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2025年九年級數學中考三輪沖刺訓練二次函數中的平行四邊形存在性問題
1．如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，過點A的直線l交拋物線于點C（2，m）．
（1）求拋物線的解析式．
（2）點P是線段AC上一個動點，過點P作x軸的垂線交拋物線于點E，求線段PE最大時點P的坐標．
（3）點F是拋物線上的動點，在x軸上是否存在點D，使得以點A，C，D，F為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，請直接寫出所有滿足條件的點D的坐標；如果不存在，請說明理由．
2．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經過A（1，0），B（3，0），C（0，6）三點．
（1）求拋物線的解析式．
（2）拋物線的頂點M與對稱軸l上的點N關于x軸對稱，直線AN交拋物線于點D，直線BE交AD于點E，若直線BE將△ABD的面積分為1：2兩部分，求點E的坐標．
（3）P為拋物線上的一動點，Q為對稱軸上動點，拋物線上是否存在一點P，使A、D、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
3．拋物線與x軸交于A（﹣1，0），B兩點，與y軸交于點C，點P是第四象限內拋物線上的一點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，過P作PD⊥x軸于點D，交直線BC于點E．設點D的橫坐標為m，當時，求m的值；
（3）如圖2點F（1，0），連接CF并延長交直線PD于點M，點N是x軸上方拋物線上的一點，在（2）的條件下，x軸上是否存在一點H，使得以F，M，N，H為頂點的四邊形是平行四邊形．若存在，直接寫出點H的坐標；若不存在，請說明理由．
4．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx﹣5（a≠0）交x軸于A，C兩點，交y軸于點B，5OA＝OB＝OC．
（1）求此拋物線的表達式；
（2）已知拋物線的對稱軸上存在一點M，使得△ABM的周長最小，請求出點M的坐標；
（3）連接BC，點P是線段BC上一點，過點P作y軸的平行線交拋物線于點Q，求當四邊形OBQP為平行四邊形時點P的坐標．
5．如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c經過A（﹣1，0），C（0，3）兩點，并交x軸于另一點B，點M是拋物線的頂點，直線AM與y軸交于點D．
（1）求該拋物線的表達式；
（2）若點H是x軸上一動點，分別連接MH，DH，求MH+DH的最小值；
（3）若點P是拋物線上一動點，問在對稱軸上是否存在點Q，使得以D，M，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
6．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c過點A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設點P是直線BC上方拋物線上一點，求出△PBC的最大面積及此時點P的坐標；
（3）若點M是拋物線對稱軸上一動點，點N為坐標平面內一點，是否存在以BC為邊，點B、C、M、N為頂點的四邊形是菱形，若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．
7．如圖1，拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點P在拋物線上，點Q在x軸上，以B，C，P，Q為頂點的四邊形為平行四邊形，求點P的坐標；
（3）如圖2，拋物線頂點為D，對稱軸與x軸交于點E，過點K（1，3）的直線（直線KD除外）與拋物線交于G，H兩點，直線DG，DH分別交x軸于點M，N．試探究EM EN是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說明理由．
8．如圖，拋物線yx2+bx+4與x軸交于A（﹣3，0），B兩點，與y軸交于點C．
（1）求拋物線解析式及B，C兩點坐標；
（2）以A，B，C，D為頂點的四邊形是平行四邊形，求點D坐標；
（3）該拋物線對稱軸上是否存在點E，使得∠ACE＝45°，若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．
9．如圖①，拋物線y＝ax2+bx﹣9與x軸交于點A（﹣3，0），B（6，0），與y軸交于點C，連接AC，BC．點P是x軸上任意一點．
（1）求拋物線的表達式；
（2）點Q在拋物線上，若以點A，C，P，Q為頂點，AC為一邊的四邊形為平行四邊形時，求點Q的坐標；
（3）如圖②，當點P（m，0）從點A出發沿x軸向點B運動時（點P與點A，B不重合），自點P分別作PE∥BC，交AC于點E，作PD⊥BC，垂足為點D．當m為何值時，△PED面積最大，并求出最大值．
10．已知拋物線y＝ax2﹣2ax+c與x軸交于A（﹣1，0）、B兩點，頂點為P，與y軸交于C點，且△ABC的面積為6．
（1）求拋物線的對稱軸和解析式；
（2）平移這條拋物線，平移后的拋物線交y軸于E，頂點Q在原拋物線上，當四邊形APQE是平行四邊形時，求平移后拋物線的表達式；
（3）若過定點K（2，1）的直線交拋物線于M、N兩點（N在M點右側），過N點的直線y＝﹣2x+b與拋物線交于點G，求證：直線MG必過定點．
11．如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線經過A，B兩點且與x軸的負半軸交于點C．
（1）求該拋物線的解析式．
（2）若點D為直線AB上方拋物線上的一個動點，當∠ABD＝2∠BAC時，求點D的坐標．
（3）已知E，F分別是直線AB和拋物線上的動點，當EF∥OB，且以B，O，E，F為頂點的四邊形是平行四邊形時，直接寫出所有符合條件的E點的坐標．
12．如圖，拋物線y＝ax2+x+c經過坐標軸上A、B、C三點，直線y＝﹣x+4過點B和點C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）E是直線BC上方拋物線上一動點，連接BE、CE，求△BCE面積的最大值及此時點E的坐標；
（3）Q是拋物線對稱軸上的動點，在拋物線上是否存在點P，使得以P、Q、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出所有滿足條件的點P坐標；若不存在，請說明理由．
13．如圖，拋物線與x軸交于點、B，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸為直線，點D是拋物線的頂點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）過點A作AF⊥AD交對稱軸于點F，在直線AF下方對稱軸右側的拋物線上有一動點P，過點P作PQ∥y軸交直線AF于點Q，過點P作PE⊥DF交于點E，求PQ+PE最大值及此時點P的坐標；
（3）將原拋物線沿著x軸正方向平移，使得新拋物線經過原點，點M是新拋物線上一點，點N是平面直角坐標系內一點，是否存在以B、C、M、N為頂點的四邊形是以BC為對角線的菱形，若存在，求所有符合條件的點N的坐標．
14．如圖1，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（3，0），B（﹣1，0）兩點，與y軸交于點C（0，3），其頂點為點D，連接AC．
（1）求這條拋物線所對應的二次函數的表達式及頂點D的坐標；
（2）在拋物線的對稱軸上取一點E，點F為拋物線上一動點，使得以點A、C、E、F為頂點，AC為邊的四邊形為平行四邊形，求點F的坐標；
（3）在（2）的條件下，將點D向下平移5個單位得到點M，點P為拋物線的對稱軸上一動點，求 5PF+3PM 的最小值．
15．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，B點的坐標為（3，0），與y軸交于點C（0，﹣3），點P是直線BC下方拋物線上的一個動點．
（1）求二次函數解析式；
（2）連接PO，PC，并將△POC沿y軸對折，得到四邊形POP'C．是否存在點P，使四邊形POP'C為菱形？若存在，求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）當點P運動到什么位置時，四邊形ABPC的面積最大？求出此時P點的坐標和四邊形ABPC的最大面積．
參考答案
1．【解答】解：（1）將A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+c，
得到
解得，
∴y＝x2﹣2x﹣3．
（2）將C點的橫坐標x＝2代入y＝x2﹣2x﹣3，得y＝﹣3，∴C（2，﹣3）；
∴直線AC的函數解析式是y＝﹣x﹣1．
設P點的橫坐標為m（﹣1≤m≤2），則P、E的坐標分別為：P（m，﹣m﹣1），E（m，m2﹣2m﹣3）；
∵P點在E點的上方，PE＝（﹣m﹣1）﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+m+2，
＝﹣（m）2，
∵﹣1＜0，
∴當m時，PE的最大值，此時P（，）．
（3）存在．
理由：如圖，設拋物線與y的交點為K，由題意K（0，﹣3），
∵C（2，﹣3），
∴CK∥x軸，CK＝2，
當AC是平行四邊形ACF1D1的邊時，可得D1（﹣3，0）．
當AC是平行四邊形AF1CD2的對角線時，AD2＝CK，可得D2（1，0），
當點F在x軸的上方時，令y＝3，3＝x2﹣2x﹣3，
解得x＝1±，
∴F3（1，3），F4（1，3），
由平移的性質可知D3（4，0），D4（4，0）．
綜上所述，滿足條件的點D的坐標為（﹣3，0）或（1，0）或（4，0）或（4，0）．
2．【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經過A（1，0），B（3，0），
∴設拋物線解析式為：y＝a（x﹣1）（x﹣3），
∵拋物線y＝a（x﹣1）（x﹣3）（a≠0）的圖象經過點C（0，6），
∴6＝a（0﹣1）（0﹣3），
∴a＝2，
∴拋物線解析式為：y＝2（x﹣1）（x﹣3）＝2x2﹣8x+6；
（2）∵y＝2x2﹣8x+6＝2（x﹣2）2﹣2，
∴頂點M的坐標為（2，﹣2），
∵拋物線的頂點M與對稱軸l上的點N關于x軸對稱，
∴點N（2，2），
設直線AN解析式為：y＝kx+b，
由題意可得：，
解得：，
∴直線AN解析式為：y＝2x﹣2，
聯立方程組得：，
解得：，，
∴點D（4，6），
∴S△ABD2×6＝6，
設點E（m，2m﹣2），
∵直線BE將△ABD的面積分為1：2兩部分，
∴S△ABES△ABD＝2或S△ABES△ABD＝4，
∴2×（2m﹣2）＝2或2×（2m﹣2）＝4，
∴m＝2或3，
∴點E（2，2）或（3，4）；
（3）若AD為平行四邊形的邊，
∵以A、D、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形，
∴AD＝PQ，
∴xD﹣xA＝xP﹣xQ或xD﹣xA＝xQ﹣xP，
∴xP＝4﹣1+2＝5或xP＝2﹣4+1＝﹣1，
∴點P坐標為（5，16）或（﹣1，16）；
若AD為平行四邊形的對角線，
∵以A、D、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形，
∴AD與PQ互相平分，
∴，
∴xP＝3，
∴點P坐標為（3，0），
綜上所述：當點P坐標為（5，16）或（﹣1，16）或（3，0）時，使A、D、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形．
3．【解答】解：（1）把點A（﹣1，0）代入 得；
解得a；
∴拋物線的解析式為：yx2x﹣2．
（2）把y＝0代入yx2x﹣2得，x2x﹣2＝0，
解得x＝﹣1或x＝4，
∴B（4，0）；
當x＝0是，y＝﹣2，
∴點C的坐標（0，﹣2）；
∴BC2；BC的解析式為：yx﹣2；
根據題意，點D的坐標為（m，0），
把x＝m代入yx2x﹣2得，ym2m﹣2．
把x＝m代入yx﹣2，得ym﹣2，
∴P（m，m2m﹣2）；E（m，m﹣2）；
∴DE＝2m，EP＝2mm2；
∵PD⊥x軸，
∴PD∥y軸，
∴△BDE∽△BOC，
∴BD：BO＝BE：BC，即BE BO＝BC BD，
∴BE（4﹣m），
∵PEBE（4﹣m），
∴2mm2（4﹣m），
解得m或m＝4（舍）；
（3）存在，點H的坐標為（，0）或（，0）或（，0）或（，0）．理由如下：
∵C（0，﹣2），F（1，0），
∴直線CF的解析式為：y＝2x﹣2，
當x時，y＝22＝3；
∴M（，3）；
∵點N是x軸上方拋物線上的一點，
∴當y＝3時，x2x﹣2＝3，
解得x＝﹣2或x＝5；
當N（﹣2，3）時，FH＝MN；
∴H的坐標為：（，0）或（，0）；
當N（5，3）時，FH＝MN；
∴H的坐標為：（，0）或（，0）．
綜上，點H的坐標為（，0）或（，0）或（，0）或（，0）．
4．【解答】解：（1）由拋物線的表達式知，c＝﹣5＝yB，
則OB＝5＝OA＝OC，
則點A、C、B的坐標分別為：（1，0）、（﹣5，0）、（0，﹣5），
設拋物線的表達式為：y＝a（x﹣1）（x+5）＝a（x2+4x﹣5）＝ax2+bx﹣5，
則a＝1，
故拋物線的表達式為：y＝x2+4x﹣5；
（2）點A關于拋物線對稱軸得對稱點為點C，則BC交拋物線的對稱軸于點M，此時△ABM的周長最小，理由：
△ABM的周長＝AB+AM+BM＝AB+CM+BM＝AB+BC為最小，
由點B、C的坐標得，直線BC的表達式為：y＝﹣x﹣5，
由拋物線的表達式知，其對稱軸為直線x＝﹣2，
當x＝﹣2時，y＝﹣x﹣5＝﹣3，
則點M（﹣2，﹣3）；
（3）設點P（x，﹣x﹣5），則點Q（x，x2+4x﹣5），
則PQ＝（﹣x﹣5）﹣（x2+4x﹣5）＝﹣x2﹣5x，
∵PQ∥OB，
故當PQ＝OB時，滿足題設條件，
即PQ＝﹣x2﹣5x＝OB＝5，
解得：x，
則點P的坐標為：（，）或（，）．
5．【解答】解：（1）∵拋物線y＝﹣x2+bx+c經過A（﹣1，0），C（0，3）兩點，
∴，
解得：，
∴該拋物線的表達式為y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴頂點M（1，4），
設直線AM的解析式為y＝kx+d，則，
解得：，
∴直線AM的解析式為y＝2x+2，
當x＝0時，y＝2，
∴D（0，2），
作點D關于x軸的對稱點D′（0，﹣2），連接D′M，D′H，如圖，
則DH＝D′H，
∴MH+DH＝MH+D′H≥D′M，即MH+DH的最小值為D′M，
∵D′M，
∴MH+DH的最小值為；
（3）對稱軸上存在點Q，使得以D，M，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形．
由（2）得：D（0，2），M（1，4），
∵點P是拋物線上一動點，
∴設P（m，﹣m2+2m+3），
∵拋物線y＝﹣x2+2x+3的對稱軸為直線x＝1，
∴設Q（1，n），
當DM、PQ為對角線時，DM、PQ的中點重合，
∴，
解得：，
∴Q（1，3）；
當DP、MQ為對角線時，DP、MQ的中點重合，
∴，
解得：，
∴Q（1，1）；
當DQ、PM為對角線時，DQ、PM的中點重合，
∴，
解得：，
∴Q（1，5）；
綜上所述，對稱軸上存在點Q，使得以D，M，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形，點Q的坐標為（1，3）或（1，1）或（1，5）．
6．【解答】解：（1）由題意得，拋物線的表達式為：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），
則﹣3a＝3，
解得：a＝﹣1，
故拋物線的表達式為：y＝﹣x2+2x+3；
（2）由點B、C的坐標得，直線BC的表達式為：y＝﹣x+3，
如圖，過點P作y軸的平行線交CB于點H，
設點P（x，﹣x2+2x+3），則點H（x，﹣x+3），
則△PBC的面積＝S△PHC+S△PHBPH×OB（﹣x2+2x+x﹣3）（x）2，
即△PBC的面積的最大值為，此時點P（，）；
（3）存在，理由：
∵B（3，0），C（0，3），
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3，
∴對稱軸為：x＝1，
設點M（1，t），N（x，y），
若BC為菱形的邊長，菱形BCMN，
則BC2＝CM2，即18＝12+（t﹣3）2，
解得：t13，t23，
∵，
∴x＝4，y＝t﹣3，
∴N1（4，），N2（4，）；
若BC為菱形的邊長，菱形BCNM，
則BC2＝BM2，即18＝（3﹣1）2+t2，
解得：t3，t4，
∵，
∴x＝﹣2，y＝3+t，
∴N3（﹣2，），N4（﹣2，）；
即點N的坐標為：（4，）或（4，）或（﹣2，3）或（﹣2，3）．
7．【解答】解：（1）由題意得，拋物線的表達式為：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），
即﹣3a＝3，
則拋物線的表達式為：y＝﹣x2+2x+3；
（2）設點P的坐標為：（m，﹣m2+2m+3），點Q（x，0），
當BC或BP為對角線時，由中點坐標公式得：3＝﹣m2+2m+3，
解得：m＝0（舍去）或2，
則點P（2，3）；
當BQ為對角線時，同理可得：0＝﹣m2+2m+3+3，
解得：m＝1±，
則點P的坐標為：（2，3），（1，3）或（1，3）；
（3）是定值，理由：
直線GH過點（1，3），故設直線GH的表達式為：y＝k（x﹣1）+3，
設點G、H的坐標分別為：（m，﹣m2+2m+3），點N（n，﹣n2+2n+3），
聯立y＝k（x﹣1）+3和y＝﹣x2+2x+3并整理得：x2+（k﹣2）x﹣k＝0，
則m+n＝2﹣k，mn＝﹣k，
由點G、D的坐標得，直線GD的表達式為：y＝﹣（m﹣1）（x﹣1）+4，
令y＝0，則x＝1，即點M（1，0），
則EM＝1﹣1，
同理可得，EN，
則EM EN16．
8．【解答】解：（1）把點A的坐標代入解析式得b，
∴拋物線的解析式為yx2x+4，
∴點C的坐標為（0，4），點B的坐標為（1，0）．
（2）以A，B，C，D為頂點的四邊形是平行四邊形，分三種情況：
①若AC為對角線，設AC的中點為F，則根據中點坐標公式可得F的坐標為（，2），
設點D的坐標為（a，b），則有，
解得a＝﹣4，b＝4，此時點D的坐標為（﹣4，4），
②若以AB為對角線，設AB的中點為F，則F的坐標為（﹣1，0），
設點D的坐標為（a，b），則有，
解得a＝﹣2，b＝﹣4，此時點D的坐標為（﹣2，﹣4），
③若以BC為對角線，設BC的中點為F，則點F的坐標為（，2），
設點D的坐標為（a，b），則有，
解得a＝4，b＝4，此時點D的坐標為（4，4），
綜上所述，點D的坐標為（﹣4，4）或（﹣2，﹣4）或（4，4）；
（3）存在，理由如下：
∵tan∠ACO1，
∴∠ACO＜45°，
∴E不可能出現在直線AC下方，也不可能在直線AC上，
當點E在直線AC上方時，∠ACE＝45°，過點E作EM⊥AC，如圖：
根據點A（﹣3，0）和點C（0，4）可得直線AC的解析式為y，設直線AC與對稱軸交于點H，
∴點H（﹣1，），HC，
∵EH∥y軸，
∴∠EHM＝∠HCO，
∴tan∠EHM＝tan∠HCO，
∴EMHM，
∵∠ACE＝45°，
∴EM＝CM，
∴HC＝HM+CM，即HMHM，
解得HM，
∴EM，
在Rt△EMH中，EH，
解得EH，
∴E的縱坐標為，
∴點E的坐標為（﹣1，）．
9．【解答】解：（1）設拋物線的表達式為：y＝a（x+3）（x﹣6），
∴﹣9＝a 3×（﹣6），
∴a，
∴y（x+3）（x﹣6）；
（2）如圖1，
拋物線的對稱軸為：直線x，由對稱性可得Q1（3，﹣9），
∵CQ1＝OA＝3，OA∥CQ1，
∴四邊形ACQ1O是平行四邊形，
∴Q1滿足條件，
當y＝9時，
9，
∴x，
∴Q2（，9），Q3（，9），
綜上所述：Q（3，﹣9）或（，9）或（，9）；
（3）設△PED的面積為S，
由題意得：AP＝m+3，BP＝6﹣m，OB＝6，OC＝9，AB＝9．
∴BC3，
∵sin∠PBD，
∴，
∴PD，
∵PE∥BC，
∴△APE∽△ABC，∠EPD＝∠PDB＝90°，
∴，
∴，
∴PE，
∴SPE PD（m+3）（6﹣m），
∴當m時，S最大，
∴當m時，△PDE的面積最大值為：．
10．【解答】（1）解：把A（﹣1，0）代入y＝ax2﹣2ax+c得：
a+2a+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∴y＝ax2﹣2ax﹣3a，
令y＝0得0＝ax2﹣2ax﹣3a，
∵a≠0，
∴x＝﹣1或x＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴拋物線的對稱軸為直線x＝1，AB＝4，
∵△ABC的面積為6，
∴4×yC＝6，
∴yC＝3，
∴C（0，3）；
把C（0，3）代入y＝ax2﹣2ax﹣3a得：
﹣3a＝3，
解得：a＝﹣1，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3；
（2）解：設點E（0，t），
∵AP是平行四邊形的邊，
∴當點A向右平移2個單位向上平移4個單位得到P，同樣點E向右平移2個單位向上平移4個單位得到Q，
即Q（2，t+4），
∴﹣22+2×2+3＝t+4，
解得t＝﹣1，
∴Q（2，3），
∴平移后拋物線的表達式為：y＝﹣（x﹣2）2+3＝﹣x2+4x﹣1；
（3）證明：設M（p，﹣p2+2p+3），N（q，﹣q2+2q+3），
設直線MN解析式為y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直線MN解析式為y＝（﹣p﹣q+2）x+pq+3，
∵直線MN過定點K（2，1），
∴2（﹣p﹣q+2）+pq+3＝1，
∴pq＝2p+2q﹣6，
∵直線y＝﹣2x+b過N（q，﹣q2+2q+3），
∴﹣q2+2q+3＝﹣2q+b，
∴b＝﹣q2+4q+3，
∴y＝﹣2x﹣q2+4q+3，
由﹣2x﹣q2+4q+3＝﹣x2+2x+3得：
x＝q或x＝﹣q+4，
∴G（﹣q+4，﹣q2+6q﹣5），
設直線MG解析式為y＝k'x+b'，把M（p，﹣p2+2p+3），G（﹣q+4，﹣q2+6q﹣5）代入得：
，
解得：，
∴直線MG解析式為y＝（﹣p+q﹣2）x﹣pq+4p+3，
∵pq＝2p+2q﹣6，
∴直線MG解析式為y＝（﹣p+q﹣2）x+2p﹣2q+9，
當x＝2時，y＝2（﹣p+q﹣2）+2p﹣2q+9＝5，
∴直線MG必過定點（2，5）．
11．【解答】解：（1）在中，令y＝0，得x＝4，令x＝0，得y＝2，
∴A（4，0），B（0，2），
把A（4，0），B（0，2）代入，得，
解得，
∴拋物線得解析式為；
（2）由（1）得：OA＝4，OB＝2，
如圖，過點B作x軸得平行線交拋物線于點E，過點D作BE的垂線，垂足為G，
∵BE∥x軸，
∴∠BAC＝∠ABE，
∵∠ABD＝2∠BAC，
∴∠ABD＝2∠ABE，
即∠DBE+∠ABE＝2∠ABE，
∴∠DBE＝∠ABE，
∴∠DBE＝∠BAC，
設D點的坐標為 ，則，
∵，
∴，，
∴，
解得x1＝0（舍去），x2＝2，
當x＝2時，，
∴點D的坐標為（2，3）；
（3）如圖，
∵EF∥OB，且以B，O，E，F為頂點的四邊形是平行四邊形，
∴EF＝OB，
設 ，
，
解得 ，
∴E點的坐標為（2，1）或或．
12．【解答】解：（1）當x＝0時，y＝4，
∴B（0，4），
當y＝0時，x＝4，
∴C（4，0），
將B、C點代入y＝ax2+x+c，
∴，
解得，
∴拋物線的解析式為yx2+x+4；
（2）設直線BC的解析式為y＝kx+4，
∴4k+4＝0，
解得k＝﹣1，
∴直線BC的解析式為y＝﹣x+4，
過E點作EG∥y軸交BC于點G，
設E（t，t2+t+4），則G（t，﹣t+4），
∴EGt2+2t，
∴S△BCE（t2+2t）×4＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+4，
當t＝2時，△BCE的面積有最大值4，此時E（2，4）；
（3）存在點P，使得以P、Q、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形，理由如下：
∵yx2+x+4（x﹣1）2，
∴拋物線的對稱軸為直線x＝1，
設Q（1，m），P（n，n2+n+4），B（0，4），C（4，0），
①當PQ為平行四邊形的對角線時，1+n＝4，
解得n＝3，
∴P（3，）；
②當PB為平行四邊形的對角線時，n＝4+1＝5，
∴P（5，）；
③當PC為平行四邊形的對角線時，4+n＝1，
解得n＝﹣3，
∴P（﹣3，）；
綜上所述：P點坐標為（3，）或（5，）或（﹣3，）．
13．【解答】解：（1）∵拋物線yx2+bx+c與x軸交于點A（，0）、B，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸為直線，
∴設拋物線的頂點式為y（x）2+h，
將A（，0）代入得（）2+h＝0，
∴h＝﹣2，
∴y（x）2﹣2x2﹣x；
（2）∵y（x）2﹣2x2﹣x，
∴D（，﹣2），
∵A（，0），AF⊥AD，
∴∠ADF＝45°，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∴F（，2），
設直線AF的解析式為y＝kx+a，
∴，解得，
∴直線AF的解析式為y＝x，
設P（p，p2﹣p），則E（，p2﹣p），Q（p，p），
∴PQ＝p（p2﹣p）p2+2p，
PE＝p，
∴PQ+PEp2+2pp
p2+3p
（p﹣3）2+6，
∴當p＝3時，PQ+PE最大值為6，此時點P的坐標為（3，0）；
（3）由題意得，將原拋物線沿著x軸正方向平移個單位，新拋物線經過原點，
∴新拋物線的解析式為y（x）2﹣2x2﹣2x，
作BC的垂直平分線交y軸于H，垂足為G，
∵拋物線yx2﹣x與x軸交于點A（，0）、B，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸為直線，
∴B（3，0）、C（0，），
∴OC，BC，
∵GH垂直平分BC，
∴CG，G（，），
∵cos∠OCB，
∴CH，
∴OH＝CH﹣OC，
∴H（0，），
設直線GH的解析式為y＝px，
∴p，
∴p＝﹣2，
∴直線GH的解析式為y＝﹣2x，
聯立yx2﹣2x得，
解得或，
∴M（3，6）或（﹣3，6），
∵以B、C、M、N為頂點的四邊形是以BC為對角線的菱形，
∴點N的坐標為（33，﹣6）或（33，6）．
14．【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c經過A（3，0）、B（﹣1，0），C（0，3），
∴，
解得，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3，
∵y＝﹣（x﹣1）2+4，
∴頂點D的坐標為（1，4）；
（2）設直線AC的解析式為y＝kx+b，
把A（3，0），C（0，3）代入y＝kx+b，
得，
∴，
∴直線AC的解析式為y＝﹣x+3，
過點F作FG⊥DE于點G，
∵以A，C，E，F為頂點的四邊形是以AC為邊的平行四邊形，
∴AC＝EF，AC∥EF，
∵OA∥FG，
∴∠OAC＝∠GFE，
∴△OAC≌△GFE（AAS），
∴OA＝FG＝3，
設F（m，﹣m2+2m+3），則G（1，﹣m2+2m+3），
∴FG＝|m﹣1|＝3，
∴m＝﹣2或m＝4，
當m＝﹣2時，﹣m2+2m+3＝﹣5，
∴F1（﹣2，﹣5），
當m＝4時，﹣m2+2m+3＝﹣5，
∴F2（4，﹣5）
綜上所述，滿足條件點F的坐標為（﹣2，﹣5）或（4，﹣5）；
（3）由題意，M（1，﹣1），F2（4，﹣5），F1（﹣2，﹣5）關于對稱軸直線x＝1對稱，連接F1F2交對稱軸于點H，連接F1M，F2M，過點F1作F1N⊥F2M于點N，交對稱軸于點P，連接PF2．則MH＝4，HF2＝3，MF2＝5，
在Rt△MHF2中，sin∠HMF2，則在Rt△MPN中，sin∠PMN，
∴PNPM，
∵PF1＝PF2，
∴PFPM＝PF2+PN＝F1N為最小值，
∵6×45×F1N，
∴F1N，
∴PFPM的最小值為．
∴5PF+3PM的最小值為24．
15．【解答】解：（1）∵二次函數y＝x2+bx+c與y軸的交點C（0，﹣3），
∴c＝﹣3，
∴二次函數的解析式為y＝x2+bx﹣3，
∵點B（3，0）在二次函數圖象上，
∴9+3b﹣3＝0，
∴b＝﹣2，
∴二次函數的解析式為y＝x2﹣2x﹣3；
（2）存在，理由：如圖1，
連接PP'交y軸于E，
∵四邊形POP'C為菱形，
∴PP'⊥OC，OE＝CEOC，
∵點C（0，﹣3），
∴OC＝3，
∴OE，
∴E（0，），
∴點P的縱坐標為，
由（1）知，二次函數的解析式為y＝x2﹣2x﹣3，
∴x2﹣2x﹣3，
∴x或x，
∵點P在直線BC下方的拋物線上，
∴0＜x＜3，
∴點P（，）；
（3）如圖2，過點P作PF⊥x軸于F，則PF∥OC，
由（1）知，二次函數的解析式為y＝x2﹣2x﹣3，
令y＝0，則x2﹣2x﹣3＝0，
∴x＝﹣1或x＝3，
∴A（﹣1，0），
∴設P（m，m2﹣2m﹣3）（0＜m＜3），
∴F（m，0），
∴S四邊形ABPC＝S△AOC+S梯形OCPF+S△PFBOA OC（OC+PF） OFPF BF
1×3（3﹣m2+2m+3） m（﹣m2+2m+3） （3﹣m）
（m）2，
∴當m時，四邊形ABPC的面積最大，最大值為，此時，P（，），
即點P運動到點（，）時，四邊形ABPC的面積最大，其最大值為．
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