資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
專題3.3 方差和標準差七大題型（一課一講）
（內容：方差與標準差及其應用）
【浙教版】
題型一：求一組數據的方差
【經典例題1】5個同學進行投籃比賽，投中的個數分別是6，8，10，7，9，這組數據的方差是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【變式訓練1-1】某射擊愛好者的8次射擊成績（單位：環）依次為7，9，10，8，9，8，10，10，則下列結論正確的是（ ）
A．眾數是9環 B．中位數是9環
C．平均數是8環 D．方差是1.2環
【變式訓練1-2】某校隨機調查了部分學生一周內背誦詩詞的數量，并根據調查結果繪制成如圖所示的折線統計圖，分析圖中的數據，則下列說法錯誤的是（ ）

A．眾數是5 B．平均數是5.3
C．中位數是4 D．方差是0.81
【變式訓練1-3】學校要求學生每天堅持體育鍛煉，小亮記錄了自己一周內每天校外鍛煉的時間，并制作了如圖所示的統計圖，下列關于小亮該周每天校外鍛煉時間的描述，正確的是（ ）
A．平均數為73分鐘 B．眾數為88分鐘 C．中位數為67分鐘 D．方差為60
【變式訓練1-4】某校組織開展“籃球杯”賽事活動，其中參賽的六個班得分分別為“55，64，51，50，■，55”，整理時不小心將其中一個數據污染了，只記得該數據在之間，則“■”在范圍內無論為何值都不影響這組數據的（ ）
A．平均數 B．中位數 C．眾數 D．方差
【變式訓練1-5】小明計算出一組數據的方差為，小麗將這組數據中每個數據都除以，所得新數據的方差是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練1-6】某次射擊比賽，甲隊員的成績如圖所示，根據此統計圖，判斷下列結論中錯誤的是（ ）
A．最高成績是9.4環 B．這組成績的中位數是9環
C．這組成績的眾數是9環 D．這組成績的方差是8.7
題型二：利用方差求未知數據的值
【經典例題2】淇淇在計算一組數據的方差時，列得沒有化簡的算式：
．關于這組數據，下列說法：①平均數是4；②中位數是4；③眾數是5；④樣本總數．其中不正確的結論是（ ）個
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式訓練2-1】為計算某樣本數據的方差，列出如下算式，據此判斷下列說法錯誤的是（ ）
A．n的值是4 B．樣本平均數是4
C．樣本眾數是3 D．樣本中位數是3
【變式訓練2-2】如果樣本方差，那么這個樣本的平均數和樣本容量分別為（ ）
A．2，4 B．2，6 C．3，6 D．4，6
【變式訓練2-3】若1、2、3、4、x的方差與3、4、5、6、7的方差相等，則
【變式訓練2-4】若一組數據2，3，x，4，5的方差為2，則這組數據的中位數為 ．
【變式訓練2-5】一組數據，6，6，6，6，6的方差為0，則的值為 ．
【變式訓練2-6】一組有n個數據的樣本的平均數為x，它的方差為，則＝ ．
題型三：已知一組數據的方差，求另一組數據的相關值
【經典例題3】如果用公式計算一組數據的方差，那么數據，，，…，的和是（ ）
A．268 B．240 C．90 D．43
【變式訓練3-1】已知一組數據、、、的平均數是2，方差為2，那么另一組數，，，的平均數和方差分別是（ ）
A．3，2 B．3，7 C．3，8 D．2，3
【變式訓練3-2】已知一組數據x1，x2，x3，x4，x5的平均數是2，方差是3，那么另一組數據3x1，3x2，3x3，3x4，3x5的平均數和方差分別是（ ）
A．2，3 B．6，9 C．6，27 D．6，18
【變式訓練3-3】已知一組數據的平均數是4，方差是6，則，的平均數和方差分別為（ ）
A．4和6 B．16和6 C．4和22 D．16和54
【變式訓練3-4】下列說法正確的是（ ）
A．計算兩個班同學數學成績的平均分，可以用兩個班的平均分除以2即可；
B．10，9，10，12，11，12這組數據的眾數是10；
C．若，，，…，的平均數是，那么
D．若，，，…，的方差是，那么，，，…方差是．
【變式訓練3-5】已知三個數據的平均數為2，方差為1，則的平均數為 ．
題型四：根據方差判斷數據的穩定性
【經典例題4】甲、乙、丙、丁四位學生參加立定跳遠訓練，他們近期5次訓練的平均成績相同，設甲、乙、丙、丁這5次訓練成績的方差分別是，，，，且，，，，則四位學生中這5次訓練成績最穩定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【變式訓練4-1】甲、乙、丙、丁四名運動員參加射擊項目選拔賽，每人10次射擊成績的平均數（單位：環）和方差如表所示：
甲 乙 丙 丁
9.5 9.5 8.2 8.5
0.09 0.65 0.16 2.85
根據表中數據，從中選擇一名成績好且發揮穩定的運動員參加比賽，應該選擇（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【變式訓練4-2】射擊運動隊進行射擊測試，甲、乙兩名選手的測試成績如圖，其成績的方差分別記為和，則和的大小關系是（ ）
A． B． C． D．無法確定
【變式訓練4-3】小姜，小徐，小林正在玩射擊游戲，小姜同學四次成績分別為9.5環、9.7環、10.5環、10.3環；小徐同學的四次成績分別為9.6環、9.7環、10.7環、10.0環；小林同學四次成績分別為9.8環、9.5環、10.6環、10.1環，則他們成績較為穩定的是（ ）
A．小姜同學 B．小徐同學 C．小林同學 D．一樣穩定
【變式訓練4-4】為豐富學校課余生活，某校舉行射擊比賽．甲、乙兩人參加學校舉行的射擊比賽，他們射擊10次的成績制成折線統計圖如圖所示，已知兩人的射擊平均成績均為環，則下列說法正確的是（ ）
A．甲的成績比乙的成績更穩定
B．乙的成績比甲的成績更穩定
C．甲的10次射擊成績中，最好的成績是9環
D．乙的10次射擊成績中，最差的成績是4環
【變式訓練4-5】2024年11月17日，世界沙灘排球職業巡回賽挑戰賽收官，中國組合獲女子組冠軍，這一勝利也將進一步激活中國沙灘體育運動的活力．為此，某校進行了一次排球比賽，已知甲、乙兩支隊伍中隊員的平均身高相等，均為，甲隊5名隊員身高的方差為，乙隊5名隊員的身高依次為、、、、，那么兩隊中身高更整齊的是 隊．（填“甲”或“乙”）
題型五：求一組數據的標準差
【經典例題5】一組數據的平均數為，則數據的標準差和中位數分別為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練5-1】運動會米賽跑，位運動員成績如下表所示，其中有兩個數據被遮蓋，那么被遮蓋的兩個數據依次是（ ）
運動員 平均成績 標準差
時間（秒）
A． B． C． D．
【變式訓練5-2】已知一個樣本數據為2，3，4，5，6，則這組數據的方差和標準差分別是（ ）
A．2、 B．3、 C．、 2 D．、3
【變式訓練5-3】某小組五位同學參加某次考試（滿分20分）的平均成績是16分，其中三位男生成績的方差為6，兩位女生的成績分別為17分、15分，則這五位同學成績的標準差為（ ）
A． B．2 C． D．6
【變式訓練5-4】已知2，3，5，m，n五個數據的方差是4，那么3，4，6，，五個數據的標準差是 ．
【變式訓練5-5】一組數據的平均數為5，方差為16，n是正整數，則另一組數據的標準差是 ．
題型六：求一組數據的極差
【經典例題6】第31屆世界大學生夏季運動會在成都圓滿落幕，運動會激發了全民健身熱情，許多市民利用閑暇之余積極參與各類鍛煉活動．小明記錄自己一周內每天戶外鍛煉的時間單位：為68，75，85，69，70，83，75，下列關于小明該周每天戶外鍛煉時間的描述正確的是（ ）
A．平均數為 B．眾數為 C．中位數為 D．極差為
【變式訓練6-1】一組數據5、3、、4的極差是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【變式訓練6-2】如圖，在中考體育模擬測試中，某校10名學生體育模擬測試成績如圖所示，對于這10名學生的體育模擬測試成績，下列說法錯誤的是（ ）
A．極差是10 B．眾數是90分
C．平均分一定大于90分 D．中位數是90分
【變式訓練6-3】2024年12月26號，濱海的最高氣溫為，最低氣溫為，則該日的氣溫極差為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練6-4】某儀仗隊名隊員的身高（單位：）如下：則這個隊隊員的身高的極差和眾數分別是（ ）
身高
人數
A．個， B．，
C．， D．個，
【變式訓練6-5】下面是昆明市2024年春節8天的空氣質量指數（）：
日期 2月10日 2月11日 2月12日 2月13日 2月14日 2月15日 2月16日 2月17日
46 47 47 42 57 50 69 47
下列說法正確的是（ ）
A．這8天的空氣質量指數的眾數是47
B．這8天的空氣質量指數的中位數是49.5
C．這8天的空氣質量指數的平均數是50
D．這8天的空氣質量指數的極差是22
題型七：方差和標準差綜合應用
【經典例題7】周老師平時上班有A，兩條路線可以選擇，她記錄了兩周共十天的上班路上所用的時間并繪制了如下統計圖：
(1)這十天中周老師上班路上所用時間最多相差______．
(2)哪一條上班路線用時更穩定？請通過計算說明．
(3)你建議周老師應如何選擇上班路線？
【變式訓練7-1】傳播科學知識，講好科學故事．近期我校舉辦了第三屆科普講解大賽，賽后某學習小組從八年級和九年級參與了比賽的學生中各隨機抽取了10名同學的成績進行了收集、整理、描述和分析，下面給出了部分信息：（組：；組：；組：；組：；單位：分）．
九年級10名同學成績是：80，82，88，90，92，92，95，95，95，99．
八年級10名同學中成績在組中的數據為：84：在組中的數據為：90，92，93，93．根據以上信息，解答下列問題：
八、九年級所抽學生大賽成績統計表
年級 平均數 中位數 眾數 方差
八年級 90.8 93 32.56
九年級 90.8 92 31.92
八年級所抽學生大賽成績扇形統計圖
(1)上述圖表中____，____，____；
(2)根據以上數據分析，你認為我校八、九年級中哪個年級學生的科普講解大賽成績較好？請說明理由（寫出一條理由即可）；
(3)我校八、九年級各有300名同學參加了此次科普講解大賽，估計我校八、九年級參加此次科普講解大賽成績在組的學生人數是多少？
【變式訓練7-2】高校航模比賽開賽以來，以其滿滿的科技感和獨特的創新性吸引了各所高校學子報名參加，甲、乙兩個學校設計的飛機模型在一次飛機模型運輸比賽中的五次成績（單位：分，滿分100分）如圖所示．
(1)根據條形統計圖內容，補全下列表格內容．
平均數 中位數 眾數 方差
甲學校 85 ______ 85 70
乙學校 ______ 80 ______ 160
(2)根據兩個學校飛機航模五次成績的平均數和中位數，簡要分析哪個學校的飛機航模的成績更好一些．
(3)若成績更穩定的飛機航模勝出比賽，則______學校勝出比賽．（填“甲”或“乙”）
【變式訓練7-3】某中學為選拔“校園形象代言人”，先后進行了筆試和面試，在筆試中，甲、乙、丙三位同學脫穎而出，他們的筆試成績（滿分為100分）分別是87，85，90．在面試中，十位評委對甲、乙、丙三位同學的表現進行打分，每位評委最高打10分，面試成績等于各位評委打分之和．對三位同學的面試數據進行整理、描述和分析，并給出了相關信息．
c.甲、乙、丙三位同學面試情況統計表
同學 評委打分的中位數 評委打分的眾數 面試成績 方差
甲 9和10 85
乙 8 87
丙 8
根據以上信息，回答下列問題：
(1)_______，_______；
(2)求丙同學的面試成績；
(3)通過比較方差，可判斷評委對學生面試表現評價的一致性程度．據此推斷評委對______同學的評價更一致（填“甲”、“乙”或“丙”）；
(4)按筆試成績占，面試成績占選出綜合成績最高的同學是_____（填“甲”、“乙”或“丙”）．
【變式訓練7-4】射擊比賽中，甲，乙兩人在相同的條件下各射擊10次，成績統計如下：
甲，乙射擊成績統計表
平均數 中位數 方差
甲 8 c
乙 8 1.8
根據以上信息，回答下列問題：
(1)________，__________，__________；
(2)你認為誰的射擊成績更好？為什么？
(3)如果乙再射擊1次，命中8環，那么乙射擊成績的方差將_________（填“變大”，“變小”或“不變”）．
【變式訓練7-5】隨著科技的發展人工智能漸漸走進了人們的生活，現從甲、乙兩款人工智能軟件調查得分中分別隨機抽取了20個用戶的得分數據進行整理、描述和分析（得分用表示），共分為四組，A：，B：，C：，D：，下面給出了部分信息．
甲款人工智能軟件得分數據：
64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100．
乙款人工智能軟件在C組內（）的所有得分數據：
85，86，87，88，88，88，90，90．
甲、乙兩款人工智能軟件得分統計表：
軟件 平均數 中位數 眾數 方差
甲 86 85.5 96.6
乙 86 88
乙款人工智能軟件得分扇形統計圖：
根據以上信息，解答下列問題：
(1)填空：_______，______，______；
(2)根據以上數據，你認為哪款人工智能軟件更受用戶歡迎？請說明理由（寫出一條理由即可）；
(3)若本次調查有900名用戶對甲款人工智能軟件進行了調查評分，有1200名用戶對乙款人工智能軟件進行了評分，估計其中對甲、乙兩款人工智能軟件非常滿意（）的總用戶數．中小學教育資源及組卷應用平臺
專題3.3 方差和標準差七大題型（一課一講）
（內容：方差與標準差及其應用）
【浙教版】
題型一：求一組數據的方差
【經典例題1】5個同學進行投籃比賽，投中的個數分別是6，8，10，7，9，這組數據的方差是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【詳解】解：平均數，
方差．
故選：A．
【變式訓練1-1】某射擊愛好者的8次射擊成績（單位：環）依次為7，9，10，8，9，8，10，10，則下列結論正確的是（ ）
A．眾數是9環 B．中位數是9環
C．平均數是8環 D．方差是1.2環
【答案】B
【詳解】解：將8次射擊成績從小到大排列為：7，8，8，9，9，10，10，10，
可知眾數為10環，故A錯誤，不符合題意；
中位數為：環，故B正確，符合題意；
平均數為：，故C錯誤，不符合題意；
方差：，故D錯誤，不符合題意，
故選：B．
【變式訓練1-2】某校隨機調查了部分學生一周內背誦詩詞的數量，并根據調查結果繪制成如圖所示的折線統計圖，分析圖中的數據，則下列說法錯誤的是（ ）

A．眾數是5 B．平均數是5.3
C．中位數是4 D．方差是0.81
【答案】C
【詳解】解：由折線圖知：部分學生一周內背誦詩詞從小到大重新排列為：4，4，5，5，5，5，6，6，6，7，
平均數是，故選項B不合題意；
中位數是，故選項C符合題意；
由5出現了4次，故其眾數為5，故選項A不合題意；
方差是，故選項D不合題意；
故選：C．
【變式訓練1-3】學校要求學生每天堅持體育鍛煉，小亮記錄了自己一周內每天校外鍛煉的時間，并制作了如圖所示的統計圖，下列關于小亮該周每天校外鍛煉時間的描述，正確的是（ ）
A．平均數為73分鐘 B．眾數為88分鐘 C．中位數為67分鐘 D．方差為60
【答案】A
【詳解】解：平均數為（分鐘），
7個數據按照從小到大排列為：，中位數是70分鐘，
在7個數據中，67出現的次數最多，為2次，則眾數為67分鐘，
方差為：
，
觀察四個選項，選項A符合題意，
故選：A．
【變式訓練1-4】某校組織開展“籃球杯”賽事活動，其中參賽的六個班得分分別為“55，64，51，50，■，55”，整理時不小心將其中一個數據污染了，只記得該數據在之間，則“■”在范圍內無論為何值都不影響這組數據的（ ）
A．平均數 B．中位數 C．眾數 D．方差
【答案】B
【詳解】解：∵一組數據“55，64，51，50，■，55”，該數據■在之間，
∴四個數據的和隨數據■的變化而變化，所以平均數是變化的，選項A錯誤．
這組數據從小到大進行排序后，排在第3，4位的都是55，則中位數是55，不變，選項B正確．
眾數與數據■有關，選項C錯誤．
因為平均數改變，所以方差也發生改變，選項D錯誤．
故選：B．
【變式訓練1-5】小明計算出一組數據的方差為，小麗將這組數據中每個數據都除以，所得新數據的方差是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：設，，，…，的平均數為，則方差，
由于小麗將這組數據中每個數據都除以，
∴
，
故選：．
【變式訓練1-6】某次射擊比賽，甲隊員的成績如圖所示，根據此統計圖，判斷下列結論中錯誤的是（ ）
A．最高成績是9.4環 B．這組成績的中位數是9環
C．這組成績的眾數是9環 D．這組成績的方差是8.7
【答案】D
【詳解】解：由題意可知，最高成績是9.4環，故選項A不合題意；
這組成績的中位數為9環，故選項B不合題意；
這組成績的眾數是9環，故選項C不合題意；
這組成績的方差是，
故選項D符合題意．
故選：D．
題型二：利用方差求未知數據的值
【經典例題2】淇淇在計算一組數據的方差時，列得沒有化簡的算式：
．關于這組數據，下列說法：①平均數是4；②中位數是4；③眾數是5；④樣本總數．其中不正確的結論是（ ）個
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【詳解】解：由題意可知這組數據為2、4、5、5，
∴平均數為，故①正確；
∴中位數為，故②錯誤；
∵5出現的次數最多，
∴眾數為5，故③正確；
共有4個數，
∴樣本容量是4，故④錯誤；
故選：B．
【變式訓練2-1】為計算某樣本數據的方差，列出如下算式，據此判斷下列說法錯誤的是（ ）
A．n的值是4 B．樣本平均數是4
C．樣本眾數是3 D．樣本中位數是3
【答案】B
【詳解】解：根據方差算式可得，樣本數據為，
因此樣本容量為，樣本眾數為，
中位數是，
平均數為，
故選B．
【變式訓練2-2】如果樣本方差，那么這個樣本的平均數和樣本容量分別為（ ）
A．2，4 B．2，6 C．3，6 D．4，6
【答案】A
【詳解】∵在公式平均數是，樣本容量是n，
∴在中，這個樣本的平均數為2，樣本容量是4．
故選：A．
【變式訓練2-3】若1、2、3、4、x的方差與3、4、5、6、7的方差相等，則
【答案】0或5
【詳解】解：3、4、5、6、7的平均數為：，
則方差為：，
1、2、3、4、x的平均數為：，
∴由題意得，，
化簡得，，
解得或，
故答案為：0或5．
【變式訓練2-4】若一組數據2，3，x，4，5的方差為2，則這組數據的中位數為 ．
【答案】3或4/4或3
【詳解】∵一組數據2，3，x，4，5，
∴平均數為
∵方差為2
∴
整理得，
∴
解得，
∴當時，原數據從小到大排列為：1，2，3，4，5
∴中位數為3
∴當時，原數據從小到大排列為：2，3，4，5，6
∴中位數為4，
綜上所述，這組數據的中位數為3或4．
故答案為：3或4．
【變式訓練2-5】一組數據，6，6，6，6，6的方差為0，則的值為 ．
【答案】6
【詳解】解：∵，6，6，6，6，6的平均數為，
∴這組數據的方差為：，
整理，得：，
解得，
故答案為：．
【變式訓練2-6】一組有n個數據的樣本的平均數為x，它的方差為，則＝ ．
【答案】0
【詳解】解：∵
∴這組數據分別為1、2、3、4、5，共5個，即n=5
∴x=（1+2+3+4+5）÷5=3
∴
∴．
故答案為0．
題型三：已知一組數據的方差，求另一組數據的相關值
【經典例題3】如果用公式計算一組數據的方差，那么數據，，，…，的和是（ ）
A．268 B．240 C．90 D．43
【答案】B
【詳解】解：由題意得：這組數據的平均數為6，
則，
解得：，
∴
故選：B．
【變式訓練3-1】已知一組數據、、、的平均數是2，方差為2，那么另一組數，，，的平均數和方差分別是（ ）
A．3，2 B．3，7 C．3，8 D．2，3
【答案】C
【詳解】解：、、、的平均數是2，
，，，的平均數為，
、、、的方差為2，
，，，的方差為，
故選：C．
【變式訓練3-2】已知一組數據x1，x2，x3，x4，x5的平均數是2，方差是3，那么另一組數據3x1，3x2，3x3，3x4，3x5的平均數和方差分別是（ ）
A．2，3 B．6，9 C．6，27 D．6，18
【答案】C
【詳解】∵數據x1，x2，x3，x4，x5的平均數是2，方差是3，
∴數據3x1，3x2，3x3，3x4，3x5的平均數是3×2=6，方差是3 ×3=27．
故選：C
【變式訓練3-3】已知一組數據的平均數是4，方差是6，則，的平均數和方差分別為（ ）
A．4和6 B．16和6 C．4和22 D．16和54
【答案】D
【詳解】根據題意得：，
∴，
∴的平均數為：
∵的方差是6，
∴數據的方差為：
，
故選：D．
【變式訓練3-4】下列說法正確的是（ ）
A．計算兩個班同學數學成績的平均分，可以用兩個班的平均分除以2即可；
B．10，9，10，12，11，12這組數據的眾數是10；
C．若，，，…，的平均數是，那么
D．若，，，…，的方差是，那么，，，…方差是．
【答案】C
【詳解】∵兩個班同學數學成績的平均分=兩個班總成績÷兩個班級總人數，
∴A錯誤，
∵10，9，10，12，11，12這組數據的眾數是10和12，
∴B錯誤，
∵，，，…，的平均數是，那么，
∴C正確，
∵若，，，…，的方差是，那么，，，…方差是，
∴D錯誤，
故選C．
【變式訓練3-5】已知三個數據的平均數為2，方差為1，則的平均數為 ．
【答案】5
【詳解】解：由題意可知：，
，
，
，
解得：，
則的平均數為：5，
故答案為：5．
題型四：根據方差判斷數據的穩定性
【經典例題4】甲、乙、丙、丁四位學生參加立定跳遠訓練，他們近期5次訓練的平均成績相同，設甲、乙、丙、丁這5次訓練成績的方差分別是，，，，且，，，，則四位學生中這5次訓練成績最穩定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【詳解】解：甲、乙、丙、丁這5次訓練成績的方差分別是，，，，且，，，，
，
四位學生中這5次訓練成績最穩定的是丁，
故選：．
【變式訓練4-1】甲、乙、丙、丁四名運動員參加射擊項目選拔賽，每人10次射擊成績的平均數（單位：環）和方差如表所示：
甲 乙 丙 丁
9.5 9.5 8.2 8.5
0.09 0.65 0.16 2.85
根據表中數據，從中選擇一名成績好且發揮穩定的運動員參加比賽，應該選擇（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】A
【詳解】解：由表格中的數據來看甲的平均成績最高，方差最小，
所以甲成績好且發揮穩定，
故應選擇甲．
故選：A．
【變式訓練4-2】射擊運動隊進行射擊測試，甲、乙兩名選手的測試成績如圖，其成績的方差分別記為和，則和的大小關系是（ ）
A． B． C． D．無法確定
【答案】B
【詳解】解：∵方差表示數據的離散程度，方差越大，數據波動越大，方差越小，數據波動越小，由折線圖可知乙選手的成績波動較小，
∴；
故選：B．
【變式訓練4-3】小姜，小徐，小林正在玩射擊游戲，小姜同學四次成績分別為9.5環、9.7環、10.5環、10.3環；小徐同學的四次成績分別為9.6環、9.7環、10.7環、10.0環；小林同學四次成績分別為9.8環、9.5環、10.6環、10.1環，則他們成績較為穩定的是（ ）
A．小姜同學 B．小徐同學 C．小林同學 D．一樣穩定
【答案】C
【詳解】解：小姜成績的平均數，方差為 ，以此方法，計算小徐成績的方差為0.185，平均數為10，小林的平均數為10，方差為0.165,
∵，
∴小林同學成績較為穩定，
故選：C．
【變式訓練4-4】為豐富學校課余生活，某校舉行射擊比賽．甲、乙兩人參加學校舉行的射擊比賽，他們射擊10次的成績制成折線統計圖如圖所示，已知兩人的射擊平均成績均為環，則下列說法正確的是（ ）
A．甲的成績比乙的成績更穩定
B．乙的成績比甲的成績更穩定
C．甲的10次射擊成績中，最好的成績是9環
D．乙的10次射擊成績中，最差的成績是4環
【答案】B
【詳解】解：由題意兩人的射擊平均成績均為環，
由圖可得乙的設計成績比甲更穩定，甲的10次射擊成績中，最好的成績是10環，乙的10次射擊成績中，最差的成績是7環，
故選：B．
【變式訓練4-5】2024年11月17日，世界沙灘排球職業巡回賽挑戰賽收官，中國組合獲女子組冠軍，這一勝利也將進一步激活中國沙灘體育運動的活力．為此，某校進行了一次排球比賽，已知甲、乙兩支隊伍中隊員的平均身高相等，均為，甲隊5名隊員身高的方差為，乙隊5名隊員的身高依次為、、、、，那么兩隊中身高更整齊的是 隊．（填“甲”或“乙”）
【答案】乙
【詳解】解：，
∵甲隊5名隊員身高的方差為，
∴，
∴兩隊中身高更整齊的是乙隊，
故答案為：乙．
題型五：求一組數據的標準差
【經典例題5】一組數據的平均數為，則數據的標準差和中位數分別為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：根據題意，，
解得，，
∴方差為，
∴標準差為，
數據從小到大排序為：，
∴中位數為：，
故選：C ．
【變式訓練5-1】運動會米賽跑，位運動員成績如下表所示，其中有兩個數據被遮蓋，那么被遮蓋的兩個數據依次是（ ）
運動員 平均成績 標準差
時間（秒）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：由表可得，運動員的成績為，
∴位運動員成績分別為
∴個數據的方差為，
∴標準差為，
故選：．
【變式訓練5-2】已知一個樣本數據為2，3，4，5，6，則這組數據的方差和標準差分別是（ ）
A．2、 B．3、 C．、 2 D．、3
【答案】A
【詳解】解：這組數據的平均數，
方差，
標準差，
故選：A．
【變式訓練5-3】某小組五位同學參加某次考試（滿分20分）的平均成績是16分，其中三位男生成績的方差為6，兩位女生的成績分別為17分、15分，則這五位同學成績的標準差為（ ）
A． B．2 C． D．6
【答案】B
【詳解】解：∵兩位女生的成績分別為17分、15分，
∴兩位女生的成績的平均數是（分），
∴三位男生成績的平均數是16分．
三位男生的方差，
，
這個學習小組5位同學考試分數的方差
，
標準差是，
故選：B．
【變式訓練5-4】已知2，3，5，m，n五個數據的方差是4，那么3，4，6，，五個數據的標準差是 ．
【答案】2
【詳解】解：由題意知，原數據的平均數為，新數據的每一個數都加了1，則平均數變為，
則原來的方差，
現在的方差
，
所以方差不變，標準差為2．
故答案為：2．
【變式訓練5-5】一組數據的平均數為5，方差為16，n是正整數，則另一組數據的標準差是 ．
【答案】8
【詳解】解：由題意知，，
即；
而，
∵，
∴
，
∴標準差為；
故答案為：8．
題型六：求一組數據的極差
【經典例題6】第31屆世界大學生夏季運動會在成都圓滿落幕，運動會激發了全民健身熱情，許多市民利用閑暇之余積極參與各類鍛煉活動．小明記錄自己一周內每天戶外鍛煉的時間單位：為68，75，85，69，70，83，75，下列關于小明該周每天戶外鍛煉時間的描述正確的是（ ）
A．平均數為 B．眾數為 C．中位數為 D．極差為
【答案】B
【詳解】解：A．平均數為，故A錯誤，不符合題意；
B．眾數為，故B正確，符合題意；
C．數據排列為：68，69，70，75，75，83，95，則中位數為，故C錯誤，不符合題意；
D．極差為，故D錯誤，不符合題意；
故選：B．
【變式訓練6-1】一組數據5、3、、4的極差是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】C
【詳解】解：數據中最大數據為5，最小數據，
則極差為：．
故選：C．
【變式訓練6-2】如圖，在中考體育模擬測試中，某校10名學生體育模擬測試成績如圖所示，對于這10名學生的體育模擬測試成績，下列說法錯誤的是（ ）
A．極差是10 B．眾數是90分
C．平均分一定大于90分 D．中位數是90分
【答案】A
【詳解】解：極差為，
故A選項說法錯誤，符合題意；
分出現了次，出現的次數最多，眾數是90分，
故B選項說法正確，不符合題意；
平均分為，
，
故C選項說法正確，不符合題意；
第名同學的成績的平均值為中位數，中位數是分
故D選項說法正確，不符合題意；
故選：A ．
【變式訓練6-3】2024年12月26號，濱海的最高氣溫為，最低氣溫為，則該日的氣溫極差為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：該日的氣溫極差為．
故選：D．
【變式訓練6-4】某儀仗隊名隊員的身高（單位：）如下：則這個隊隊員的身高的極差和眾數分別是（ ）
身高
人數
A．個， B．，
C．， D．個，
【答案】C
【詳解】解：極差是：，
出現了次，出現的次數最多，則眾數是，
故選：C．
【變式訓練6-5】下面是昆明市2024年春節8天的空氣質量指數（）：
日期 2月10日 2月11日 2月12日 2月13日 2月14日 2月15日 2月16日 2月17日
46 47 47 42 57 50 69 47
下列說法正確的是（ ）
A．這8天的空氣質量指數的眾數是47
B．這8天的空氣質量指數的中位數是49.5
C．這8天的空氣質量指數的平均數是50
D．這8天的空氣質量指數的極差是22
【答案】A
【詳解】解：A.這8天的空氣質量指數中47出現了3次，次數最多，所以眾數為47，
故選項A正確；
B. 從小到大排列這8天的空氣質量指數，第4、第5個數據分別是47，47，所以中位數是，
故選項B錯誤；
C. 這8天的空氣質量指數的平均數為：，
故選項C錯誤；
D. 這8天的空氣質量指數的極差是，
故選項D錯誤；
故選：A
題型七：方差和標準差綜合應用
【經典例題7】周老師平時上班有A，兩條路線可以選擇，她記錄了兩周共十天的上班路上所用的時間并繪制了如下統計圖：
(1)這十天中周老師上班路上所用時間最多相差______．
(2)哪一條上班路線用時更穩定？請通過計算說明．
(3)你建議周老師應如何選擇上班路線？
【答案】(1)22
(2)路線所用的時間更穩定，理由見解析
(3)周一上班選擇路線，周二到周五上班選擇路線
【詳解】（1）解：這十天中周老師上班路上所用時間最多的為40分鐘，最少為18分鐘，則這十天中周老師上班路上所用時間最多相差分鐘．
故答案為：22．
（2）解：路線所用的時間更穩定，理由如下：
記第一周上班選擇路線A用時的平均數，方差分別為，，第二周上班選擇路線用時的平均數，方差分別為，．
，．
，
．
因為，即，
所以路線所用的時間更穩定．
（3）解：對比這兩周的折線統計圖：可建議周老師周一上班選擇路線，周二到周五上班選擇路線A．
【變式訓練7-1】傳播科學知識，講好科學故事．近期我校舉辦了第三屆科普講解大賽，賽后某學習小組從八年級和九年級參與了比賽的學生中各隨機抽取了10名同學的成績進行了收集、整理、描述和分析，下面給出了部分信息：（組：；組：；組：；組：；單位：分）．
九年級10名同學成績是：80，82，88，90，92，92，95，95，95，99．
八年級10名同學中成績在組中的數據為：84：在組中的數據為：90，92，93，93．根據以上信息，解答下列問題：
八、九年級所抽學生大賽成績統計表
年級 平均數 中位數 眾數 方差
八年級 90.8 93 32.56
九年級 90.8 92 31.92
八年級所抽學生大賽成績扇形統計圖
(1)上述圖表中____，____，____；
(2)根據以上數據分析，你認為我校八、九年級中哪個年級學生的科普講解大賽成績較好？請說明理由（寫出一條理由即可）；
(3)我校八、九年級各有300名同學參加了此次科普講解大賽，估計我校八、九年級參加此次科普講解大賽成績在組的學生人數是多少？
【答案】(1)91；95；．
(2)九年級學生的科普講解大賽成績較好，理由見解析．
(3)人．
【詳解】（1）解：八年級名學生，
∴A組的人數為1人，占比為：，
C組的人數為4人，占比為：，
D組的人數占比為：，人數為（人），
B組的人數占比為：，即，人數為（人），
八年級成績的中位數在第5，6為同學的成績的平均數，
即為C組中90，92的平均數，即，
九年級10名同學成績出現次數最多的是95，
∴，
故答案為：91；95；．
（2）解：九年級學生的科普講解大賽成績較好，理由：在平均數相同的情況下，九年級學生的科普講解大賽成績的方差小于八年級學生的科普講解大賽成績的方差．
（3）解：（人）；
答：估計我校八、九年級參加此次科普講解大賽成績在組的學生人數是人．
【變式訓練7-2】高校航模比賽開賽以來，以其滿滿的科技感和獨特的創新性吸引了各所高校學子報名參加，甲、乙兩個學校設計的飛機模型在一次飛機模型運輸比賽中的五次成績（單位：分，滿分100分）如圖所示．
(1)根據條形統計圖內容，補全下列表格內容．
平均數 中位數 眾數 方差
甲學校 85 ______ 85 70
乙學校 ______ 80 ______ 160
(2)根據兩個學校飛機航模五次成績的平均數和中位數，簡要分析哪個學校的飛機航模的成績更好一些．
(3)若成績更穩定的飛機航模勝出比賽，則______學校勝出比賽．（填“甲”或“乙”）
【答案】(1)85，85，100
(2)甲學校成績較好，分析見解析
(3)甲
【詳解】（1）解：由題圖可知，甲學校設計的飛機模型在一次飛機模型運輸比賽中的五次成績分別為85，75，80，85，100；
乙學校設計的飛機模型在一次飛機模型運輸比賽中的五次成績分別70，100，100，75，80；
乙學校設計的飛機模型在一次飛機模型運輸比賽中的五次成績的平均數為；
甲學校設計的飛機模型在一次飛機模型運輸比賽中的五次成績按從小到大的順序排列為75，80，85，85，100；
故甲學校設計的飛機模型在一次飛機模型運輸比賽中的五次成績的中位數是85；
乙學校設計的飛機模型在一次飛機模型運輸比賽中的五次成績的眾數為100；
填表如下：
平均數 中位數 眾數 方差
甲學校 85 85 85 70
乙學校 85 80 100 160
故答案為：85，85，100
（2）解：甲學校成績較好，
兩個學校成績的平均數相同，甲學校成績的中位數高，
在平均數相同的情況下，中位數高的甲學校成績較好；
（3）在平均數相同的情況下，甲學校的方差小于乙學校的方差，
∴若成績更穩定的飛機航模勝出比賽，則甲學校勝出比賽．
故答案為：甲
【變式訓練7-3】某中學為選拔“校園形象代言人”，先后進行了筆試和面試，在筆試中，甲、乙、丙三位同學脫穎而出，他們的筆試成績（滿分為100分）分別是87，85，90．在面試中，十位評委對甲、乙、丙三位同學的表現進行打分，每位評委最高打10分，面試成績等于各位評委打分之和．對三位同學的面試數據進行整理、描述和分析，并給出了相關信息．
c.甲、乙、丙三位同學面試情況統計表
同學 評委打分的中位數 評委打分的眾數 面試成績 方差
甲 9和10 85
乙 8 87
丙 8
根據以上信息，回答下列問題：
(1)_______，_______；
(2)求丙同學的面試成績；
(3)通過比較方差，可判斷評委對學生面試表現評價的一致性程度．據此推斷評委對______同學的評價更一致（填“甲”、“乙”或“丙”）；
(4)按筆試成績占，面試成績占選出綜合成績最高的同學是_____（填“甲”、“乙”或“丙”）．
【答案】(1)9，8(2)丙同學的面試成績為83分(3)乙(4)乙
【詳解】（1）解∶由折線統計圖得，甲的得分是7，10，10，7，9，9，8，9，10，6，
把甲的得分從小到大排列，排在中間的兩個數分別是9，9，故中位數，
乙的得分是8，8，9，10，8，10，9，8，9，8，
其中8出現次數最多，故眾數．
故答案為：9，8；
（2）解∶ 丙同學的面試成績（分），
答∶丙同學的面試成績為83分；
（3）解∶乙的平均得分為（分），
乙的方差為，
，可知，乙的得分的波動比甲和丙小，
所以甲、乙、丙三位同學中，評委對乙的評價更一致，
故答案為∶乙．
（4）解∶ 甲的綜合成績為∶ (分)，
乙的綜合成績為∶ (分)，
丙的綜合成績為∶ (分)，
．
所以綜合成績最高的是乙．
故答案為∶乙．
【變式訓練7-4】射擊比賽中，甲，乙兩人在相同的條件下各射擊10次，成績統計如下：
甲，乙射擊成績統計表
平均數 中位數 方差
甲 8 c
乙 8 1.8
根據以上信息，回答下列問題：
(1)________，__________，__________；
(2)你認為誰的射擊成績更好？為什么？
(3)如果乙再射擊1次，命中8環，那么乙射擊成績的方差將_________（填“變大”，“變小”或“不變”）．
【答案】(1)8，，；
(2)甲的成績更好，理由見解析
(3)變小
【詳解】（1）解：由題意知，
；
將乙的10次數據從小到大排列為：6，7，7，7，7，8，9，9，10，10，
中位數；
甲的方差：；
故答案為：8，，；
（2）解：甲的射擊成績更好，
理由：甲，乙兩人的平均數相等，甲的方差小于乙的方差，說明甲的成績更穩定；
（3）解：乙再射擊1次，命中8環時，
平均數為：；
方差為：，
乙射擊成績的方差將變小，
故答案為：變小．
【變式訓練7-5】隨著科技的發展人工智能漸漸走進了人們的生活，現從甲、乙兩款人工智能軟件調查得分中分別隨機抽取了20個用戶的得分數據進行整理、描述和分析（得分用表示），共分為四組，A：，B：，C：，D：，下面給出了部分信息．
甲款人工智能軟件得分數據：
64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100．
乙款人工智能軟件在C組內（）的所有得分數據：
85，86，87，88，88，88，90，90．
甲、乙兩款人工智能軟件得分統計表：
軟件 平均數 中位數 眾數 方差
甲 86 85.5 96.6
乙 86 88
乙款人工智能軟件得分扇形統計圖：
根據以上信息，解答下列問題：
(1)填空：_______，______，______；
(2)根據以上數據，你認為哪款人工智能軟件更受用戶歡迎？請說明理由（寫出一條理由即可）；
(3)若本次調查有900名用戶對甲款人工智能軟件進行了調查評分，有1200名用戶對乙款人工智能軟件進行了評分，估計其中對甲、乙兩款人工智能軟件非常滿意（）的總用戶數．
【答案】(1)，，
(2)乙，理由見解析
(3)名
【詳解】（1）解：共個數據，乙組數據第個、第個數據分別為、，
中位數，
甲組數據中出現的次數最多，
眾數，
，
，
故答案為：，，；
（2）解：乙款人工智能軟件更受用戶歡迎，理由如下：
因為甲、乙兩款人工智能軟件得分的平均數相等，但乙款人工智能軟件得分的中位數和眾數均高于甲，而且乙的方差小于甲的方差，乙更穩定，所以乙款人工智能軟件更受用戶歡迎（答案不唯一，合理即可），
答：乙款人工智能軟件更受用戶歡迎；
（3）解：（名），
估計其中對甲、乙兩款人工智能軟件非常滿意（）的總用戶數約為名．

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