否正確．
(2)由于離散型隨機變量的各個可能值表示的事件是彼此互斥的，所以離散型隨機變量在某一范圍內取值的概率等于它取這個范圍內各個值的概率之和．
[跟進訓練]
3．若離散型隨機變量X的分布列為
X 0 1
P 9c2－c 3－8c
試求出離散型隨機變量X的分布列．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型4　離散型隨機變量的分布列
　離散型隨機變量的分布列
【例4】　同時擲兩枚質地均勻的骰子，觀察朝上一面出現的點數，求兩枚骰子中出現的最大點數X的分布列．
[思路導引]　→
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　兩點分布的分布列
【例5】　袋內有5個白球，6個紅球，從中摸出兩球，記X＝求X的分布列．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求離散型隨機變量分布列時應注意的問題
(1)確定離散型隨機變量ξ的分布列的關鍵是要搞清ξ取每一個值對應的隨機事件，進一步利用排列、組合知識求出ξ取每一個值的概率．
(2)在求離散型隨機變量ξ的分布列時，要充分利用分布列的性質，這樣不但可以減少運算量，還可以驗證分布列是否正確．
[跟進訓練]
4．(源自北師大版教材)一袋中裝有6個完全相同的黑球，編號分別為1，2，3，4，5，6，現從中隨機取出3個球，用X表示取出球的最大編號，求X的分布列．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．(多選)下列隨機變量是離散型隨機變量的是(　　)
A．連續不斷地射擊，首次擊中目標所需要的射擊次數X
B．南京長江大橋一天經過的車輛數X
C．某型號彩電的壽命X
D．連續拋擲兩個質地均勻的骰子，所得點數之和X
2．已知離散型隨機變量X的分布列為
X 1 2 3 4
P m
則m的值為(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
3．拋擲兩顆骰子，所得點數之和X是一個隨機變量，則P(X≤4)等于(　　)
A． B．
C． D．
4．在考試中，需回答三個問題，考試規定：每題回答正確得10分，回答不正確得－10分，則這名同學回答這三個問題的總得分ξ的所有可能取值是 ________．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．隨機變量與函數有什么異同？
2．離散型隨機變量有哪些特征？
7.2　離散型隨機變量及其分布列
[必備知識·情境導學探新知]
知識點1　(1)唯一　X(ω)　(4)有限個　一一列舉
思考1　提示：隨機變量和函數都是一種對應關系，隨機變量把樣本點與實數對應，函數把實數與實數對應，由隨機變量的定義知，樣本點ω相當于函數定義中的自變量，樣本空間Ω相當于函數的定義域．
知識點2　(2)表格　(3)≥　1
思考2　提示：求離散型隨機變量的分布列的步驟：
(1)找出隨機變量X所有可能的取值xi(i＝1，2，3，…，n)；
(2)求出相應的概率P(X＝xi)＝pi(i＝1，2，3，…，n)；
(3)列成表格形式．
知識點3　兩點分布
課前自主體驗
1．(1)√　(2)√　(3)√　(4)√
2．D　[由題意得{X＝3}有兩種情況，即甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次．]
3．C　[①、②、④中的隨機變量X可能取的值，我們都可以按一定次序一一列出，因此，它們都是離散型隨機變量；③中的X可以取某一區間內的一切值，無法按一定次序一一列出，故③中的X不是離散型隨機變量．]
4．0.7　[P(X≤0)＝1－P(X>0)＝1－0.3＝0.7．]
[關鍵能力·合作探究釋疑難]
例1　(1)C　(2)②　[(1)①對于A中取到產品的件數，是一個常量不是變量，B，D也是一個常量，而C中取到次品的件數可能是0，1，2，是隨機變量．
(2)①③④中的隨機變量X的可能取值都可以按照一定的次序一一列出，因此它們是離散型隨機變量；②中的隨機變量X可以取某一區間內的一切值，但無法按照一定的次序一一列出，故不是離散型隨機變量．]
跟進訓練
1．解：(1)車輛數X的取值可以一一列出，故X為離散型隨機變量．
(2)某超市5月份每天銷售額可以一一列出，故為離散型隨機變量．
(3)實際測量值與規定值之間的差值無法一一列出，不是離散型隨機變量．
(4)不是離散型隨機變量，水位在(0，29]這一范圍內變化，不能按次序一一列舉．
例2　解：(1)X可取0，1，2，3．X＝0表示取5個球全是紅球；
X＝1表示取1個白球，4個紅球；
X＝2表示取2個白球，3個紅球；
X＝3表示取3個白球，2個紅球．
(2)X可取3，4，5．X＝3表示取出的球編號為1，2，3；
X＝4表示取出的球編號為1，2，4；1，3，4或2，3，4．
X＝5表示取出的球編號為1，2，5；1，3，5；1，4，5；2，3，5；2，4，5或3，4，5．
母題探究
1．解：ξ可取1，4，7，10．
ξ＝10表示取5個球全是紅球；
ξ＝7表示取1個白球，4個紅球；
ξ＝4表示取2個白球，3個紅球；
ξ＝1表示取3個白球，2個紅球．
2．解：X可取1，2，3．
X＝3表示取出的3個球的編號為3，4，5；
X＝2表示取出的3個球的編號為2，3，4或2，3，5或2，4，5；
X＝1表示取出的3個球的編號為1，2，5或1，3，5或1，4，5或1，2，4或1，3，4或1，2，3．
跟進訓練
2．解：(1)X可能取值0，1，2，3，4，5，
X＝i表示面試通過的有i人，其中i＝0，1，2，3，4，5．
(2)ξ可能取值為0，1，
當ξ＝0時，表明該射手在本次射擊中沒有擊中目標；
當ξ＝1時，表明該射手在本次射擊中擊中目標．
例3　解：由離散型隨機變量分布列的性質可知
＝1，
所以c＝1
解得c＝．
因此P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＝．
跟進訓練
3．解：由已知可得9c2－c＋3－8c＝1，
∴9c2－9c＋2＝0，∴c＝或．
檢驗：當c＝時，9c2－c＝9×－＝>0，
3－8c＝3－＝>0；
當c＝時，9c2－c＝9×－＝>1，
3－8c＝3－＝－<0，不適合，舍去．故c＝．
故所求分布列為
X 0 1
P
例4　解：同時擲兩枚質地均勻的骰子，朝上一面出現的點數有36種等可能的情況，X的可能取值為1，2，3，4，5，6，記(a，b)為兩枚骰子朝上一面出現的點數，其中a為第一枚骰子擲出的點數，b為第二枚骰子擲出的點數，則可得出下表．
X 出現的點數 情況數
1 (1，1) 1
2 (2，2)，(2，1)，(1，2) 3
3 (3，3)，(3，2)，(3，1)，(2，3)，(1，3) 5
4 (4，4)，(4，3)，(4，2)，(4，1)，(3，4)，(2，4)，(1，4) 7
5 (5，5)，(5，4)，(5，3)，(5，2)，(5，1)，(4，5)，(3，5)，(2，5)，(1，5) 9
6 (6，6)，(6，5)，(6，4)，(6，3)，(6，2)，(6，1)，(5，6)，(4，6)，(3，6)，(2，6)，(1，6) 11
由古典概型可知X的分布列為
X 1 2 3 4 5 6
P
例5　解：顯然X服從兩點分布，P(X＝0)＝，
所以P(X＝1)＝1－，
所以X的分布列是
X 0 1
P
跟進訓練
4．解：依題意知隨機變量X的取值為3，4，5，6．
又易知從6個球中取出3個球，共有種取法，且每一種取法都是等可能的．
當X＝3時，取出球的最大編號為3，另兩個球從1，2號球中取得，共有種取法，由古典概型計算概率的公式得
P(X＝3)＝；
當X＝4時，取出球的最大編號為4，另兩個球從1，2，3號球中取得，因此
P(X＝4)＝；
當X＝5時，取出球的最大編號為5，另兩個球從1，2，3，4號球中取得，因此
P(X＝5)＝；
當X＝6時，取出球的最大編號為6，另兩個球從1，2，3，4，5號球中取得，因此
P(X＝6)＝．
綜上，可得X的分布列為
X 3 4 5 6
P
[學習效果·課堂評估夯基礎]
1．ABD　[∵B，D中X的取值有限，且可以一一列舉出來，故B，D中的X均為離散型隨機變量．
∵A中X的取值依次為1，2，3，…，雖然無限，但可一一列舉出來，故為離散型隨機變量．
而C中X的取值不能一一列舉出來，
∴C中的X不是離散型隨機變量．]
2．C　[由離散型隨機變量的分布列的性質知，＋m＋＝1，解得m＝．]
3．A　[根據題意，有P(X≤4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)．拋擲兩顆骰子，按所得的點數共36個基本事件，而X＝2對應(1，1)，X＝3對應(1，2)，(2，1)，X＝4對應(1，3)，(3，1)，(2，2)，
故P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，
P(X＝4)＝，所以P(X≤4)＝．]
4．－30，－10，10，30　[若答對0個問題得－30分；若答對1個問題得－10分；若答對2個問題得10分；若問題全答對得30分．]
課堂小結
1．提示：
相同點 隨機變量和函數都是一種映射
區別 隨機變量是隨機試驗的結果到實數的映射，函數是實數到實數的映射
聯系 隨機試驗結果的范圍相當于函數的定義域，隨機變量的取值范圍相當于函數的值域
2．提示：(1)可用數值表示．
(2)試驗之前可以判斷其出現的所有值．
(3)在試驗之前不能確定取何值．
(4)試驗結果能一一列出．7.3　離散型隨機變量的數字特征
7.3.1　離散型隨機變量的均值
學習任務 1．理解離散型隨機變量的均值的意義與性質，會根據離散型隨機變量的分布列求出均值．(數學抽象、數學運算) 2．掌握兩點分布的均值．(數學運算) 3．會用離散型隨機變量的均值解決一些實際問題．(數學建模、數據分析)
已知在10件產品中有2件不合格品，從這10件產品中任取3件，用X表示取得產品中的不合格品的件數．我們可求得X的分布列如下表：
X 0 1 2
P
現在我們關心的是，取3件該產品時，平均會取到幾件不合格品？那么，怎樣的一個數能夠“代表”這個隨機變量取值的平均水平呢？
知識點1　離散型隨機變量的均值
(1)定義：一般地，若離散型隨機變量X的分布列如表所示，
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
則稱E(X)＝__________＝
(2)意義：它反映了離散型隨機變量取值的________．
(3)性質：如果X和Y都是隨機變量，且Y＝aX＋b(a≠0)，則E(Y)＝E(aX＋b)＝________．
均值是隨機變量的一個重要特征數，反映或刻畫的是隨機變量取值的平均水平，它是概率意義下的平均值，不同于相應數值的平均數．
(1)離散型隨機變量的均值與分布列有什么區別？
(2)隨機變量的均值與樣本平均值有什么關系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點2　兩點分布的均值
若隨機變量X服從兩點分布，則E(X)＝p．
1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)隨機變量X的數學期望E(X)是個變量，其隨X的變化而變化． (　　)
(2)隨機變量的均值反映樣本的平均水平． (　　)
(3)若隨機變量X的數學期望E(X)＝2，則E(2X)＝4． (　　)
(4)隨機變量X的均值E(X)＝． (　　)
2．已知X的分布列為
X －1 0 1 2
P
則X的均值為________．
3．設X的分布列為
X 1 2 3 4
P
Y＝2X＋5，則E(Y)＝________．
類型1　求離散型隨機變量的均值
【例1】　(源自北師大版教材)一個袋子里裝有除顏色外完全相同的3個紅球和2個黃球，從中同時取出2個，則取出的紅球個數的均值是多少？
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求離散型隨機變量X的均值的步驟
(1)理解X的實際意義，并寫出X的全部取值．
(2)求出X取每個值的概率．
(3)寫出X的分布列(有時也可省略)．
(4)利用定義公式E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn求出均值．
其中第(1)、(2)兩條是解答此類題目的關鍵，在求解過程中要注重運用概率的相關知識．
[跟進訓練]
1．端午節吃粽子是我國的傳統習俗，設一盤中裝有10個粽子，其中豆沙粽2個，肉粽3個，白粽5個，這三種粽子的外觀完全相同．從中任意選取3個．
(1)求三種粽子各取到1個的概率；
(2)設X表示取到豆沙粽的個數，求X的分布列與均值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型2　離散型隨機變量均值的性質
【例2】　已知隨機變量X的分布列為
X －2 －1 0 1 2
P m
若Y＝－2X，則E(Y)＝________．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母題探究]
1．本例條件不變，若Y＝2X－3，則E(Y)＝________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．本例條件不變，若ξ＝aX＋3，且E(ξ)＝－，則a的值為________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　關于離散型隨機變量均值性質的應用
若給出的隨機變量ξ與X的關系為ξ＝aX＋b，a，b為實數，要求E(ξ)，一般思路是先求出E(X)，再利用公式E(ξ)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b求出E(ξ)．
[跟進訓練]
2．已知隨機變量X的分布列是
X 1 2 3
P a
則E(2X＋a)＝(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型3　離散型隨機變量均值的實際應用
【例3】　隨機抽取某廠的某種產品200件，經質檢，其中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件．已知生產1件一、二、三等品獲得的利潤分別為6萬元、2萬元、1萬元，而1件次品虧損2萬元，設1件產品的利潤(單位：萬元)為X．
(1)求X的分布列；
(2)求1件產品的平均利潤(即X的均值)；
(3)經技術革新后，仍有四個等級的產品，但次品率降為1%，一等品率提高為70%，如果此時要求1件產品的平均利潤不小于4.73萬元，則三等品率最多是多少？
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　解答應用類問題時，首先把問題概率模型化，然后利用有關概率的知識去分析相應各事件可能性的大小，并列出分布列，最后利用公式求出相應概率．
[跟進訓練]
3．(2022·全國甲卷)甲、乙兩個學校進行體育比賽，比賽共設三個項目，每個項目勝方得10分，負方得0分，沒有平局．三個項目比賽結束后，總得分高的學校獲得冠軍．已知甲學校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項目的比賽結果相互獨立．
(1)求甲學校獲得冠軍的概率；
(2)用X表示乙學校的總得分，求X的分布列與期望．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．(多選)下列說法正確的是(　　)
A．隨機變量X的均值就是數學期望，簡稱期望
B．均值是隨機變量可能取值關于取值概率的加權平均數
C．均值綜合了隨機變量的取值和取值的概率，反映了隨機變量取值的平均水平
D．隨機變量的均值就是樣本的均值
2．若隨機變量X的分布列為
X 1 4 6
P 0.55 0.3 0.15
則其數學期望E(X)等于(　　)
A．1　　B．　　C．4.5　　D．2.65
3．已知隨機變量X的分布列為
X －1 0 1
P m
若η＝aX＋3，E(η)＝，則a＝(　　)
A．3　　　B．2　　　C．1　　　D．－2
4．已知小偉投籃命中率p＝0.6，則小偉投籃一次命中次數X的均值為________．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．你能寫出離散型隨機變量的均值公式嗎？
2．兩點分布的均值是什么？
3．離散型隨機變量的均值有哪些性質？
7.3.1　離散型隨機變量的均值
[必備知識·情境導學探新知]
知識點1　(1)x1p1＋x2p2＋…＋xnpn
(2)平均水平　(3)aE(X)＋b
思考　提示：(1)離散型隨機變量的分布列和均值雖然都是從整體和全局上刻畫隨機變量的，但二者有所不同．分布列只給了隨機變量取所有可能值的概率，而均值卻反映了隨機變量取值的平均水平．
(2)隨機變量的均值是一個常數，它不依賴于樣本的抽取，而樣本的平均值是一個隨機變量，它隨樣本抽取的不同而變化．對于簡單隨機樣本，隨著樣本容量的增加，樣本的平均值越來越接近于總體的均值．
課前自主體驗
1．(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2．　[E(X)＝－1×＋0×＋1×＋2×．]
3．　[E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×．
所以E(Y)＝E(2X＋5)＝2E(X)＋5＝2×＋5＝．]
[關鍵能力·合作探究釋疑難]
例1　解：設X表示取出紅球的個數，則X的取值為0，1，2．
P(X＝0)＝；
P(X＝1)＝；
P(X＝2)＝．
故X的分布列為
X 0 1 2
P
根據均值的定義，可知
E(X)＝0×＋1×＋2×．
跟進訓練
1．解：(1)令A表示事件“三種粽子各取到1個”，則由古典概型的概率計算公式有P(A)＝．
(2)X的所有可能取值為0，1，2，
且P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，
P(X＝2)＝，
所以X的分布列為
X 0 1 2
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×．
例2　　[由隨機變量分布列的性質，得＋m＋＝1，解得m＝，
故E(X)＝－2×＋(－1)×＋0×＋1×＋2×＝－．
由Y＝－2X，得E(Y)＝－2E(X)＝－2×＝．]
母題探究
1．－　[由本例知E(X)＝－，
則E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3＝2×－3＝－．]
2．15　[E(ξ)＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3＝－a＋3＝－，
解得a＝15．]
跟進訓練
2．C　[因為＋a＝1，所以a＝，
所以E(X)＝，
所以E(2X＋a)＝2E(X)＋．]
例3　解：(1)X的所有可能取值有6，2，1，－2．
P(X＝6)＝＝0.63，P(X＝2)＝＝0.25，P(X＝1)＝＝0.1，P(X＝－2)＝＝0.02．
故X的分布列為
X 6 2 1 －2
P 0.63 0.25 0.1 0.02
(2)E(X)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34．
(3)設技術革新后的三等品率為x，則此時1件產品的平均利潤為
E(X)＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋1×x＋(－2)×0.01
＝4.76－x(0≤x≤0.29)．
依題意，E(X)≥4.73，
即4.76－x≥4.73，
解得x≤0.03，所以三等品率最多為3%．
跟進訓練
3．解：(1)設甲在三個項目中獲勝的事件依次記為A，B，C，所以甲學校獲得冠軍的概率為
P＝P(ABC)＋P(BC)＋P(AC)＋P(AB)
＝0.5×0.4×0.8＋0.5×0.4×0.8＋0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2
＝0.16＋0.16＋0.24＋0.04＝0.6．
(2)依題意知，X的可能取值為0，10，20，30，所以，P(X＝0)＝0.5×0.4×0.8＝0.16，
P(X＝10)＝0.5×0.4×0.8＋0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2＝0.44，
P(X＝20)＝0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2＋0.5×0.6×0.2＝0.34，
P(X＝30)＝0.5×0.6×0.2＝0.06．
即X的分布列為
X 0 10 20 30
P 0.16 0.44 0.34 0.06
期望E(X)＝0×0.16＋10×0.44＋20×0.34＋30×0.06＝13．
[學習效果·課堂評估夯基礎]
均值是隨機變量可能取值關于取值概率的加權平均數，它綜合了隨機變量的取值和取值的概率，反映了隨機變量取值的平均水平，故A、B、C正確．隨機變量的均值是一個確定的數，而樣本均值具有隨機性，它圍繞隨機變量的均值波動，隨著重復試驗次數的增加，樣本均值的波動幅度一般會越來越小．因此常用隨機變量的觀測值的均值去估計隨機變量的均值，故D錯誤．]
2．D　[E(X)＝1×0.55＋4×0.3＋6×0.15＝2.65．]
3．B　[由分布列的性質，得＋m＝1，解得m＝，所以E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－，則E(η)＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3＝，即－a＋3＝，得a＝2．]
4．0.6　[法一：由投籃命中率p＝0.6，可得投籃一次，命中次數X的分布列為
X 0 1
P 0.4 0.6
所以E(X)＝0×0.4＋1×0.6＝0.6．
法二：由題意，命中次數X服從兩點分布，
所以E(X)＝p＝0.6．]
課堂小結
1．提示：E(X)＝x1p1＋x2p2＋x3p3＋…＋xnpn．
2．提示：E(X)＝p．
3．提示：E(aX＋b)＝aE(X)＋b．7.3.2　離散型隨機變量的方差
學習任務 1．理解離散型隨機變量的方差及標準差的概念．(數學抽象) 2．能計算簡單離散型隨機變量的方差，并能解決一些實際問題．(數學運算、數據分析) 3．掌握方差的性質以及兩點分布方差的求法，會利用公式求它們的方差．(數學運算)
甲、乙兩個工人生產同一產品，在相同的條件下，他們生產100件產品所出的次品數分別用X1，X2表示，X1，X2的分布列如下：
次品數X1 0 1 2 3
P 0.7 0.2 0.06 0.04
次品數X2 0 1 2 3
P 0.8 0.06 0.04 0.10
(1)由E(X1)和E(X2)的值能比較兩名工人生產的產品質量嗎？
(2)試想利用什么指標可以比較加工質量？
知識點1　離散型隨機變量的方差
(1)離散型隨機變量的方差、標準差
設離散型隨機變量X的分布列為
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
考慮X所有可能取值xi與E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2，…，(xn－E(X))2．因為X取每個值的概率不盡相同，所以我們用偏差平方關于取值概率的加權平均，來度量隨機變量X取值與其均值E(X)的偏離程度，我們稱D(X)＝________________________________＝
為隨機變量X的方差，有時也記為Var(X)，并稱為隨機變量X的________，記為σ(X)．
(2)離散型隨機變量方差和標準差的意義
隨機變量的方差和標準差都可以度量隨機變量取值與其均值的偏離程度，反映了隨機變量取值的離散程度．方差或標準差越小，隨機變量的取值越________；方差或標準差越大，隨機變量的取值越________．
(1)方差也可以用公式D(X)＝
(2)隨機變量的方差是非負常數．
隨機變量的方差與樣本方差有什么關系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點2　離散型隨機變量方差的線性運算性質
設a，b為常數，則D(aX＋b)＝________．
1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)離散型隨機變量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的平均水平． (　　)
(2)離散型隨機變量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的波動水平． (　　)
(3)離散型隨機變量的方差越大，隨機變量越穩定． (　　)
2．已知隨機變量ξ，D(ξ)＝，則D(2ξ＋1)＝________．
3．已知隨機變量X，D(X)＝，則X的標準差σ(X)＝________．
類型1　求離散型隨機變量的方差
【例1】　(源自北師大版教材)隨機拋擲一枚均勻的骰子，求擲出的點數X的方差和標準差(結果精確到0.01)．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求離散型隨機變量X的方差的步驟
(1)理解X的意義，寫出X的所有可能的取值．
(2)求X取每一個值的概率．
(3)寫出隨機變量X的分布列．
(4)由均值、方差公式求E(X)，D(X)．
[跟進訓練]
1．有10張卡片，其中8張標有數字2，2張標有數字5，從中隨機地抽取3張卡片，設3張卡片數字之和為ξ，求D(ξ)．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型2　方差的性質及其應用
【例2】　已知η的分布列為
η 0 10 20 50 60
P
(1)求η的方差及標準差；
(2)設Y＝2η－E(η)，求D(Y)．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母題探究]
(變條件)將本例的分布列改為
X 1 2 3 4 5
P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
其他不變，如何求解？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　與離散型隨機變量方差性質有關問題的解題思路
對于變量間存在關系的方差，在求解過程中應注意方差性質的應用，如D(aX＋b)＝a2D(X)，這樣處理既避免了求隨機變量η＝aX＋b的分布列，又避免了繁雜的計算，簡化了計算過程．
[跟進訓練]
2．已知X的分布列為
X －1 0 1
P a
(1)計算X的方差；
(2)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型3　方差的簡單應用
【例3】　甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個相互獨立的隨機變量ξ與η，且ξ，η的分布列為
ξ 1 2 3
P a 0.1 0.6
η 1 2 3
P 0.3 b 0.3
(1)求a，b的值；
(2)計算ξ，η的期望與方差，并以此分析甲、乙技術狀況．
[思路導引]　—
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　(1)解題時可采用比較分析法，通過比較兩個隨機變量的均值和方差得出結論．
(2)均值體現了隨機變量取值的平均水平，有時只比較均值往往是不恰當的，還需比較方差，才能準確地得出更適合的結論．
[跟進訓練]
3．甲、乙兩個野生動物保護區有相同的自然環境，且野生動物的種類和數量也大致相等，而兩個保護區內每個季度發生違反保護條例的事件次數的分布列分別為
X1 0 1 2 3
P 0.3 0.3 0.2 0.2
X2 0 1 2
P 0.1 0.5 0.4
試評定兩個保護區的管理水平．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．(多選)下列說法正確的是(　　)
A．隨機變量的均值反映了隨機變量取值的平均水平或分布的“集中趨勢”
B．隨機變量的均值反映波動幅度的大小
C．隨機變量的方差和標準差都可以度量隨機變量取值與其均值的偏離程度
D．方差或標準差越小，隨機變量的取值越集中；方差或標準差越大，隨機變量的取值越分散
2．已知隨機變量X的分布列如下表，則X的標準差為(　　)
X 1 3 5
P 0.4 0.1 x
A．3.56 B．
C．3.2 D．
3．隨機變量X的分布列如下：
X 0 1
P 0.2 m
已知隨機變量Y＝aX＋b(a，b>0)，且E(Y)＝10，D(Y)＝4，則a與b的值為(　　)
A．a＝10，b＝3 B．a＝3，b＝10
C．a＝5，b＝6 D．a＝6，b＝5
4．已知隨機變量X的分布列為
X 0 1 x
P p
若E(X)＝，則D(X)＝________；若Y＝4X－3，則D(Y)＝________．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．隨機變量X的方差和標準差反映了隨機變量X的哪些特征？
2．D(X)越小，隨機變量X的取值怎樣？
7.3.2　離散型隨機變量的方差
[必備知識·情境導學探新知]
知識點1　(1)(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn　標準差　(2)集中　分散
思考　提示：隨機變量的方差是總體的方差，它是一個常數，樣本的方差則是隨機變量，是隨樣本的變化而變化的．對于簡單隨機樣本，隨著樣本容量的增加，樣本的方差越來越接近于總體的方差．
知識點2　a2D(X)
課前自主體驗
1．(1)×　(2)√　(3)×
2．1　[D(2ξ＋1)＝4D(ξ)＝4×＝1．]
3．　[σ(X)＝．]
[關鍵能力·合作探究釋疑難]
例1　解：擲出點數X的分布列如下表：
X 1 2 3 4 5 6
P
E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝3.5；
D(X)＝(1－3.5)2×＋(2－3.5)2×＋(3－3.5)2×＋(4－3.5)2×＋(5－3.5)2×＋(6－3.5)2×≈2.92；
σ(X)＝≈1.71．
跟進訓練
1．解：由題意知ξ的可能取值為6，9，12．
ξ＝6表示取出的3張卡片上均標有2，
則P(ξ＝6)＝；
ξ＝9表示取出的3張卡片上兩張標有2，一張標有5，
則P(ξ＝9)＝；
ξ＝12表示取出的3張卡片上一張標有2，兩張標有5，
則P(ξ＝12)＝．
∴ξ的分布列為
ξ 6 9 12
P
∴E(ξ)＝6×＋9×＋12×＝7.8，
∴D(ξ)＝(6－7.8)2×＋(9－7.8)2×＋(12－7.8)2×＝3.36．
例2　解：(1)∵E(η)＝0×＋10×＋20×＋50×＋60×＝16，
∴D(η)＝(0－16)2×＋(10－16)2×＋(20－16)2×＋(50－16)2×＋(60－16)2×＝384，
∴σ(η)＝＝8．
(2)∵Y＝2η－E(η)，
∴D(Y)＝D(2η－16)＝22D(η)＝4×384＝1536．
母題探究
解：(1)∵E(X)＝1×0.1＋2×0.2＋3×0.4＋4×0.2＋5×0.1＝3，
∴D(X)＝(1－3)2×0.1＋(2－3)2×0.2＋(3－3)2×0.4＋(4－3)2×0.2＋(5－3)2×0.1＝1.2，
∴σ(X)＝．
(2)∵Y＝2X－E(X)，
∴D(Y)＝D(2X－E(X))＝22D(X)＝4×1.2＝4.8．
跟進訓練
2．解：(1)法一：由＋a＝1知a＝，所以X的均值E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－．故X的方差D(X)＝＝．
法二：由＋a＝1知a＝，所以X的均值E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－，X2的均值E(X 2)＝0×＋1×＝，所以X的方差D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝．
(2)因為Y＝4X＋3，所以E(Y)＝4E(X)＋3＝2，D(Y)＝42D(X)＝11．
例3　解：(1)由離散型隨機變量的分布列的性質可知a＋0.1＋0.6＝1，
∴a＝0.3．
同理0.3＋b＋0.3＝1，解得b＝0.4．
(2)易得E(ξ)＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3，E(η)＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2，
則D(ξ)＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81，
D(η)＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6．
由于E(ξ)>E(η)，所以在一次射擊中，甲的平均得分比乙高，但D(ξ)>D(η)，說明甲得分的穩定性不如乙，因此甲、乙兩人技術水平都不夠全面，各有優勢與劣勢．
跟進訓練
3．解：甲保護區的違規次數X1的均值和方差分別為
E(X1)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3；
D(X1)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21．
乙保護區的違規次數X2的均值和方差分別為
E(X2)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3；
D(X2)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41．
因為E(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2)，
所以兩個保護區內每個季度發生的違規事件的平均次數相同，甲保護區的違規事件次數相對分散和波動，乙保護區內的違規事件次數更集中和穩定．
[學習效果·課堂評估夯基礎]
1．ACD　[隨機變量的均值是一個重要的數字特征，它反映了隨機變量取值的平均水平或分布的“集中趨勢”．隨機變量的取值圍繞其均值波動，而隨機變量的均值無法反映波動幅度的大小，所以A正確，B錯誤．隨機變量的方差和標準差都可以度量隨機變量的取值與其均值的偏離程度，反映了隨機變量取值的離散程度．方差或標準差越小，隨機變量的取值越集中；方差或標準差越大，隨機變量的取值越分散，所以C、D正確．]
2．D　[易知0.4＋0.1＋x＝1，解得x＝0.5，
所以E(X)＝1×0.4＋3×0.1＋5×0.5＝3.2，
所以D(X)＝(1－3.2)2×0.4＋(3－3.2)2×0.1＋(5－3.2)2×0.5＝3.56，所以X的標準差為．故選D．]
3．C　[因為0.2＋m＝1，所以m＝0.8．
所以E(X)＝0×0.2＋1×0.8＝0.8，D(X)＝(0－0.8)2×0.2＋(1－0.8)2×0.8＝0.16．
因為E(Y)＝10，D(Y)＝4，
所以aE(X)＋b＝0.8a＋b＝10，a2D(X)＝0.16a2＝4，
解得a＝5，b＝6，故選C．]
4．　　[由＋p＝1，得p＝，
又E(X)＝0×＋1×x＝，
所以x＝2．
D(X)＝＝．
因為Y＝4X－3，所以D(Y)＝D(4X－3)＝16D(X)＝16×＝．]
課堂小結
1．提示：反映了X取值的穩定性和波動，集中與離散程度．
2．提示：越穩定，波動越小．7.4　二項分布與超幾何分布
7.4.1　二項分布
學習 任務 1．理解n重伯努利試驗的概念．(數學抽象) 2．掌握二項分布的概率表達式．(數學抽象) 3．能利用伯努利試驗的模型及二項分布解決一些簡單的實際問題．(數學運算、數據分析)
為了增加系統的可靠性，人們經常使用“備用冗余設備”(即正在使用的設備出故障時才啟動的設備)．已知某計算機網絡的服務器采用的是“一用兩備”(即一臺正常設備，兩臺備用設備)的配置，這三臺設備中，只要有一臺能正常工作，計算機網絡就不會斷掉．如果三臺設備各自能正常工作的概率都為0.9，它們之間相互不影響，那么這個計算機網絡不會斷掉的概率是多少呢？
知識點1　n重伯努利試驗
(1)概念：我們把只包含________可能結果的試驗叫做伯努利試驗．
(2)我們將一個伯努利試驗________所組成的隨機試驗稱為n重伯努利試驗．
(3)n重伯努利試驗的共同特征
①同一個伯努利試驗重復做________次；
②各次試驗的結果相互________．
(1)每次試驗結果只有兩種，即事件要么發生，要么不發生．
(2)每次試驗在相同的條件下進行且各次試驗中的事件互不影響．
1．“試驗的結果相互獨立”的含義是什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點2　二項分布
(1)二項分布
一般地，在n重伯努利試驗中，設每次試驗中事件A發生的概率為p(0如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量X服從二項分布，記作X～B(n，p)．
(2)二項分布的均值與方差
若X服從二項分布，即X～B(n，p)，則E(X)＝________，D(X)＝________．
2．二項分布與兩點分布有什么關系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)n重伯努利試驗每次試驗之間是相互獨立的． (　　)
(2)n重伯努利試驗只有發生與不發生兩種結果． (　　)
(3)n重伯努利試驗中每次試驗中發生的機會是均等的． (　　)
(4)n重伯努利試驗中每次試驗發生的事件是互斥的． (　　)
(5)兩點分布屬于二項分布． (　　)
2．某射手射擊1次，擊中目標的概率為0.9，他連續射擊4次，且各次射擊是否擊中目標相互之間沒有影響，有下列結論：①他第三次擊中目標的概率為0.9；②他恰好擊中目標3次的概率為0.93×0.1；③他至少擊中目標1次的概率為1－0.14．
其中正確結論的序號為__________．
3．某班有的學生數學成績優秀，如果從該班中隨機抽出5名同學，設其中數學成績優秀的學生數為X，那么E(2X＋1)等于__________．
類型1　n重伯努利試驗
　n重伯努利試驗的判斷
【例1】　判斷下列試驗是不是n重伯努利試驗．
(1)依次投擲四枚質地不同的硬幣，3次正面向上；
(2)某人射擊，擊中目標的概率是穩定的，他連續射擊了10次，其中6次擊中；
(3)口袋中裝有5個白球，3個紅球，2個黑球，依次從中抽取5個球，恰好抽出4個白球．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　n重伯努利試驗的概率
【例2】　甲、乙兩人各射擊一次，擊中目標的概率分別是和，假設每次射擊是否擊中目標相互之間沒有影響．
(1)求甲射擊3次，至少1次未擊中目標的概率；
(2)求兩人各射擊2次，甲恰好擊中目標2次且乙恰好擊中目標1次的概率．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母題探究]
1．(變設問)本例條件不變，求甲、乙各射擊2次均擊中目標1次的概率．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．(變設問)本例條件不變，求甲、乙各射擊2次，甲未擊中、乙擊中2次的概率．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　n重伯努利試驗概率求法的三個步驟
(1)判斷：依據n重伯努利試驗的特征，判斷所給試驗是否為n重伯努利試驗．
(2)分拆：判斷所求事件是否需要分拆．
(3)計算：就每個事件依據n重伯努利試驗的概率公式求解，最后利用乘法或加法公式計算．
[跟進訓練]
1．(多選)下列事件不是n重伯努利試驗的是(　　)
A．運動員甲射擊一次，“射中9環”與“射中8環”
B．甲、乙兩運動員各射擊一次，“甲射中10環”與“乙射中9環”
C．甲、乙兩運動員各射擊一次，“甲、乙都射中目標”與“甲、乙都沒射中目標”
D．在相同的條件下，甲射擊10次，5次擊中目標
2．小明同學喜歡籃球，假設他每一次投籃投中的概率為，則小明連續投籃四次，恰好兩次投中的概率是 (　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
類型2　求服從二項分布的隨機變量的分布列
【例3】　(源自湘教版教材)拋擲兩枚骰子，取其中一枚的點數為點P的橫坐標，另一枚的點數為點P的縱坐標，連續拋擲這兩枚骰子三次，求點P在圓x2＋y2＝16內的次數X的分布列．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　二項分布問題的兩個關注點
(1)判斷：關鍵有兩點，一是對立性，即一次試驗中，事件發生與否兩者必有其一；二是重復性，即試驗是獨立重復地進行了n次．
(2)參數意義：X～B(n，p)中n為試驗次數，p為成功概率．
(3)公式用途：公式P(X＝k)＝pk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)是求n重伯努利試驗發生k次的概率．
[跟進訓練]
3．在某公司的一次招聘中，應聘者都要經過A，B，C三個獨立項目的測試，通過其中的兩個或三個項目的測試即可被錄用．若甲、乙、丙三人通過A，B，C每個項目測試的概率都是．
(1)求甲恰好通過兩個項目測試的概率；
(2)設甲、乙、丙三人中被錄用的人數為X，求X的分布列．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型3　二項分布的均值、方差及實際應用
【例4】　某商場為刺激消費，擬按以下的方案進行促銷：顧客每消費500元便得到獎券一張，每張獎券的中獎概率為，若中獎，商場返還顧客現金100元．某顧客現購買價格為2 300元的臺式電腦一臺，得到獎券4張．
(1)設該顧客中獎的獎券張數為X，求X的分布列；
(2)設該顧客購買臺式電腦的實際支出為Y元，用X表示Y，并求Y的均值．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　(1)在解決有關均值和方差問題時，要認真審題，如果題目中的離散型隨機變量符合二項分布，就應直接利用二項分布求均值和方差，以簡化問題的解答過程．
(2)對于二項分布的均值與方差公式E(X)＝np和D(X)＝np(1－p)要熟練掌握．
[跟進訓練]
4．為了了解校園噪音情況，學校環保協會對校園環境噪音值(單位：分貝)進行了50天的監測，得到如下統計表：
環境噪音值 (單位：分貝) [55，57] (57，59] (59，61] (61，63] (63，65] (65，67]
頻數 1 4 12 20 8 5
(1)根據該統計表，求這50天校園噪音值的樣本平均數(同一組的數據用該組區間的中點值作代表);
(2)根據相關規定，“環境噪音值超過65分貝，視為重度噪音污染，環境噪音值不超過59分貝，視為輕度噪音污染．”把由上述統計表算得的頻率視作概率，回答下列問題：
①求周一到周五的5天中恰有兩天校園出現重度噪音污染而其余3天都是輕度噪音污染的概率；
②學校要舉行為期3天的“漢字聽寫大賽”校園選拔賽，把這3天校園出現的重度噪音污染天數記為X，求X的分布列和方差D(X)．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．n重伯努利試驗應滿足的條件：
①各次試驗之間是相互獨立的；
②每次試驗只有兩種結果；
③各次試驗成功的概率是相同的；
④每次試驗發生的事件是互斥的．
其中正確的是(　　)
A．①② B．②③
C．①②③ D．①②④
2．小方每次投籃的命中率為，假設每次投籃相互獨立，則他連續投籃2次，恰有1次命中的概率為(　　)
A．　　 B．
C．　　 D．
3．拋擲一枚質地均勻的硬幣n(3≤n≤8)次，正面向上的次數ξ服從二項分布B，若P(ξ＝1)＝，則n＝________．
4．某次考試中，第一大題由12道選擇題組成，每題選對得5分，不選或錯選得0分．小王選對每題的概率為0.8，則其第一大題得分的均值為________．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．n重伯努利試驗中，X的分布列P(X＝k)＝pk(1－p)n－k中各量表示的含義是什么？
2．同一個伯努利試驗重復做n次即為n重伯努利試驗，重復意味著什么？
3．判斷二項分布的關鍵點是什么？
7.4.1　二項分布
[必備知識·情境導學探新知]
知識點1　(1)兩個　(2)獨立地重復進行n次　(3)n　獨立
思考1　提示：每次試驗的概率相同，不受上次試驗結果的影響．
知識點2　(1)pk(1－p)n-k　(2)np　np(1－p)
思考2　提示：(1)兩點分布的試驗次數只有一次，試驗結果只有兩種：事件A發生(X＝1)或不發生(X＝0)；二項分布是指在n重伯努利試驗中事件A發生的次數X的分布列，試驗次數為n次(每次試驗的結果也只有兩種：事件A發生或不發生)，試驗結果有n＋1種：事件A恰好發生0次，1次，2次，…，n次．
(2)二項分布是兩點分布的一般形式，兩點分布是一種特殊的二項分布，即n＝1的二項分布．
課前自主體驗
1．(1)√　(2)√　(3)√　(4)×　(5)√
2．①③　[在n重伯努利試驗中，每次試驗事件發生的概率都相等，故①正確；
②中恰好擊中3次需要看哪3次擊中，正確的概率應為×0.93×0.1，故錯誤；
利用對立事件求解，③正確．]
3．　[依題意X~B，
則E(X)＝5×，
∴E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝2×＋1＝．]
[關鍵能力·合作探究釋疑難]
例1　解：(1)由于試驗的條件不同(質地不同)，因此不是n重伯努利試驗．
(2)某人射擊且擊中的概率是穩定的，因此是n重伯努利試驗．
(3)每次抽取時，球的個數不一樣多，且每種顏色出現的可能性不相等，因此不是n重伯努利試驗．
例2　解：(1)記“甲射擊3次至少有1次未擊中目標”為事件A1，由題意，射擊3次，相當于3重伯努利試驗，故P(A1)＝1－P()＝1－＝．
(2)記“甲射擊2次，恰有2次擊中目標”為事件A2，“乙射擊2次，恰有1次擊中目標”為事件B2，則P(A2)＝＝，P(B2)＝＝，由于甲、乙射擊相互獨立，故P(A2B2)＝＝．
母題探究
1．解：記“甲擊中目標1次”為事件A3，“乙擊中目標1次”為事件B3，則P(A3)＝××，
P(B3)＝××，
所以甲、乙均擊中目標1次的概率為P(A3B3)＝×．
2．解：記“甲未擊中目標”為事件A4，“乙擊中2次”為事件B4，則P(A4)＝＝，P(B4)＝＝，
所以甲未擊中，乙擊中目標2次的概率為P(A4B4)＝＝．
跟進訓練
1．ABC　[A，C符合互斥事件的概念，是互斥事件；B是相互獨立事件；D是n重伯努利試驗．]
2．D　[因為小明每次投籃投中的概率是，所以在他連續四次投籃中，恰有兩次投中的概率為P＝＝．]
例3解：由題意可知，P點的坐標可能有6×6＝36(種)情況，而符合題意的點只有下列8個：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，如圖所示．那么在拋擲骰子時，點P在圓x2＋y2＝16內的概率為＝．
由題意可知X～B，所以
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝．
因此，隨機變量X的分布列為
X 0 1 2 3
P
跟進訓練
3．解：(1)甲恰好通過兩個項目測試的概率為＝．
(2)因為甲、乙、丙三人被錄用的概率均為
＋＝，所以可看作3重伯努利試驗，
甲、乙、丙三人中被錄用的人數X服從二項分布，即X～B，
所以P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝．
故X的分布列為
X 0 1 2 3
P
例4　解：(1)由于每張獎券是否中獎是相互獨立的，
因此X～B．
所以P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝，
其分布列為
X 0 1 2 3 4
P
(2)因為X～B，所以E(X)＝4×＝2(張)．
又由題意可得Y＝2300－100X，
所以E(Y)＝E(2300－100X)＝2300－100E(X)＝2300－100×2＝2100(元)．
即所求變量Y的均值為2100元．
跟進訓練
4．解：(1)由數據可知樣本平均數為：
＝61.8(分貝)．
(2)①由題意知，出現重度噪音污染的概率為，
出現輕度噪音污染的概率為，
設事件A為“周一至周五的5天中恰有兩天校園出現重度噪音污染而其余3天都是輕度噪音污染”，
則P(A)＝＝．
②由題意，得X～B，
則隨機變量X的分布列為
P(X＝k)＝，k＝0，1，2，3．
所以X的分布列為
X 0 1 2 3
P
所以D(X)＝np(1－p)＝0.27．
[學習效果·課堂評估夯基礎]
1．C　[由n重伯努利試驗的概念知①②③正確，④錯誤．]
2．A　[由題意可知，小方連續投籃2次，恰有1次命中的概率P＝＝．故選A．]
3．6　[因為3≤n≤8，ξ服從二項分布B，且P(ξ＝1)＝，所以·＝，即n＝，解得n＝6．]
4．48　[設小王選對的個數為X，得分為Y＝5X，
則X~B(12，0.8)，E(X)＝np＝12×0.8＝9.6，
E(Y)＝E(5X)＝5E(X)＝5×9.6＝48．]
課堂小結
1．提示：k表示事件A發生的次數，n表示試驗總次數，p表示事件A發生的概率，(1－p)表示事件發生的概率．
2．提示：重復意味著試驗成功的概率相同．
3．提示：(1)對立性．在一次試驗中，事件A發生與否必居其一．
(2)重復性．試驗可以獨立重復地進行，且每次試驗事件A發生的概率為同一常數．
(3)X的取值從0到n，中間不間斷．7.4.2　超幾何分布
學習任務 1．理解超幾何分布的概念及特征，能夠判斷隨機變量是否服從超幾何分布．(數學抽象) 2．會利用公式求服從超幾何分布的隨機變量的概率、均值．(數學運算) 3．能用超幾何分布的概率模型解決實際問題．(數據分析、數學運算)
已知在8件產品中有3件次品，現從8件產品中任取3件產品，用X表示取到的次品數，X可取哪些值？P(X＝2)的值呢？如何求P(X＝k)
知識點1　超幾何分布
一般地，假設一批產品共有N件，其中有M件次品．從N件產品中隨機抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產品中的次品數，則X的分布列為P(X＝k)＝__________，k＝m，m＋1，m＋2，…，r．
其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機變量X服從超幾何分布．
超幾何分布是概率分布的一種形式，一定要注意公式中字母的范圍及其意義，N——總體中的個體總數，M——總體中的特殊個體總數(如次品總數)，n——樣本量，k——樣本中的特殊個體數(如次品數)．
什么樣的概率問題適合超幾何分布？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點2　服從超幾何分布的隨機變量的均值
設隨機變量X服從超幾何分布，則X可以解釋為從包含M件次品的N件產品中，不放回地隨機抽取n件產品中的次品數．令p＝，則p是N件產品的次品率，而是抽取的n件產品的次品率，則E(X)＝＝np．
1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)超幾何分布是不放回抽樣． (　　)
(2)超幾何分布的總體是只有兩類物品． (　　)
(3)超幾何分布與二項分布沒有任何聯系． (　　)
2．某10人組成興趣小組，其中有5名團員，從這10人中任選4人參加某種活動，用X表示4人中的團員人數，則P(X＝3)＝________．
3．已知100件產品中有10件次品，從中任取3件，則任意取出的3件產品中次品數的數學期望為______________________．
類型1　超幾何分布
　超幾何分布的判斷
【例1】　下列問題中，哪些屬于超幾何分布問題？說明理由．
(1)拋擲三枚骰子，所得向上的數是6的骰子的個數記為X，求X的分布列；
(2)有一批種子的發芽率為70%，任取10顆種子做發芽試驗，把試驗中發芽的種子的顆數記為X，求X的分布列；
(3)盒子中有紅球3個，黃球4個，藍球5個，任取3個球，把不是紅色的球的個數記為X，求X的分布列；
(4)某班級有男生25人，女生20人．選派4名學生參加學校組織的活動，班長必須參加，其中女生人數記為X，求X的分布列；
(5)現有100臺平板電腦未經檢測，抽取10臺送檢，把檢驗結果為不合格的平板電腦的臺數記為X，求X的分布列．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　判斷一個隨機變量是否服從超幾何分布的方法
(1)總體是否可分為兩類明確的對象．
(2)是否為不放回抽樣．
(3)隨機變量是否為樣本中其中一類個體的個數．
　超幾何分布的概率
【例2】　從放有10個紅球與15個白球的暗箱中，隨機摸出5個球，規定取到一個白球得1分，一個紅球得2分，求某人摸出5個球，恰好得7分的概率．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　(1)解答此類問題的關鍵是先分析隨機變量是否滿足超幾何分布．
(2)注意公式中M，N，n的含義．
[跟進訓練]
1．一個袋中有6個同樣大小的黑球，編號為1，2，3，4，5，6，還有4個同樣大小的白球，編號為7，8，9，10．現從中任取4個球，有如下幾種變量：
①X表示取出的最大號碼；
②Y表示取出的最小號碼；
③取出一個黑球記2分，取出一個白球記1分，ξ表示取出的4個球的總得分；
④η表示取出的黑球個數．
這四種變量中服從超幾何分布的是______________．(填序號)
2．袋中有大小、質地相同的4個紅球和3個黑球，一次性從袋中取出4個球，取到1個紅球得1分，取到1個黑球得3分．設得分為隨機變量X．則P(X≤7)＝________．
類型2　超幾何分布的分布列
【例3】　箱中裝有4個白球和m個黑球．規定取出一個白球得2分，取出一個黑球得1分，現從箱中任取3個球，假設每個球被取出的可能性都相等．記隨機變量X為取出的3個球的得分之和．
(1)若P(X＝6)＝，求m的值；
(2)當m＝3時，求X的分布列．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求超幾何分布的分布列的步驟
[跟進訓練]
3．從某小組的5名女生和4名男生中任選3人去參加一項公益活動．
(1)求所選3人中恰有1名男生的概率；
(2)求所選3人中男生人數X的分布列．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型3　超幾何分布的均值
【例4】　某大學志愿者協會有6名男同學，4名女同學．在這10名同學中，3名同學來自數學學院，其余7名同學來自物理、化學等其他互不相同的七個學院．現從這10名同學中隨機選取3名同學，到希望小學進行支教活動(每名同學被選到的可能性相同)．
(1)求選出的3名同學是來自互不相同學院的概率；
(2)設X為選出的3名同學中女同學的人數，求隨機變量X的分布列及均值．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求超幾何分布均值的步驟
(1)驗證隨機變量服從超幾何分布，并確定參數N，M，n的值．
(2)根據超幾何分布的概率計算公式計算出隨機變量取每一個值時的概率．
(3)利用均值公式求解．
[跟進訓練]
4．從5名女生和2名男生中任選3人參加英語演講比賽，設隨機變量ξ表示所選3人中男生的人數．
(1)求ξ的分布列；
(2)求ξ的均值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．(多選)下列隨機事件中的隨機變量X不服從超幾何分布的是(　　)
A．將一枚硬幣連拋3次，正面向上的次數X
B．從7名男生與3名女生共10名學生干部中選出5名優秀學生干部，選出女生的人數為X
C．某射手的命中率為0.8，現對目標射擊1次，記命中目標的次數為X
D．盒中有4個白球和3個黑球，每次從中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球時的總次數
2．一批產品共10件，次品率為20%，從中任取2件，則恰好取到1件次品的概率為(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
3．盒子里有5個球，其中3個白球，2個黑球，從中任取兩球，設取出白球的個數為ξ，則E(ξ)＝____________________．
4．在30瓶飲料中，有3瓶已過了保質期．從這30瓶飲料中任取2瓶，則至少取到1瓶已過了保質期飲料的概率為________．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．在產品抽樣檢驗中，若抽到的次品數服從超幾何分布，則抽樣有何特點？
2．超幾何分布的均值公式：E(X)＝np，與二項分布的均值公式一樣嗎？
7.4.2　超幾何分布
[必備知識·情境導學探新知]
知識點1　
思考　提示：在形式上適合超幾何分布的模型常有較明顯的兩部分組成，如“男生，女生”“正品，次品”“陽性，陰性”等．
課前自主體驗
1．(1)√　(2)√　(3)×
2．　[P(X＝3)＝．]
3．0.3　[因為次品數服從超幾何分布，
所以E(X)＝3×＝0.3．]
[關鍵能力·合作探究釋疑難]
例1　解：(1)(2)中樣本沒有分類，不是超幾何分布問題，是重復試驗問題．(3)(4)符合超幾何分布的特征，樣本都分為兩類，隨機變量X表示抽取n件樣本中某類樣本被抽取的件數，是超幾何分布．
(5)中沒有給出不合格產品數，無法計算X的分布列，所以不屬于超幾何分布問題．
例2　解：設摸出的紅球個數為X，則X服從超幾何分布，其中N＝25，M＝10，n＝5，由于摸出5個球，得7分，僅有恰好摸出兩個紅球、三個白球一種可能情況，那么恰好得7分的概率為P(X＝2)＝．
跟進訓練
1．④　[依據超幾何分布的數學模型及計數公式，知①②③中的變量不服從超幾何分布，④中的變量服從超幾何分布．]
2．　[取出的4個球中紅球的個數可能為4，3，2，1個，黑球相應個數為0，1，2，3個，其分值為X＝4，6，8，10，P(X≤7)＝P(X＝4)＋P(X＝6)＝．]
例3　解：(1)由題意得，只有當取出的3個球都是白球時，隨機變量X＝6，
所以P(X＝6)＝＝10，所以m＝1．
(2)由題意得，當m＝3時，X的可能取值為3，4，5，6．
P(X＝3)＝，
P(X＝4)＝，
P(X＝5)＝，
P(X＝6)＝，
所以X的分布列為
X 3 4 5 6
P
跟進訓練
3．解：(1)所選3人中恰有1名男生的概率P＝．
(2)X的可能取值為0，1，2，3，且X服從超幾何分布，
則P(X＝0)＝，
P(X＝1)＝，
P(X＝2)＝，
P(X＝3)＝．
∴X的分布列為
X 0 1 2 3
P
例4　解：(1)設“選出的3名同學是來自互不相同的學院”為事件A，則P(A)＝．所以選出的3名同學是來自互不相同的學院的概率為．
(2)依據條件，隨機變量X服從超幾何分布，其中N＝10，M＝4，n＝3，且隨機變量X的可能取值為0，1，2，3．
P(X＝k)＝，k＝0，1，2，3．
所以X的分布列為
X 0 1 2 3
P
所以隨機變量X的均值為E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.2(或E(X)＝＝1.2)．
跟進訓練
4．解：(1)由題知ξ的可能取值為0，1，2，
P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝，
P(ξ＝2)＝，
所以ξ的分布列為
ξ 0 1 2
P
(2)由(1)可得E(ξ)＝0×＋1×＋2×．
[學習效果·課堂評估夯基礎]
1．ACD　[由超幾何分布的定義可知僅B項是超幾何分布，故選ACD．]
2．B　[由題意知10件產品中有2件次品，故所求概率為P(X＝1)＝．]
3．　[E(ξ)＝．]
4．　[從這30瓶飲料中任取2瓶，設至少取到1瓶已過了保質期飲料為事件A，則P(A)＝．]
課堂小結
1．提示：抽樣方法為不放回抽樣．
2．提示：不一樣．在二項分布中，n為伯努利試驗重復的次數，p為成功概率；在超幾何分布中，n是抽取的產品件數，p是N件產品的次品率．7.5　正態分布
學習 任務 1．利用實際問題的直方圖，了解正態密度曲線的特點及曲線所表示的意義．(直觀想象) 2．了解變量落在區間[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]的概率大?。?數學運算) 3．會用正態分布去解決實際問題．(邏輯推理)
自然界與工程技術中的隨機變量是最常見的．諸如，機械加工中零件的幾何尺寸(直徑、長度、寬度、高度)、強度、質量、使用壽命這些變量都不具備離散型隨機變量的特點．它們的取值往往充滿某個區間甚至整個實軸，這種變量如何構建適當的概率模型刻畫隨機變量的分布？
知識點1　正態曲線
(1)連續型隨機變量
大量問題中的隨機變量不是離散型的，它們的取值往往充滿某個區間甚至________，但取一點的概率為________，我們稱這類隨機變量為連續型隨機變量．
(2)正態曲線的定義
我們稱f(x)＝________，x∈R，其中μ∈R，σ>0為參數，為正態密度函數，稱它的圖象為正態密度曲線，簡稱正態曲線．
(3)正態曲線的特點
①曲線位于x軸________，與x軸不相交．
②曲線與x軸之間的面積為________．
③曲線是單峰的，它關于直線________對稱．
④曲線在________處達到峰值．
⑤當|x|無限增大時，曲線無限接近________．
知識點2　正態分布
(1)定義：若隨機變量X的概率分布密度函數為f(x)＝，則稱隨機變量X服從正態分布，記為X～N(μ，σ2)．特別地，當μ＝0，σ＝1時，稱隨機變量X服從________．
(2)若X～N(μ，σ2)，則E(X)＝________，D(X)＝________．
(3)正態分布的特征
①當σ一定時，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿________平移，如圖1．
②當μ一定時，曲線的形狀由σ確定，當σ較小時，峰值高，曲線“________”，表示隨機變量X的分布比較集中；當σ較大時，峰值低，曲線“________”，表示隨機變量X的分布比較分散，如圖2．
(4)正態分布的幾何意義：若X～N(μ，σ2)，如圖所示，X取值不超過x的概率P(X≤x)為圖中區域A的面積，而P(a≤X≤b)為區域B的面積．
知識點3　正態總體在三個特殊區間內取值的概率及3σ原則
(1)三個特殊區間內取值的概率
若X～N(μ，σ2)，則
P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，
P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，
P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3．
(2)3σ原則
在實際應用中，通常認為服從正態分布N(μ，σ2)的隨機變量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，這在統計學中稱為3σ原則．
對于正態分布X～N(μ，σ2)而言，隨機變量X在[μ－3σ，μ＋3σ]之外取值幾乎不可能發生，它在產品檢查、質量檢驗中起著重要的作用．
1．(多選)以下關于正態密度曲線的說法中正確的有(　　)
A．曲線都在x軸的上方，左右兩側與x軸無限接近，最終可與x軸相交
B．曲線關于直線x＝μ對稱
C．曲線呈現“中間高，兩邊低”的鐘形形狀
D．曲線與x軸之間的面積為1
2．(多選)已知三個正態密度函數φi(x)＝(x∈R，i＝1，2，3)的圖象如圖所示，則下列結論正確的是(　　)
A．σ1＝σ2 B．μ1>μ3
C．μ1＝μ2 D．σ2<σ3
3．若隨機變量X～N(μ，σ2)，則P(X≤μ)＝________．
類型1　正態曲線及性質
【例1】　(1)如圖是一個正態曲線，總體隨機變量的均值μ＝________，方差σ2＝________；
(2)某正態密度函數是偶函數，而且該函數的最大值為，則總體落入區間[0，2]內的概率為________________．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　利用正態曲線的性質求參數μ，σ
(1)正態曲線是單峰的，它關于直線x＝μ對稱，由此性質結合圖象求μ．
(2)正態曲線在x＝μ處達到峰值，由此性質結合圖象求σ．
[跟進訓練]
1．某市組織一次高三調研考試，考試后統計的數學成績X(單位：分)服從正態分布，其正態密度函數為f(x)＝，則下列說法不正確的是(　　)
A．這次考試的數學平均成績為80分
B．分數在120分以上的人數與分數在60分以下的人數相同
C．分數在110分以上的人數與分數在50分以下的人數相同
D．這次考試的數學成績的標準差為10
類型2　服從正態分布的隨機變量的概率
【例2】　(1)已知隨機變量X～N(5，1)，且P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，求P(6≤X≤7)．
(2)設隨機變量X～N(2，9)，若P(X>c＋1)＝P(X①求c的值；
②求P(－4≤X≤8)．
附：若隨機變量X～N(μ，σ2)，則P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5．
[思路導引]　—
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　利用正態分布求概率的兩個方法
(1)對稱法：由于正態曲線是關于直線x＝μ對稱的，且概率的和為1，故關于直線x＝μ對稱的區間上概率相等．如：
①P(X②P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)．
(2)“3σ”法：利用X落在區間[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]內的概率分別是0.682 7，0.954 5，0.997 3求解．
[跟進訓練]
2．設ξ～N(1，22)，試求：
(1)P(－1≤ξ≤3)；
(2)P(3≤ξ≤5)；
(3)P(ξ≥5)．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型3　正態分布的實際應用
【例3】　(源自湘教版教材)在某次數學考試中，假設考生的成績ξ服從正態分布ξ～N(90，100)．
(1)求考試成績ξ位于區間(70，110)上的概率；
(2)若這次考試共有2 000名考生，試估計考試成績在(80，100)間的考生大約有多少人．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　解答正態分布的實際應用題，其關鍵是轉化，把普通的區間轉化為3σ區間，由特殊區間的概率值求出．同時應熟練掌握正態分布在[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]三個區間內的概率，在此過程中用到歸納思想和數形結合思想．
[跟進訓練]
3．某廠生產的圓柱形零件的外直徑X(單位：cm)服從正態分布N(4，0.52)．質檢人員從該廠生產的1 000件零件中隨機抽查1件，測得它的外直徑為5.7 cm，試問：該廠生產的這批零件是否合格？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．如圖是正態分布(σ1，σ2，σ3>0)對應的曲線，則σ1，σ2，σ3的大小關系是(　　)
A．σ1>σ2>σ3 B．σ3>σ2>σ1
C．σ1>σ3>σ2 D．σ2>σ1>σ3
2．設隨機變量X～N(2，σ2)，若P(X≤1－a)＋P(X≤1＋2a)＝1，則實數a＝(　　)
A．0　　　B．1　　　C．2　　　D．4
3．某種零件的尺寸X(單位：cm)服從正態分布N(3，1)，則不屬于區間[1，5]這個尺寸范圍的零件數約占總數的________．
4．某班有50名學生，一次考試的數學成績ξ服從正態分布N(100，σ2)，已知P(90≤ξ≤100)＝0.3，估計該班學生數學成績在110分以上的人數為________．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．你能寫出三個常用的概率值嗎？
2．正態密度曲線有哪些特征？
7.5　正態分布
[必備知識·情境導學探新知]
知識點1　(1)整個實軸　0　(2)　(3)上方　1　x＝μ　x＝μ　x軸
知識點2　(1)標準正態分布　(2)μ　σ2　(3)x軸　瘦高　矮胖
課前自主體驗
1．BCD　[A中正態密度曲線與x軸永遠不相交，A錯，其余均正確．]
2．AD　[根據正態曲線關于直線x＝μ對稱，且μ越大，圖象越靠右，
可知μ1<μ2＝μ3，故B、C錯誤；
因為σ越小，數據越集中，圖象越瘦高，
所以σ1＝σ2<σ3，故A、D正確．]
3．　[由于隨機變量X~N(μ，σ2)，其正態密度曲線關于直線x＝μ對稱，故P(X≤μ)＝．]
[關鍵能力·合作探究釋疑難]
例1　(1)20　2　(2)0.47725　[(1)從給出的正態曲線可知，該正態曲線關于直線x＝20對稱，最大值是，
所以μ＝20，，解得σ＝，
因此總體隨機變量的均值μ＝20，方差σ2＝()2＝2．
(2)正態密度函數是f(x)＝·，x∈(－∞，＋∞)．若它是偶函數，則μ＝0．
∵f(x)的最大值為f(μ)＝，
∴σ＝1，
∴P(0≤X≤2)＝P(－2≤X≤2)＝P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈×0.9545＝0.47725．]
跟進訓練
1．B　[由函數解析式知這次考試的數學平均成績為80分，標準差為10，故A，D正確．因為函數圖象關于直線x＝80對稱，所以分數在120分以上的人數與分數在40分以下的人數相同；分數在110分以上的人數與分數在50分以下的人數相同，故B錯誤，C正確．]
例2　解：(1)由隨機變量X~N(5，1)知，μ＝5，σ＝1，所以P(4≤X≤6)≈0.6827，P(3≤X≤7)≈0.9545，
所以P(6≤X≤7)＝[P(3≤X≤7)－P(4≤X≤6)]≈0.1359．
(2)①由X~N(2，9)可知，正態曲線關于直線x＝2時稱．
因為P(X>c＋1)＝P(X所以2－(c－1)＝(c＋1)－2，
解得c＝2．
②由X~N(2，9)知μ＝2，σ＝3，
所以P(－4≤X≤8)＝P(2－2×3≤X≤2＋2×3)＝P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545．
跟進訓練
2．解：因為ξ~N(1，22)，所以μ＝1，σ＝2．
(1)P(－1≤ξ≤3)＝P(1－2≤ξ≤1＋2)
＝P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)
≈0.6827．
(2)因為P(3≤ξ≤5)＝P(－3≤ξ≤－1)，
所以P(3≤ξ≤5)＝[P(－3≤ξ≤5)－P(－1≤ξ≤3)]
＝[P(1－4≤ξ≤1＋4)－P(1－2≤ξ≤1＋2)]
＝[P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)－P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)]
≈(0.9545－0.6827)
＝0.1359．
(3)P(ξ≥5)＝P(ξ≤－3)＝[1－P(－3≤ξ≤5)]
＝[1－P(1－4≤ξ≤1＋4)]
＝[1－P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)]
≈(1－0.9545)
＝0.02275．
例3　解：因為ξ~N(90，100)，
所以μ＝90，σ＝＝10．
(1)由正態分布的性質可知，考生成績在μ－2σ＝90－2×10＝70和μ＋2σ＝90＋2×10＝110之間的概率約為0.9545．
(2)由正態分布的性質可知，考生成績在μ－σ＝80和μ＋σ＝100之間的概率是0.6827．又因為一共有2000名學生參加考試，因此考試成績在(80，100)間的考生大約有2000×0.6827≈1365(人)．
跟進訓練
3．解：由于外直徑X~N(4，0.52)，則X在[4－3×0.5，4＋3×0.5]之內取值的概率為0.9973，在[2.5，5.5]之外取值的概率為0.0027，
而5.7 [2.5，5.5]，這說明在一次試驗中，出現了幾乎不可能發生的小概率事件，據此可以認為這批零件是不合格的．
[學習效果·課堂評估夯基礎]
1．A　[由σ的意義可知，圖象越瘦高，數據越集中，σ越小，故有σ1>σ2>σ3．]
2．C　[因為P(X≤1－a)＋P(X≤1＋2a)＝1，所以P(X≤1＋2a)＝1－P(X≤1－a)＝P(X>1－a)．因為X~N(2，σ2)，所以1＋2a＋1－a＝2×2，所以a＝2．]
3．4.55%　[屬于區間[μ－2σ，μ＋2σ]，即區間[1，5]的取值概率約為95.45%，故不屬于區間[1，5]這個尺寸范圍的零件數約占總數的1－95.45%＝4.55%．]
4．10　[由題意知，P(ξ>110)＝＝0.2，故估計該班學生數學成績在110分以上的人數為0.2×50＝10．]
課堂小結
1．提示：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827．
P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545．
P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973．
2．提示：(1)集中性：正態曲線的高峰位于正中央．
(2)對稱性：正態曲線關于x＝μ對稱且不與x軸相交．
(3)均勻變動性：正態曲線由峰值開始，分別向左右兩側逐漸均勻下降．微專題2　離散型隨機變量均值與方差的實際應用
離散型隨機變量的均值反映了隨機變量取值的平均水平，方差反映了隨機變量取值的穩定與波動、集中與離散的程度，因此在實際決策問題中，常借助均值與方差的取值來決策一些實際問題．
類型1　均值的實際應用
【例1】　(2021·新高考Ⅰ卷)某學校組織知識競賽，有A，B兩類問題．每位參加比賽的同學先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學比賽結束；若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結束．A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分．
已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關．
(1)若小明先回答A類問題，記X為小明的累計得分，求X的分布列；
(2)為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答哪類問題？說明理由．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　解答概率模型的三個步驟
(1)建模：即把實際問題概率模型化．
(2)解模：確定分布列，計算隨機變量的均值．
(3)回歸：利用所得數據，對實際問題做出判斷．
類型2　方差的實際應用
【例2】　甲、乙兩名工人加工同一種零件，兩人每天加工的零件數相同，所得次品數分別為X，Y，且X和Y的分布列如下表：
X 0 1 2
P 0.6 0.1 0.3
Y 0 1 2
P 0.5 0.3 0.2
根據次品數的均值和方差，試對這兩名工人的技術水平進行比較．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　隨機變量的均值反映了隨機變量取值的平均水平，方差反映了隨機變量穩定于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫了隨機變量，是生產實際中用于方案取舍的重要理論依據．一般先比較均值，若均值相同，再用方差來決定．
類型3　決策問題
　均值在決策問題中的應用
【例3】　甲、乙兩家外賣公司，其送餐員的日工資方案如下：甲公司的底薪80元，每單抽成4元；乙公司無底薪，40單以內(含40單)的部分每單抽成6元，超出40單的部分每單抽成7元，假設同一公司送餐員一天的送餐單數相同，現從兩家公司各隨機抽取一名送餐員，并分別記錄其50天的送餐單數，得到如下頻數表：
甲公司送餐員送餐單數頻數表：
送餐單數 38 39 40 41 42
天數 10 15 10 10 5
乙公司送餐員送餐單數頻數表：
送餐單數 38 39 40 41 42
天數 5 10 10 20 5
若將頻率視為概率，回答下列問題．
(1)記乙公司送餐員日工資為X(單位：元)，求X的分布列和均值；
(2)小王打算到甲、乙兩家公司中的一家應聘送餐員，如果僅從日工資的角度考慮，請利用所學的統計學知識為小王作出選擇，并說明理由．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　數學期望在決策型問題中的應用
數學期望是隨機變量的數字特征之一，它代表了隨機變量總體取值的平均水平．隨著社會的進步和經濟的發展，數學期望在日常生活中和經濟活動中的運用越來越廣，如個人的采購，投資風險分析，企業的生產和經營方案等，經常需要對事物的進展情況進行決策，以便用最有利的方式來采取行動．人們常把數學期望作為決策參考的重要依據，應用數學期望討論某些經濟問題，從而得到一些有意義的結論．
　方差在決策問題中的應用
【例4】　某投資公司對以下兩個項目進行前期市場調研．項目A：通信設備．根據調研，投資到該項目上，所有可能結果為獲利40%、虧損20%、不賠不賺，且這三種情況發生的概率分別為，a．項目B：新能源汽車．根據調研，投資到該項目上，所有可能結果為獲利30%、虧損10%，且這兩種情況發生的概率分別為b，c．
經測算，當投入A，B兩個項目的資金相等時，它們所獲得的平均收益(即均值)也相等．
(1)求a，b，c的值；
(2)若將100萬元全部投到其中一個項目，請你從投資回報穩定性的角度考慮，為投資公司選擇一個合理的項目，并說明理由．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　均值、方差在決策中的作用
(1)均值：均值反映了離散型隨機變量取值的平均水平，均值越大，平均水平越高．
(2)方差：方差反映了離散型隨機變量取值的離散波動程度，方差越大越不穩定．
(3)在決策中常結合實際情形依據均值、方差做出決斷．
微專題2　離散型隨機變量均值與方差的實際應用
例1　解：(1)由題意得，X的所有可能取值為0，20，100，
P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，
P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32，
P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48，
所以X的分布列為
X 0 20 100
P 0.2 0.32 0.48
(2)當小明先回答A類問題時，由(1)可得E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4．
當小明先回答B類問題時，記Y為小明的累計得分，
則Y的所有可能取值為0，80，100，
P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4，
P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12，
P(Y＝100)＝0.6×0.8＝0.48，
所以Y的分布列為
Y 0 80 100
P 0.4 0.12 0.48
E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6．
因為57.6>54.4，即E(Y)>E(X)，所以為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答B類問題．
例2　解：E(X)＝0.1＋0.6＝0.7，
D(X)＝0.72×0.6＋0.32×0.1＋1.32×0.3＝0.294＋0.009＋0.507＝0.81．
E(Y)＝0.3＋0.4＝0.7，
D(Y)＝0.72×0.5＋0.32×0.3＋1.32×0.2＝0.245＋0.027＋0.338＝0.61．
E(X)＝E(Y)，D(X)>D(Y)，
兩者的均值相同，但乙的穩定性比甲好，故可認為乙的技術水平更高．
例3　解：(1)設乙公司送餐員送餐單數為a，
當a＝38時，X＝38×6＝228，P＝；
當a＝39時，X＝39×6＝234，P＝；
當a＝40時，X＝40×6＝240，P＝；
當a＝41時，X＝40×6＋1×7＝247，P＝；
當a＝42時，X＝40×6＋2×7＝254，P＝，
故X的所有可能取值為228，234，240，247，254．
故X的分布列為
X 228 234 240 247 254
P
故E(X)＝228×＋234×＋240×＋247×＋254×＝241.8(元)．
(2)甲公司送餐員日平均送餐單數為
38×0.2＋39×0.3＋40×0.2＋41×0.2＋42×0.1＝39.7，
則甲公司送餐員日平均工資為80＋4×39.7＝238.8(元)，
因為乙公司送餐員日平均工資為241.8元，238.8<241.8，
所以推薦小王去乙公司應聘．
例4　解：(1)依題意，得＋a＝1，解得a＝．
設投到項目A，B的資金都為x萬元，變量X1和X2分別表示投資項目A和B所獲得的利潤，
則X1和X2的分布列分別為
X1 0.4x －0.2x 0
P
X2 0.3x －0.1x
P b c
所以E(X1)＝0.4x×＋(－0.2x)×＋0×＝0.2x，
E(X2)＝0.3bx－0.1cx，
因為E(X1)＝E(X2)，
所以0.3bx－0.1cx＝0.2x，
即0.3b－0.1c＝0.2． ①
又b＋c＝1， ②
由①②，解得b＝，c＝，
所以a＝，b＝，c＝．
(2)選擇項目B．理由如下：
當投入100萬元資金時，由(1)知x＝100，所以E(X1)＝E(X2)＝20，
D(X1)＝(40－20)2×＋(－20－20)2×＋(0－20)2×＝600，
D(X2)＝(30－20)2×＋(－10－20)2×＝300．
因為E(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2)，說明雖然項目A和項目B的平均收益相等，但項目B更穩妥，所以從風險回報穩定性的角度考慮，建議該投資公司選擇項目B．微專題3　二項分布與超幾何分布的綜合應用
1．建立模型
袋子中有大小相同的N個球，其中有M個紅球、N－M個白球，令p＝，設X表示摸出的n個球中紅球的個數，則：
摸球方式 X的分布 E(X) D(X)
放回摸球 二項分布B(n，p) np np(1－p)
不放回摸球 參數為N，n，M的超幾何分布 np np(1－p)
2．二項分布與超幾何分布的聯系與區別
(1)由古典概型得出超幾何分布，由n重伯努利試驗得出二項分布，放回摸球是二項分布，不放回摸球是超幾何分布．
(2)對于同一個模型，兩個分布的均值相同，但超幾何分布的方差較小，說明超幾何分布中隨機變量的取值更集中于均值附近．
(3)對于不放回摸球，當N充分大，且n遠遠小于N時，各次抽樣結果彼此影響很小，可近似認為是獨立的．此時，超幾何分布可以用二項分布近似．從方差的角度看，由于≈1，兩個分布的方差也近似相等．
(4)在確定分布列時，超幾何分布必須同時知道N和M，而二項分布只需要知道p＝即可．
類型1　二項分布的綜合應用
【例1】　(2023·河南開封尉氏三中月考)在一次測試中，第22，23，24題為選做題，規定每名考生必須從中選做一題，設5名考生選做這三題中任意一題的可能性均為，每名考生對每題的選擇是相互獨立的，各考生的選擇相互之間沒有影響．
(1)求其中甲、乙兩人選做同一題的概率；
(2)設選做第23題的人數為ξ，求ξ的分布列、數學期望及方差．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　(1)解題的關鍵是判定隨機變量ξ服從二項分布，確定參數n和p的值．
(2)根據二項分布的概率列出分布列．
(3)利用定義或二項分布的性質求二項分布的均值和方差．
類型2　超幾何分布的綜合應用
【例2】　某大學志愿者協會有10名同學，成員構成如表所示．表中部分數據不清楚，只知道從這10名同學中隨機抽取1名同學，該名同學的專業為數學的概率為．
性別 中文 英語 數學 體育
男 n 1 m 1
女 1 1 1 1
現從這10名同學中隨機選取3名同學參加社會公益活動(每名同學被選到的可能性相同)．
(1)求m，n的值；
(2)求選出的3名同學恰為專業互不相同的男生的概率；
(3)設ξ為選出的3名同學中是女生或專業為數學的人數，求隨機變量ξ的分布列、均值及方差．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　解決超幾何分布問題的兩個關鍵點
(1)超幾何分布是概率分布的一種形式，一定要注意公式中字母的范圍及其意義，解決問題時可以直接利用公式求解，但不能機械地記憶．
(2)超幾何分布中，只要知道M，N，n就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X＝k)，從而求出X的分布列，利用均值、方差的定義求出隨機變量的均值和方差．
類型3　二項分布與超幾何分布的綜合應用
【例3】　某高校通過自主招生方式招收一名優秀的高三畢業生，經過層層篩選，甲、乙兩名學生進入最后測試，該校設計了一個測試方案：甲、乙兩名學生各自從6個問題中隨機抽3個．已知這6個問題中，學生甲能正確回答其中的4個問題，而學生乙能正確回答每個問題的概率均為，甲、乙兩名學生對每個問題的回答都是相互獨立、互不影響的．
(1)求甲、乙兩名學生共答對2個問題的概率．
(2)請從期望和方差的角度分析，甲、乙兩名學生哪名被錄取的可能性更大？
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　(1)根據題意，確定是二項分布還是超幾何分布模型．
(2)根據超幾何分布與二項分布的分布列和性質求出隨機變量的均值和方差．
(3)利用均值與方差的意義進行決策判斷．
微專題3　二項分布與超幾何分布的綜合應用
例1　解：(1)設事件A1表示甲選做第22題，A2表示甲選做第23題，A3表示甲選做第24題，B1表示乙選做第22題，B2表示乙選做第23題，B3表示乙選做第24題，
依題意知P(Ai)＝P(Bi)＝，i＝1，2，3，記甲、乙兩人選做同一題為事件M，則M＝A1B1＋A2B2＋A3B3，易知A1與B1，A2與B2，A3與B3均相互獨立，
∴P(M)＝P(A1B1＋A2B2＋A3B3)＝P(A1)P(B1)＋P(A2)P(B2)＋P(A3)P(B3)＝××3＝．
(2)ξ的可能取值為0，1，2，3，4，5．
∵5名考生選做這三題中任意一題的可能性均為，
∴P(ξ＝k)＝＝·，k＝0，1，2，3，4，5，
∴ξ的分布列為
ξ 0 1 2 3 4 5
P
∴E(ξ)＝5×，
D(ξ)＝5×＝．
例2　解：(1)設事件A為“從10名同學中隨機抽取1名同學，該名同學的專業為數學”，
由題意，可知數學專業的同學共有(1＋m)名，
則P(A)＝，解得m＝3．
因為m＋n＋6＝10，所以n＝1．
(2)設事件B為“選出的3名同學恰為專業互不相同的男生”，
則P(B)＝．
(3)由題意，可知這10名同學中是女生或專業為數學的人數為7，
ξ的可能取值為0，1，2，3．
P(ξ＝0)＝，
P(ξ＝1)＝，
P(ξ＝2)＝，
P(ξ＝3)＝．
所以ξ的分布列為
ξ 0 1 2 3
P
∴數學期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝．
方差D(ξ)＝＝．
例3　解：(1)由題意得，甲、乙兩名學生共答對2個問題的概率：
P＝＝．
(2)設學生甲答對的題數為X，則X的所有可能取值為1，2，3，
P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，
E(X)＝1×＋2×＋3×＝2，
D(X)＝(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×．
設學生乙答對的題數為Y，則Y的所有可能取值為0，1，2，3，
由題意知Y～B，E(Y)＝3×＝2，D(Y)＝3×＝，
E(X)＝E(Y)，D(X)類型1　條件概率與全概率公式
(1)條件概率是概率的重要內容之一，是后續學習的基礎．在高考中經常涉及，一般以選擇和填空的形式考查，試題難度不大，屬基礎題．求條件概率的常用方法為：
①定義法，分別求出P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝．
②借助古典概型公式，先求事件A包含的基本事件數n(A)，再在事件A發生的條件下求事件B包含的基本事件數n(AB)，得P(B|A)＝．
(3)掌握條件概率與全概率運算，重點提升邏輯推理和數學運算的核心素養．
【例1】　某投籃小組共有20名投手，其中一級投手4人，二級投手8人，三級投手8人，一、二、三級投手能通過選拔進入比賽的概率分別是0.9，0.7，0.4．求任選一名投手能通過選拔進入比賽的概率．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型2　分布列、期望與方差的綜合應用
(1)均值和方差都是隨機變量的重要的數字特征，方差是建立在均值的基礎之上，它表明了隨機變量所取的值相對于它的均值的集中與離散程度，二者的聯系密切，在現實生產生活中的應用比較廣泛．
(2)掌握離散型隨機變量的分布列、均值和方差，重點提升邏輯推理與運算的核心素養．
【例2】　甲、乙兩人進行定點投籃游戲，投籃者若投中，則繼續投籃，否則由對方投籃；第一次由甲投籃，已知每次投籃甲、乙命中的概率分別為．
(1)求第三次由乙投籃的概率；
(2)在前3次投籃中，乙投籃的次數為X，求X的分布列、均值及標準差．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型3　兩種特殊概率分布的均值與方差
(1)若X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
特別地，若X服從兩點分布，則E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．
(2)若X服從參數M，n，N的超幾何分布，則E(X)＝．
(3)掌握二項分布與超幾何分布的均值與方差，提高數據分析、數學運算的核心素養．
　二項分布的均值、方差
【例3】　某廠有4臺大型機器，在一個月中，一臺機器至多出現1次故障，且每臺機器是否出現故障是相互獨立的，出現故障時需1名工人進行維修，每臺機器出現故障需要維修的概率為．
(1)求機器出現故障臺數的分布列、數學期望和方差；
(2)已知1名工人每月只有維修1臺機器的能力，每月需支付給每名工人1萬元的工資，每臺機器不出現故障或出現故障能及時維修，能使該廠產生5萬元的利潤，否則將不產生利潤．若該廠現有2名工人，求該廠每月獲利的均值．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　超幾何分布的均值、方差
【例4】　某學院為了調查本校學生2023年4月“健康上網”(健康上網是指每天上網不超過兩個小時)的天數情況，隨機抽取了40名本校學生，統計他們在該月30天內健康上網的天數，并將所得的數據分成以下六組：[0，5]，(5，10]，(10，15]，…，(25，30]，由此畫出樣本的頻率分布直方圖，如圖所示．
(1)根據頻率分布直方圖，求這40名學生中健康上網天數超過20天的人數；
(2)現從這40名學生中任取2名，設Y為取出的2名學生中健康上網天數超過20天的人數，求Y的分布列及均值E(Y)．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型4　正態分布與二項分布、超幾何分布的綜合應用
(1)解答正態分布的實際應用題，關鍵是如何轉化，同時注意以下兩點：
①注意“3σ”原則，記住正態總體在三個區間內取值的概率．
②注意數形結合．由于正態密度曲線具有完美的對稱性，體現了數形結合的重要思想，因此運用對稱性和結合圖象解決某一區間內的概率問題成為熱點問題．
(2)掌握正態分布的實際應用問題，提升數據分析、數學建模的核心素養．
【例5】　(2023·廣東茂名聯考)當前，以“立德樹人”為目標的課程改革正在有序推進．高中聯招對初三畢業學生進行體育測試，是激發學生、家長和學校積極開展體育活動，保證學生健康成長的有效措施．某地區2022年初中畢業生升學體育考試規定，考生必須參加立定跳遠、擲實心球、1分鐘跳繩三項測試，三項考試滿分為50分，其中立定跳遠15分，擲實心球15分，1分鐘跳繩20分．某學校在初三上學期開始時想要掌握全年級學生每分鐘跳繩的情況，隨機抽取了100名學生進行測試，得到如下頻率分布直方圖，且規定計分規則如表．
每分鐘跳繩個數 得分
[165，175) 16
[175，185) 17
[185，195) 18
[195，205) 19
[205，215] 20
(1)現從抽取的100名學生中，任意選取2人，求兩人得分之和不大于33分的概率；
(2)若該校初三年級所有學生的跳繩個數X服從正態分布N(μ，σ2)，用樣本數據的平均值和方差估計總體的平均值和方差(結果四舍五入到整數)，已知樣本方差s2≈77.8(各組數據用該組區間中點值代替)．根據往年經驗，該校初三年級學生經過一年的訓練，正式測試時每人每分鐘跳繩個數都有明顯進步，假設明年正式測試時每人每分鐘跳繩個數比初三上學期開始時的個數增加10，利用新得的正態分布模型解決下列問題．
(ⅰ)若全年級恰好有1 000名學生，試估計正式測試時每分鐘跳193個及以上的人數；(結果四舍五入到整數)
(ⅱ)若在該地區所有初三畢業生中任意選取3人，記正式測試時每分鐘跳202個及以上的人數為ξ，求隨機變量ξ的分布列和期望．
附：若隨機變量X服從正態分布N(μ，σ2)，σ＝≈9，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
章末綜合提升
例1　解：設Ai＝“選出的i級投手”，i＝1，2，3，B＝“選出的投手能通過選拔進入比賽”，
則A1∪A2∪A3＝Ω，且A1，A2，A3兩兩互斥．
由題意知P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，且P(B|A1)＝0.9，P(B|A2)＝0.7，P(B|A3)＝0.4，
則P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)
＝×0.9＋×0.7＋×0.4＝0.62，
即任選一名投手能通過選拔進入比賽的概率為0.62．
例2　解：(1)由題意知第三次由乙投籃的概率
P＝××．
(2)由題意，得X的所有可能取值為0，1，2，
P(X＝0)＝×．
P(X＝1)＝××，
P(X＝2)＝×．
故X的分布列為
X 0 1 2
P
E(X)＝0×＋1×＋2×，
D(X)＝＝．
∴σ(X)＝．
例3　解：(1)設“機器出現故障”為事件A，則P(A)＝．
設出現故障的機器臺數為X，
則X～B，
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝．
故X的分布列為
X 0 1 2 3 4
P
∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝．
D(X)＝np(1－p)＝4××．
(2)設該廠獲利為Y萬元，則Y的所有可能取值為18，13，8，
P(Y＝18)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝，
P(Y＝13)＝P(X＝3)＝，
P(Y＝8)＝P(X＝4)＝．
故Y的分布列為
Y 18 13 8
P
所以E(Y)＝18×＋13×＋8×(萬元)，
故該廠獲利的均值為萬元．
例4　解：(1)由題圖可知，健康上網天數未超過20天的頻率為(0.01＋0.02＋0.03＋0.09)×5＝0.15×5＝0.75，
所以健康上網天數超過20天的學生人數是
40×(1－0.75)＝40×0.25＝10．
(2)隨機變量Y的所有可能取值為0，1，2，
且Y服從超幾何分布，
所以P(Y＝0)＝，
P(Y＝1)＝，
P(Y＝2)＝．
所以Y的分布列為
Y 0 1 2
P
所以Y的均值E(Y)＝1×＋2×．
例5　解：(1)兩人得分之和不大于33分，即兩人得分均為16分，或兩人中1人得分為16分，1人得分為17分，
由題圖知，得分為16分的有0.005×10×100＝5(人)，得分為17分的有0.009×10×100＝9(人)，
∴兩人得分之和不大于33分的概率P＝．
(2)(ⅰ)由題意可知，該校初三年級所有學生的跳繩個數的平均值為170×0.05＋180×0.09＋190×0.5＋200×0.3＋210×0.06＝192.3≈192(個)，
∵樣本方差s2≈77.8，∴s≈9，∴正式測試時，μ＝202，σ＝9，
∴μ－σ＝193，μ＋σ＝211，
∴P(ξ≥193)≈1－＝0.84135，又0.84135×1000＝841.35≈841，
∴正式測試時每分鐘跳193個及以上的人數為841．
(ⅱ)由(ⅰ)可知在該地區所有初三畢業生中任取1人，其每分鐘跳繩個數為202及以上的概率為，故ξ～B，
P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝，
∴ξ的分布列為
ξ 0 1 2 3
P
E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×．

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