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2025年九年級中考數(shù)學(xué)三輪沖刺練習(xí)二次函數(shù)中的角度問題
1．如圖，拋物線與y＝ax2+bx+3與x軸相交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸相交于點C．頂點為（1，4）．直線y＝3x+7與x，y軸分別相交于點D，E，與直線BC相交于點F．
（1）求該拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式；
（2）請?zhí)骄吭诘谌笙迌?nèi)的拋物線上是否存在點P，使得∠PBF＝∠DFB？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．
2．已知在平面直角坐標系xOy中，線段AB的兩個端點A（0，2），B（1，0）分別在y軸和x軸的正半軸上．現(xiàn)將線段BA繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD，拋物線經(jīng)過點O和D．
（1）求點D的坐標；
（2）求拋物線的解析式；
（3）在拋物線上是否存在點P，使得∠POB＝∠BAO？若存在，請求出所有滿足條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．
3．已知點B（5，0），點C（4，3）都在拋物線y＝﹣x2+bx+c上，其中點A是拋物線與x軸的交點，點D是拋物線的頂點，連接AD，CD．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求∠ACD的度數(shù)；
（3）點P是y軸上的一個動點，當∠PCA＝∠CAD時，直接寫出P點坐標．
4．已知拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）與x軸左、右交點分別為A、B，與y軸負半軸交于點C，坐標原點為O，若OB＝OC＝3OA，S△ABC＝6，點P是拋物線上的動點（點P在y軸右側(cè)）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）D是線段OC的中點，
①當∠OPC＝45°時，請求出點P的坐標；
②當∠OPC＝∠OAD時，請求出點P的坐標．
5．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝a（x+1）2（a≠0）與x軸交于點A（﹣4，0）和點B，連結(jié)AC．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求線段AB的長度；
（3）點P是拋物線上的一個動點，滿足∠PBA＝∠CAB，求點P的坐標．
6．如圖，已知拋物線y＝﹣x2+3x+4與x軸交于點A，B（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C．
（1）求點A，B，C的坐標；
（2）點P（m，n）是線段BC上方拋物線上的一動點，過P作y軸的平行線，交線段BC于點Q．
①當四邊形OCPQ為平行四邊形時，求點P的坐標；
②當時，在點P運動過程中，拋物線上是否始終存在點E，使得∠EPQ＝∠CPQ，請說明理由．
7．如圖，直線y＝﹣x+3與x軸、y軸分別交于B、C兩點，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點B、C，與x軸另一交點為A．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點M是拋物線上的一點，使得S△MBC＝S△OBC，請求出點M的坐標；
（3）點D（2，m）在第一象限的拋物線上，連接BD．在對稱軸左側(cè)的拋物線上是否存在一點P，滿足∠PBC＝∠DBC？如果存在，請求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．
8．如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸分別交于點A（﹣1，0）、點B（4，0），與y軸交于點C．點P是第一象限的拋物線上一動點．
（1）求拋物線的表達式；
（2）如圖，連接PC，當∠PCB＝2∠CBA時，求點P的坐標；
（3）如圖，過點P作PD⊥BC于點D，求的最大值．
9．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C（0，3），且經(jīng)過點D（4，﹣5）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點P在拋物線上，過P作PE∥y軸，交直線CD于點E，若以P、E、O、C為頂點的四邊形是平行四邊形，求點P的橫坐標；
（3）拋物線上是否存在點Q，使∠QCD＝45°．若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
10．如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A（4，0），C（﹣1，0）兩點，與y軸交于點B，P為第一象限拋物線上的動點，連接AB、BC、PA、PC，PC與AB相交于點Q．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)△APQ的面積為S1，△BCQ的面積為S2，當S1﹣S2＝5時，求點P的坐標；
（3）拋物線上存在點P，滿足∠PAB+∠CBO＝45°，則點P的坐標為　 　．
11．如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y＝﹣x2+bx+3與x軸交于點A、B（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，聯(lián)結(jié)AC，tan∠CAO＝3，拋物線的頂點為點D．
（1）求b的值和點D的坐標；
（2）點P是拋物線上一點（不與點B重合），點P關(guān)于x軸的對稱點恰好在直線BC上．
①求點P的坐標；
②點M是拋物線上一點且在對稱軸左側(cè)，聯(lián)結(jié)BM，如果∠MBP＝∠ABD，求點M的坐標．
12．已知：拋物線y＝x2﹣bx﹣3交x、y軸于A、B（3，0），交y軸于C，頂點為D，M為拋物線上動點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在M運動過程中，連OM，當∠DOM＝45°時，求M點坐標；
（3）隨著M運動到第一象限，如圖（2）直線AM交對稱軸于E，直線MB交對稱軸于F，若對稱軸交x軸于H，求HF﹣HE的值．
13．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于點A，B，其中點B的坐標為（4，0），與y軸交于點C（0，2）．
（1）求拋物線和直線BC的函數(shù)表達式；
（2）點P是直線BC上方的拋物線上一個動點，當△PBC面積最大時，求P點的坐標；
（3）連接B和（2）中求出的點P，點Q位于直線BP下方且在拋物線上，若∠PBQ＝45°，求點Q的坐標．
14．如圖，拋物線yx2+bx+c與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，點A坐標為（﹣1，0），點B坐標為（3，0）．
（1）求此拋物線的函數(shù)解析式．
（2）點P是直線BC上方拋物線上一個動點，過點P作x軸的垂線交直線BC于點D，過點P作y軸的垂線，垂足為點E，求2PD+PE的最大值，及此時P點的坐標．
（3）點M為該拋物線上的點，當∠MCB＝45°時，請直接寫出滿足條件的點M的坐標．
15．如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A，B（4，0）兩點，與y軸交于點C，點D（3，4）在拋物線上，點P是拋物線上一動點．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）連接BC，若BC上方拋物線上有一點P，且P到直線BC的距離為，求點P的坐標；
（3）如圖，連接AC，BC，拋物線上是否存在點P，使∠CBP+∠ACO＝45°？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
16．二次函數(shù)y＝ax2+bx+4（a≠0）的圖象經(jīng)過點A（﹣4，0），B（1，0），與y軸交于點C，點P為第二象限內(nèi)拋物線上一點，連接BP、AC，交于點Q，過點P作PD⊥x軸于點D．
（1）求二次函數(shù)的表達式；
（2）連接BC，當∠DPB＝2∠BCO時，求直線BP的表達式；
（3）請判斷：是否有最大值，如有請求出有最大值時點P的坐標，如沒有請說明理由．
17．如圖，拋物線yx2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（4，0），與y軸交于點C．連接AC，BC，點P在拋物線上運動．
（1）求拋物線的表達式；
（2）如圖①，若點P在第四象限，點Q在PA的延長線上，當∠CAQ＝∠CBA+45°時，求點P的坐標；
（3）如圖②，若點P在第一象限，直線AP交BC于點F，過點P作x軸的垂線交BC于點H，當△PFH為等腰三角形時，求線段PH的長．
18．如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y＝ax2+bx+4（a≠0）經(jīng)過點A（﹣2，0）和點B（4，0）．
（1）求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達式；
（2）點P為該拋物線上一點（不與點C重合），直線CP將△ABC的面積分成2：1兩部分，求點P的坐標；
（3）點M從點C出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿y軸移動，運動時間為t秒，當∠OCA＝∠OCB﹣∠OMA時，求t的值．
19．如圖，拋物線yx2x+4與坐標軸分別交于A，B，C三點，P是第一象限內(nèi)拋物線上的一點且橫坐標為m．
（1）A，B，C三點的坐標為 　 　，　 　，　 　．
（2）連接AP，交線段BC于點D，
①當CP與x軸平行時，求的值；
②當CP與x軸不平行時，求的最大值；
（3）連接CP，是否存在點P，使得∠BCO+2∠PCB＝90°，若存在，求m的值，若不存在，請說明理由．
20．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過坐標原點O，且頂點為A（2，﹣4）．
（1）求拋物線的表達式；
（2）設(shè)拋物線與x軸正半軸的交點為B，點P位于拋物線上且在x軸下方，連接OA、PB，若∠AOB+∠PBO＝90°，求點P的坐標．
21．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于兩點A（﹣3，0），B（4，0），與y軸交于點C（0，4）．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）已知拋物線上有一點P（x0，y0），其中y0＜0，若∠CAO+∠ABP＝90°，求x0的值；
（3）若點D，E分別是線段AC，AB上的動點，且AE＝2CD，求CE+2BD的最小值．
參考答案
1．【解答】解：（1）∵拋物線與y＝ax2+bx+3的頂點為（1，4），
∴y＝ax2+bx+3＝a（x﹣1）2+4，
由題意得：，
解得：，
∴拋物線的表達式為y＝﹣x2+2x+3；
（2）在第三象限內(nèi)的拋物線上存在點P，使得∠PBF＝∠DFB；理由如下：
∵直線y＝3x+7與x，y軸分別相交于點D，E，
∴當y＝0時，3x+7＝0，
解得，
∴點D的坐標為．
拋物線與y＝﹣x2+2x+3與x軸相交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），
當y＝0時得：﹣x2+2x+3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴點A的坐標為（﹣1，0），點B的坐標為（3，0），
在y＝﹣x2+2x+3中，當x＝0時，y＝3，
∴點C的坐標為（0，3），
設(shè)直線BC的解析式為y＝sx+t，將點B，點C的坐標代入得：
，
解得：，
∴直線BC的表達式為y＝﹣x+3，
聯(lián)立得：，
解得，
∴點F的坐標為（﹣1，4）．
連接FA，過點P作PM⊥x軸，垂足為M，
由題知FA⊥x軸，，AF＝4，，
設(shè)點P的坐標為（m，﹣m2+2m+3），
，
當∠PBF＝∠DFB時，，
解得，m2＝3（舍去），
點P的坐標為．
2．【解答】解：（1）①如圖：過點D作DH⊥x軸，
∵A（0，2），B（1，0），
∴OA＝2，OB＝1，
由旋轉(zhuǎn)知，∠ABD＝90°，AB＝DB，
∴∠ABO+∠DBH＝90°，
∵過點D作DH⊥x軸，
∴∠DBH+∠BDH＝90°，
∴∠ABO＝∠BDH，
在△AOB和△BHD中，
，
∴△AOB≌△BHD（AAS），
∴DH＝OB＝1，BH＝OA＝2，
∴OH＝OB+BH＝3
∴D（3，1）；
（2）∵拋物線經(jīng)過點O和D，
把D（3，1），O（0，0），代入得：
，
解得，
∴；
（3）在拋物線上存在點P，使得∠POB＝∠BAO；理由如下：
設(shè)，
如圖，當點P在x軸上方時，作PG⊥x軸于G，則OG＝p，，
∵∠POB＝∠BAO，
∴tan∠POB＝tan∠BAO，
由①可得：OA＝2，OB＝1，
∵，，
∴，
解得：，
此時，即；
如圖3，當點P在x軸上方時，作PI⊥x軸于I，則OI＝p，，
∵∠POB＝∠BAO，
∴tan∠POB＝tan∠BAO，
∵，，
∴，
解得：，
此時，即；
綜上所述，點P的坐標為或．
3．【解答】解：（1）∵點B（5，0），點C（4，3）都在拋物線y＝﹣x2+bx+c上，
∴，
∴，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+6x﹣5．
（2）令y＝0，則﹣x2+6x﹣5＝0，
∴x＝5或x＝1，
∴A（1，0），
∴OA＝1．
∵y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣3）2+4，
∴D（3，4）．
過點D作DE⊥AB于點E，過點C作CF⊥AB于點F，CG⊥DE于點G，如圖，
則OE＝3，DE＝4，OF＝4，CF＝3，
∴EF＝OF﹣OE＝4﹣3＝1，AE＝OE﹣OA＝2，AF＝OF﹣OA＝3，
∴DE⊥AB，CF⊥AB，CG⊥DE，
∴四邊形CGEF為矩形，
∴CG＝EF＝1，EG＝CF＝3，
∴DG＝DE﹣EG＝1，
∴AD2＝AE2+DE2＝22+42＝20，
CD2＝CG2+DG2＝12+12＝2，
AC2＝AF2+CF2＝32+32＝18，
∴CD2+AC2＝2+18＝20，
∴CD2+AC2＝AD2，
∴△ACD為直角三角形，
∴∠ACD＝90°．
（3）①當點P在AC的上方時，如圖，
設(shè)PC與AD交于點H，
由（2）知：∠ACD＝90°，
∴∠PCA+∠PCD＝90°，∠CAD+∠HDC＝90°，
∵∠PCA＝∠CAD，
∴∠HDC＝∠PCD，
∴HD＝HC．
∵∠PCA＝∠CAD，
∴HA＝HC，
∴HA＝HD，
∵A（1，0），D（3，4），
∴H（2，2）．
設(shè)直線CH的解析式為y＝kx+a，
∴，
∴，
∴直線CH的解析式為yx+1，
令x＝0，則y＝1，
∴P（0，1）；
②當點P在AC的下方時，如圖，
∵∠PCA＝∠CAD，
∴PC∥AD．
設(shè)直線AD的解析式為y＝mx+n，
∵D（3，4），A（1，0），
∴，
∴，
∴直線AD的解析式為y＝2x﹣2．
∴直線PC的解析式為y＝2x+d，
∴2×4+d＝3，
∴d＝﹣5，
∴直線PC的解析式為y＝2x﹣5，
令x＝0，則y＝﹣5，
∴P（0，﹣5）．
綜上，當∠PCA＝∠CAD時，P點坐標為（0，1）或（0，﹣5）．
4．【解答】解：（1）已知拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）與x軸左、右交點分別為A、B，與y軸負半軸交于點C，OB＝OC＝3OA，S△ABC＝6，
∴AB＝OA+OB＝4OA，
∴，
解得：OA＝1（負值舍去），
∴OB＝3，OC＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），
∴設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x+1）（x﹣3），把點C的坐標代入得：
﹣3＝a（0+1）（0﹣3），
解得：a＝1，
∴拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3；
（2）①∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵∠OPC＝45°＝∠OBC，
∴當點P與點B重合時，滿足題意；此時：P（3，0）；
當點P與點B不重合時，則：O，C，B，P四點共圓，
∵∠BOC＝90°，
∴BC為圓的直徑，取BC的中點E，則點E即為圓心，連接EP，則：，
∵B（3，0），C（0，3），
∴，，，
設(shè)點P（m，m2﹣2m﹣3）（m＞0），
則：，
整理得：m（m2﹣m﹣1）（m﹣3）＝0，
解得：m＝0（舍去）或m＝3（舍去）或（舍去）或，
當時，，
∴；
綜上所述，P（3，0）或；
②∵C（0．﹣3），D為OC的中點，
∴，
∵OA＝1，
∴，
取點F（2，0），連接CF，則：OF＝2，
∴，
∴∠OFC＝∠OAD，
∵∠OPC＝∠OAD，
∴∠OPC＝∠OFC，
∴O，P，F(xiàn)，C四點共圓，
∵∠COF＝90°，
∴CF為圓的直徑，取CF的中點H，如圖2，則，，
∵，
∴，
設(shè)P（n，n2﹣2n﹣3），
∴，
化簡，得：n4﹣4n3+2n2+4n＝n（n2﹣2n﹣2）（n﹣2）＝0，
解得：n＝0（舍去）或n＝2或（舍去）或；
∴P（2，﹣3）或．
5．【解答】解：（1）將點A的坐標代入拋物線表達式得：0＝9a，則a，
則拋物線的表達式為：y（x+1）2；
（2）令y（x+1）20，則x＝﹣4或2，即點B（2，0），
則AB＝2﹣（﹣4）＝6；
（3）當點P在x軸下方時，
∵∠PBA＝∠CAB，則PB∥AC，
由點A、C的坐標得，直線AC的表達式為：yx+2，
則直線PB的表達式為：y（x﹣2），
當點P在x軸上方時，
則PB的表達式為：y（x﹣2），
聯(lián)立PB和拋物線的表達式得：（x﹣2）（x+1）2或（x﹣2）（x+1）2，
解得：x＝2（舍去）或﹣2或﹣4.5，
則點P（﹣2，2）或（，）．
6．【解答】解：（1）在y＝﹣x2+3x+4中，
當x＝0時，y＝4，
∴點C（0，4），
當y＝0時，﹣x2+3x+4＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝4，
∴點A（﹣1，0），B（4，0）；
（2）①由（1）知B（4，0），C（0，4），
設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b（k≠0），
將點B（4，0），C（0，4）代入上式，得，
解得，
∴直線BC的解析式為y＝﹣x+4，
∵C（0，4），
∴OC＝4，
∵過P作y軸的平行線，交線段BC于點Q，如圖，
可設(shè)P（m，﹣m2+3m+4），則Q（m，﹣m+4），
∴PQ＝﹣m2+3m+4﹣（﹣m+4）＝﹣m2+4m，
∵四邊形OCPQ為平行四邊形，
∴PQ＝OC＝4，
∴﹣m2+4m＝4，
解得，m1＝m2＝2，
當m＝2，得n＝6，
∴P（2，6）；
②解法一：作點C關(guān)于直線PQ的對稱點D（2m，4），如圖，
設(shè)直線PD的解析式為y＝k1x+b1，
∵P（m，﹣m2+3m+4），
∴，
解得，
∴直線PD的解析式為y＝（m﹣3）x﹣2m2+6m+4，
聯(lián)立，
整理得，x2+（m﹣6）x﹣2m2+6m＝0，
則Δ＝（m﹣6）2﹣4×1×（﹣2m2+6m）
＝9m2﹣36m+36
＝9（m﹣2）2≥0，
解方程得x1＝m，x2＝6﹣2m，
∵，
∴x2＝6﹣2m＞x1，
∴當時，點P在運動過程中，拋物線上始終存在點E，使得∠EPQ＝∠CPQ，
解法二：作點C關(guān)于直線PQ的對稱點D（2m，4），
在y＝﹣x2+3x+4中，
當x＝2m時，y＝﹣（2m）2+3×2m+4＝﹣4m2+6m+4，
則，
∵，
∴y﹣4＞0，
∴點D在拋物線內(nèi)，
∴當時，點P在運動過程中，拋物線上始終存在點E，使得∠EPQ＝∠CPQ．
7．【解答】解：（1）直線y＝﹣x+3與x軸、y軸分別交于B、C兩點，則點B、C的坐標分別為：（3，0）、（0，3），
由題意得：，
解得：，
則拋物線的表達式為：y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵S△MBC＝S△OBC，
∴過點O作直線m∥BC交拋物線于點M，則點M為所求點，
由點B、C的坐標得，直線BC的表達式為：y＝﹣x+3，
則直線m的表達式為：y＝﹣x，
聯(lián)立上式和拋物線的表達式得：﹣x＝﹣x2+2x+3，則x，
即點M（，）或（，），
當M在BC上方時，
同理可得直線m的表達式為：y＝﹣x+6，
聯(lián)立上式和拋物線的表達式得：6﹣x＝﹣x2+2x+3，此方程無解；
故點M（，）或（，）；
（3）點D在拋物線上，則點D（2，3），連接CD，
過點D作DT⊥CB于點TA，交PB于點H，
∵∠PBC＝∠DBC，
則點T是DH的中點，
由（1）知，BC的表達式為：y＝﹣x+3，
則直線DT的表達式為：y＝（x﹣2）+3＝x+1，
聯(lián)立上式和BC得表達式得：x+1＝﹣x+3，則x＝1，
即點T（1，2），
由中點坐標公式得，點H（0，1），
由點B、H的坐標得，直線BH的表達式為：yx+1，
聯(lián)立上式和拋物線的表達式得：﹣x2+2x+3x+1，則x＝3（舍去）或，
則點P（，）．
8．【解答】解：（1）由題意得：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），
則﹣4a＝3，則a，
則拋物線的表達式為：yx2x+3；
（2）過點C作CE∥AB，則∠ECB＝∠CBA，
∵∠PCB＝2∠CBA，則∠PCE＝∠CBA，
則tan∠PCE＝tan∠CAB，
則直線PC的表達式為：yx+3，
聯(lián)立上式和拋物線的表達式得：x+3x2x+3，
解得：x＝0（舍去）或2，
即點P（2，）；
（3）過點P作PT⊥x軸于點T，交CB于點H，作DN⊥PH于點N，
則∠THP＝∠CBA＝α，tanα，則sinα，cosα，
由點B、C的坐標得，直線BC的表達式為：yx+3，
設(shè)點P（x，x2x+3），則點H（x，x+3），
則PH＝（x2x+3）﹣（x+3）x2+3x，
則DH＝PH sinαPH，BH（4﹣x），
則BD＝HD+BHPH（4﹣x），
而PDPH sinαPH，
則PH（4﹣x）PH＝PH（4﹣x）（x）2，
即的最大值為：．
9．【解答】解：（1）把C（0，3），D（4，﹣5）代入y＝﹣x2+bx+c得：
，
解得，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3；
（2）由C（0，3），D（4，﹣5）得直線CD解析式為y＝﹣2x+3，
設(shè)P（m，﹣m2+2m+3），則E（m，﹣2m+3），
∵CO∥PE，
∴當CO＝PE時，以P、E、O、C為頂點的四邊形是平行四邊形，
∴|﹣m2+2m+3+2m﹣3|＝3，
∴m2﹣4m＝3或m2﹣4m＝﹣3，
解得m2或m2或m＝1或m＝3，
∴P的橫坐標為2或2或1或3；
（3）拋物線上存在點Q，使∠QCD＝45°，理由如下：
過D作DK⊥CQ于K，過K作TG∥y軸，過C作CT⊥TG于T，過D作DG⊥TG于G，
設(shè)K（p，q），
當CQ在CD右側(cè)時，如圖：
∵∠QCD＝45°，
∴△CKD是等腰直角三角形，
∴CK＝DK，∠CKD＝90°，
∴∠CKT＝90°﹣∠GKD＝∠KDG，
∵∠T＝∠G＝90°，
∴△CTK≌△KGD（AAS），
∴CT＝KG，TK＝DG，
∵C（0，3），D（4，﹣5）
∴，
解得，
∴K（6，1），
由K（6，1），C（0，3）可得直線CK解析式為yx+3，
聯(lián)立，
解得（此時C，Q重合，舍去）或，
∴Q（，）；
當CQ在CD左側(cè)時，如圖：
同理可得K（﹣2，﹣3），直線CK解析式為y＝3x+3，
聯(lián)立，
解得或（舍去），
∴Q（﹣1，0）；
綜上所述，Q的坐標為（，）或（﹣1，0）．
10．【解答】解：（1）拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A（4，0），C（﹣1，0）兩點，將點A，點C的坐標代入得：
，
解得：，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+3x+4；
（2）設(shè)△APQ的面積為S1，△BCQ的面積為S2，S1﹣S2＝5，
∴S△ACP﹣S△ABC＝5．
拋物線y＝﹣x2+3x+4與y軸交于點B，
當x＝0時，y＝4，
∴B（0，4）．
∵A（4，0），C（﹣1，0），
∴OB＝OA＝4，AC＝5，
∴，
∴S△ACP＝15．
設(shè)P（t，﹣t2+3t+4），
∴，
∴t＝1或t＝2，
∴P（1，6）或P（2，6）；
（3）過點P作PD⊥x軸于點D，如圖，
∵OB＝OA＝4，
∴∠ABO＝∠OAB＝45°．
∵∠PAB+∠CBO＝45°，
∴∠CBO+∠PAB+∠BAO＝90°．
∵∠CBO+∠BCO＝90°，
∴∠BCO＝∠OAB+∠PAB＝∠PAD．
∵∠BOC＝∠PDA＝90°，
∴△BOC∽△PDA，
∴．
設(shè)點P（a，﹣a2+3a+4），
∴PD＝﹣a2+3a+4，AD＝4﹣a，
∴，
整理得a2﹣7a+12＝0，
解得a1＝3或a2＝4（不合題意，舍去），
∴P（3，4），
故答案為：（3，4）．
11．【解答】解：（1）由拋物線的表達式知，點C（0，3），則OC＝3，
∵tan∠CAO＝3，則OA＝1，即點A（﹣1，0），
將點A的坐標代入拋物線表達式得：0＝﹣1﹣b+3，
則b＝2，
則拋物線的表達式為：y＝﹣x2+2x+3，
則點D（1，4）；
（2）①由拋物線的表達式知，點B（3，0），
由點B、C的坐標知，直線BC的表達式為：y＝﹣x+3，
設(shè)點P（m，﹣m2+2m+3），則點P關(guān)于x軸的對稱點（m，m2﹣2m﹣3），
將點（m，m2﹣2m﹣3）的坐標代入y＝﹣x+3得：m2﹣2m﹣3＝﹣m+3，
解得：m＝3（舍去）或﹣2，
即點P（﹣2，﹣5）；
②設(shè)BM交拋物線對稱軸于點H，過點H作HN⊥BD于點N，
由點B、P的坐標得，直線BP的表達式為：y＝（x﹣3），即∠ABP＝45°，
由點B、D的坐標得：tan∠NDH，
∵∠MBP＝∠ABD，即∠DBM+∠MBA＝∠MBA＝∠ABP，
∴∠DBM＝∠ABP＝45°，
在△BDH中，tan∠NDH，∠DBH＝45°，
故設(shè)NH＝x＝NB，則DN＝2x，則DHx，
則BDBN+DN＝3x，則x，
則DHx，則點H（1，）；
由點B、H的坐標得，直線BH的表達式為：y（x﹣3），
聯(lián)立上式和拋物線的表達式得：﹣x2+2x+3（x﹣3），
解得：x＝3（舍去）或，
即點M（，）．
12．【解答】解：（1）將點B的坐標代入上式得：0＝9﹣3b﹣3，
解得：b＝2，
則拋物線的表達式為：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）過點D作DH⊥OM于點H，過點H作GH平行于y軸交x軸于點G，交過點D和x軸的平行線于點T，
設(shè)點H（x，y），由拋物線的表達式知，點D（1，﹣4），
∵∠DOM＝45°，則△ODH為等腰直角三角形，
則OH＝DH，
∵∠OHG+∠DHT＝90°，∠DHT+∠HDT＝90°，
∴∠OHG＝∠HDT，
在△HTD和△OGH中，
，
∴△HTD≌△OGH（AAS），
則OG＝MT，DT＝GH，
即x﹣y＝4且x+y＝1，
解得：x，y，即點H（，），
由點H的坐標得，直線OH的表達式為：yx，
聯(lián)立上式和拋物線的表達式得：x＝x2﹣2x﹣3，則x，
則點M（，）；
當點M（M′）在第三象限時，
則OM⊥OM′，
則直線OM′的表達式為：yx，
聯(lián)立上式和拋物線的表達式得：x＝x2﹣2x﹣3，
解得：x，即M′（，），
綜上，M（，）或（，）；
（3）設(shè)點M（m，m2﹣2m﹣3），拋物線的對稱軸為直線x＝1，
由點A、M的坐標得，直線AM的表達式為：y＝（m﹣3）（x+1），
則點E（1，2m﹣6），
同理可得，點F（1，﹣2m﹣2），
則HF﹣HE＝2m+2﹣2m+6＝8．
13．【解答】解：（1）由題意得：，解得：，
∴拋物線的函數(shù)表達式為yx2x+2；
設(shè)直線BC的函數(shù)表達式為y＝mx+2，：
∴4m+2＝0，
解得m，
∴直線BC的函數(shù)表達式為yx+2；
（2）過P作PH∥y軸交BC于H，如圖：
設(shè)P（t，t2t+2），則H（t，t+2），
∴PHt2t+2﹣（t+2）t2+2t，
∴S△PBC＝PH OB＝（t2+2t）×4＝﹣2t2+8t＝﹣2（t﹣2）2+8，
∵﹣2＜0，
∴當t＝2時，S△PBC取最大值8，
此時P的坐標為（2，3）；
（3）直線BP下方存在點Q，使得∠PBQ＝45°，理由如下：
過P作PM⊥PB交BQ的延長線于M，過P作TK∥x軸，過B作BK⊥TK于K，過M作MT⊥TK于T，如圖：
由（2）知P（2，3），
∵B（4，0），
∴PK＝2，BK＝3，
∵∠PBQ＝45°，
∴△PBM是等腰直角三角形，
∴∠MPB＝90°，PB＝PM，
∴∠KPB＝90°﹣∠TPM＝∠TMP，
∵∠K＝∠T＝90°，
∴△BPK≌△PMT（AAS），
∴PK＝MT＝2，BK＝PT＝3，
∴M（﹣1，1），
設(shè)BM：y＝mx+n，
則，解得：，
∴BM：yx，
解，得：或，
∴Q的坐標為（，）．
14．【解答】解：（1）由題意得：y（x+1）（x﹣3）x2x+2；
（2）當x＝0時，yx2x+2＝2，
∴C（0，2），
由點B、C（0，2）的坐標得，直線BC為yx+2，
設(shè)點P（x，x2x+2），點D（x，x+2），
∴2PD+PE＝2（x2x+2x﹣2）+xx2+5x，
當x時，2PD+PE有最大值，
此時點P（，）；
（3）如圖，以CB為對角線作正方形CTBK，
∴∠BCK＝∠BCT＝45°，
∴CK，CT與拋物線的另一個交點即為M，
如圖，過T作x軸的平行線交y軸于Q，過B作BG⊥TQ于G，則OB＝GQ＝3，
∴∠CTB＝90°＝∠CQT＝∠QGB，
∴∠QCT+∠CTQ＝90°＝∠CTQ+∠BTG，
∴∠QCT＝∠BTG，
∵CT＝BT，
∴△CQT≌△TGB（AAS），
∴QT＝GB，CQ＝TG，
設(shè)TQ＝GB＝m，則CQ＝TG＝3﹣m，
∴Q0＝3﹣m﹣2＝1﹣m，
∴T（m，m﹣1），
由TC＝TB可得m2+（m﹣3）2＝（m﹣3）2+（m﹣1）2，
解得m，
∴T（，），
則直線CT為y＝﹣5x+2，
聯(lián)立上式和拋物線的表達式得：﹣5x+2x2x+2，
解得：x＝0（舍去）或，
即點M（，）、T（，）、C（0，2）、B（3，0），正方形CTBK，
則K（2.5，2.5）；
同理可得直線CK為yx+2，
聯(lián)立上式和拋物線的表達式得：x2x+2x+2，
解得：x或0（舍去），
則點M（，），
綜上，點M的坐標M（，）或（，）．
15．【解答】解：（1）在平面直角坐標系中，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于B（4，0）點，與y軸交于D（3，4），將點B，點D的坐標代入得：
，
解得：，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+3x+4；
（2）已知拋物線y＝﹣x2+3x+4與y軸交于點C，
令x＝0，得：y＝4，
∴C（0，4），
∴OC＝4，
∵OB＝4，
∴OB＝OC，
又∵∠BOC＝90°，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+m，將點B，點C的坐標代入得：
，
解得：，
∴直線BC的解析式為y＝﹣x+4；
作PH⊥BC交BC于點H，PM⊥x軸交x軸于點M，交BC于點N，如圖1，
∵PM⊥x軸，
∴PM∥y軸，
∴∠PNH＝∠OCB＝45°，
∵PH⊥BC，
∴∠PHN＝90°，
∴∠HPN＝90°﹣∠PNH＝45°，
∴∠HPN＝∠PNH＝45°，
∴△PHN是等腰直角三角形，
∴，
由題意得：，
∴，
設(shè)點P的坐標為（m，﹣m2+3m+4），則點N的坐標為（m，﹣m+4），
∴PN＝﹣m2+3m+4﹣（﹣m+4）＝﹣m2+4m＝4，
解得：m＝2，
∴﹣m2+3m+4＝﹣22+3×2+4＝6，
∴點P的坐標為（2，6）；
（3）拋物線上存在點P，使∠CBP+∠ACO＝45°；理由如下：
令y＝0，則0＝﹣x2+3x+4，
解得：x1＝﹣1，x2＝4，
∴A（﹣1，0），
如圖2，將△AOC繞點O順時針方向旋轉(zhuǎn)90°至△A′OB，則A′O＝AO＝1，∠A′BO＝∠ACO，
∴A′（0，1），
由（2）中的結(jié)論得，∠OBC＝45°，
∵∠CBP+∠ACO＝45°，
∴∠CBP＝45°﹣∠ACO＝∠OBC﹣∠A′BO＝∠CBA′，
∴直線BA′上存在符合題意的點P，
設(shè)直線BA′的解析式為y＝tx+n，將點B，點A′的坐標代入得：
，
解得：，
∴直線BA′的解析式為，
聯(lián)立，
解得：或，
∴；
如圖，連接CD、BD，過點B作BE⊥CD交于點E，
∵C（0，4），D（3，4），
∴CD∥x軸，
∵BE⊥CD，B（4，0），
∴∠E＝90°，DE＝4﹣3＝1，BE＝4，
∴CE＝CD+DE＝3+1＝4，
∴CE＝BE＝4，
∴△CBE是等腰直角三角形，
∴∠CBE＝45°，
∵AO＝1，OC＝4，
∴DE＝AO，BE＝OC，
又∵∠E＝∠AOC＝90°，
姑△BDE和△CAO中，
，
∴△BDE≌△CAO（SAS），
∴∠DBE＝∠ACO，
∵∠CBP+∠ACO＝45°，
∴∠CBP＝45°﹣∠ACO＝∠CBE﹣∠DBE＝∠CBD，
∴直線BD上也存在符合題意的點P，
又∵點D（3，4）在拋物線上，
∴點P與點D重合，即P（3，4）；
∴綜上所述，拋物線上存在點P，使∠CBP+∠ACO＝45°；點P的坐標為或（3，4）．
16．【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+4（a≠0）的圖象經(jīng)過點A（﹣4，0），B（1，0），
∴，
解得：，
∴該二次函數(shù)的表達式為y＝﹣x2﹣3x+4；
（2）如圖，設(shè)BP與y軸交于點E，
∵PD∥y軸，
∴∠DPB＝∠OEB，
∵∠DPB＝2∠BCO，
∴∠OEB＝2∠BCO，
∴∠ECB＝∠EBC，
∴BE＝CE，
令x＝0，得y＝4，
∴C（0，4），OC＝4，
設(shè)OE＝a，則CE＝4﹣a，
∴BE＝4﹣a，
在Rt△BOE中，由勾股定理得：BE2＝OE2+OB2，
∴（4﹣a）2＝a2+12，
解得：a，
∴E（0，），
設(shè)BE所在直線表達式為y＝kx+e（k≠0），
∴，
解得：，
∴直線BP的表達式為yx；
（3）有最大值．
如圖，設(shè)PD與AC交于點N，
過點B作y軸的平行線與AC相交于點M，
設(shè)直線AC表達式為y＝mx+n，
∵A（﹣4，0），C（0，4），
∴，
解得：，
∴直線AC表達式為y＝x+4，
∴M點的坐標為（1，5），
∴BM＝5，
∵BM∥PN，
∴△PNQ∽△BMQ，
∴，
設(shè)P（a0，﹣a02﹣3a0+4）（﹣4＜a0＜0），則N（a0，a0+4），
∴，
∴當a0＝﹣2時，有最大值，
此時，點P的坐標為（﹣2，6）．
17．【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），B（4，0）是拋物線yx2+bx+c與x軸的兩個交點，且二次項系數(shù)a，
∴根據(jù)拋物線的兩點式知，y．
（2）根據(jù)拋物線表達式可求C（0，2），即OC＝2．
∴2，
∵∠AOC＝∠COB＝90°，
∴△AOC∽△COB，
∴∠ACO＝∠CBO，
∴∠QAB＝∠QAC+∠CAO＝∠CBA+45°+∠CAO＝∠ACO+∠CAO+45°＝135°，
∴∠BAP＝180°﹣∠QAB＝45°，
設(shè)P（m，n），且過點P作PD⊥x軸于D，則△ADP是等腰直角三角形，
∴AD＝PD，即m+1＝﹣n①，
又∵P在拋物線上，
∴②，
聯(lián)立①②兩式，解得m＝6（﹣1舍去），此時n＝﹣7，
∴點P的坐標是（6，﹣7）．
（3）設(shè)PH與x軸的交點為Q1，P（a，），
則H（a，），PH，
若FP＝FH，則∠FPH＝∠FHP＝∠BHQ1＝∠BCO，
∴tan∠APQ1＝tan∠BCO＝2，
∴AQ1＝2PQ1，
即a+1＝2（），
解得a＝3（﹣1舍去），此時PH．
若PF＝PH，過點F作FM⊥y軸于點M，
∴∠PFH＝∠PHF，
∵∠CFA＝∠PFH，∠Q1HB＝∠PHF，
∴∠CFA＝∠Q1HB，
又∵∠ACF＝∠BQ1H＝90°，
∴△ACF∽△BQ1H，
∴CFAC，
在Rt△CMF中，MF＝1，CM，
F（1，），
∴AF：，
將上式和拋物線解析式聯(lián)立并解得x（﹣1舍去），
此時 PH．
若HF＝HP，過點C作CE∥AB交AP于點E（見圖），
∵∠CAF+∠CFA＝90°，
∠PAQ+∠HPF＝90°，
∠CFA＝∠HFP＝∠HPF，
∴∠CAF＝∠PAQ1，
即 AP平分∠CAB，
∴CE＝CA，
∴E（，2），
∴AE：，
聯(lián)立拋物線解析式，解得x＝5（﹣1舍去）．
此時 PH．
∴當FP＝FH時，PH；
當PF＝PH時，PH；
當HF＝HP時，PH；
18．【解答】解：（1）設(shè)拋物線的表達式為y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），
則y＝a（x+2）（x﹣4）＝ax2﹣2ax﹣8a，
即﹣8a＝4，解得a，
故拋物線的表達式為yx2+x+4①；
（2）由點A、B的坐標知，OB＝2OA，
故CO將△ABC的面積分成2：1兩部分，此時，點P不在拋物線上；
如圖1，當BHAB＝2時，CH將△ABC的面積分成2：1兩部分，
即點H的坐標為（2，0），
則CH和拋物線的交點即為點P，
由點C、H的坐標得，直線CH的表達式為y＝﹣2x+4②，
聯(lián)立①②并解得（不合題意的值已舍去），
故點P的坐標為（6，﹣8）；
（3）在OB上取點E（2，0），則∠ACO＝∠OCE，
∵∠OCA＝∠OCB﹣∠OMA，故∠AMO＝∠ECB，
過點E作EF⊥BC于點F，
在Rt△BOC中，由OB＝OC知，∠OBC＝45°，
則EFEB（4﹣2）BF，
由點B、C的坐標知，BC＝4，
則CF＝BC﹣BF＝43，
則tan∠ECBtan∠AMO，
則tan∠AMO，
則OM＝6，
故CM＝OM±OC＝6±4＝2或10，
則t＝2或10．
19．【解答】解：（1）令x＝0，則y＝4，
∴C（0，4）；
令y＝0，則x2x+4＝0，
∴x＝﹣2或x＝3，
∴A（﹣2，0），B（3，0）．
故答案為：（﹣2，0）；（3，0）；（0，4）．
（2）①∵CP∥x軸，C（0，4），
∴P（1，4），
∴CP＝1，AB＝5，
∵CP∥x軸，
∴．
②如圖，過點P作PQ∥AB交BC于點Q，
∴直線BC的解析式為：yx+4．
設(shè)點P的橫坐標為m，
則P（m，m2m+4），Q（m2m，m2m+4）．
∴PQ＝m﹣（m2m）m2m，
∵PQ∥AB，
∴（m）2，
∴當m時，的最大值為．
另解：分別過點P，A作y軸的平行線，交直線BC于兩點，仿照以上解法即可求解．
（3）假設(shè)存在點P使得∠BCO+2∠BCP＝90°，即0＜m＜3．
過點C作CF∥x軸交拋物線于點F，
∵∠BCO+2∠PCB＝90°，∠BCO+∠BCM+∠MCF＝90°，
∴∠MCF＝∠BCP，
延長CP交x軸于點M，
∵CF∥x軸，
∴∠PCF＝∠BMC，
∴∠BCP＝∠BMC，
∴△CBM為等腰三角形，
∵BC＝5，
∴BM＝5，OM＝8，
∴M（8，0），
∴直線CM的解析式為：yx+4，
令x2x+4x+4，
解得x或x＝0（舍），
∴存在點P滿足題意，此時m．
20．【解答】解：（1）設(shè)拋物線的表達式為y＝a（x﹣2）2﹣4，
將O（0，0）代入得：4a﹣4＝0，
解得a＝1，
∴y＝（x﹣2）2﹣4＝x2﹣4x；
（2）過A作AT⊥y軸于T，過P作PK⊥x軸于K，如圖：
設(shè)P（m，m2﹣4m），
在y＝x2﹣4x中，令y＝0得x＝0或x＝4，
∴B（4，0）；
∵∠AOB+∠AOT＝90°，∠AOB+∠PBO＝90°，
∴∠AOT＝∠PBO，
∵∠ATO＝90°＝∠PKB，
∴△AOT∽△PBK，
∴，
∵A（2，﹣4），
∴，
解得m或m＝4（此時P與B重合，舍去），
∴P（，）．
21．【解答】解：（1）設(shè)拋物線的表達式為：y＝a（x+3）（x﹣4）＝a（x2﹣x﹣12），
即﹣12a＝4，則a，
故拋物線的表達式為：yx2x+4①；
（2）在Rt△AOC中，tan∠CAO，
∵∠CAO+∠ABP＝90°，
則tan∠ABP，
故設(shè)直線BP的表達式為：y（x﹣4）②，
聯(lián)立①②得：x2x+4（x﹣4），
解得：xx0（不合題意的值已舍去）；
（3）作∠EAG＝∠BCD，
設(shè)AG＝2BC＝2×48，
∵AE＝2CD，
∴△BCD∽△GAE且相似比為1：2，
則EG＝2BD，
故當C、E、G共線時，CE+2BD＝CE+EG＝CG為最小，
在△ABC中，設(shè)AC邊上的高為h，
則S△ABCAC hAB×CO，
即5h＝4×7，
解得：h，
則sin∠ACBsin∠EAG，
則tan∠EAG＝7，
過點G作GN⊥x軸于點N，
則NG＝AG sin∠EAG，
即點G的縱坐標為：，
同理可得，點G的橫坐標為：，
即點G（，），
由點C、G的坐標得，CG，
即CE+2BD的最小值為．
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