資源簡介

9.1　隨機抽樣
9.1.1　簡單隨機抽樣
學習任務 1．通過實例，了解簡單隨機抽樣的含義及其解決問題的過程．(數學抽象) 2．掌握兩種簡單隨機抽樣方法：抽簽法和隨機數法．(數據分析) 3．會計算樣本均值，了解樣本與總體的關系．(數據分析)
某報告稱，食品質量檢測人員對某品牌牛奶的抽檢合格率為99.9%，你知道這一數據是怎么得到的嗎？
知識點1　全面調查和抽樣調查
項目 全面調查 抽樣調查
定義 對______調查對象都進行調查的方法，稱為全面調查，又稱普查 根據一定目的，從總體中__________個體進行調查，并以此為依據對總體的情況作出____和____的調查方法，稱為抽樣調查
相關概念 總體：在一個調查中，我們把______________稱為總體． 個體：組成總體的______________稱為個體 樣本：我們把從總體中抽取的______個體稱為樣本． 樣本量：樣本中包含的______稱為樣本量
知識點2　簡單隨機抽樣
放回簡單隨機抽樣 不放回簡單隨機抽樣
一般地，設一個總體含有N(N為正整數)個個體，從中____抽取n(1≤n＜N)個個體作為樣本
如果抽取是放回的，且每次抽取時總體內的各個個體被抽到的概率都____，我們把這樣的抽樣方法叫做放回簡單隨機抽樣 如果抽取是不放回的，且每次抽取時總體內____________________被抽到的概率都相等，我們把這樣的抽樣方法叫做不放回簡單隨機抽樣
簡單隨機抽樣：放回簡單隨機抽樣和不放回簡單隨機抽樣統稱為簡單隨機抽樣．通過簡單隨機抽樣獲得的樣本稱為簡單隨機樣本．除非特殊聲明，所稱的簡單隨機抽樣指不放回簡單隨機抽樣
知識點3　簡單隨機抽樣的方法
1．抽簽法
先把總體中的個體編號，然后把所有編號寫在外觀、質地等無差別的小紙片(也可以是卡片、小球等)上作為號簽，并將這些小紙片放在一個______的盒里，充分攪拌．最后從盒中不放回地逐個抽取號簽，使與號簽上的編號對應的個體進入樣本，直到抽足樣本所需要的個體數．
2．隨機數法
(1)定義：先把總體中的個體編號，用隨機數工具產生與總體中個體數量相等的整數隨機數，把產生的隨機數作為抽中的編號，并剔除重復的編號，直到抽足樣本所需要的個體數．
(2)產生隨機數的方法：①用隨機試驗生成隨機數．②用信息技術生成隨機數．
1．簡單隨機抽樣具備哪些特點？
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
知識點4　總體均值和樣本均值
1．總體均值：一般地，總體中有N個個體，它們的變量值分別為Y1，Y2，…，YN，則稱＝__________＝為總體均值，又稱總體平均數．
2．總體均值加權平均數的形式：如果總體的N個變量值中，不同的值共有k(k≤N)個，不妨記為Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出現的頻數fi(i＝1，2，…，k)，則總體均值還可以寫成加權平均數的形式＝__________．
3．樣本均值：如果從總體中抽取一個容量為n的樣本，它們的變量值分別為y1，y2，…，yn，則稱＝__________＝為樣本均值，又稱樣本平均數．
2．總體均值與樣本均值有何區別與聯系？
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)從某廠生產的3 000件產品中抽取600件進行質量檢驗，適合用抽簽法． (　　)
(2)從某廠生產的兩箱(每箱15件)產品中抽取6件進行質量檢驗，適合用抽簽法． (　　)
(3)從某廠生產的3 000件產品中抽取10件進行質量檢驗，適合用隨機數法． (　　)
(4)利用隨機數法抽取樣本時，選定的初始數是任意的，但讀數的方向只能是從左向右讀． (　　)
(5)利用隨機數法抽取樣本時，若總體容量為100，則給每個個體分別編號為1，2，3，…，100． (　　)
2．某校共有1 000名高三學生參加2023年上學期開學考試，為了了解這1 000名學生的數學成績，決定從中抽取50名學生的數學成績進行統計分析．在此抽樣過程中，總體是________；個體是________；樣本是______；樣本量是________．
3．從一個籃球訓練營中抽取10名學員進行投籃比賽，每人投10次，統計出該10名學員投籃投中的次數，4個投中5次，3個投中6次，2個投中7次，1個投中8次，則該訓練營10名學員投中的平均次數為________．
類型1　簡單隨機抽樣的理解
【例1】　(1)從52名學生中選取5名學生參加“希望杯”全國數學邀請賽，若采用簡單隨機抽樣抽取，則每人入選的可能性(　　)
A．都相等，且為　　 B．都相等，且為
C．都相等，且為　 D．都不相等
(2)下列抽樣中，是簡單隨機抽樣的是________．(填序號)
①倉庫中有1萬支奧運火炬，從中一次性抽取100支火炬進行質量檢查；
②某班從50名同學中，選出5名數學成績最優秀的同學代表本班參加數學競賽；
③一彩民選號，從裝有36個大小、形狀都相同的號簽的盒子中無放回地抽出6個號簽．
[嘗試解答]　_________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
　判斷一個抽樣是不是簡單隨機抽樣，一定要看它是否滿足簡單隨機抽樣的特點，這是判斷的唯一標準．
[跟進訓練]
1．(1)在簡單隨機抽樣中，某一個個體被抽到的可能性(　　)
A．與第幾次抽樣有關，第一次抽到的可能性大一些
B．與第幾次抽樣無關，每次抽到的可能性都相等
C．與第幾次抽樣有關，最后一次抽到的可能性要大些
D．與第幾次抽樣無關，每次都是等可能地抽取，但各次抽取的可能性不一定
(2)為了進一步嚴厲打擊交通違法，交警隊在某一路口隨機抽查司機是否酒駕，這種抽查是(　　)
A．簡單隨機抽樣　　　 B．抽簽法
C．隨機數法　 D．以上都不對
類型2　抽簽法與隨機數法的應用
【例2】　某班有50名學生，要從中隨機地抽出6人參加一項活動，請分別寫出利用抽簽法和隨機數法抽取該樣本的過程．
[嘗試解答]　_________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
　抽簽法、隨機數法的步驟
[跟進訓練]
2．(1)福利彩票“雙色球”中紅球的號碼可以從01，02，03，…，32，33這33個兩位號碼中選取，小明利用如下所示的隨機數表選取紅色球的6個號碼，選取方法是從第1行第9列的數字開始，從左到右依次讀取數據，則第四個被選中的紅色球的號碼為(　　)
81 47 23 68 63 93 17 90 12 69 86 81 62 93 50 60 91 33 75 85 61 39 85
06 32 35 92 46 22 54 10 02 78 49 82 18 86 70 48 05 46 88 15 19 20 49
A．12　　　B．33　　　C．06　　　D．16
(2)現從報名的某高校30名志愿者中選取6人組成志愿小組，請用抽簽法設計抽樣方案．
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
類型3　用樣本的平均數估計總體的平均數
【例3】　某班進行個人投籃比賽，受污損的下表記錄了在規定時間內投入n個球的人數分布情況，同時，已知進球3個或3個以上的人平均每人投進3.5個球，進球4個或4個以下的人平均每人投進2.5個球，問投進3個球和4個球的各有多少人？
進球數n 0 1 2 3 4 5
投進n個球的人數 1 2 7 2
[嘗試解答]　_________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
　樣本平均數與總體平均數的關系
(1)在簡單隨機抽樣中，我們常用樣本平均數去估計總體平均數；
(2)總體平均數是一個確定的數，樣本平均數具有隨機性；
(3)一般情況下，樣本容量越大，估計值越準確．
[跟進訓練]
3．某學校抽取100位老師的年齡，得到如下數據：
年齡(單位：歲) 32 34 38 40 42 43 45 46 48
頻數 2 4 20 20 26 10 8 6 4
估計這個學校老師的平均年齡．
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
1．(多選)下列調查中，適宜采用抽樣調查的是(　　)
A．調查某市中小學生每天的運動時間
B．某幼兒園準備制作校服，對此幼兒園中的小朋友進行測量
C．農業科技人員調查今年麥穗的單穗平均質量
D．調查某快餐店中8位店員的生活質量情況
2．(多選)為了了解全校240名高一學生的身高情況，從中抽取了40名學生進行測量．下列說法正確的是(　　)
A．總體是240名學生的身高
B．個體是每一名學生的身高
C．樣本是任意40名學生的身高
D．樣本容量是40
3．“雙色球”彩票中有33個紅色球，每個球的編號分別為01，02，…，33．一位彩民用隨機數法選取6個號碼作為6個紅色球的編號，選取方法是從下面的隨機數中第1行第5列和第6列的數字開始，從左向右讀數，則依次選出來的第5個紅色球的編號為(　　)
7816 6572 0802 6314 0214 4319　9714 0198
3204 9234 4936 8200 3623 4869　6938 7181
A．01 　B．02 　C．14 　D．19
4．為了解一批輪胎的性能，汽車制造廠從這批輪胎中隨機抽取了8個進行測試，每個輪胎行駛的最遠里程數(單位：1 000 km)為：96，112，97，108，100，103，86，98．則估計這批輪胎行駛的最遠里程數的平均數為________．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．簡單隨機抽樣有哪些特點？
2．簡單隨機抽樣是一種簡單、基本的抽樣方法，其常用的簡單隨機抽樣方法有哪兩種，這兩種方法有什么異同？
9.1.1　簡單隨機抽樣
[必備知識·情境導學探新知]
知識點1　每一個　抽取一部分　估計　推斷　調查對象的全體　每一個調查對象　那部分　個體數
知識點2　逐個　相等　未進入樣本的各個個體
知識點3　1.不透明
思考1　提示：(1)被抽取樣本的總體中的個體數N是有限的．
(2)抽取的樣本是從總體中逐個抽取的．
(3)簡單隨機抽樣中每個個體被抽到的機會相等．
思考2　提示：(1)區別：總體均值是一個確定的數，樣本均值具有隨機性．
(2)聯系：在簡單隨機抽樣中，我們常用樣本均值估計總體均值．
課前自主體驗
1．(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×
2．1 000名學生的數學成績　每一名學生的數學成績　50名學生的數學成績　50
3．6　[10名學員投中的平均次數為＝6.]
[關鍵能力·合作探究釋疑難]
例1　(1)C　(2)③　[(1)對于簡單隨機抽樣，在抽樣過程中每一個個體被抽取的機會都相等(隨機抽樣的等可能性)．若樣本容量為n，總體的個體數為N，則用簡單隨機抽樣時，每一個個體被抽到的可能性都是，體現了這種抽樣方法的客觀性和公平性．因此每人入選的可能性都相等，且為.
(2)根據簡單隨機抽樣的特點逐個判斷．①不是簡單隨機抽樣．雖然“一次性抽取”和“逐個抽取”不影響個體被抽到的可能性，但簡單隨機抽樣要求的是“逐個抽取”．②不是簡單隨機抽樣．因為5名同學是從中挑出來的，是最優秀的，每個個體被抽到的可能性不同，不符合簡單隨機抽樣中“等可能抽樣”的要求．③是簡單隨機抽樣．因為總體中的個體數是有限的，并且是從總體中逐個進行抽取的，等可能的抽樣．綜上，只有③是簡單隨機抽樣．]
跟進訓練
1．(1)B　(2)D　[(1)在簡單隨機抽樣中，每一個個體被抽到的可能性都相等，與第幾次抽樣無關，故A，C，D錯誤，B正確．
(2)由于不知道總體的情況(包括總體個數)，因此不屬于簡單隨機抽樣．]
例2　解：(1)利用抽簽法步驟如下：
第一步：將這50名學生編號，編號為01，02，03，…，50.
第二步：將50個號碼分別寫在外觀、質地均無差別的小紙片上，并揉成團，制成號簽．
第三步：將得到的號簽放在一個不透明的容器中，攪拌均勻．
第四步：從容器中逐一抽取6個號簽，并記錄上面的號碼．
對應上面6個號碼的學生就是參加該項活動的學生．
(2)利用隨機數法步驟如下：
第一步：將這50名學生編號，編號為1，2，3，…，50.
第二步：用隨機數工具產生1～50范圍內的整數隨機數，把產生的隨機數作為抽中的編號，使與編號對應的學生進入樣本．
第三步：重復第二步的過程，直到抽足樣本所需人數．
對應上面6個號碼的學生就是參加該項活動的學生．
跟進訓練
2．(1)C　[被選中的紅色球的號碼依次為17，12，33，06，32，22.
所以第四個被選中的紅色球的號碼為06.故選C.]
(2)解：①將30名志愿者編號，號碼分別是01，02，…，30.
②將號碼分別寫在外觀、質地等無差別的小紙片上作為號簽．
③將小紙片放入一個不透明的盒里，充分攪勻．
④從盒中不放回地逐個抽取6個號簽，使與號簽上編號相同的志愿者進入樣本．
例3　解：設投進3個球的人數為a，投進4個球的人數為b，
根據已知有＝3.5，＝2.5，
即解得
故進3個球的有9人，進4個球的有3人．
跟進訓練
3．解：＝×(32×2＋34×4＋38×20＋40×20＋42×26＋43×10＋45×8＋46×6＋48×4)＝41.1(歲)，
即這個學校老師的平均年齡約為41歲．
[學習效果·課堂評估夯基礎]
1．AC　[因為B中要對所有小朋友進行檢查，所以用普查的方式；D中共8名店員，可采用普查的方式；A，C中總體容量大，難以做到普查，故采用抽樣調查的方式．]
2．ABD　[在這個問題中，總體是240名學生的身高，個體是每一名學生的身高，樣本是抽取的40名學生的身高，樣本容量是40.]
3．A　[從隨機數中第1行第5列和第6列的數字開始，從左向右讀數，依次是65(舍去)，72(舍去)，08，02，63(舍去)，14，02(舍去)，14(舍去)，43(舍去)，19，97(舍去)，14(舍去)，01，98(舍去)，32；選出來的這6個數為：08，02，14，19，01，32，第5個紅色球的編號為01.]
4．100　[用樣本平均數估計總體平均數，得這批輪胎行駛的最遠里程數的平均數約為＝100.]
課堂小結
1．提示：簡單隨機抽樣的三個特點：總體有限、逐個抽取、等可能抽樣.
2．提示：簡單隨機抽樣常用的抽樣方法有抽簽法和隨機數法．其具有以下異同點：
抽簽法 隨機數法
不同點 ①抽簽法比隨機數法簡單； ②抽簽法適用于總體中的個體數相對較少的情況 隨機數法適用于總體中的個體數相對較多的情況
相同點 ①都是簡單隨機抽樣，并且要求被抽取樣本的總體的個數有限； ②都是從總體中逐個不放回地抽取9.1.2　分層隨機抽樣
學習任務 1．通過實例，了解分層隨機抽樣的特點和適用范圍．(數學抽象) 2．了解分層隨機抽樣的必要性，掌握各層樣本量比例分配的方法．(數據分析) 3．結合具體實例，掌握分層隨機抽樣的樣本均值．(數學運算)
假設某地區有高中生2 400人，初中生10 900人，小學生11 000人．此地區教育部門為了了解本地區中小學生的近視情況及其形成原因，要從本地區的中小學生中抽取1%的學生進行調查．你認為應當怎樣抽取樣本才合理？
知識點1　分層隨機抽樣的相關概念
1．分層隨機抽樣的定義：一般地，按一個或多個變量把總體劃分成若干個子總體，每個個體屬于且僅屬于一個子總體，在每個子總體中獨立地進行________抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本________作為總樣本，這樣的抽樣方法稱為分層隨機抽樣，每一個子總體稱為層．
2．比例分配：在分層隨機抽樣中，如果每層______都與層的大小成比例，那么稱這種樣本量的分配方式為比例分配．
知識點2　分層隨機抽樣中的總體平均數與樣本平均數
1．在分層隨機抽樣中，如果總體分為2層，兩層包含的個體數分別為M，N，兩層抽取的樣本量分別為m，n，兩層的樣本平均數分別為，兩層的總體平均數分別為，則樣本平均數＝_________，總體平均數＝________．
2．在比例分配的分層隨機抽樣中，我們可以直接用樣本平均數估計總體平均數.即.
分層隨機抽樣適合于什么樣的總體？
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
1．某校有高一學生400人，高二學生380人，高三學生220人，現教育局督導組擬采用分層隨機抽樣的方法抽取50名學生進行問卷調查，則高一學生應抽取________人．
2．為了解我國13歲男孩的平均身高，從北方抽取了300個男孩，平均身高為1.60 m；從南方抽取了200個男孩，平均身高為1.50 m．由此可估計我國13歲男孩的平均身高為________m．
類型1　對分層隨機抽樣概念的理解
【例1】　(1)某政府機關在編人員共100人，其中副處級以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上級部門為了了解該機關對政府機構改革的意見，要從中抽取20人，則下列方法最合適的是(　　)
A．抽簽法　 B．隨機數法
C．簡單隨機抽樣法　 D．分層隨機抽樣法
(2)分層隨機抽樣又稱類型抽樣，即將相似的個體歸入一類(層)，然后每類抽取若干個個體構成樣本，所以分層隨機抽樣為保證每個個體等可能抽樣，必須進行(　　)
A．每層等可能抽樣
B．每層可以不等可能抽樣
C．所有層按同一抽樣比等可能抽樣
D．所有層抽取的個體數量相同
[嘗試解答]　_________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
　使用分層隨機抽樣的前提
分層隨機抽樣的使用前提條件是總體可以分層、層與層之間有明顯區別，而層內個體間差異較小．
[跟進訓練]
1．下列問題中，最適合用分層隨機抽樣抽取樣本的是(　　)
A．從10名同學中抽取3人參加座談會
B．某社區有500個家庭，其中高收入的家庭125戶，中等收入的家庭280戶，低收入的家庭95戶，為了了解生活購買力的某項指標，要從中抽取一個容量為100戶的樣本
C．從1 000名工人中，抽取100人調查上班途中所用時間
D．從生產流水線上，抽取樣本檢查產品質量
類型2　分層隨機抽樣的應用
【例2】　某學校有在職人員160人，其中行政人員有16人，教師有112人，后勤人員有32人．教育部門為了了解在職人員對學校機構改革的意見，要從中抽取一個容量為20的樣本，請利用分層隨機抽樣的方法抽取，寫出抽樣過程．
[嘗試解答]　_________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
　1．分層隨機抽樣的相關計算的2個關系
(1).
(2)總體中某兩層的個體數之比等于樣本中這兩層抽取的個體數之比．
2．分層隨機抽樣的步驟
第一步，按某種特征將總體分成______________；
第二步，計算各層所占____；
第三步，計算各層抽取的______；
第四步，按簡單隨機抽樣從各層抽取樣本；
第五步，綜合每層抽樣，組成總樣本．
[跟進訓練]
2．(1)交通管理部門為了解機動車駕駛員(簡稱駕駛員)對某新法規的知曉情況，對甲、乙、丙、丁四個社區做分層隨機抽樣調查，假設四個社區駕駛員的總人數為N，其中甲社區有駕駛員96人．若在甲、乙、丙、丁四個社區抽取駕駛員的人數分別為12，21，25，43，則這四個社區駕駛員的總人數N為(　　)
A．101　　B．808　　C．1 212　　D．2 012
(2)將一個總體分為A，B，C三層，其個體數之比為5∶3∶2．若用分層隨機抽樣方法抽取容量為100的樣本，則應從C中抽取________個個體．
類型3　分層隨機抽樣中的平均數
【例3】　某校有初中、高中兩個部門，其中初中有學生850人，高中有學生650人，小軍想要進行一個視力調查，對學校按部門進行按比例分配分層隨機抽樣，得到初中生、高中生平均視力分別為1.0，0.8，其中樣本量為60，則在初中部、高中部各抽取多少人？整個學校平均視力是多少？
[嘗試解答]　_________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
　樣本的平均數和各層的樣本平均數的關系為：.
[跟進訓練]
3．通過分層隨機抽樣的方法估測某校高三年級全體學生的身高水平，抽取總樣本量為100，抽取的男生的平均身高為170 cm，抽取的女生的平均身高為160 cm，估測得到高三全體學生的平均身高為166 cm，則抽取總樣本量中男生、女生人數分別為(　　)
A．60，40 　 B．70，30
C．80，20 　 D．90，10
1．某學校為了了解三年級、六年級、九年級這三個年級之間的學生的作業負擔情況，擬從這三個年級中按人數比例抽取部分學生進行調查，則最合理的抽樣方法是(　　)
A．抽簽法　 B．簡單隨機抽樣
C．分層隨機抽樣　 D．隨機數法
2．某學校高一年級有300名男生，200名女生，通過分層隨機抽樣的方法調查數學考試成績，抽取總樣本量為50，男生平均成績為120分，女生平均成績為110分，那么可以推測高一年級學生的數學平均成績約為(　　)
A．110分　B．115分　　C．116分　D．120分
3．(多選)某公司生產三種型號的轎車，產量分別為1 200輛，6 000輛和2 000輛，為檢驗該公司的產品質量，公司質監部門要抽取46輛進行檢驗，則(　　)
A．應采用分層隨機抽樣法抽取
B．應采用抽簽法抽取
C．三種型號的轎車依次抽取6輛、30輛、10輛
D．這三種型號的轎車，每一輛被抽到的概率都是相等的
4．某工廠甲、乙、丙三個車間生產了同一種產品，數量分別為120件，80件，60件．為了解它們的產品質量是否存在顯著差異，用比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取了一個容量為n的樣本進行調查，其中從丙車間的產品中抽取了3件，則n等于________．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．在分層隨機抽樣中，總體容量、樣本容量、各層的個體數、各層抽取的樣本數這四者之間有何關系？
2．簡單隨機抽樣與分層隨機抽樣有何區別與聯系？
3．如何用分層隨機抽樣中的樣本平均數估計總體平均數？
9.1.2　分層隨機抽樣
[必備知識·情境導學探新知]
知識點1　1.簡單隨機　合在一起　2.樣本量
知識點2　1.
思考　提示：當總體是由差異明顯的幾部分組成時，用分層隨機抽樣.
課前自主體驗
1．20　[高一學生應抽取＝20人．]
2．1.56　[這500名13歲男孩的平均身高是＝1.56(m)，據此可估計我國13歲男孩的平均身高為1.56 m．]
[關鍵能力·合作探究釋疑難]
例1　(1)D　(2)C　[(1)總體由差異明顯的三部分構成，應選用分層隨機抽樣法．
(2)保證每個個體等可能的被抽取是三種基本抽樣方式的共同特征，為了保證這一點，分層隨機抽樣時必須在所有層都按同一抽樣比等可能抽取．]
跟進訓練
1．B　[A中總體所含個體無差異且個數較少，適合用簡單隨機抽樣；C和D中總體所含個體無差異且個數較多，不適合用分層隨機抽樣；B中總體所含個體差異明顯，適合用分層隨機抽樣．]
例2　解：抽樣過程如下：
第一步，確定抽樣比，樣本容量與總體容量的比為＝.
第二步，確定分別從三類人員中抽取的人數，從行政人員中抽取16×＝2(人)；從教師中抽取112×＝14(人)；從后勤人員中抽取32×＝4(人)．
第三步，采用簡單隨機抽樣的方法，抽取行政人員2人，教師14人，后勤人員4人．
第四步，把抽取的個體組合在一起構成所需樣本．
發現規律
2．若干部分(層)　比例　個體數
跟進訓練
2．(1)B　(2)20　[(1)因為甲社區有駕駛員96人，并且在甲社區抽取的駕駛員的人數為12，
所以四個社區抽取駕駛員的比例為＝，
所以駕駛員的總人數為(12＋21＋25＋43)÷＝808.
(2)∵A，B，C三層個體數之比為5∶3∶2，總體中每個個體被抽到的可能性相等，∴分層隨機抽樣應從C中抽取100×＝20(個)個體．]
例3　解：初中部抽取人數為60×＝34，
高中部抽取人數為60×＝26，
學校平均視力為×1.0＋×0.8≈0.91，
所以在初中部、高中部各抽取34，26人，學校平均視力約為0.91.
跟進訓練
3．A　[設抽取的總樣本量中男生、女生人數分別為m, n，則由題意可得
故選A. ]
[學習效果·課堂評估夯基礎]
1．C　[根據年級不同產生差異及按人數比例抽取易知應為分層隨機抽樣．]
2．C　[由題意可得抽取的50人中，男生為30人，女生為20人，所以樣本平均數＝×120＋×110＝116，所以可以估計高一年級學生的數學平均成績為116分．]
3．ACD　[由于總體按型號分為三個子總體，所以應采用分層隨機抽樣法抽取，A正確；設三種型號的轎車依次抽取x輛、y輛、z輛，
則有解得
所以三種型號的轎車依次抽取6輛、30輛、10輛，故C正確；由分層隨機抽樣的定義可知D正確．]
4．13　[∵＝，∴n＝13.]
課堂小結
1．提示：設總體容量為N，樣本容量為n，第i(i＝1，2，…，k)層的個體數為Ni，各層抽取的樣本數為ni，則＝，這四者中，已知其中三個可以求出另外一個．
2．提示：
類別 共同點 各自特點 相互聯系 適用范圍
簡單 隨機 抽樣 抽樣過程中每個個體被抽到的可能性相等 從總體中逐個抽取 — 總體中的個體數較少
分層 隨機 抽樣 將總體分成幾層，分層進行抽取 在各層抽樣時采用簡單隨機抽樣 總體由存在明顯差異的幾部分組成
3．提示：可以用＝.9.1.3　獲取數據的途徑
學習任務 知道獲取數據的途徑多種多樣，包括統計報表和年鑒、社會調查、普查和抽樣、互聯網、試驗設計等．(數據分析)
生活中遇到的很多問題，都需要借助數據才可能得到答案．例如，校園中每天產生多少可回收垃圾，食堂有多少人就餐，城市里的車輛有多少，公共汽車平均每天的載客量是多少，某旅游旺季有出門旅游意向的人有多少……要得到這些問題的答案，就需要獲取相關數據．
知識點　獲取數據的基本途徑
獲取數據的基本途徑 適用類型 注意問題
通過調查獲取數據 對于有限總體問題，我們一般通過抽樣調查或普查的方法獲取數據 要充分有效地利用背景信息選擇或創建更好的抽樣方法，并有效避免抽樣過程中的人為錯誤
通過試驗獲取數據 沒有現存的數據可以查詢 嚴格控制試驗環境，通過精心的設計安排試驗，以提高數據質量
通過觀察 獲取數據 自然現象 要通過長久的持續觀察獲取數據
通過查詢 獲得數據 眾多專家研究過，其收集的數據有所存儲 必須根據問題背景知識“清洗”數據，去偽存真
(1)利用統計報表和年鑒屬于哪種獲取數據的途徑？
(2)要了解一種新型燈管的壽命，能通過觀察獲取數據嗎？
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1) 要了解一批節能燈的使用壽命，可以采用普查的方式． (　　)
(2)農科院獲取小麥新品種的產量可以通過查詢獲取數據． (　　)
(3)普查獲取的資料更加全面、系統，抽樣調查更方便、快捷． (　　)
類型1　獲取數據途徑的選擇
【例1】　(1)下列數據中是通過試驗獲取的是(　　)
A．2022年濟南市的降雨量
B．2022年中國新生兒人口數量
C．某學校2023級同學的數學期末測試成績
D．某種特效中成藥的配方
(2)“中國天眼”為500米口徑球面射電望遠鏡(簡稱FAST)，是具有我國自主知識產權、世界最大單口徑、最靈敏的射電望遠鏡．建造“中國天眼”的目的是(　　)
A．通過調查獲取數據　　　 B．通過試驗獲取數據
C．通過觀察獲取數據　 D．通過查詢獲得數據
[嘗試解答]　_________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
　選擇獲取數據的途徑的依據
選擇獲取數據的途徑主要是根據所要研究問題的類型，以及獲取數據的難易程度．有的數據可以有多種獲取途徑，有的數據只能通過一種途徑獲取，選擇合適的方法和途徑能夠更好地提高數據的可靠性．
[跟進訓練]
1．要得到某鄉鎮的貧困人口數據，應采取的方法是(　　)
A．通過調查獲取數據　 B．通過試驗獲取數據
C．通過觀察獲取數據　 D．通過查詢獲得數據
類型2　獲取數據途徑的方法的設計
【例2】　為了緩解城市的交通擁堵情況，某市準備出臺限制私家車的政策，為此要進行民意調查．某個調查小組調查了一些擁有私家車的市民，你認為這樣的調查結果能很好地反映該市市民的意愿嗎？
[嘗試解答]　_________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
　在統計活動中，尤其是大型的統計活動，為避免一些外界因素的干擾，通常需要確定調查的對象、調查的方法與策略，需要精心設計前期的準備工作和收集數據的方法，然后對數據進行分析，得出統計推斷．
[跟進訓練]
2．一些期刊雜志社經常會請一些曾經高考落榜而在某方面的事業上取得成就的著名專家、學者，談他們對高考落榜的看法，這些名人所講的都是大同小異，不外乎“我也有過落榜的沮喪，但從長遠看，它有益于我的人生”“我是因禍得福，落榜使我走了另一條成功之路”等．小明據此得出結論“上大學不如高考落榜”，他的結論正確嗎？
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
1．下列調查方式中，可用“普查”方式的是(　　)
A．調查某品牌電視機的市場占有率
B．調查某電視連續劇在全國的收視率
C．調查某校七年級一班的男女同學的比例
D．調查某型號炮彈的射程
2．(多選)影響獲取數據可靠程度的因素包括(　　)
A．獲取數據方法的設計
B．所用專業測量設備的精度
C．調查人員的認真程度
D．數據的大小
3．糧食安全是每一個國家必須高度關注的問題，在現有條件下，降雨量對糧食生產的影響是非常巨大的，某次降雨之后該地氣象臺播報說本次降雨量是該地有氣象記錄以來最大的一次，氣象臺獲取這些數據的途徑是(　　)
A．通過調查獲取數據　　　 B．通過試驗獲取數據
C．通過觀察獲取數據　　　 D.通過查詢獲得數據
4．小明從網上查詢到某地區10戶居民家庭人均年收入(單位：萬元)如表所示：
編號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
年收入 1.2 1.3 1.8 2.0 4.6 1.7 0.9 2.1 1.0 1.6
根據以上數據，我們認為有一個數據是不準確的，需要剔除，這個數據是________．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
獲取數據的基本途徑有哪些？
9.1.3　獲取數據的途徑
[必備知識·情境導學探新知]
思考　提示：(1)屬于通過查詢獲取數據的途徑．
(2)不能，應該通過試驗獲取數據．
課前自主體驗
(1)×　(2)×　(3)√
[關鍵能力·合作探究釋疑難]
例1　(1)D　(2)C　[(1)某種特效中成藥的配方的數據只能通過試驗獲得．
(2)“中國天眼”主要是通過觀察獲取數據．]
跟進訓練
1．A　[某鄉鎮的貧困人口數據屬于有限總體問題，所以可以通過調查獲取數據．]
例2　解：(1)一個城市的交通狀況的好壞將直接影響著生活在這個城市中的每個人，關系到每個人的利益．為了調查這個問題，在抽樣時應當關注到各種人群，既要抽到擁有私家車的市民，也要抽到沒有私家車的市民．
(2)調查時，如果只對擁有私家車的市民進行調查，結果一定是片面的，不能代表所有市民的意愿．因此，在調查時，要對生活在該城市的所有市民進行隨機地抽樣調查，不要只關注到擁有私家車的市民．
跟進訓練
2．解：小明的結論是錯誤的，在眾多的高考落榜生中，走出另外一條成功之路的是少數，小明通過研究一些期刊雜志社報道過的一些成功人士就得出結論是片面的，因為他的抽樣不具有代表性．
[學習效果·課堂評估夯基礎]
1．C
2．ABC　[數據的大小不影響獲取數據的可靠程度．]
3．C　[該地的氣象記錄和本次的降雨量數據都是通過觀察獲取的．]
4．4.6　[由于編號為5的數據為4.6，明顯高于其他數據，所以這個數據是不準確的．]
課堂小結
提示：具有四種基本途徑： (1)通過調查獲取數據；(2)通過試驗獲取數據；(3)通過觀察獲取數據；(4)通過查詢獲取數據．9.2　用樣本估計總體
9.2.1　總體取值規律的估計
學習任務 1．理解并掌握統計圖表的畫法及應用．(直觀想象) 2．結合實例，能用樣本估計總體的取值規律．(數據分析)
情境1　某工廠生產一批產品，經調查只有10個不合格品．
情境2　某工廠生產一批產品，經調查產品不合格率為1%.
上面哪一種情境能更好地反映工廠的生產情況？
知識點1　頻率分布直方圖
畫頻率分布直方圖的步驟
(1)求極差：極差為一組數據中______與______的差．
(2)決定組距與組數：當樣本容量不超過100時，常分成________組，為了方便起見，一般取等長組距，并且組距應力求“取整”．
(3)將數據分組．
(4)列頻率分布表：一般分四列：分組、________、頻數、____．其中頻數合計應是樣本容量，頻率合計是__．
(5)畫頻率分布直方圖：橫軸表示分組，縱軸表示____．小長方形的面積＝組距×____＝____．各小長方形的面積總和等于1．
知識點2　其他統計圖表
統計圖表 主要應用
扇形圖 直觀描述各類數據占總數的比例
條形圖和直方圖 直觀描述不同類別或分組數據的頻數和頻率
折線圖 描述數據隨時間的變化趨勢
1．如圖所示是一個容量為1 000的樣本頻率分布直方圖．
(1)樣本數據落在范圍[5，9)的頻率為________；
(2)樣本數據落在范圍[9，13)的頻數為________．
2．下列四個圖中，用來表示不同品種的奶牛的平均產奶量最為合適的是________．(填序號)
類型1　頻率分布直方圖的畫法
【例1】　為了了解中學生身體發育情況，對某中學15歲的60名女生的身高(單位：cm)進行了測量，結果如下：
154　159　166　169　159　156　166
162　158　159　156　166　160　164
160　157　151　157　161　162　158
153　158　164　158　163　158　153
157　168　162　159　154　165　166
157　155　146　151　158　160　165
158　163　163　162　161　154　165
161　162　159　157　159　149　164
168　159　153　160
列出樣本的頻率分布表，繪出頻率分布直方圖．
[嘗試解答]　_________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
　繪制頻率分布直方圖的注意點
(1)各組頻率的和等于1，因此，各小矩形的面積的和也等于1．
(2)橫軸表示樣本數據，縱軸表示，這樣每一組的頻率可以用該組的組距為底、為高的小矩形的面積表示．
(3)畫頻率分布直方圖的關鍵是確定矩形的高，一般地，頻率分布直方圖中兩坐標軸上的單位長度不一致．
[跟進訓練]
1．從某校高三學生中抽取50名參加數學競賽，成績(單位：分)分組及各組的頻數如下：
[40，50)，2；[50，60)，3；[60，70)，10；[70，80)，15；[80，90)，12；[90，100]，8．
(1)列出樣本的頻率分布表；
(2)畫出頻率分布直方圖；
(3)估計成績在[60，90)的學生比例．
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
類型2　頻率分布直方圖的應用
【例2】　為了了解高一年級學生的體能情況，某校抽取部分學生進行一分鐘跳繩次數測試，將所得數據整理后，畫出頻率分布直方圖(如圖所示)，圖中從左到右各小長方形的面積之比為2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小組的頻數為12．
(1)第二小組的頻率是多少？樣本容量是多少？
(2)若次數在110次以上(含110次)為達標，則該校全體高一年級學生的達標率是多少？
[嘗試解答]　_________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
　頻率分布直方圖具備的性質
(1)因為小長方形的面積＝組距×＝____，所以各小長方形的面積表示相應各組的頻率．這樣，頻率分布直方圖就以面積的形式反映了數據落在各個小組內的頻率大小．
(2)在頻率分布直方圖中，各小長方形的面積之和等于__．
(3)樣本容量＝.
[跟進訓練]
2．某校100名學生期中考試語文成績(單位：分)的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區間是[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100].
(1)求圖中a的值；
(2)若這100名學生的語文成績在某些分數段的人數x與數學成績相應分數段的人數y之比如下表所示，求數學成績在[50，90)之外的人數．
分數段 [50，60) [60，70) [70，80) [80，90)
x∶y 1∶1 2∶1 3∶4 4∶5
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
類型3　其他統計圖表
【例3】　(1)如圖所示的是某學校某年級的三個班和該年級在一學期內的六次數學測試的平均成績y關于測試序號x的圖象，為了容易看出一個班級的成績變化，將離散的點用虛線連接，根據圖象，給出下列結論：
①一班成績始終高于年級平均水平，整體成績比較好；
②二班成績不夠穩定，波動程度較大；
③三班成績雖然多次低于年級平均水平，但在穩步提升．
其中正確結論的個數為(　　)
A．0　　　B．1　　　C．2　　　D．3
(2)已知某地區中小學生人數和近視情況分別如圖(1)和圖(2)所示，為了解該地區中小學生的近視形成原因，用按比例分配分層隨機抽樣的方法抽取了2%的學生進行調查，則樣本容量和抽取的高中生近視人數分別為________和________．
[嘗試解答]　_________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
　不同的統計圖適用的數據類型也不同．例如，條形圖適用于描述離散型的數據，直方圖適用描述連續型數據等．因此，在解決問題的過程中，要根據實際問題的特點，選擇恰當的統計圖對數據進行可視化描述，以使我們能通過圖形直觀地發現樣本數據的分布情況，進而估計總體的分布規律．
[跟進訓練]
3．如圖是根據某市3月1日至3月10日的最低氣溫(單位：℃)的情況繪制的折線統計圖，試根據折線統計圖反映的信息，繪制該市3月1日到10日最低氣溫(單位：℃)的扇形統計圖．
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
1．某集團董事長想了解集團旗下五個超市的銷售情況，通知五個超市經理把最近一周內的銷售金額統計上報，要求既要反映一周內每天銷售金額的多少，又要反映一周內每天銷售金額的變化情況和趨勢，則最好選用的統計圖表為(　　)
A．頻率分布直方圖　 B．折線統計圖
C．扇形統計圖　 D．統計表
2．如圖是甲、乙、丙、丁四組人數的扇形統計圖的部分結果，根據扇形統計圖的情況可以知道丙、丁兩組人數和為(　　)
A．250 　 B．150
C．400　 D．300
3．學校為了調查學生在課外讀物方面的支出情況，抽取了一個容量為n的樣本，其頻率分布直方圖
如圖所示，其中支出(單位：元)在[50，60]內的學生有30人，則n的值為(　　)
A．100　　B．1 000　　C．90　　D．900
4．小張剛參加工作時，月工資為5 000元，各種用途占比統計如圖(1)所示的條形圖．后來他加強了體育鍛煉，目前月工資的各種用途占比統計如圖(2)所示的折線圖，已知目前的月就醫費比剛參加工作時少200元，則目前小張的月工資為________元．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．畫頻率分布直方圖的步驟是什么？
2．頻率分布直方圖具備哪些性質？
3．常用的統計圖有哪幾種？這些統計圖對于數據分析能夠起到什么作用？
9.2.1　總體取值規律的估計
[必備知識·情境導學探新知]
知識點1　(1)最大值　最小值　(2)5～12　(4)頻數累計　頻率　1　(5)　頻率
課前自主體驗
1．(1)0.32　(2)360
2．④
[關鍵能力·合作探究釋疑難]
例1　解：第一步，求極差：上述60個數據中最大為169，最小為146.故極差為169－146＝23(cm)．
第二步，確定組距和組數：可取組距為3 cm，
則組數為＝7 ，可將全部數據分為8組．
第三步，分組：[145.5，148.5)，[148.5，151.5)，[151.5，154.5)，[154.5，157.5)，[157.5，160.5)，[160.5，163.5)，[163.5，166.5)，[166.5，169.5].
第四步，列頻率分布表：
分組 頻率累計 頻數 頻率
[145.5，148.5) 一 1 0.017
[148.5，151.5) 3 0.050
[151.5，154.5) 正一 6 0.100
[154.5，157.5) 正 8 0.133
[157.5，160.5) 正正正 18 0.300
[160.5，163.5) 正正一 11 0.183
[163.5，166.5) 正正 10 0.167
[166.5，169.5] 3 0.050
合計 60 1.000
第五步，根據上述數據繪制頻率分布直方圖．
跟進訓練
1．解：(1)頻率分布表如下，
成績分組 頻數累計 頻數 頻率
[40，50) 2 0.04
[50，60) 3 0.06
[60，70) 正正 10 0.2
[70，80) 正正正 15 0.3
[80，90) 正正 12 0.24
[90，100] 正 8 0.16
合計 50 1.00
(2)頻率分布直方圖如圖所示．
(3)學生成績在[60，90)的頻率為(0.2＋0.3＋0.24)×100%＝74%，所以估計成績在[60，90)的學生比例為74%.
例2　解：(1)頻率分布直方圖是以面積的形式反映了數據落在各小組內的頻率大小的，因此第二小組的頻率為＝0.08.
又因為第二小組的頻率＝，
所以樣本容量＝＝＝150.
(2)由頻率分布直方圖可估計該校高一年級學生的達標率為×100%＝88%.
發現規律
(1)頻率　(2)1
跟進訓練
2．解：(1)依題意得，10×(2a＋0.02＋0.03＋0.04)＝1，解得a＝0.005.
(2)數學成績在[50，60)之間的人數為100×0.05＝5，數學成績在[60，70)之間的人數為100×0.4×＝20，數學成績在[70，80)之間的人數為100×0.3×＝40，數學成績在[80，90)之間的人數為100×0.2×＝25，所以數學成績在[50，90)之外的人數為100－5－20－40－25＝10.
例3　(1)D　(2)200　20　[(1)由題圖可知，一班每次考試的平均成績都在年級平均成績之上，故①正確；二班平均成績的圖象高低變化明顯，成績不穩定，波動程度較大，故②正確；三班平均成績的圖象呈上升趨勢，并且圖象的大部分都在年級平均成績圖象的下方，故③正確．故選D.
(2)該地區中小學生總人數為3 500＋2 000＋4 500＝10 000，則樣本容量為10 000×2%＝200，其中抽取的高中生近視人數為2 000×2%×50%＝20.]
跟進訓練
3．解：該城市3月1日至10日的最低氣溫(單位：℃)情況如下表：
日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
最低 氣溫(℃) －3 －2 0 －1 1 2 0 －1 2 2
其中最低氣溫為－3 ℃的有1天，占10%，最低氣溫為－2 ℃的有1天，占10%，最低氣溫為－1℃的有2天，占20%，最低氣溫為0 ℃的有2天，占20%，最低氣溫為1 ℃的有1天，占10%，最低氣溫為2 ℃的有3天，占30%，扇形統計圖如圖所示．
[學習效果·課堂評估夯基礎]
1．B　[折線統計圖的一個顯著特點就是能反映統計量的變化趨勢，所以既要反映一周內每天銷售金額的多少，又要反映一周內每天銷售金額的變化情況和趨勢，則最好選用的統計圖表為折線統計圖，故選B.]
2．A　[甲組人數是120，占30%，則總人數是＝400(人)．則乙組人數是400×7.5%＝30(人)，則丙、丁兩組人數和為400－120－30＝250.]
3．A　[由題意可知，前三組的頻率之和為(0.01＋0.024＋0.036)×10＝0.7，
∴支出在[50，60]內的頻率為1－0.7＝0.3，∴n＝＝100.]
4．5 500　[小張剛參加工作時，月工資為5 000元，小張每月就醫費為5 000×15%＝750(元)，又已知目前的月就醫費比剛參加工作時少200元，即550元，則目前小張的月工資為＝5 500(元)．]
課堂小結
1．提示：繪制頻率分布直方圖的步驟如下：
①求極差；②決定組距與組數；③將數據分組；④列頻率分布表；⑤畫頻率分布直方圖．
2．提示：①因為小矩形的面積＝組距×＝頻率，所以各小矩形的面積表示相應各組的頻率．這樣，頻率分布直方圖就以面積的形式反映了數據落在各個小組內的頻率大小；
②在頻率分布直方圖中，各小矩形的面積之和等于1；
③＝樣本容量．
3．提示：統計圖有條形圖、扇形圖、折線圖、頻率分布直方圖；從統計圖中可以獲取有用的數據信息，并能直觀、準確地理解相關的結果．9.2.2　總體百分位數的估計
學習任務 結合實例，能用樣本估計百分位數，理解百分位數的統計含義．(數學抽象、數學運算)
某省數學考試結果揭曉，0.8%的同學需要補考．
問題：那么如何確定需要補考的分數線呢？
知識點　百分位數
1．第p百分位數的定義
一般地，一組數據的第p百分位數是這樣一個值，它使得這組數據中至少有____的數據小于或等于這個值，且至少有(100－p)%的數據大于或等于這個值．
1．“這次數學測試成績的第70百分位數是85分”，這句話是什么意思？
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
2．計算一組n個數據的第p百分位數的步驟
第1步，按________排列原始數據．
第2步，計算i＝________．
第3步，若i不是整數，而大于i的比鄰整數為j，則第p百分位數為第__項數據；若i是整數，則第p百分位數為第i項與第(i＋1)項數據的______．
2．某組數據的第p百分位數在此組數據中一定存在嗎？為什么？
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
3．四分位數
______，______，______這三個分位數把一組由小到大排列后的數據分成四等份，因此稱為四分位數．
數據7.0，8.4，8.4，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的第30百分位數是________．
類型1　一組數據的第p百分位數
【例1】　從某珍珠公司生產的產品中，任意抽取12顆珍珠，得到它們的質量(單位：g)如下：
7.9，9.0，8.9，8.6，8.4，8.5，8.5，8.5，9.9，7.8，8.3，8.0．
(1)分別求出這組數據的第25，75，95百分位數；
(2)請你找出珍珠質量較小的前15%的珍珠質量．
[嘗試解答]　_________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
　百分位數是用于衡量數據位置的度量，它提供了有關數據在最小值與最大值之間位置的信息．需注意，在求百分位數時，一定要將數據按照從小到大的順序排列．
[跟進訓練]
1．已知甲、乙兩組按順序排列的數據：甲組：27，28，37，m，40，50；乙組：24，n，34，43，48，52；若這兩組數據的第30百分位數、第50百分位數分別對應相等，則等于(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
類型2　頻率分布直方圖計算百分位數
【例2】　為了了解一片經濟林的生長情況，隨機抽測了其中60株樹木的底部周長(單位：cm)，所得數據均在區間[80，130]上，其頻率分布直方圖如圖所示，你能估計一下60株樹木的第50百分位數和第75百分位數嗎？
[嘗試解答]　_________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
　頻率分布直方圖中第p百分位數的計算
(1)確定百分位數所在的區間[a，b)．
(2)確定小于a和小于b的數據所占的百分比分別為fa%，fb%，則第p百分位數為_________________．
[跟進訓練]
2．某學校組織學生參加數學測試，成績的頻率分布直方圖如圖，數據的分組依次為[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]，則60分為成績的第________百分位數．
3．某省教育廳為了了解和掌握2023年高考考生的實際答卷情況，隨機地取出了100名考生的數學成績(單位：分)，將數據分成了11組，制成了如圖所示的頻率分布表：
分組 頻數 頻率
[80，85) 1 0.01
[85，90) 2 0.02
[90，95) 4 0.04
[95，100) 14 0.14
[100，105) 24 0.24
[105，110) 15 0.15
[110，115) 12 0.12
[115，120) 9 0.09
[120，125) 11 0.11
[125，130) 6 0.06
[130，135] 2 0.02
合計 100 1
(1)求樣本數據的第60，80百分位數；
(2)估計2023年高考考生的數學成績的90%分位數．
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
1．對于考試成績的統計，如果你的成績處在第95百分位數上，以下說法正確的是(　　)
A．你得了95分
B．你答對了95%的試題
C．95%的參加考試者得到了和你一樣的考分或還要低的分數
D．你排名在第95名
2．已知一組數據按從小到大排列為1，1，2，2，3，3，4，5，7，7，8，10，那么數據的25%分位數、75%分位數分別是(　　)
A．3，9　　B．2，7　　C．9，3　　D．7，2
3．某組數據的中位數是2 023，那么它的第50百分位數是________．
4．某市舉行“中學生詩詞大賽”，某校有1 000名學生參加了比賽，從中抽取100名學生，統計他們的成績(單位：分)，并進行適當的分組(每組為左閉右開的區間)，得到的頻率分布直方圖如圖所示，則估計該校學生成績的80%分位數為________．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．百分位數告訴我們什么信息？
2．計算第p百分位數時應注意什么？
9.2.2　總體百分位數的估計
[必備知識·情境導學探新知]
知識點　1.p%
思考1　提示：有70%的同學數學測試成績小于或等于85分．
2．從小到大　n×p%　j　平均數
思考2　提示：不一定．因為按照計算第p百分位數的步驟，第2步計算所得的i＝n×p%，如果是整數，則第p百分位數為第i項與第(i＋1)項數據的平均數，若第i項與第(i＋1)項數據不相等，則第p百分位數在此組數據中就不存在．
3．25%　50%　75%
課前自主體驗
8.4　[因為8×30%＝2.4，故第30百分位數是第三項數據8.4.]
[關鍵能力·合作探究釋疑難]
例1　解：(1)將所有數據從小到大排列，得
7.8，7.9，8.0，8.3，8.4，8.5，8.5，8.5，8.6，8.9，9.0，9.9，
因為共有12個數據，所以12×25%＝3，12×75%＝9，12×95%＝11.4，則第25百分位數是＝8.15，第75百分位數是＝8.75，
第95百分位數是第12個數據為9.9.
(2)因為共有12個數據，所以12×15%＝1.8，則第15百分位數是第2個數據為7.9.
即產品質量較小的前15%的產品有2個，它們的質量分別為7.8 g，7.9 g．
跟進訓練
1．B　[因為30%×6＝1.8，50%×6＝3，
所以第30百分位數為n＝28，第50百分位數為＝，所以m＝40，所以＝＝，故選B.]
例2　解：由題意知分別落在各區間上的頻數
在[80，90)上為60×0.015×10＝9，
在[90，100)上為60×0.025×10＝15，
在[100，110)上為60×0.030×10＝18，
在[110，120)上為60×0.020×10＝12，
在[120，130]上為60×0.010×10＝6.
從以上數據可知第50百分位數一定落在區間[100，110)上，由100＋10×≈103.3；
第75百分位數一定落在區間[110，120)上，
由110＋10×＝112.5.
綜上可知，第50百分位數和第75百分位數分別為103.3 cm，112.5 cm.
發現規律
(2)a＋×(b－a)
跟進訓練
2．30　[因為[20，40)，[40，60)的頻率為(0.005＋0.01)×20＝0.3，所以60分為成績的第30百分位數．]
3．解：從頻率分布表得，前六組的頻率之和為
0．01＋0.02＋0.04＋0.14＋0.24＋0.15＝0.60，
前七組的頻率之和為0.60＋0.12＝0.72，
前八組的頻率之和為0.72＋0.09＝0.81，
前九組的頻率之和為0.81＋0.11＝0.92.
(1)由前六組的頻率之和為0.60，得樣本數據的第60百分位數為110，樣本數據的第80百分位數一定在第八組[115，120)內，由115＋5×≈119.4，估計樣本數據的第80百分位數約為119.4.
(2)由前八組的頻率之和為0.81，前九組的頻率之和為0.92，知90%分位數一定在第九組[120，125)內，由120＋5×≈124.1，
估計2023年高考考生的數學成績的90%分位數為124.1分．
[學習效果·課堂評估夯基礎]
1．C　[第95百分位數是指把數據從小到大排序，有至少95%數據小于或等于這個數，至少有5%的數據大于或等于這個值，只有C正確．]
2．B　[因為這組數據有12個數，所以12×25%＝3，12×75%＝9，所以數據的25%分位數是＝2，數據的75%分位數是＝7.故選B.]
3．2 023　[某組數據的中位數是2 023，第50百分位數就是中位數，它的第50百分位數是2 023.]
4．122　[根據頻率分布直方圖可知，成績在130分以下的學生所占比例為1－0.005 0×20＝0.9，成績在110分以下的學生所占比例為1－(0.012 5＋0.005 0)×20＝0.65，因此80%分位數一定位于[110，130)內，由110＋20×＝122，故可估計該校學生成績的80%分位數為122.]
課堂小結
1．提示：對于無大量重復的數據，第p百分位數將它分為兩個部分，大約有p%的數據項的值比第p百分位數小，而大約有(100－p)%的數據項的值比第p百分位數大．
2．提示：對于數據型的第p百分位數計算時應注意以下兩點：
(1)求百分位數時，一定要將數據按照從小到大的順序排列；
(2)計算i＝n×p%后要弄清i是整數還是非整數．
對于由頻率分布直方圖求百分位數時應注意頻率分布直方圖中小矩形的面積，就是數據確定在哪個區間．9.2.3　總體集中趨勢的估計
學習任務 1．結合實例，能用樣本估計總體的集中趨勢參數(平均數、中位數、眾數)．(數學抽象、數據分析) 2．理解集中趨勢參數的統計含義．(直觀想象)
甲、乙兩位同學相約晚上在某餐館吃飯．他們分別在A，B兩個網站查看同一家餐館的好評率．甲在網站A查到的好評率是98%，而乙在網站B查到的好評率是85%.綜合考慮這兩個網站的信息，應該如何得到這家餐館的總好評率？
知識點　眾數、中位數、平均數
1．眾數、中位數和平均數的定義
(1)眾數：一組數據中____________的數．
(2)中位數：一組數據按大小順序排列后，處于____位置的數．如果個數是偶數，則取____兩個數據的平均數．
(3)平均數：一組數據的__除以數據個數所得到的數．
1．中位數一定是樣本數據中的一個數嗎？
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
2．一組數據的眾數一定唯一嗎？
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
2．頻率分布直方圖中的眾數、中位數、平均數
(1)單峰頻率分布直方圖中的平均數與中位數
①如果直方圖的形狀是____的，那么平均數與中位數大體上差不多．
②如果直方圖在____“拖尾”，那么平均數大于中位數；如果直方圖在____“拖尾”，那么平均數小于中位數，也就是說，和中位數相比，平均數總是在“長尾巴”那邊．
(2)在頻率分布直方圖中，眾數是____矩形底邊中點的橫坐標；中位數左邊和右邊的直方圖的面積應該____；樣本平均數的估計值等于頻率分布直方圖中每個小矩形底邊中點的______與小矩形的____的乘積之和．
思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)平均數、眾數與中位數從不同的角度描述了一組數據的集中趨勢． (　　)
(2)樣本的平均數是頻率分布直方圖中最高長方形的中點對應的數據． (　　)
(3)若改變一組數據中其中的一個數，則這組數據的平均數、中位數、眾數都會發生改變． (　　)
類型1　一組數據的平均數、中位數和眾數
【例1】　已知10名工人生產同一零件，生產的件數分別是16，18，15，11，16，18，18，17，15，13，設其平均數為a，中位數為b，眾數為c，則有(　　)
A．a＞b＞c　　 B．a＞c＞b
C．c＞a＞b　 D．c＞b＞a
[嘗試解答]　_________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
　平均數、眾數、中位數的計算方法
平均數一般是根據公式來計算的；計算中位數時，可先將這組數據按從小到大或從大到小的順序排列，再根據相關數據的總數是奇數還是偶數而定；眾數是看出現次數最多的數．
[跟進訓練]
1．(1)已知一組數據x1，x2，x3，x4，x5的平均數是2，那么另一組數據2x1－3，2x2－3，2x3－3，2x4－3，2x5－3的平均數為(　　)
A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4
(2)某籃球隊甲、乙兩名運動員練習罰球，每人練習10組，每組罰球40個，命中個數如下所示：
甲：20，22，27，8，12，13，37，25，24，26；
乙：14，9，13，18，19，20，23，21，21，11．
則下面結論中正確的是________(填序號)．
①甲的極差是29；②乙的眾數是21；③甲的平均數為21.4；④甲的中位數是24．
類型2　頻率分布直方圖中的平均數、中位數和眾數
【例2】　某校從參加高一年級期末考試的學生中抽出60名，將其物理成績(均為整數)分成六段[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后，畫出如圖所示的頻率分布直方圖．觀察圖中的信息，回答下列問題：
(1)估計這次考試的物理成績的眾數m與中位數n(結果保留一位小數)；
(2)估計這次考試的物理成績的及格率(60分及以上為及格)和平均分．
[嘗試解答]　_________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
　用頻率分布直方圖估計眾數、中位數、平均數
(1)眾數：取最高小長方形底邊中點的橫坐標作為眾數．
(2)中位數：在頻率分布直方圖中，把頻率分布直方圖劃分為左右兩個面積相等的部分的分界線與x軸交點的橫坐標稱為中位數．
(3)平均數：平均數是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和．
[跟進訓練]
2．某中學舉行電腦知識競賽，現將高一參賽學生的成績進行整理后分成五組繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．
求：(1)成績的眾數、中位數的估計值；
(2)平均成績的估計值(同一組中的數據用該組區間的中點值作代表)．
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
類型3　平均數、中位數和眾數的實際應用
【例3】　(源自湘教版教材)某公司全體職工的月工資如下：
月工資/元 18 000 12 000 8 000 6 000 4 000 2 500 2 000 1 500 1 200
人數 1 (總經理) 2 (副總經理) 3 4 10 20 22 12 6
(1)試求出該公司月工資數據中的眾數、中位數和平均數；
(2)你認為用平均數、中位數或眾數中的哪一個更能反映該公司的工資水平？
(3)對于職工月工資數據的平均數、中位數和眾數，你認為該公司總經理、普通員工及應聘者將分別關注哪一個？說說你的理由．
[嘗試解答]　_________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
　平均數、中位數、眾數應用問題的兩個關注點
(1)平均數與每一個數據都有關，可以反映更多的總體信息，但受極端值的影響大；中位數是樣本數據所占頻率的等分線，不受幾個極端值的影響；眾數只能體現數據的最大集中點，無法客觀反映總體特征．
(2)當平均數大于中位數時，說明數據中存在許多較大的極端值．
[跟進訓練]
3．如表是五年級兩個班各11名同學1分鐘仰臥起坐的成績(單位：次)：
一班 19 33 26 29 28 33 34 35 33 33 30
二班 25 27 29 28 29 30 29 35 29 30 29
(1)這兩組數據的平均數，中位數和眾數各是多少？
(2)你認為哪個數表示兩個班的成績更合適？
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
1．(多選)在一次體育測試中，某班6名同學的成績(單位：分)分別為66，83，87，83，77，96．關于這組數據，下列說法正確的是(　　)
A．眾數是83　　 B．中位數是83
C．極差是30 　 D．平均數是83
2．下列關于平均數、中位數、眾數的說法中正確的是(　　)
A．中位數可以準確地反映出總體的情況
B．平均數可以準確地反映出總體的情況
C．眾數可以準確地反映出總體的情況
D．平均數、中位數、眾數都有局限性，都不能準確地反映出總體的情況
3．已知一組數據按從小到大排列為－1，0，4，x，6，15，且這組數據的中位數是5，那么數據的眾數是________，平均數是________．
4．某校從參加高二年級學業水平測試的學生中抽出80名學生，其數學成績(均為整數)的頻率分布直方圖如圖所示．
(1)這次測試數學成績的眾數為________；
(2)這次測試數學成績的中位數為________；
(3)這次測試數學成績的平均分為________．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．在頻率分布直方圖中，如何確定眾數、中位數和平均數？
2．眾數、中位數和平均數的各有哪些優缺點？
9.2.3　總體集中趨勢的估計
[必備知識·情境導學探新知]
知識點　1.(1)出現次數最多　(2)中間　中間　(3)和
思考1　提示：不一定．一組數據按大小順序排列后，如果有奇數個數據，處于中間位置的數是中位數；如果有偶數個數據，則中間兩個數據的平均數是中位數．
思考2　提示：不一定，數據的眾數可能有一個，也可能有多個．
2．(1)對稱　右邊　左邊　(2)最高　相等　橫坐標　面積
課前自主體驗
(1)√　(2)×　(3)×
[關鍵能力·合作探究釋疑難]
例1　D　[由題意得a＝(16＋18＋15＋11＋16＋18＋18＋17＋15＋13)＝＝15.7，中位數為16，眾數為18，則b＝16，c＝18，∴c＞b＞a.]
跟進訓練
1．(1)A　(2)①②③　[(1)因為一組數據x1，x2，x3，x4，x5的平均數是2，所以另一組數據2x1－3，2x2－3，2x3－3，2x4－3，2x5－3的平均數為2×2－3＝1.故選A.
(2)把兩組數據按從小到大的順序排列，得
甲：8，12，13，20，22，24，25，26，27，37
乙：9，11，13，14，18，19，20，21，21，23
故甲的最大值為37，最小值為8，則極差為29，所以①正確；乙中出現最多的數據是21，所以②正確；甲的平均數為＝×(8＋12＋13＋20＋22＋24＋25＋26＋27＋37)＝21.4，所以③正確；甲的中位數為×(22＋24)＝23，故④不正確．]
例2　解：(1)眾數是頻率分布直方圖中最高小矩形底邊中點的橫坐標，所以眾數為m＝75.0.
前3個小矩形面積和為0.01×10＋0.015×10＋0.015×10＝0.4<0.5，
前4個小矩形面積和為0.4＋0.03×10＝0.7>0.5，
所以中位數n＝70＋≈73.3.
(2)依題意，60及60以上的分數在第三、四、五、六組，頻率和為(0.015＋0.03＋0.025＋0.005)×10＝0.75，
所以估計這次考試的物理成績的及格率是75%.
利用組中值估算抽樣學生的平均分為45×f1＋55×f2＋65×f3＋75×f4＋85×f5＋95×f6＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71.
所以估計這次考試的物理成績的平均分是71分．
跟進訓練
2．解：(1)由圖可知眾數的估計值為65分．
設中位數為x，
又∵第一個小矩形的面積為0.3，
則0.3＋(x－60)×0.04＝0.5，得x＝65.
∴中位數的估計值為65分．
(2)依題意，平均成績為55×0.3＋65×0.4＋75×0.15＋85×0.1＋95×0.05＝67(分)，
∴平均成績的估計值為67分．
例3　解：(1)在上述80個數據中，2 000出現了22次，出現的次數最多，因此這組數據的眾數是2 000.
把這80個數據按從小到大的順序排列后，位于中間的數是2 000，2 500，因此這組數據的中位數是＝2 250.
這組數據的平均數為＝＝＝3 115.
(2)由于大多數員工的月工資達不到平均數3 115，顯然用平均數作為該公司員工月工資的代表值并不合適；眾數2 000及中位數2 250在一定程度上代表了大多數人的工資水平，較能反映月工資水平的實際情況．
(3)公司總經理最關心的是月工資的總額，所以他關注的是平均數；普通員工關注的是自己的收入在本公司職工群體中的位置，中位數能幫助職工了解自己的工資收入處于什么樣的水平；應聘者最想知道公司發給大多數員工的工資數額，這也是一般應聘者將會拿到的工資，因此應聘者關注的是該公司月工資的眾數．
跟進訓練
3．解：(1)一班平均數：(19＋33＋26＋29＋28＋33＋34＋35＋33＋33＋30)÷11＝333÷11≈30.27(次)，
一班數據從小到大排列為：19，26，28，29，30，33，33，33，33，34，35，
所以一班中位數為33次，
33出現的次數最多，眾數是33次；
二班平均數：(25＋27＋29＋28＋29＋30＋29＋35＋29＋30＋29)÷11＝320÷11≈29.09(次)，
二班數據從小到大排列為：25，27，28，29，29，29，29，29，30，30，35，
所以二班的中位數是29次，
29出現的次數最多，所以二班的眾數是29次．
(2)運用平均數表示兩個班的成績更合適．
[學習效果·課堂評估夯基礎]
1．ABC　[由于83出現的次數最多，所以眾數是83，故A正確；把數據按從小到大排列為66，77，83，83，87，96，中間兩個數為83，83，所以中位數是83，故B正確；極差是96－66＝30，故C正確；由于平均數為(66＋83＋87＋83＋77＋96)÷6＝82，故D錯誤．]
2．D　[中位數不受少數極端值的影響，對極端值的不敏感也會成為缺點，故A錯誤；平均數可以較好地反映樣本數據全體的信息，但是樣本數據質量較差時，使用平均數描述數據的中心位置就可能會與實際情況產生較大差異，故B錯誤；眾數體現了樣本數據的最大集中點，但對其他數據信息的忽略使得無法客觀反映總體特征，故C錯誤；綜上可知，D正確．]
3．6　5　[因為－1，0，4，x，6，15的中位數是5，所以(4＋x)＝5，x＝6.所以這組數據的眾數是6，平均數是(－1＋0＋4＋6＋6＋15)＝5.]
4．(1)75　(2)　(3)72　[(1)由題干圖知眾數為＝75.
(2)由題干圖知，設中位數為x，由于前三個矩形面積之和為0.4，第四個矩形面積為0.3，0.3＋0.4>0.5，因此中位數位于第四個矩形內，得0.1＝0.03(x－70)，所以x＝.
(3)由題干圖知這次數學成績的平均數為：×0.005×10＋×0.015×10＋×0.02×10＋×0.03×10＋×0.025×10＋×0.005×10＝72.]
課堂小結
1．提示：在頻率分布直方圖中，眾數是最高小矩形底邊的中點所對應的數據；中位數左邊和右邊的直方圖的面積應該相等；平均數等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和．
2．提示：
名稱 優點 缺點
平均數 與中位數相比，平均數反映出樣本數據中更多的信息，對樣本中的極端值更加敏感 任何一個數據的改變都會引起平均數的改變．數據越“離群”，對平均數的影響越大
中位數 不受少數幾個極端數據(即排序靠前或靠后的數據)的影響 對極端值不敏感
眾數 體現了樣本數據的最大集中點 眾數只能傳遞數據中的信息的很少一部分，對極端值不敏感9.2.4　總體離散程度的估計
學習任務 1．結合實例，能用樣本估計總體的離散程度參數(標準差、方差、極差)．(數學抽象、數據分析) 2．理解離散程度參數的統計含義．(直觀想象)
甲、乙兩名戰士在相同條件下各射靶10次，每次命中的環數分別是：
甲：8，6，7，8，6，5，9，10，4，7；
乙：6，7，7，8，6，7，8，7，9，5．
經過計算可知甲、乙的命中環數的平均數都是7環．
問題：若從二人中選一人去參加射擊大賽，只用平均數能否作出選擇？
知識點　方差、標準差
1．一組數據x1，x2，…，xn的方差和標準差
數據x1，x2，…，xn的方差為_________＝_________，標準差為_________．
2．總體方差和標準差
(1)總體方差和標準差：如果總體中所有個體的變量值分別為Y1，Y2，…，YN，總體的平均數為，則稱S2＝__________為總體方差，S＝____為總體標準差．
(2)總體方差的加權形式：如果總體的N個變量值中，不同的值共有k(k≤N)個，不妨記為Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出現的頻數為fi(i＝1，2，…，k)，則總體方差為S2＝__________．
3．樣本方差和標準差
如果一個樣本中個體的變量值分別為y1，y2，…，yn，樣本平均數為，則稱s2＝__________為樣本方差，s＝___為樣本標準差．
4．標準差的意義
標準差刻畫了數據的________或________，標準差越大，數據的離散程度越__；標準差越小，數據的離散程度越__．
5．分層隨機抽樣的方差
設樣本容量為n，平均數為，其中兩層的個體數量分別為n1，n2，兩層的平均數分別為，方差分別為，則這個樣本的方差為s2＝______________________________．
1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)若一組數據的值大小相等，沒有波動變化，則標準差為0． (　　)
(2)標準差、方差的取值范圍為[0，＋∞)． (　　)
(3)標準差越大，表明各個樣本數據在樣本平均數周圍越集中；標準差越小，表明各個樣本數據在樣本平均數周圍越分散． (　　)
(4)一般情況下數據中絕大部分數據落在內，也有可能落在外． (　　)
(5)計算分層隨機抽樣中總樣本的平均數與方差時，必須已知各層的權重． (　　)
2．已知一個樣本中的數據為1，2，3，4，5，則該樣本的方差為________；標準差為________．
3．某班為了了解學生每周購買零食的支出情況，利用分層隨機抽樣抽取了一個15人的樣本統計如下：
性別 學生數 平均支出(元) 方差
男生 9 40 6
女生 6 35 4
則全班學生每周購買零食的平均費用為________；方差為________．
類型1　方差和標準差的性質與計算
【例1】　(1)已知某7個數的平均數為4，方差為2，現加入一個新數據4，此時這8個數的平均數為，方差為s2，則(　　)
A．＝4，s2<2　 B．＝4，s2>2
C．>4，s2<2 　 D．>4，s2>2
(2)若40個數據的平方和是56，平均數是，則這組數據的方差是________，標準差是________．
[嘗試解答]　_________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
　方差和標準差的計算技巧與性質
(1)方差的計算
①基本公式：s2＝2＋2＋…＋].
②簡化計算公式：s2＝－，即方差等于原數據平方的平均數減去平均數的平方．
(2)方差和標準差的性質
若把一組數據的每一個數變為原來的k倍并加上或減去常數a，則它的標準差變為原來的k倍，方差變為原來的k2倍，而與a的大小無關．
[跟進訓練]
1．(1)(多選)下列四個選項中，正確的是(　　)
A．極差與方差都反映了數據的集中程度
B．方差是沒有單位的統計量
C．標準差比較小時，數據比較分散
D．只有兩個數據時，極差是標準差的2倍
(2)樣本中共有五個個體，其值分別為a，0，1，2，3．若該樣本的平均數為1，則樣本的方差為________．
類型2　方差和標準差的應用
【例2】　為響應“綠色出行”號召，某市先后推出了“共享單車”和“新能源分時租賃汽車”，并計劃在甲、乙兩個工廠選擇一個工廠生產汽車輪胎，現分別從甲、乙兩廠各隨機選取10個輪胎，將每個輪胎的寬度(單位：mm)記錄下來并繪制出如下的折線圖：
(1)分別計算甲、乙兩廠提供的10個輪胎寬度的平均數；
(2)輪胎的寬度在[194，196]內，則稱這個輪胎是標準輪胎．試比較甲、乙兩廠分別提供的10個輪胎中所有標準輪胎寬度的方差的大小，根據兩廠的標準輪胎寬度的平均水平及其波動情況，判斷這兩個工廠哪個工廠會被選擇．
[嘗試解答]　_________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
　在實際問題中，僅靠平均數不能完全反映問題，還要研究方差，方差描述了數據相對平均數的離散程度．在平均數相同的情況下，方差越大，離散程度越大，數據波動性越大，穩定性越差；方差越小，離散程度越小，數據越集中，越穩定．
[跟進訓練]
2．汽車行業是碳排放量比較大的行業之一，某檢測單位對甲、乙兩類MI型品牌的新車各抽取了5輛進行CO2排放量檢測，記錄如下(單位：g/km)，則甲、乙兩品牌汽車CO2的排放量穩定性更好的是(　　)
甲 80 110 120 140 150
乙 100 120 100 120 160
A．甲　 B．乙
C．甲、乙相同　 D．無法確定
類型3　分層隨機抽樣的方差
【例3】　某市教育部門采用分層隨機抽樣的方法從甲、乙、丙三個學校選取了100名學生的某次考試數學成績(單位：分)，并制成如下表格：
學校 學生數 平均數 方差
甲 40 98 10
乙 30 92 12
丙 30 95 15
試估計這次考試數學成績的平均數與方差．
[嘗試解答]　_________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
　分層隨機抽樣的方差
設樣本中不同層的平均數分別為，…，，方差分別為，…，，相應的權重分別為w1，w2，…，wn，則這個樣本的方差為s2＝(為樣本的平均數)．
[跟進訓練]
3．甲、乙兩支田徑隊體檢結果為：甲隊體重的平均數為60 kg，方差為200，乙隊體重的平均數為70 kg，方差為300，又已知甲、乙兩隊的隊員人數之比為1∶4，求甲、乙兩隊全部隊員的平均體重和方差．
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
1．甲、乙、丙、丁四名射手在選拔賽中所得的平均環數及其方差s2如表所示，則選送決賽的最佳人選應是(　　)
項目 甲 乙 丙 丁
7 8 8 7
s2 6.3 6.3 7 8.7
A.甲　　　B．乙　　　C．丙　　　D．丁
2．已知一組數據x1，x2，x3，x4，x5的平均數是3，方差是，那么另一組數據2x1－1，2x2－1，2x3－1，2x4－1，2x5－1的平均數、方差分別是(　　)
A．5，　B．5，2 　C．3，2 　D．3，
3．某學員在一次射擊測試中射靶10次，命中環數如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4，
則：(1)平均命中環數為________；
(2)命中環數的標準差為________．
4．在對某中學高一學生體重的調查中，采取按樣本量比例分配的分層隨機抽樣，已知抽取了男生30人，其平均數和方差分別為55和15，抽取了女生20人，其平均數和方差分別為45和20．根據以上數據估計該校高一學生體重的總樣本的平均數為________，方差為________．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．描述數據的離散程度的量有哪些？分別如何描述的？
2．如何計算一組數據的方差或標準差？
3．如何計算分層隨機抽樣的方差？
9.2.4　總體離散程度的估計
[必備知識·情境導學探新知]
課前自主體驗
1．(1)√　(2)√　 (3)×　(4)√　(5)√
2．2　
3．38　11.2
[關鍵能力·合作探究釋疑難]
例1　(1)A　(2)0.9　　[(1)因為某7個數的平均數為4，所以這7個數的和為4×7＝28，因為加入一個新數據4，所以＝＝4.又因為這7個數的方差為2，且加入一個新數據4，所以這8個數的方差s2＝＝<2.故選A.
(2)由方差公式
s2＝，
得s2＝
＝.
由已知得n＝＝56，＝.
∴s2＝＝0.9，s＝.]
跟進訓練
1．(1)AD　(2)2　[(1)設兩個數據分別為x1，x2，則極差等于|x2－x1|，標準差等于|x2－x1|，故D正確．由定義可知A正確，B，C錯誤．
(2)由平均數為1可得＝1，
解得a＝－1.所以樣本的方差s2＝＝2.]
例2　解：(1)甲廠提供的10個輪胎寬度的平均數為
×(195＋194＋196＋193＋194＋197＋196＋195＋193＋197)＝195.
乙廠提供的10個輪胎寬度的平均數為
×(195＋196＋193＋192＋195＋194＋195＋192＋195＋193)＝194.
(2)甲廠提供的10個輪胎的寬度在[194，196]內的數據為195，194，196，194，196，195，共6個，標準輪胎寬度的平均數為＝195，方差為×(0＋1＋1＋1＋1＋0)＝.
乙廠提供的10個輪胎的寬度在[194，196]內的數據為195，196，195，194，195，195，共6個，標準輪胎寬度的平均數為＝195，
方差為×(0＋1＋0＋1＋0＋0)＝.
由于甲、乙兩廠標準輪胎寬度的平均數相等，但乙的方差更小，所以乙廠的輪胎會被選擇．
跟進訓練
2．B　[甲類品牌汽車的CO2排放量的平均值
＝＝120(g/km)，
甲類品牌汽車的CO2排放量的方差
＝×[(80－120)2＋(110－120)2＋(120－120)2＋(140－120)2＋(150－120)2]＝600.
乙類品牌汽車的CO2排放量的平均值
＝＝120(g/km)，
乙類品牌汽車的CO2排放量的方差
＝×[(100－120)2＋(120－120)2＋(100－120)2＋(120－120)2＋(160－120)2]＝480，所以.故選B.]
例3　解：由題意可得，樣本平均數＝(40×98＋30×92＋30×95)＝95.3(分)，方差s2＝{40×[10＋(98－95.3)2]＋30×[12＋(92－95.3)2]＋30×[15＋(95－95.3)2]}＝18.31，所以估計這次考試數學成績的平均數為95.3分，方差為18.31.
跟進訓練
3．解：由題意可知＝60，甲隊隊員在所有隊員中所占權重為＝＝70，乙隊隊員在所有隊員中所占權重為，則甲、乙兩隊全部隊員的平均體重為＝×60＋×70＝68 kg，甲、乙兩隊全部隊員的體重的方差為s2＝[200＋(60－68)2]＋[300＋(70－68)2]＝296.
[學習效果·課堂評估夯基礎]
1．B　[∵＝>＝，且＝，故應選擇乙進入決賽．]
2．B　[因為數據x1，x2，x3，x4，x5的平均數是3，方差是，所以，因此數據2x1－1，2x2－1，2x3－1，2x4－1，2x5－1的平均數為－1＝5，方差為＝＝＝＝2．故選B.]
3．(1)7　(2)2　[(1)＝＝7.
(2)∵s2＝×[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4，∴s＝2.]
4．51　41　[總樣本的平均數為×55＋×45＝51，總樣本的方差為×[15＋(55－51)2]＋×[20＋(45－51)2]＝41.]
課堂小結
1．提示：數據的離散程度可以通過極差、方差或標準差來描述．
(1)極差是數據的最大值與最小值的差．它反映了一組數據變化的最大幅度，它對一組數據中的極端值非常敏感．
(2)方差則反映了一組數據圍繞平均數波動的大小．為了得到以樣本數據的單位表示的波動幅度通常用標準差．在平均數相同的情況下，方差(或標準差)越大，離散程度越大，數據波動性越大，穩定性差；方差(或標準差)越小，數據越集中、越穩定．
2．提示：(1)公式法：s2＝2＋2＋…＋]＝－；
(2)性質法：若x1，x2，…，xn的方差為s2，則mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的方差為m2s2.
3．提示：計算分層隨機抽樣的方差s2的步驟
(1)分層隨機抽樣中兩組數據x，y的抽樣比例是；
(2)總體均值為＝；
(3)總體方差s2＝＋]＋·＋].第9章 統計 章末綜合提升
類型1　抽樣方法
1．抽樣方法有：簡單隨機抽樣、分層隨機抽樣．對抽樣方法的考查，主要有兩點：一是兩種抽樣方法的判斷；二是關于分層隨機抽樣的樣本容量的計算問題，特別與其他的問題結合在一起的問題要引起重視．
2．掌握兩種抽樣方法，提升數據分析素養．
【例1】　(1)某市舉行以“學習黨的二十大精神，培根鑄魂育新人”為主題的中小學教師演講比賽．若將報名的50位教師編號為00，01，…，49，利用下面的隨機數表來決定他們的出場順序，選取方法是從下面隨機數表第1行第5列開始橫向依次選取兩個數字，重復的剔除，則選出來的第8個個體的編號為(　　)
45 67 32 12 12 31 02 01 04 52 15 20 01 12 51 29
32 04 92 34 49 35 82 00 36 23 48 69 69 38 74 81
A．12　　　B．20　　　C．29　　　D．23
(2)(多選)(2022·山東聊城一中月考)某校高二年級有男生600人，女生400人，張華按男生、女生進行分層，通過分層隨機抽樣的方法，得到一個總樣本量為100的樣本，計算得到男生、女生的平均身高分別為170 cm和160 cm，方差分別為15和30，則下列說法正確的有(　　)
A．若張華采用樣本量比例分配的方式進行抽樣，則男生、女生分別應抽取60人和40人
B．若張華采用樣本量比例分配的方式進行抽樣，則樣本的方差為37.8
C．若張華采用樣本量比例分配的方式進行抽樣，則樣本的平均數為166，此時可用樣本平均數估計總體的平均數
D．若張華采用等額抽取，即男生、女生分別抽取50人，則某男生甲被抽到的概率為
[嘗試解答]　_________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
類型2　統計圖表及其應用
1．常見的統計圖表有：頻率分布直方圖、條形圖、折線圖、扇形圖等等，不同的統計圖表在表示數據上有不同的特點．
2．掌握常見的統計圖表，提升直觀想象、數據分析和數學運算素養．
【例2】　(1)(多選)(2022·江蘇沭陽縣修遠中學期末)某中學舉行安全知識競賽，對全校參賽的1 000名學生的得分情況進行了統計，把得分數據按照[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成了5組，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，根據圖中信息，下列說法正確的是(　　)
A．這組數據的極差為50　
B．這組數據的眾數為76
C．這組數據的中位數為　
D．這組數據的第75百分位數為85
(2)(多選)(2022·山東濟南市歷城第二中學月考)某保險公司為客戶定制了A，B，C，D，E共5個險種，并對5個險種參保客戶進行抽樣調查，得出如下的統計圖：
用該樣本估計總體，以下說法正確的有(　　)
A．57周歲以上參保人數最少　
B．18～30周歲人群參保總費用最少
C．C險種更受參保人青睞
D．31周歲以上的人群約占參保人群80%
[嘗試解答]　_________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
類型3　用樣本的集中趨勢、離散程度估計總體
1．為了從整體上更好地把握總體規律，我們還可以通過樣本數據的眾數、中位數、平均數估計總體的集中趨勢，通過樣本數據的方差或標準差估計總體的離散程度．
2．掌握樣本數據的眾數、中位數、平均數及方差的計算方法，提升數據分析和數學運算素養．
【例3】　某工廠36名工人的年齡(單位：歲)數據如下：
40，44，40，41，33，40，45，42，43，36，31，38，39，43，45，39，38，36，27，43，41，37，24，42，37，44，42，34，39，43，38，42，53，37，49，39．
利用簡單隨機抽樣抽取容量為9的樣本，其年齡數據為44，40，36，43，36，37，44，43，37．
(1)計算樣本的平均數和方差s2；
(2)36名工人中年齡在－s與＋s之間的有多少人？所占的百分比是多少？(精確到0.01%)
[嘗試解答]　_________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
章末綜合提升
例1　(1)B　(2)AC　[(1)根據隨機數表的讀數規則，依次從隨機數表中讀出的有效編號為：32，12，31，02，01，04，15，20，得到選出來的第8個個體的編號為20.故選B.
(2)A選項，男生抽取100×＝60，女生抽取100－60＝40人，A選項正確．
C選項，樣本平均數為×170＋×160＝166，可以用樣本平均數估計總體的平均數，C選項正確．
B選項，樣本方差為[30＋(160－166)2]＝＝45，所以B選項錯誤．
D選項，男生甲被抽到的概率為＝，D選項錯誤．
故選AC.]
例2　(1)CD　(2)ACD　[(1)對于A：由頻率分布直方圖無法得到這組數據的最大值和最小值，
故這組數據的極差無法準確判斷，故A錯誤；
數據的眾數為(70＋80)＝75，故B錯誤；
(0.005＋0.02＋0.035)×10＝0.6>0.5，(0.005＋0.02)×10＝0.25<0.5，所以中位數位于之間，設中位數為x，則(0.005＋0.02)×10＋×0.035＝0.5，解得x＝，即這組數據的中位數為，故C正確；
∵(0.005＋0.02＋0.035)×10＝0.6，(0.005＋0.02＋0.035＋0.03)×10＝0.9，故估計第75分位數是80＋×10＝85，故D正確．故選CD.
(2)由扇形圖可知，57周歲以上參保人數最少，故A正確；
由折線圖可知，18～30周歲人群人均參保費用最少，但是由扇形圖知參保人數并不是最少的，所以參保總費用不是最少，故B錯誤；
由條形圖可知，C險種參保比例最高，故C正確；
由扇形圖可知，31周歲以上的人群約占參保人群80%，故D正確．故選ACD.]
例3　解：(1)由平均數公式知，＝×(44＋40＋36＋43＋36＋37＋44＋43＋37)＝40，由方差公式知，s2＝×[(44－40)2＋(40－40)2＋…＋(37－40)2]＝.
(2)因為s2＝，則s＝，所以36名工人中年齡在＋s之間的人數等于年齡在區間[37，43]內的人數，共23人．
所以36名工人中年齡在＋s之間的人數所占的百分比為×100%≈63.89%.

展開更多......

收起↑